抽样分布与参数估计
抽样分布与参数估计
抽样分布与参数估计首先，我们来了解什么是抽样分布。
在统计学中，抽样分布是指从总体中多次抽样得到的样本统计量的分布。
假设我们的总体是指所有感兴趣的个体的集合，而样本是从总体中选取的一部分个体。
抽样分布的形状和性质取决于总体的分布和样本的大小。
通过分析抽样分布，可以得到有关总体参数的有用信息。
例如，我们想要知道一些城市成年人的平均年收入。
在实际情况下，我们无法调查每个人的收入情况，因此我们需要从总体中随机抽取一部分个体作为样本，并计算他们的平均年收入。
如果我们多次从总体中抽取样本并计算平均年收入，然后绘制这些平均值的分布图，我们就可以得到平均年收入的抽样分布。
这个抽样分布将给我们提供有关总体平均年收入的估计和推断。
接下来，我们将讨论参数估计。
参数估计是指使用样本数据来估计总体参数的过程。
总体参数是用于描述总体特征的数值，如总体平均值、总体标准差等。
通过从总体中抽取样本，并计算样本统计量，我们可以利用样本统计量来估计总体参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是指用单个数值来估计总体参数，例如用样本均值来估计总体均值。
点估计给出了一个单一的值，但不能提供关于估计的精度的信息。
因此，我们常常使用区间估计。
区间估计是指给出一个区间，这个区间内有一定的置信水平使得总体参数落在这个区间内的概率最高。
区间估计能够向我们提供关于估计的精确程度的信息。
区间估计依赖于抽样分布的性质。
中心极限定理是制定抽样分布理论的一个重要原则。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
这使得我们可以使用正态分布的性质来计算置信区间。
构建置信区间的一种常用方法是使用样本均值的标准误差。
标准误差是样本均值的标准差，它用来衡量样本均值和总体均值之间的误差。
根据正态分布的性质，当样本容量足够大时，样本均值与总体均值之间的误差可以用标准误差来估计。
通过计算标准误差并结合正态分布的性质，我们可以得到样本均值的置信区间。
第5章--抽样分布与参数估计教案资料
(5)
(5.5)
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(6.5)
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9
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
9,10
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10
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
10,10
数是 ，标准差是 ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本，则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 ，其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出，只要总体 变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n 是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题，需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明：尽管个别现象受偶然因 素影响，有各自不同的表现。但是，对总体 的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的 影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的 极端性影响，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律。
抽样分布与参数估计
三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比，即t值落在此 范围内的概率P。
双侧：由于t分布以0为中心对称，即 P（t≤- t, ）＝ P（t≥ t, ）＝ /2 于是有P（- t, ≤t≤ t, ）＝1-
sx
u X
X
t X ＝n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数， 即自由度 ，与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心，左右对称； 越小， t变量值的离散程度越大，曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高 峰低些，两尾部翘得高些）， 逐渐增大， t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线，若 ＝，则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
