利用三角函数测高题型
九下第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高作业新版北师大版
解：在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴AO＝ AC＝ ×8＝4(km)．
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据： ≈1.73)
课题
测量“永泰寺塔”
成员
组长：×××；组员：×××，×××，×××
工具
测倾器、皮尺等
设计方案
方案一
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD表示测倾器，CD的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E在同一平面内，需要测量的数据有BC的长度，∠ADE的度数
设计方案
方案二
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD，FG表示测倾器，CD，FG的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，需要测量的数据有CF的长度，∠ADE，∠AGE的度数
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO；
实施方案
方案二 的测量 数据
∠ADE的平均值
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-6利用三角函数测高》填空专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》填空专项练习题（附答案）1．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．2．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是海里．（结果保留根号）3．如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头A 与小岛C的距离是海里（结果保留根号）．4．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于海里．5．如图，城中有一高层建筑物A，一辆汽车在一条东西方向的笔直公路上由西向东行驶，在点B处测得建筑物A位于它的东北方向，此时汽车与建筑物相距2公里，继续行驶至点D处，测得建筑物A在它的北偏西60°方向，此时汽车与建筑物距离AD为公里．6．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为米．7．如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里/小时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是海里．8．如图所示，海面上有一座小岛A，一艘船在B处观测A位于西南方向20km处，该船向正西方向行驶2小时至C处，此时观测A位于南偏东60°，则船行驶的路程约为．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73，≈2.45）9．一艘轮船以15千米时的速度向正东方向航行，到达A点时测得小岛C在点A北偏东60°方向；继续航行一小时到达B点，这时测得小岛C在点B的东北方向；再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P 的距离为海里（结果保留根号）．11．如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．12．如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶海里．13．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B 点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为m．14．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小雅同学在南岸B处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，她沿着河岸向东步行60米后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，则河面的宽度是米．15．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛60海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．16．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为m．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为km．18．如图，一个机器人从A地沿着西南方向先前进了4米到达B地，观察到原点O地在它的南偏东60°的方向上，则A、O两地的距离等于米．19．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为海里．21．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为米．22．如图，为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东30°方向，然后沿河岸直行100米到点B，在B点测得对岸C点在其北偏西45°方向，则河宽CD是米．（结果保留根号）23．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离千米．24．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为km．参考答案1．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x米，在Rt△APC中，∠APC＝30°，∴AC＝PC•tan30°＝x（米），在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，∴BC＝CP•tan60°＝x（米），∵AB＝200米，∴AC+BC＝200，∴x+x＝200，∴x＝50≈87，∴PC＝87米，∴点P到赛道AB的距离约为87米，故答案为：87．2．解：作BD⊥AC于点D．∵∠CBA＝25°+50°＝75°，∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝30°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．在Rt△ABD中，∠CAB＝60°，AB＝2×20＝40，BD＝AB•sin∠CAB＝40•sin60°＝40×＝20．在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，cos C＝，∴∠C＝90﹣∠CBD＝45°，则BC＝BD＝20（海里）．故答案为：20．3．解：过C作CD⊥BA于D，如图：则∠CDB＝90°，由题意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD，AC＝CD，设CD＝AD＝x海里，则AC＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tan60°＝，∴BD＝CD＝x（海里），∵BD＝AD+AB，∴x＝x+10，解得：x＝5+5，∴x＝×（5+5）＝5+5，即AC＝（5+5）海里，故答案为：（5+5）．4．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝6（海里），即小岛A到航线BC的距离是6海里，故答案为：6．5．解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，根据题意可知，∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝2公里，在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（公里），在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝2（公里），即此时汽车与建筑物距离AD为2公里．故答案为：2．6．解：如图，过点C作CD⊥公路l于点D，则∠ADC＝90°，∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20米，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACB＝∠CAD，∴BC＝AB＝20米，在Rt△BCD中，cos∠BCD＝，∴CD＝BC•cos∠BCD＝20×＝10（米），故答案为：10．7．解：连接AB幷延长，如图，由题意得：AB＝12×＝20（海里），∵从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，∴∠CAB＝34°，∠ACB＝68°﹣34°＝34°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝20海里，即小岛B处到灯塔C的距离是20海里，故答案为：20．8．解：作AD⊥BC于D，则∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AD＝AB＝10，CD＝AD＝10，∴BC＝BD+CD＝10+10≈39（km）；故答案为：39km．9．解：如图，由题意得，AB＝15千米，∠EAC＝60°，∠FBC＝45°，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵∠EAC＝60°，∠FBC＝45°，∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，设CD＝x千米，则AD＝（x+15）千米，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD，即15+x＝x，解得x＝（千米），即CD＝BD＝千米，需要的时间为：÷15＝（时），答：再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向．10．解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．11．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12nmile，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC•sin∠ACE＝6≈10.4（nmile），故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，故答案为10.4．12．解：设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，如图，作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，根据题意可知：∠BAD＝30°，∠C＝15°，∴∠BED＝30°，∴AD＝DE＝x，CE＝BE＝AB＝2x，∴AD+DE+CE＝60，即x+x+2x＝60，解得x＝15（﹣1）（海里）．答：甲船每小时行驶15（﹣1）海里．故答案为：15（﹣1）．13．解：如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，∴∠ABE＝∠BAF＝53°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，∴AC＝＝＝500（m），即A，C两点之间的距离为500m，故答案为：500．14．解：如图，过A作AD⊥BC于D，由题意可知：BC＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60（米）．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．即这条河的宽度为30米，故答案为：30．15．解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB＝60海里，BC＝3x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AQ＝AB＝30，BQ＝AQ＝30，在直角三角形AQC中，∠CAQ＝45°，∴CQ＝AQ＝30，∴BC＝30+30＝3x，解得：x＝10+10（海里/时）．即该船行驶的速度为（10+10）海里/时；故答案为：10+10．16．解：如图，过C作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym，在Rt△ECB中，tan53°＝≈，即≈①，在Rt△AEC中，tan37°＝≈，即≈②，由①②得：x＝120，y＝90，∴EC＝120m，BE＝90m，∴AE＝70+90＝160（m），∴AC＝＝＝200（m），故答案为：200．17．解：如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OA sin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝2（km），OD＝OA cos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝2（km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD+BD＝2+2（km），故答案为：（2+2）．18．解：如图，过点B作BC⊥OA于C，在Rt△ABC中，AB＝4米，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝4（米）．在Rt△OBC中，∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∴OC＝BC＝（米），∴AO＝AC+CO＝（4+）米，故答案为：（4+）．19．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA＝∠CDB＝90°，∵货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达C点，∴AC＝40×＝20（海里），∵∠A＝45°，∠BCE＝75°，∴∠B＝∠BCE﹣∠A＝30°，∵CD＝AC sin45°＝20×＝10（海里），∴BC＝2CD＝20≈28.3（海里），即此时货轮与灯塔B的距离约为28.3海里，故答案为：28.3．20．解：在Rt△P AB中，∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意得BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2P A，∵P A＝AB•tan60°，AB＝30×1＝30（海里），∴PC＝2×30×＝60（海里），故答案为：60．21．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，则MN最短，∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，∴∠CAM＝30°，∴∠AMN＝60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM＝60°，∴∠MCB＝30°，∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠BCA＝30°，∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，∴NC＝MC＝500，∵AC＝2000米，∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，故答案为：1500．22．解：设CD＝x米，由题意得：CD⊥AB，∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴AD＝CD＝x米，BD＝CD＝x米，∵AD+BD＝AB＝100米，∴x+x＝100，解得：x＝150﹣50，即河宽CD是（150﹣50）米，故答案为：（150﹣50）．23．解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝4，sin∠BAD＝，∴BD＝AB•sin∠BAD＝4×＝2（千米），在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45°，∴∠CBD＝∠C，∴CD＝BD＝2千米，∴BC2＝BD2+CD2＝（2）2+（2）2＝24，∴BC＝2（千米）．答：B，C两地的距离是2千米，故答案为：2．24．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝15（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝5（km），∴AC＝AE+CE＝（15+5）km，∴A，C两港之间的距离为（15+5）km，故答案为：（15+5）．。
《利用三角函数测高》练习题
在 Rt△AFB 中， ∵ AB＝2.7， ∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918， ∴AE＝ AF＋ BC≈0.918 ＋0.15＝1.068≈1.1(m)．答：端点 A 到地面 CD 的距离约是 1.1 m
8．如图，王强同学在甲楼楼顶 A 处测得对面乙楼楼顶 D 处的仰角为 30 °，在甲楼楼底 B 处测得乙楼楼顶 D 处的仰角为 45°，已知甲楼高 26 米， 则乙楼的高度为 ( 3≈1.7)( A．61.0 米
(x＋0.2)＝30，∴ x≈11.0，即 AE＝11.0，∴ MN≈11.0＋1.7＝12.7≈13，即旗 杆 MN 的高度约为 13 米．
12．(导学号： 37554016 )如图，在两建筑物之间有一旗杆 ，高 15 米 ，从 A 点经过 旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点 ，且俯角 α 为 60°，又从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 30°，若旗杆底部点 G 为 BC 的中点，则矮建筑物的高 CD 为(
B
ห้องสมุดไป่ตู้
)
5．如图，两建筑物的水平距离为a，在A点测得C点的俯角为β，测 得 D 点 的 俯 角 为 α ， 则 较 低 建 筑 物 的 高 度 为 a(tan β－tan α) _____________________ ．
6 ．下面是活动报告的一部分 ，请完成表格并根据表中数据计 算旗杆AB的高．
如图，过点 A 作 AE⊥ MN，垂足为点 E， 过点 C 作 CF⊥ MN ，垂足为点 F. 设 ME＝ x，Rt △ AME 中 ，∠ MAE ＝45°，∴ AE＝ ME＝ x，Rt △ MCF 中 ， MF＝ x＋(1.7－1.5)，CF ＝ MF ＝ 3(x＋0.2)．∵BD＝ AE＋CF，∴ x＋ 3 tan 30°
北师大版九年级数学下册利用三角函数测高测试题
1.6 利用三角函数测高1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC 的高度为A. 40 3mB. 803mC. 1203mD. 160 3m2.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m3.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．4.如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 米．第4题图第5题图第6题图5.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300，底部D 处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）6.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．8.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C 点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？M E N C A9.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1） 在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ；（2） 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m;（3） 量出测倾器的高度AC ＝h 。
利用三角函数测高
3. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ 的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测 得电线杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测 得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分别是60° 和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出 电线杆PQ的高度．若测出AB的长度为1 m， 3＋ 3 则电线杆PQ的高度是___6____m_.
解：若选择条件①，由题意得CCDE＝BACB，∴11..28＝A9B， 解得 AB＝13.5 m，∴旗杆 AB 的高度为 13.5 m. 若选择条件②，如图，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F， 则易得四边形 BCDF 是矩形，∴BF＝CD＝1.8 m，DF＝BC＝9 m， 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝52.46°， ∴AF＝DF·tan 52.46°≈9×1.30＝11.7(m)， ∴AB＝AF＋BF≈11.7＋1.8＝13.5(m)， ∴旗杆 AB 的高度约为 13.5 m.