点值估计：不计抽样误差，直接用样本均数来 估计μ。
区间估计：根据抽样误差的规律，按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本，用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例
二、抽样误差：在抽样研究中，因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
抽样分布与参数估计
▪ 某电视台欲在95%的置信度水平下，对电
视节目的收视率作为有效的估计，试考 虑样本量应当为多少？
▪ 问题：若确定估计绝对误差为5%，则样
本为385户，是否可行？
▪ 若考虑估计相对误差为10%，则样本量应
当为多少？
统计学原理
其他样本量估计的情况
▪ 估计样本比例时样本量的确定 ▪ 估计两个总体均值之差时样本量的确定 ▪ 估计两个总体比例之差时样本量的确定 ▪ 以上问题，均可通过参数估计的公式进行
o 比例估计时，方差为：p(1-p) o 可知，p(1-p)的最大值为0.25。
统计学原理
比例估计时的样本量推算
在校园内估计学生拥有手机的比例，希 望在95%的置信水平下，估计的绝对误 差不超过5个百分点(5%)，求样本量
n
1.962
0.052
2
, 取
2
Max
0.25
则有n 385
统计学原理
助记方法
统计学原理
统计学原理
一个总体参数—总体均值
▪ 正态总体，方差已知；
o 或非正态总体，大样本，方差已知。
z x ~ N (0,1) X n
置信区间:
(
x
za
2
X
n
,
x
za
2
X
n
)
注意：Z取a/2的原因在于此时置信 区间是最小的。
统计学原理
一个总体参数—总体均值
▪ 正态总体，方差未知
统计学原理
计算结果
▪ 计算样本平均数：X=39.5 ▪ 计算样本标准差：s=7.7736 ▪ 令：总体标准差=样本标准差，计算抽样误差为
1.2956
抽样分布、参数估计和假设检验
抽样分布一、抽样分布的理论及定理 （一） 抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本，对每一样本可计算其k 统计量，而k 个统计量构成的分布即为抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。
（二） 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。
1．如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。
2．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的均数（X μ）等于总体均数（μ）即μμ=X3．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的标准差（X σ）等于总体标准差除以样本容量的算数平方根，即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。
因为许多问题都使用正态曲线的方法。
这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。
中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计中两个重要参数（即样本均数X μ与样本标准差X σ）的计算方法。
（三）抽样分布中的几个重要概念1．随机样本。
统计学是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本（random sample ）。
所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2．抽样误差。
从总体中抽取容量为n 的k 个样本时，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。
3．标准误。
样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE 或Xσ表示。
根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小，数据分布越集中，平均数的代表性越好。
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。
参数的假设检验抽样分布、参数估计、假设检验(回归分析)
z = -3.162 < 1.64 接受原假设
5% 1.64
假设检验的基本原理
2）相伴概率 P 检验统计量观察值以及所有所有比
它更为极端的可能值出现的概率之和 双侧检验：
P = P(Z < -3.162) + P(Z > 3.162) = 0.002
左侧检验：P = P(Z < -3.162) = 0.001
1
t分布两尾 概率分位点
P(x t / 2sx x t / 2sx ) 1
参数估计 - 区间估计
正态总体方差的区间估计
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2分布上尾 概率分位点
P(12
2
(n 1)s2