(参考数据：sin 67.38°≈1123，cos 67.38°≈153，tABC 中，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝67.38°，∴BC＝tan∠ABACB≈1x2＝152x(米)， 5
∴BD＝BC＋CD≈152x＋11米．由题意得 AD∥EF， 则∠FED＝∠ADB，∴tan∠FED＝tan∠ADB，即DDEF＝BADB， ∴21..48≈152x＋x 11，解得 x≈12，经检验，符合题意．
变式3 [2024西安高新一中模拟]如图，小明想测量 城墙AB的高度，他在围栏点C处测量城墙顶 点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他 发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的 点D处，于是他站在D点发现他的影子落在 地上的点E处，测量得ED长为2.4米，小明身 高为1.8米，E，D，C，B在一条直线上，且 FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助 小明算出城墙AB的高．
京改版九年级数学上册 20.5.4《利用三角函数测高》 同步练习(含答案)
北京课改版九年级数学上册20.5.4《利用三角函数测高》同步练习一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为()A.11－sin αm B.11＋sin αmC.11－cos αm D.11＋cos αm2. 当测量底部可以到达的物体的高度时，如图．(1)在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α；(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝L；(3)量出测倾器的高度AC＝a，可求出MN的高度．MN ＝ME＋EN＝()A. L·tanα-aB. L·tanα＋aC. L·tanα-2aD. L·tanα＋2a3．某校九(1)班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图，则旗杆的高度为() (已知3≈1.732，结果精确到0.1米)．A. 21.9米B. 17.9米C. 15.9米D. 11.9米4．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为()A.95sin αm B.95cos αm 555. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为()A. 1200(2－1)米B. 1200(2+1)米C. 1200(3－1)米D. 1200(3+1)米6．如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的仰角α＝60°，在塔底C处测得A 点俯角β＝45°，已知塔高60米，则山高CD等于()A. 30(1＋2)米B. 30(2-1)米C. 30(1＋3)米D. 30(3-1)米7. 如图，要在宽为22 m的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为()A．(11－22)m B．(113－22) mC．(11－23) m D．(113－4) m8．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图1－BZ－6，在A处测得塔顶的仰角A. tanα·tanβtanβ+tanα·s米 B.tanα·tanβtanβ－tanα·s米C. tanα+tanβtanβ+tanα·s米 D.tanα+tanβtanβ－tanα·s米9．如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，点E离地面的高度EF是( ) (结果精确到1米，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)A．98米B．99 米C．100米D．101米10．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )A．20米B．103米C．153米D．56米二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为_________.12．如图，为了测量学校操场上旗杆BC 的高度，在距旗杆24 m 的A 处用测倾器测得旗杆顶部的仰角为30°，则旗杆的高度为____________.13. 如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是___________.14. 如图，王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，又知水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树高CD 为__________________.15．如图，在高为60 m 的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为__________.16. 如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面A 处安置测倾器测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D 的仰角为67.5°，已知测倾器AB 的高度为1.6米，则楼房CD 的高度约为(结果精确到0.1米，≈1.414)_____________.17. 如图是某小区入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.则点M到地面的距离是_____________.18. 如图是某小区的一个健身器材示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，则端点A到地面CD的距离是___________. (精确到0.1 m)．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度．已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树的高度为多少米？20．(6分)如图，两座建筑物AB与CD，其水平距离BD为30米，在从AB的顶点A处用高1.2米的测角仪AE测得CD的顶部C的仰角α＝30°，测得其底部D的俯角β＝45°，求两座建筑物AB与CD的高(精确到0.1米)．21．(6分)某中学九年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图，他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向建筑物AB 前进20 m 到达点D 处，又测得点A 的仰角为60°，求建筑物AB 的高度是多少米．22．(6分)如图，两座建筑物的水平距离BC 为60 m ，从C 点测得A 点的仰角α为53°，从A 点测得D 点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度．(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34， sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)23．(6分)如图，小强想测量楼CD 的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在A 处仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方向前进30米至B 处，测得楼顶的仰角为53°(A ，B ，C 三点在一条直线上)，求楼CD 的高度(结果精确到0.1米，小强的身高忽略不计)．24.(8分)如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10米到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C.(1)求∠BPQ的度数；(2)求树PQ的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.73)25．(8分)天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A－B－C路线对索道进行检修维护．如图，已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°，求本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米(结果精确到1米，参考数据：3≈1.732)．参考答案：1-5ABDBC 6-10CDBCA11．6 3 米12．8 3 m13．180 cm14．(24－103) m15．40 m16．35.7米17．3.9 米18．1.1 m19. 解：∵AD ＝BE ＝5 m ，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AD·tan30°＝5×33＝533(m)． ∴CE ＝CD ＋DE ＝CD ＋AB ＝533＋32(m)． 即这棵树的高度是⎝⎛⎭⎫533＋32m. 20. 解：过点E 作EF ⊥CD 于点F.在矩形EBDF 中，EF ＝BD ＝30 m ，BE ＝DF.在Rt △EFC 中，CF ＝EF·tanα＝103(m)．在Rt △EFD 中，DF ＝EF·tanβ＝30(m)． ∴CD ＝CF ＋FD ＝103＋30≈47.3(m)，AB ＝BE －AE ＝30－1.2＝28.8(m)．答：两座建筑物CD 与AB 的高分别为47.3米和28.8米．21. 解：设AB ＝x m.在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，∴BC ＝AB tan30°＝3x(m)． 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°，∴BD ＝AB tan60°＝33x(m)． 由题意知，3x －33x ＝20，解得x ＝10 3. 即建筑物AB 的高度是10 3 m.22. 解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，则DE ＝BC ＝60 m ， 在Rt △ABC 中，tan53°＝AB ，∴AB ＝4，∴AB ＝80(m)，在Rt △ADE 中，tan37°＝AE DE ，∴34＝AE 60，∴AE ＝45 m ， ∴BE ＝CD ＝AB －AE ＝35(m)，答：两座建筑物的高度分别为80 m 和35 m23. 解：设CD ＝x m ，在Rt △ACD 中，tanA ＝DC AC ，∴AC ＝x tan37°， 同法可得，BC ＝x tan53°， ∵AC －BC ＝AB ，∴x tan37°－x tan53°＝30， 解得x ＝52.3，答：楼CD 的高度为52.3米24. 解：延长PQ 交直线AB 于点C.(1)∠BPQ ＝90°－60°＝30°(2)设PC ＝x 米，在Rt △APC 中，∠PAC ＝45°，则AC ＝PC ＝x 米， ∵∠PBC ＝60°，∴∠BPC ＝30°，在Rt △BPC 中，BC ＝33PC ＝33x(米)， ∵AB ＝AC －BC ＝10，∴x －33x ＝10， 解得：x ＝15＋5 3. 则BC ＝(53＋5)米．在Rt △BCQ 中，QC ＝33BC ＝33(53＋5)＝(5＋533)米， ∴PQ ＝PC －QC ＝15＋53－(5＋533)＝10＋1033≈15.8(米)． 答：树PQ 的高度约为15.8米25. 解：如图，过点B 作BH ⊥AA 1于点H.在Rt △ABH 中，AB ＝500，∠BAH ＝30°，∴BH ＝12AB ＝12×500＝250.∴A 1B 1＝BH ＝250. 在Rt △BB 1C 中，BC ＝800，∠CBB 1＝60°，∴B 1C BC ＝sin ∠CBB 1＝sin 60°＝32. ∴B 1C ＝32BC ＝32×800＝400 3. ∴检修人员上升的垂直高度CA 1＝CB 1＋A 1B 1＝4003＋250≈943(米)． 答：检修人员上升的垂直高度CA 1约为943米．。
九年级数学北师大版下册习题课件第一章1.6 利用三角函数测高
1．(5分)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°(tan 27°≈0.
2为．_(_5_分_解_)_如__图：__，__过小_ 明m点．在楼A顶作上的A点EA处⊥测C得D楼前交一棵C树DC的D的延顶端长C的线俯角于为6点0°，E又，知水则平距A离EB＝D＝B10Cm，＝楼高78AB＝m24，m，则树高CD 8C．D∴之(15间分C的)E(距聊＝离城A中AC考为E)3如·5 图tma，，n后小站莹∠在在CM数点A学处E综测合＝得实7居践8民活t楼动anC中D，的5利8顶用°端所D≈的学7仰的8角数×为学14知5.°识6，对0＝居某民小1楼区2A居4B民.的8楼(顶mA端B)B的，的高仰度D角进E为行＝5测5°量A，，E已先·知测t居a得民n居楼民C楼DA的B高与
51解1．)：，(5过此分点时)在A旗“解作杆测A：在E量⊥水∵旗C平杆D在地交的面C高DR上度的t的”△ 延影的长子C数线的E学于长D课点度题E中为，学2则，习4Am中∠E，，＝则C某B旗CE学＝杆习D7的8小＝m高组，度5测∴8约得°C为太E(＝，阳A光tEa线·)tna与n ∠水∠C平AC面EE＝的D7夹8t角＝an为5CD82°7DE°≈7(t8，a×n 21∴7. °D≈0E. ＝tanC5D8°
解：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，设 CH＝x m，在 Rt△ACH 中，∵∠CAH＝
30°，∴BD＝AH＝tanC3H0° ＝ 3 x (m)，∴在 Rt△ECD 中，tan ∠CED＝ECDD
＝
x＋10 3x－6
＝
3
，解得 x＝5＋3
3 ，∴CD＝(15＋3
3 )(m)，∴CF＝CD－DF
解答题(共60分) 7．(14分)如图，AB是某景区内高10 m的观景台，CD是与AB底部相平的 一座雕像(含底座)，在观景台顶A处测得雕像顶C点的仰角为30°，从观景台 底部B处向雕像方向水平前进6 m到达点E，在E处测得雕像顶C点的仰角为 60°，已知雕像底座DF高8 m，求雕像CF的高．(结果保留根号)
北师大版数学九年级下册：1.6 《利用三角函数测高》 练习
1.6 利用三角函数测高基础题知识点1 测量底部可以到达的物体的高度1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(C)A.30tanα米 B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米2.如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为(C)A.5 mB.6 mC.7 mD.8 m3.如图，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是(A)A.(6＋63)米B.(6＋33)米C.(6＋23)米D.12米4.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12 m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6 m，求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据2≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28).解：过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝FC＝12 m，在Rt△AEH中，AH＝EH·tan∠AEH＝12×1.28＝15.36(m).∵∠BEH＝45°，∴BH＝EH＝12 m.∴AB＝AH－BH＝3.36≈3.4 m.答：旗杆AB的高度约为3.4 m.知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度5.如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD 6.如图所示，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔走s 米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为β，则塔高是stanαtanβtanβ－tanα米.7.盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D 处用高1.5米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，然后向电视塔前进224米到达E 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°.求电视塔的高度AB(3取1.73，结果精确到0.1米).解：设AG ＝x.在Rt△AFG 中，∵tan∠AFG＝AGFG ，∴FG＝x tan60°＝x3.在Rt△ACG 中，∵tan∠ACG＝AG CG ，∴CG＝xtan30°＝3x.∴3x －x3＝224.解得x≈193.8. ∴AB＝193.8＋1.5＝195.3(米). 答：电视塔的高度AB 约为195.3米. 中档题8.(2019·吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a ，b ，α的代数式表示旗杆AB 的高度.数学活动方案活动时间：2018年4月2日 活动地点：学校操场 填表人：林平解：计算过程：∠ADE＝α，DE ＝BC ＝a ，BE ＝CD ＝b. 在Rt△ADE 中，∠AED＝90°. ∵tan∠ADE＝AEDE ，∴AE＝DE·tan∠ADE. ∴AE＝atanα.∴AB＝AE ＋BE ＝(b ＋atanα)米.9.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7 m ，看旗杆顶部M 的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5 m ，看旗杆顶部M 的仰角为30°.两人相距30米且位于旗杆两侧(点B ，N ，D 在同一条直线上)，求旗杆MN 的高度(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数).解：过点A 作AE⊥MN，垂足为E ，过点C 作CF⊥MN，垂足为F. 设ME ＝x ，Rt△AME 中，∠MAE＝45°， ∴AE＝ME ＝x.Rt△MCF 中，MF ＝x ＋0.2， CF ＝MF tan30°＝3(x ＋0.2)，∵BD＝AE ＋CF ， ∴x＋3(x ＋0.2)＝30.∴x≈11，即AE ＝11. ∴MN＝11＋1.7≈13.答：旗杆MN 的高度约为13米. 综合题10.九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图1，第一小组用一根木条CD 斜靠在护墙上，使得DB 与CB 的长度相等，如果测量得到∠CDB ＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；(2)如图2，第二小组用皮尺量得EF 为16米(E 为护墙上的端点)，EF 的中点离地面FB 的高度为1.9米，请你求出E 点离地面FB 的高度；(3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P 处测得旗杆顶端A 的仰角为45°，向前走4米到达Q 点，测得A 的仰角为60°，求旗杆AE 的高度(精确到0.1米，参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，3≈1.732，2≈1.414). 解：(1)∵BD＝BC ，∴∠CDB＝∠DCB. ∴α＝2∠CDB＝2×38°＝76°.(2)设EF 的中点为M ，过点M 作MN⊥BF，垂足为N ，过点E 作EH⊥BF，垂足为H ， ∴MN //12EH.又∵MN＝1.9， ∴EH＝2MN ＝3.8.答：E 点离地面FB 的高度是3.8米. (3)延长AE 交PB 于点K. 设AE ＝x ，则AK ＝x ＋3.8.∵∠APB＝45°，∴PK＝AK ＝x ＋3.8. ∵PQ＝4，∴KQ＝x ＋3.8－4＝x －0.2. ∵tan∠AQK＝AKQK ＝tan60°＝3，∴x ＋3.8x －0.2＝ 3.解得x ＝3.8＋1533－1≈5.7. 答：旗杆AE 的高度约为5.7米.。
2020-2021学年北师大版数学九年级下册 1.6 利用三角函数测高 复习练习题