2
2
2)
1
P(
(n 1)s2
12 2
2
(n 1)s
2 2
2
)
1
参数估计 - 区间估计
n
Z x ~ N(0,1) 2 n
中心极限定理
➢ 无论样本所来自的总体是否服从正态分布， 只要样本足够大，样本平均数就近似服从正 态分布，样本越大，近似程度越好。
➢所需的样本含量随原总体的分布而异，但只 要样本含量 30，无论原总体是何分布，都 足以满足近似的要求。
➢设原总体的期望为，方差为 2，则样本平 均数的期望为，方差为 2 /n。
统计推断概述
抽样分布 参数估计简介 假设检验的基本原理
抽样分布的概念
样本统计量的概率分布称为抽样分布（sampling distribution）
样本是通过对总体的随机抽样获得的 样本统计量是随机变量，有一定的概率分布
简单随机样本
统计学课后答案(第3版)第6章抽样分布与参数估计习题答案
第六章 抽样分布与参数估计习题答案一、单选1.B ；2.D ；3.D ；4.C ；5.A ；6.B ；7.C ；8.D ；9.A ；10.A 二、多选1.ADE ；2.ACDE ；3.ABCD ；4.ADE ；5.BCE6.ACD ；7.ACDE ；8.ACE ；9.BCE ；10.ABD 三、计算分析题1、解：n=10，小样本，由EXCEL 计算有：11.6498==S x ； （1）方差已知，由10596.14982⨯±=±nz x σα得，（494.9，501.1）（2）方差未知，由1011.62622.2498)1(2⨯±=-±nS n t x α得，（493.63，502.37）2、n=500为大样本，p=80/500=16%，则置信区间为 016.096.1%16500)16.01(16.096.1%16)1(2⨯±=-⨯±=-±n p p z p α=（14.4%，17.6%） 3、nx σσ=，由于大国抽取的样本容量大，则抽样平均误差小。
4、（1）3.10100103===nS x σ（小时）；=-=-=100)95.01(95.0)1(n p p p σ 2.18%（2）=⨯±=±3.10211202x z x σα（1099.4,1140.6） ⨯±=±2%952p z p σα2.18%=（90.64,99.36）5、为简化起见，按照重复抽样形式计算 （1）∑∑=ff s Si22=22.292； 472.010072.4===nS x σ（2）93.0691472.096.1100691002±=⨯±=±nSz x α=（690.07,691.93） 6、由于总体标准差已知，则用标准状态分布统计量估计nz x σα2=∆（1）10160170102022=-===∆αασz nz x则58.12=αz ，有%29.94)58.1(=F α=1-94.29%=5.71%，则概率%58.88%71.5%29.941=-=-=α （2）=⇒⨯=⇒⨯=∆n n nz x 2096.142σα97（个）（3）=⇒⨯=⇒⨯=∆n nnz x 2096.122σα385（个）允许误差缩小一半，样本容量则为原来的4倍。
概率论参数估计和抽样分布
概率论参数估计和抽样分布
一、极大似然估计MLE
极大似然估计（MLE）是一种用来近似概率分布参数的统计学方法。
它的基本原理是根据样本来估计一组参数，使单独参数的极大似然函数最大化，即最大前提下来达到样本可能性的最大化，这种方法可以让样本观测数据的期望值吻合该参数的假设值。
这种估计方法的优点是简单易行，它不需要指定模型的具体参数，而且参数的估计结果可以很容易地进行验证和分析。
它的缺点是需要多次计算，收敛速度慢，容易受噪声影响，而且模型假设受到限制，可能会有明显的偏离。
二、贝叶斯估计BE
贝叶斯估计（BE）是指在概率论估计中，采用以贝叶斯概率论的原理来估计模型参数的一种方法。
该方法将未知状态作为随机变量，根据贝叶斯公式及赋予先验分布，以最大后验概率的原则估计模型参数。
贝叶斯估计具有优点是可以用来估计模型参数的概率分布，而不仅仅是估计其期望值，可以将主观经验纳入参数估计过程中，也可以迅速得到模型参数的分布。
统计学(李荣平)2014-5
P{t>tα(n)}= h(t;n)dt
t (n)
的数tα(n)为t(n)分布的上α分为点。 例：查表求：t0.05（8）， t0.95（8）
o
t (n)
第一节 抽样分布
（三）F 分布
设 U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n2 ), 且设 U,V 独立，则称随机变量
F U / n1 V / n2
保证质量，规定σ≤0.6mm时，认为生产过程处于良好控制
状态。为此，每隔一定时间抽取20个零件作为一个样本，并
计算样本方差S2。若P{S2≥c } ≤0.01（此时σ=0.6mm），
则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问：
（1）C为何值时，S2≥c的概率才小于或等于0.01？ （2）若取得的一个样本的标准差S=0.84，生产过程是
第五章 抽样分布与参数估计
主
第一节 抽样分布
要 内
第二节 参数点估计
容
第三节 区间估计
第一节 抽样分布
一、随机样本
总体与个体：试验全部可能的观测值叫总体；试验的 每一个观测值叫个体。
样本容量与样本个数：样本中包含的单位数叫样本容 量；从一个总体中可能抽取多少个样本叫样本个数。
总体容量：总体中所包含的个体数。 有限总体和无限总体：总体容量可数的称有限总体， 不可数的称无限总体。 重置抽样（重复抽样）和无重置抽样（不重复抽样）
X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值；称统计量
S 2
1 n1
n i1
(Xi
X )2
为 样本方差 ，称统计量 S
S2
1n
( X X ) 2 为样本标准差 ；统计量
n 1 i1 i
第6章抽样分布与参数估计
抽样分布反映了依据样本计算出来的统计量数值的概率分布，这是科 学地进行统计推断的基础。例如，在大样本场合，由中心极限定理有样 本均值趋于正态分布。
★ 讨论题 为什么说抽样分布是抽样理论研究的对象，解释三种分布之 间的联系。
/3:22
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
6.1 抽样分布
6.1.4 样本均值的抽样分布 1．大样本场合下的样本均值抽样分布
总体（Population）是指所研究的事物及其现象的全体，由该事物及 其现象的全部个体组成。
个体（Item Unit）是指构成总体的元素。 总体容量（Population Size）是指构成总体的全部个体的数量。
样本（Sample）是指从总体抽取的若干个体构成的集合。 抽样（Sampling）是指按照具体的抽样方法和抽样设计，从总体中抽 取若干个体的过程。 样本容量（Sample size）是指构成样本的全部个体的数量。
ln i mPnnA
PA
1
（6.1）
贝努利定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率。从而 以严格的数学形式表述了频率的稳定性特征，即n当很大时，事件发生 的频率与概率之间出现较大的偏差的可能性很小。由此，在n充分大的 场合，可以用事件发生的频率来替代事件的概率。
/3:22
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
在反复抽取容量相同的独立同分布样本条件下，所得到的样本均值的 概率分布称为样本均值的抽样分布。在样本容量充分大的情况下，即大 样本场合，样本均值依据中心极限定理趋于正态分布。
所谓独立同分布样本为从无限总体中随机抽取的等概样本，或从有限 总体中以放回方式，随机抽取的等概样本。
所谓大样本是指能够满足中心极限定理要求，使样本均值趋于正态分 布的样本容量。在统计实践中一般称样本容量大于30即为大样本这只是 一个粗略的经验数值。
西南大学 统计学课后答案
第四章 抽样分布与参数估计3．某地区粮食播种面积5000亩，按不重复抽样方法随机抽取了100亩进行实测，调查结果，平均亩产450公斤，亩产量标准差为52公斤。
试以95%的置信度估计该地区粮食平均亩产量和总产量的置信区间。
解：已知X =450公斤，n =100（大样本），n/N=1/50，11≈-Nn，不考虑抽样方式的影响，用重复抽样计算。
s =52公斤，1-α=95%，α=5%。
这时查标准正态分布表，可得临界值：96.1025.02/==z z α该地区粮食平均亩产量的置信区间是：1005296.14502⨯±=±nsz x α=[439.808，460.192] （公斤） 总产量的置信区间是：[439.808⨯5000，460.192⨯5000] （公斤） =[2199040，2300960]（公斤）4．已知某种电子管使用寿命服从正态分布。
从一批电子管中随机抽取16只，检测结果，样本平均寿命为1490小时，标准差为24.77小时。
试以95%的置信度估计这批电子管的平均寿命的置信区间。
解：(1)已知X =1490小时，n =16，s =24.77小时，1-α=95%，α=5%。
这时查t 分布表，可得 2.13145)1(2/=-n t α该批电子管的平均寿命的置信区间是：1677.2413145.214902⨯±=±nst x α=[ 1476.801，1503.199]（小时）因此，这批电子管的平均寿命的置信区间在1476.801小时与1503.199小时之间。
6．采用简单随机重复抽样的方法，从2 000件产品中抽查200件，其中合格品190件。
要求：(1)计算合格品率及其抽样平均误差。
(2)以95.45%的置信度，对合格品率和合格品数量进行区间估计。
(3)如果极限误差为2.31%，则其置信度是多少？ 解：(1)合格品率：P=190/200⨯100%=95% 抽样平均误差：np p p )1()(-=σ=0.015(2)%3%95%100015.02%95)(22/02275.02/±=⨯⨯±=±==p Z P Z Z σαα]19601840[]2000%982000%92[(%]98%92[，，的置信区为：件合格品数量，：合格品率的置信区间为=⨯⨯）(3)%64.87)(8764.01,54.1%31.2%100015.0%31.2)(2/2/2/==-==⨯⨯==∆z F Z Z p Z ασααα查表得 7．从某企业工人中随机抽选部分进行调查，所得工资分布数列如下：试求：(1)以95.45％的置信度估计该企业工人平均工资的置信区间，以及该企业工人中工资不少于800元的工人所占比重的置信区间；(2)如果要求估计平均工资的允许误差范围不超过30元，估计工资不少于800元的工人所占比重的允许误差范围不超过10%，置信度仍为95.45％，试问至少应抽多少工人？ 解(1)通过EXCEL 计算可得: X =816元，n =50人，s =113.77元。