第一章 1.6 利用三角函数测高1．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为米.2. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示)．3.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为 m(结果精确到0.1m，3≈1.73)4．如图，已知楼AB高30米，从楼顶A处测得旗杆C的俯角为60°，又从离地面5米的一窗口E处测旗杆顶C的仰角为45°，则旗杆CD的高是米．5．如图，在坡角α为30°的山顶C上有一座电视塔，在山脚A处测得电视塔顶部B 的仰角为45°，斜坡AC的长为400 m，则电视塔BC的高为m.6. 如图，用高为1.5 m的测倾器CD测量一棵大树AB的高，测得B的仰角为α；量出测点C到物体底部A的水平距离为b；则大树的高度为m.7. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m(结果保留根号)．8．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米．9. 为了测得河北岸上电线杆MN的高度，在河的这一面电线杆的正南方向A点测量得电线杆顶点M的仰角为α，再在A点的正西方向距A点a m的B处测得A与N之间的水平角为β，则电线杆的高MN为 m.10. 如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2) mD ．(26－2) m11．如图，某飞行员于空中A 处探测到地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α＝30°，飞机到目标B 的距离AB ＝2400米，则飞机的高度AC 为( )A ．2400米B ．1200米C ．8003米D ．12003米12．如图，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高为( )A ．a 米B ．a tan α米 C.a tan β米 D ．a(tan β－tan α)米 13．如图所示，高远同学在观景塔AD 的顶端A 点处看到地面上有一条河．于是高远在这条河的两岸各选择一点B 、C ，使得点B 、C 、D 在一条直线上，并用测倾器测得B 、C 两点的俯角分别为30°和60°，已知观景塔AD 的高度是24 m ，则河宽BC 为( )A ．8 3 mB ．16 mC ．16 3 mD ．24 m14. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB ′的位置，测得∠PB ′C ＝α(B ′C 为水平线)，测角仪B ′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A.11－sin α B ．11＋sin α C.11－cos α D ．11＋cos α15. 如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )A．20(3＋1)m/s B．20(3－1)m/s C．200m/s D．300m/s16. 如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB＝45°)，在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，那么钢线ED的长度约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)17. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数)．(参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60)18. 如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)19. 阳光小学升国旗时，王刚同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得其仰角为30°，若他的双眼离地面1m，则旗杆有多高？20. 某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°.初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°(如图2)．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A、B、C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点(如图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数；(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？(精确到0.1米)(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，3≈1.73)答案：1. 30tan α2. 7tan α3. 5.14. 253－1525. 200(3－1)6. (1.5＋btan α)7. (33＋9)8. tan α·tan β·s tan β－tan α9. a ·tan α·tan β10. B11. B12. D13. C14. A15. A16. 解：设BD ＝x 米，则BC ＝x 米，BE ＝(x ＋2)米，在Rt △BDE 中，tan ∠EDB ＝BE DB ＝x ＋2x ，即x ＋2x ≈1.33，解得x ≈6.06，∵sin ∠EDB ＝BE ED， 即0.8＝8.06ED，解得ED ≈10，即钢线ED 的长度约为10米．17. 解：如图作AE ⊥CD 交CD 的延长线于E ，则四边形ABCE 是矩形，∴AE ＝BC ＝78，AB ＝CE ，在Rt △ACE 中，EC ＝AE ·tan58°≈125(m)，在Rt △AED 中，DE ＝AE ·tan48°，∴CD ＝EC －DE ＝AE ·tan58°－AE ·tan48°＝78×1.6－78×1.11≈38(m)， 答：甲、乙建筑物的高度AB 为125 m ，DC 为38 m.18. 解：过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H.在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米， ∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米，∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．故楼房AB 的高为(35＋103)米．19. 解: 如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则EC ＝AB ＝1m ，AE ＝BC ＝24m.在Rt △AED 中，DE ＝AE ·tan30°＝24×33＝83(m)， ∴DC ＝DE ＋EC ＝(83＋1)m.所以，旗杆高度为(83＋1)m.20. 解：(1)过点C 作CG ⊥AM 于点G ，如图①，∵AB ⊥AM ，DE ⊥AM ，∴AB ∥CG ∥DE ，∴∠DCG ＝180°－∠CDE ＝110°，∴∠BCG ＝∠BCD －∠GCD ＝30°，∴∠ABC ＝180°－∠BCG ＝150°；(2)当DE 与地面垂直，过点C 作CP ⊥DE 于点P ，过点B 作BQ ⊥DE 于点Q ，交CG 于点N ，如图②，在Rt △CPD 中，DP ＝CD ×cos70°≈0.51(米)，在Rt △BCN 中，CN ＝BC ×cos30°≈1.04(米)，所以，DE ＝DP ＋PQ ＋QE ＝DP ＋CN ＋AB ＝2.35(米)；当D到最高点，如图③，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt △CKD中，DK＝CD·sin50°≈1.16(米)，所以，DH＝DK＋KH＝3.16(米)，所以，DH －DE＝0.8(米)，所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米.。
利用三角函数测高测试
初中数学九年级下册第一章第六节《利用三角函数测高》（第一课时）评测练习1.如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗，经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30º，而当时测倾器离地面1.4m，求学校主楼的高度.（精确到0.1米）.2.河对岸的高层建筑AB，为测量其高，在C处由D点用测量仪测得顶端A的仰角为30º，向高层建筑物前进50m到达C´处，由D´测得顶端A的仰角为45º，已知测量仪CD=C´D´=1.2m，求建筑物AB=的高（精确到0.1米）.答案：1，如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗，经测量，得到大门的高度是5m ，大门距主楼的距离是30m ，在大门处测得主楼顶部的仰角是30º，而当时测倾器离地面1.4m ，求学校主楼的高度.（精确到0.1米）过A 作AM ⊥CD ，在Rt △ADM 中，则AB=CM=1.4, tan DM DAM AM ∠=，tan DM AM DAM =⋅∠即30DM =≈17.3 所以，CD=17.3+1.4=18.7答：学校主楼的高度是18.7米.2，河对岸的高层建筑AB ，为测量其高，在C 处由D 点用测量仪测得顶端A 的仰角为30º，向高层建筑物前进50m 到达C ´处，由D ´测得顶端A 的仰角为45º，已知测量仪CD=C ´D ´=1.2m ，求建筑物AB=的高（精确到0.1米）.延长DD ´，交AB 于点E.在Rt △AD ´E 中，由'tan 45AE D E︒=得，'D E AE = 在Rt △ADE 中，由tan 30AE DE ︒=得，DE = 所以AE -，则68.3AE =≈ 所以物体高度为AB=68.3+1.2=69.5米DA M30º A DB C E C ´ D ´。