抽样分布与参数估计总结
总体参数的估计区间，称为置信区间。
统计学原理
置信度
如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区
间中包含总体真值的次数所占的比例称为置信 水平（Confidence Level）。
也称为置信度或置信系数 (Confidence Coefficient)。
统计学原理
置信度与置信区间的关系
统计学原理
两个总体参数—比例之差
比例之差：大样本下，服从正态分布。 在估计时使用样本标准差替代。
统计学原理
两个总体的方差比
样本方差比的抽样分布为F分布 其中 第一自由度为n1-1，第二自由度为n2-1
2 s12 2 2 ~ F n1 1, n2 1 2 s2 1
统计学原理
例题：关于扑克牌的游戏
从一副扑克牌（52张）中，有放回地抽
出30张，其平均点数的分布规律如何？
如果以点数来赌胜负，什么区间的胜率
是95%？
统计学原理
统计学原理
第二节 参数估计
主要讨论总体平均数的 参数估计
统计学原理
参数估计的一般问题
参数估计：用样本统计量去估计总体的参
数。
统计学原理
计算结果
计算样本平均数：X=39.5 计算样本标准差：s=7.7736 令：总体标准差=样本标准差，计算抽样误差为
1.2956 95%置信度对应的T值为1.96 得总体平均数的置信区间为：
o 上限：39.5+1.96×1.2956=42.04 o 下限：39.5-1.96×1.2956=36.96
N=200时的抽样分布
Std. Dev = 2.23 Mean = 46.24 N = 200.00
（抽样检验）抽样与参数估计最全版
（抽样检验）抽样与参数估计最全版（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利⽤样本统计量对总体某些性质或数量特征进⾏推断。
从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。
这个调查例⼦是估计总体参数（某种意见的⽐例）的壹个过程。
估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。
统计推断的另壹个主要内容是本章第⼆节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。
因此本节内容就是由样本数据对总体参数进⾏估计，即：学习⽬标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体⽐例和总体⽅差的区间估计第⼀节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进⾏调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。
总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三⼗个的样本称为⼤样本，样本单位数不到三⼗个的样本称为⼩样本。
壹、抽样⽅法及抽样分布1、抽样⽅法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。
注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，⼜可分为重复抽样和不重复抽样。
⽽且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。
②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进⾏抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）⾮概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、⾮随机抽样：由调查⼈员⾃由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数⽬、满⾜特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。
第五抽样分布与参数估计第一第二
类型组的样本单位数。
3、等距抽样（系统抽样、机械抽 样）
概念：将总体各单位标志值按某一标志顺序排
队，然而按一定的间隔抽取样本单位。
排队的方法：①按无关标志 ②按有关标志
抽取样本单位的方法
◦ ①按相等的距离取样 ②对称等距取样
抽取第一个样本单位的方法
◦ ①随机抽取
②居中抽取
4、整群抽样
概念：把总体分为若干群，从总体群中抽取若干样 本群，对抽中的群进行全数登记调查。 如：某水泥厂一昼夜的产量为14400袋，现每隔 144分钟抽取1分钟的水泥（10袋）检查平均每袋 重量和一级品率
例子
根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币， 出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很
多人都曾经做过抛硬币试验。
试验者
试验次数
正面出现的频率
蒲丰
4040
0.5069
K.皮尔逊
12000
0.5016
K.皮尔逊
24000
0.5005
罗曼诺夫斯基
80640
0.4979
第二节
抽样分布
一、三种分布含义
第五抽样分布与参数估计第一第二
第一节
抽样的基本概念
（二）样本容量与样本个数
1.样本容量
◦ 是一个样本中所包含的单位数。
2.样本个数
◦ 即样本可能数目。是指从一个总体中可能抽取多少个样本。 与抽样方法有关。
（三）抽样方法
1、重复抽样
◦ 从总体的N 个单位中要随机抽取一个容量为n的样本，每次 从总体中抽出一个单位后，经过调查又把它放回到总体中， 重新再参加下一次抽选。
类型组，然后从各类型组中采用简单随机抽样方式或 其它方式抽取样本单位。
统计学复习(抽样分布、参数估计、假设检验)
两个样本均值之差的抽样分布 （1）如： ） 抽样
X1 − N(µ1,σ12 ), X2 − N(µ2 ,σ2 ),
2
则 x1 − x2 ) ~ N(µ1 − µ2 , (
σ12 σ22
n1 + n2
)
抽样
σ12 N1 − n1 σ22 N2 − n2 (x1 − x2 ) ~ N[(µ1 − µ2 , ( )+ ( )] n1 N1 −1 n2 N2 −1
对于无限总体， 对于无限总体， 一个估计 如果对任意 量如能完 ε＞ˆ 0 满足条件 全地包含 LimP(|θn −θ |≥ ε ) = 0 未知参数 n→∞ 信息， 信息，即 则称 θˆ 是 θ 为充分量 的一致估计。 的一致估计。
点估计
常用的求点估计量的方法
用样本的数字特征 1.数字特征法: 1.数字特征法:当样本容量增大时 ,用样本的数字特征 数字特征法 去估计总体的数字特征。 去估计总体的数字特征。 例如，我们可以用样本平均数(或成数 和样本方差来估 例如，我们可以用样本平均数 或成数)和样本方差来估 或成数 计总体的均值(或比率 和方差。 或比率)和方差 计总体的均值 或比率 和方差。
样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 抽样
均值µ=∑Xi/N 均值
均值 X = Σxi
n
样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 统计量 统计量是一个随机变量 随机变量， 统计量是一个随机变量， 样本均值的概率分布称为 样本均值的抽样分布。 样本均值的抽样分布。
2
n
总体均值 （µ） ）
X ± tα
2
( n −1 )
第5章抽样分布与参数估计
第5章抽样分布与参数估计在统计学中，抽样分布与参数估计是重要的概念。
抽样分布是指从总体中随机抽取样本，计算样本统计量，然后将这些统计量进行分布的过程。
参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
首先，我们来了解抽样分布。
在统计学中，我们通常很难直接获得总体数据，因为总体数据往往很大，难以收集。
因此，我们采用抽样的方式来获取样本数据，并通过样本数据来推断总体特征。
抽样分布是指在重复抽取样本的过程中得到的统计量的分布。
抽样分布的中心趋于总体参数，而抽样分布的形状可以通过中心极限定理进行描述。
中心极限定理认为，当样本数量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，且均值等于总体均值。
这对于统计推断和参数估计具有重要意义。
其次，我们来了解参数估计的概念及其方法。
参数估计是指根据样本数据对总体参数进行估计的统计方法。
常见的参数包括总体均值、总体方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指通过样本数据计算得到的单个数值来估计总体参数。
常用的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是基于样本的观测值选择使得观测值出现的概率最大的参数值作为估计值的方法。
矩估计是通过样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数的方法。
区间估计是指对总体参数给出一个区间估计值，该区间包含了真实参数值的概率。
常用的区间估计方法包括置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计是通过样本数据计算得到的一个区间，可以包含真实参数值的概率。
置信区间的置信水平是指在多次重复抽样中，这个区间包含了真实参数值的概率。
预测区间估计是在给定自变量取值的情况下，通过样本数据对应的因变量的取值的一个区间估计。
总之，抽样分布与参数估计是统计学中重要的概念和方法。
通过抽样分布可以了解样本统计量的分布情况，而参数估计可以通过样本数据对总体参数进行估计。
这些概念和方法对于数据分析和决策具有重要的实际应用价值。
应用统计学第6章 抽样分布与参数估计
μx
6. 3抽样分布
多大是足够的大？
6. 3抽样分布
例子
假设总体的平均数μ = 8 且标准差σ = 3. 假 设选中容量n = 36随机样本。
样本平均数介于7.8和8.2之间的概率是多少?