九年级数学：利用三角函数测高
九年级数学：利用三角函数测高三角函数是函数学习的重点内容，下面是小编给大家带来的九年级数学：利用三角函数测高，希望能够帮助到大家!九年级数学：利用三角函数测高一、单选题1、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高( )米.A、B、3C、D、以上的答案都不对2、如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )A、20米B、米C、米D、米3、如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A 的高度AB为( )A、3米B、4.5米C、6米D、8米4、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长为10米，斜坡AB的坡度i=1：，则河堤高BE等于( )米A、B、C、4D、55、.某铁路路基的横断面是一个等腰梯形(如图)，若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为( )A、7mB、9mC、12mD、15m6、某地区准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为( )A、8B、9C、10D、127、如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30度的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为( )A、米B、C、40米D、10米8、如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )A、5cosaB、C、5sinaD、9、如图, 山坡AC与水平面AB成30°的角，沿山坡AC每往上爬100米，则竖直高度上升( )米A、50B、50C、50D、3010、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是( )A、10mB、10 mC、15mD、5 m11、在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米，= ，则飞机距疑似目标B的水平距离BC 为( )A、2400 米B、2400 米C、2500 米D、2500 米12、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为( )米.A、7tanαB、C、7sinαD、7cosα13、如图，C.D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为( )A、2 kmB、3 kmC、 kmD、3km14、如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC 的坡比为1：2，大坝高DE=20m，坝顶宽CD=10m，则下底AB的长为( )A、55mB、60mC、65mD、70m15、济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为( )A、47mB、51mC、53mD、54m二、填空题16、如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE=1：2时，则∠ B的正切值为________.17、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为________ 海里.(结果保留根号)18、如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4 m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA=________ m(结果保留根号).19、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD的高度为________ m .( ≈1.7)20、活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为________三、解答题21、水坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B为30°，背水坡AD坡比为1:1.5，坝顶宽DC=2米，坝高4米，求：(1)坝底AB的长;(2)迎水坡BC的坡比.22、小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E ，此时的仰角为60°，求旗杆的高度 .23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC的倾斜角为45° . 为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 . 若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除?(参考数据：≈1.414，≈1.732)24、如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0.5的迎水坡AB，已知AB=4 米，则河床面的宽减少了多少米.(即求AC的长)25、在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C 处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离.(单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数)答案部分一、单选题1、【答案】B2、【答案】A 3、【答案】B 4、【答案】A 5、【答案】D 6、【答案】C 7、【答案】C 8、【答案】B 9、【答案】C 10、【答案】A 11、【答案】D 12、【答案】A 13、【答案】B 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】17、【答案】4018、【答案】(4+ )19、【答案】32.420、【答案】三、解答题21、【答案】解：(1)如图，作CF⊥AB，DE⊥AD，垂足分别为点F，E.∴四边形CDEF是矩形.∴CF=DE=4，EF=CD=2.∴BF=CFcot30°= ，AE=1.5DE=6.∴AB=BF+EF+AE= +2+6= +8(2)∵CF=4，BF= ，∴迎水坡BC的坡比为：CF/BF= .22、【答案】解：如图，∵∠ADG=30°，AFG=60°，∴∠DAF=30°，∴AF=DF=10，在Rt△FGA中，AG=AF•sin∠AFG=10× =5 ，∴AB=1.5+5 .答：旗杆AB的高度为(1.5+5 )米 .23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=BD-AB=(10 -10)米≈7.32米，∵3+7.32=10.32>10，∴需要拆除 .24、【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x.x2+(2x)2=AB2 ，x2+(2x)2=(4 )2 ，x=4.答：河床面的宽减少了4米.25、【答案】解：设绳子AC的长为x米;在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图所示：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7(m)，EC=EB﹣CB=x•cos45°﹣x×cos60°=10× ﹣10× ≈2.1(m);答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m.。
1.6 利用三角函数测高(练习)(解析版)
第一章直角三角形的边角关系
第六节利用三角函数测高
精选练习
参考答案与试题解析
基础篇
一．选择题（共8小题）
1．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）
A．俯角67°方向B．俯角23°方向
C．仰角67°方向D．仰角23°方向