第6章 6. 3抽样分布
例子
(续)
结论:
即使总体非正态分布, 中心极限定理可以应用 (n > 30)
6.2 抽样误差
样本统计量和对应的总体参数之间的差异，称之为抽 样误差。
抽样误差的产生是由于抽样的非全面性和随机性所引 起的，是偶然性误差。
非抽样误差
抽样框误差 系统性误差 测量误差 登记误差
6. 3抽样分布
6. 3抽样分布
6.3.1 样本均值的抽样分布
6. 3抽样分布
1.样本均值的均值
样)
6. 3抽样分布
p的抽样分布
近乎正态分布分布，如果:
n 5
P( ps)
抽样分布
.3
且
.2
.1
n(1 ) 5
0 0 . 2 .4 .6
p
81
μ 其中 p
π
且
π(1 π)
σp
n
(其中 π = 总体比例)
6. 3抽样分布
比例的Z值
使用公式将p标准化为Z值:
p
Z
σp
p (1 )
n
在判断样本中，我们得到预先选好的专家就主题 发表的意见。
6.1 抽样理由和抽样方法
样本类型:概率样本
在概率样本中, 样本中条目的选择基于已知的概率。
概率样本
简单 随机样本
系统样本
分层样本 群样本
6.1 抽样理由和抽样方法
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（二）总体参数与样本统计量 1.总体参数 总体分布的数量特征就是总体的参数，也是抽样统 计推断的对象。 常见的总体参数有：总体的平均数指标，总体成数 (比例)指标，总体分布的方差、标准差等等。它们 都是反映总体分布特征的重要指标。 2.样本统计量 样本统计量是样本的一个函数。它们是随机变量。 我们利用统计量来估计和推断总体的有关参数。 常见的样本统计量有：样本平均数，样本比例，样 本的方差、标准差。
2.不放回抽样。每次从总体抽取一个单位，记录其 标志值后不放回原总体，不参加下一轮抽样。下一 次继续从总体中余下的单位中抽取。 特点是：第一，n 个单位的样本由 n 次试验结果构 成，但由于每次抽出不放回，所以实质上相当于从 总体中同时抽取 n 个样本单位。第二，每次试验结 果不是独立的，上次中选情况影响下次抽选结果。 第三，每个单位在多次(轮)试验中中选的机会是不 N! 等的。如果考虑顺序，其样本可能个数为 ； ( N n)! N! 如果不考虑顺序，其样本可能个数为 。 ( N n)! n!