【答案】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、仰角；熟记仰角定义，求出∠BAC＝23°是解题的关键．2．（2020•徐汇区一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．。
初三利用三角函数测高试题与答案
学号封区内容考试类型考试【】考查【】命题人绝密★启用前利用三角函数测高测试时间:30分钟一、选择题1、如下图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一座隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A、B两地之间的距离为()A.800sin α米B.800tan α米C.800sinα米 D.800tanα米2、数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意图如下图所示,在D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°,D离旗杆的距离DE为6米,测角仪CD的高度为1米,设旗杆AB的高度为x米,则下列关系式正确的是()A.tan 55°=6x-1B.tan 55°=x-16C.sin 55°=x-16D.cos 55°=x-163.、小明同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如下图,已知她的身高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)()A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米4、秦岭公园是陕西最早的私家园林,前身为礼园,是国家AAA级旅游景区,园内有一瞰胜楼,登上楼就能欣赏到陕西的优美景色,周末小嘉同学游览秦岭公园,如下图,在点A处观察瞰胜楼楼底C的仰角为12°,楼顶D的仰角为13°,BC是一斜坡,测得AE=1 200 m,点B与CD之间的水平距离BE=450 m,BC的坡度i=8∶15,则瞰胜楼的高度CD为(参考数据:tan 12°=0.2,tan 13°=0.23)()A.34 mB.35 mC.36 mD.37 m5、如下图,某人为了测量华山上的“塔式佛教圣灯”ED的高,他在山下点A处测得塔尖D的仰角为45°,沿AC方向前进24.40 m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°,塔底点E的仰角为30°,那么“塔式佛教圣灯”ED的高度约为()(参考数据:√3≈1.7,√2≈1.4,结果保留两位小数)A.35.78 mB.38.23 mC.39.53 mD.40.52 m二、填空题6、如下图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°,30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为米(结果保留根号).三、解答题7、如下图,西安国际金融中心主楼BC高达452 m,是目前湖南省第一高楼,和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340 m,为了测量高楼BC上发射塔AB的高度,在楼DE底端D点测得A的仰角为α,sin α=2425,在顶端E点测得A的仰角为45°,求发射塔AB的高度.8、2019年9月8日—10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如下图,某选手从离水平地面1 000米高的A点出发(AB=1 000米),横线以内不许答题沿俯角为30°的方向直线飞行1 400米到达D 点,然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C 点,求该选手飞行的水平距离BC.9.如下图,某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2 m 的影子CE,而当光线与地面的夹角是45°时,教学楼顶部点A 在地面上的影子F 与墙角C 有13 m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上). (1)求教学楼AB 的高度;(2)学校要在A 、E 之间挂一些彩旗,请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数).(参考数据:sin22°≈38,cos22°≈1516,tan22°≈25)参考答案一、选择题1.答案 D 根据题意得,∠CBA=α,AC ⊥AB,AC=800米,在Rt △ABC 中,tan α=ACAB ,∴AB=ACtanα=800tanα(米). 2.答案 B ∵在Rt △ADE 中,DE=6米,AE=AB -BE=AB -CD=(x -1)米,∠ADE=55°,∴tan 55°=AE DE =x -16. 3.答案 C 如下图,过点O 作OE ⊥AC,交AC 的延长线于点E,延长BD 交OE 于点F, 设DF=x 米,∴BF=(3+x)米,∵tan 65°=OFDF ,∴OF=xtan 65°米, ∵tan 35°=OF BF,∴OF=(3+x)tan 35°米, ∴2.1x=0.7(3+x),∴x=1.5, ∴OF=1.5×2.1=3.15米,∴OE=OF+EF=3.15+1.5=4.65≈4.7米,故选C.4.答案 C ∵∠DAE=13°,∠CAE=12°,AE=1 200 m,∴在Rt △ADE 中,DE=AE·tan ∠DAE=1 200×0.23=276 m,在Rt △ACE 中,CE=AE·tan ∠CAE=1 200×0.2=240 m,∴DC=DE -CE=276-240=36 m,即瞰胜楼的高度CD 为36 m.故选C.5.答案 B 由题知,∠DBC=60°,∠EBC=30°, ∴∠DBE=∠DBC -∠EBC=60°-30°=30°.又∵∠BCD=90°,∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°. ∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.设EC=x m,则BE=2x m,∴BC=√BE 2-EC 2=√(2x )2-x 2=√3x m,CD=x+2x=3x m, 由题知,∠DAC=45°,∠DCA=90°, ∴△ACD 为等腰直角三角形,∴AC=CD, ∴√3x+24.40=3x,解得x=183+61√315. ∴2x=2×183+61√3≈38.23. 答:塔高约为38.23 m.故选B.二、填空题6.答案 (1 200√3-1 200)解析 在Rt △AHC 中,∠CAH=∠DCA=45°,所以AH=CH=1 200米,在Rt △BHC 中,∠CBH=∠DCB=30°,tan ∠CBH=CHBH ,所以BH=1 200√3米,所以AB=BH -AH=(1 200√3-1 200)米.三、解答题横线以内不许答题7.解析 作EH ⊥AC 于H,则四边形EDCH 为矩形,∴EH=CD,CH=DE=340 m.在Rt △ADC 中,sin α=AC AD =2425,设AC=24x m,∴AD=25x m,由勾股定理得,CD=√AD 2-AC 2=7x m,∴EH=7x m, 在Rt △AEH 中,∠AEH=45°,∴AH=EH=7x m,由题意得,24x=7x+340,解得x=20,则AC=24x=480 m,∴AB=AC -BC=480-452=28 m. 答:发射塔AB 的高度为28 m.8.解析 如下图,过点D 作DE ⊥AB 于点E,DF ⊥BC 于点F, 由题意知∠ADE=30°,∠CDF=30°,在Rt △DAE 中,AD=1 400米,∠ADE=30°,cos ∠ADE=DEAD ,∴AE=12AD=12×1 400=700米, DE=1 400×√32=700√3米.∴EB=AB -AE=1 000-700=300米, ∴DF=BE=300米,在Rt △CDF 中,DF=300米,∠CDF=30°,tan ∠CDF=FCDF , ∴FC=DF·tan ∠CDF=300×√33=100√3米,∴BC=BF+FC=DE+FC=700√3+100√3=800√3(米).答:该选手飞行的水平距离BC 为800√3米.9.解析 (1)如下图,过点E 作EM ⊥AB,垂足为M.设AB=x m.在Rt △ABF 中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x m. ∴BC=BF+FC=(x+13)m.在Rt △AEM 中,∠AEM=22°,AM=AB -BM=AB -CE=(x -2)m,EM=BC=(x+13)m, ∴tan 22°=AM EM =x -2x+13≈25, ∴x≈12.∴教学楼AB 的高度约为12 m. (2)由(1)可得ME=BC=x+13=12+13=25(m). 在Rt △AME 中,cos 22°=ME AE, ∴AE=ME≈251516≈27 m,即A 、E 之间的距离约为27 m.。