（三）概率抽样及其组织形式 所谓概率抽样，就是要求对总体的每一次观察（每 一次抽取）都是一次随机试验，并且有和总体相同 的分布。按这样的要求对总体观测（抽取）n次， 可得到容量为n的样本。
例5-1
有10个同样的球，分别标有从1至10的号码。（1）
从中有目的地抽出5号球；（2）从中随便地取一个 球；（3）把10个球放在袋中，充分混匀，从中抽 出一个球，抽取时，要求袋中各个球有相等的被抽 中的概率。
1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10
（四）放回抽样与不放回抽样 1.放回抽样。放回抽样的具体做法是：从总体中抽 出一个样本单位，记录其标志值后，又将其放回总 体中继续参加下一轮单位的抽取。放回抽样的特点 是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结果构成 的。第二，每次试验是独立的，即其试验的结果与 前次、后次的结果无关。第三，每次试验是在相同 条件下进行的，每个单位在多次试验中选中的机会 (概率)是相同的。在放回抽ห้องสมุดไป่ตู้中，样本可能的个数 是Nn，N为总体单位数，n为样本容量。
（五）抽样分布 从总体中可以随机地抽取许多样本，由每一个样本 都可以计算样本统计量的观测值，所有可能的样本 观测值及其所对应的概率便是所谓的抽样分布。因 此，抽样分布也可以称为样本统计量的概率分布。 抽样分布可能是精确地服从某种已知分布（所谓已 知分布，例如我们在第四章介绍过的各种常见分 布），也可能是以某种已知分布为极限分布。在实 际应用中，后者更为多见。
10人中有放回抽二人的全部可能样本
3 1,3 (2) 2,3 (2.5) 3,3 (3) 4,3 (3.5) 5,3 (4) 6,3 (4.5) 7,3 (5) 8,3 (5.5) 9,3 (6) 10,3 (6.5)
1 第 一 次 抽 取 可 能 被 抽 中 的 人 员 2 3 4
5
6 7
8
9 10
例5-2
对某公司 10 名推销员用放回抽样方式抽取容量为 n=2
n 的样本（y1，y2） ，构造统计量 Y ( yi ) / n 。10 名推 i 1
销员任职年限如表 5-2。
表5-2 10名推销员任职年限资料 推销员编号 任职年限（xi）
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
第二次抽取可能被抽中的人员 4 5 6 7 1,4 1,5 1,6 1,7 (2.5) (3) (3.5) (4) 2,4 2,5 2,6 2,7 (3) (3.5) (4) (4.5) 3,4 3,5 3,6 3,7 (3.5) (4) (4.5) (5) 4,4 4,5 4,6 4,7 (4) (4.5) (5) (5.5) 5,4 5,5 5,6 5,7 (4.5) (5) (5.5) (6) 6,4 6,5 6,6 6,7 (5) (5.5) (6) (6.5) 7,4 7,5 7,6 7,7 (5.5) (6) (6.5) (7) 8,4 8,5 8,6 8,7 (6) (6.5) (7) (7.5) 9,4 9,5 9,6 9,7 (6.5) (7) (7.5) (8) 10,4 10,5 10,6 10,7 (7) (7.5) (8) (8.5)
表5-3
1 1,1 (1) 2,1 (1.5) 3,1 (2) 4,1 (2.5) 5,1 (3) 6,1 (3.5) 7,1 (4) 8,1 (4.5) 9,1 (5) 10,1 (5.5) 2 1,2 (1.5) 2,2 (2) 3,2 (2.5) 4,2 (3) 5,2 (3.5) 6,2 (4) 7,2 (4.5) 8,2 (5) 9,2 (5.5) 10,2 (6)
第五章 抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
第二节
第三节 第四节 第五节
抽样分布
参数估计 样本容量的确定 Excel在参数估计中的应用
第一节 抽样的基本概念与数学 原理
一 有关抽样的基本概念
二 大数定理与中心极限定理
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量 样本是从总体中抽出的部分单位的集合，这个集合 的大小称为样本容量，一般用n表示，它表明一个 样本中所包含的单位数。 一般地，样本单位数大于30个的样本称为大样本， 不超过30个的样本称为小样本。 2.样本个数。样本个数又称样本可能数目，它是指 从一个总体中可能抽取多少个样本。
要求： （1）计算样本的可能个数。 （2）给出统计量 X 的分布、数学期望和标准差。
解： （1）可能样本数=Nn=102=100 所有可能得到的样本如表 5-3。表中方格内数对 是用推销员序号表示的样本的各种配合方式， 括 号内数字是推销员任职年限的样本均值。 （2） 用表 5-3 中各样本配合方式的样本均值 （括 号中数字）数据作成分布数列（表 5-4）便描述 了样本平均数这个统计量的分布。
解：显然，（1）和（2）的抽取行为都不是随机试
验。因而不属于概率抽样。只有（3）的抽取行为 是随机试验。总体的分布可用表5-1的分布列来描述， 而（3）的随机试验中所观测的随机变量也有与表51有相同的分布。所以，（3）的抽取行为是概率抽 样。
表5-1 10个球号码的分布 号码 频率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10