利用相似和三角函数测高问题
测高问题相似测高问题中，山或者房屋都是垂直于底面的，人或者仪器也是垂直于地面的，所以，这类题目中要利用平行关系构造“A”字型和”8”字型相似求解。
课堂练习某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园。
小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力。
他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量。
方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米。
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度。
如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞。
工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A. B. C，点B. C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离。
如图,一束平行光线从教室窗户射入,光线与地面所成的∠AMC=30∘,在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，求窗户上檐到教室地面的距离AC 的长。
为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B （树底）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB 的高度．小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在点'C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ．已知小军的眼睛距地面1.7m ，量得'12CC =m ， 1.8CF = m ，'' 3.84C F = m.求这棵古松树的高度.如图，PQ 与AB 之间的区域是渭河河道，AB 与CD 之间的区域是河堤路，PQ ∥AB ∥CD ，点P 处是一电视塔，点E,F 是河堤路边上距离为150m 的两棵树，河堤路的宽度是60m ，当小明走到G 处时发现，点P,E,G 在同一直线上，又继续向前走了180m ，到达点H 处，发现此时点P 、F 、H 在同一直线上，试求点P 到CD 的距离。
初中-数学-人教版-6 利用三角函数测高 同步训练
6 利用三角函数测高 同步训练基础巩固如图，沿AC 的方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上取一点B ，使145ABD ∠=︒，500m BD =，55D ∠=︒.要使,,A C E 成一直线，那么开挖点E 到点D 的距离是（ ）A. 500sin55m ︒B. 500cos55m ︒C. 500tan55m ︒D. 500m sin55︒如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务．当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向．海监船继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向．海监船保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为（ ）A. 40海里B. 60海里C. 海里D. 海里如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB .已知观测点C 到旗杆的距离CE =，测得旗杆顶部A 的仰角为30°，旗杆底部B 的俯角为45°，则旗杆AB 的高度是（ ）A. ()24mB. ()8mC. ()24mD. ()8m 9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东30°方向，则在B处船与小岛M的距离是______海里．如图，为测量某观光塔的高度CD，一人先在附近一楼房的底端A处测得观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处测得观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房AB=，根据以上信息可求得观光塔的高度CD=______m．的高度45m如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1m的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，求电视塔的高度AB（单位：m）．如图，某人为了测量山顶上塔ED的高度，他在山下的A处测得塔尖D点的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚B点处，测得塔尖D点的仰角为60°，塔底E点的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）提高训练某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB.如图，为了测量雕塑AB的高度，小明在二楼找到一点C，利用直角三角尺测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°.小CD=m，求雕华在五楼找到一点D，利用直角三角尺测得A点的俯角为60°.若已知10塑AB的高度．（结果精确到0.1m 1.73≈）．某兴趣小组用高为a 的仪器测量建筑物CD 的高度．如图，在距建筑物CD 一定距离的A 处用仪器测得建筑物顶部D 的仰角为在，在A 和C 之间选一点B ，在B 处用仪器测得建筑物顶部D 的仰角为a .若A ，B 之间的距离为b ，tan a m =，tan n β=，求建筑物CD 的高度．（最后的结果用含,,,a b m n 的式子来表示）某岛东西长约3650m .如图，某海警船巡航到点D 处时，测得该岛最西端（A 点处）的方向角为北偏西67.5°，最东端（B 点处）的方向角为北偏西30°.已知此时海警船到直线AB 的距离是2000m .根据以上数据，求该岛东西长度AB ，并比较你的计算结果与实际长度的误差．（结果精确到整数，参考数据：sin67.50.924︒≈，cos67.50.383︒≈，tan67.5 2.414︒≈1.732）答案第1页，共3页 参考答案1、【答案】B【分析】【解答】2、【答案】D【分析】【解答】3、【答案】D【分析】【解答】4、【答案】)201 【分析】【解答】5、【答案】135【分析】【解答】6、【答案】解∵30ACE ∠=︒，60AEG ∠=︒，∴100m AE CE DF ===，∴AG =．∵1m BG CD ==，∴(()1m AB AG GB =+=+．【分析】【解答】7、【答案】解：由题意知60DBC ∠=︒，30EBC ∠=︒，∴603030DBE DBC EBC ∠=∠-∠=︒-=︒︒∵90BCD ∠=︒，∴9030BDC DBC ∠=-∠=︒︒，∴DBE BDE ∠=∠，∴BE DE =．设m EC x =，则22m DE BE EC x ===，23m DC EC DE x x x =+=+=，m BC =． 由题意可知45DAC ∠=︒，90DCA ∠=︒，60m AB =，∴ACD △为等腰直角三角形，∴AC DC =．603x +=，解得30x =+260x =+∴塔ED 的高度为(60m +．【分析】【解答】8、【答案】解：如图，过点C 作CE AB ⊥于点E ．∵906030D ︒︒∠=-=︒，903060ACD ∠=-=︒︒︒ ∴90CAD ∠=︒∵10m CD =， ∴()11105m 22AC CD ==⨯=．在Rt ACE △中， ()5sin 5sin 0m 32AE AC ACE =⋅︒=⋅∠=， )cos 5cos30m CE AC ACE =⋅∠=⋅︒=． 在Rt BCE △中，∵45BCE ∠=︒，∴)tan 45tan 45m BE CE ︒︒=⋅=．∴)()551 6.8m 22AB AE BE =+=+=≈． ∴雕塑AB 的高度约为6.8m ．【分析】【解答】9、【答案】解：作CD 与EF 的延长线，交于点G .设DG x =．在Rt DGF △中，tan DG GF α=，即tan x GFα=． 在Rt DGE △中，tan DG GE β=，即tan x GEβ=． ∴tan x GF α=，tan x GE β=，∴tan tan x x b βα=-． ∴tan tan tan tan b x αβαβ-=，∴bmn CD DG GC a m n=+=+-． 【分析】答案第3页，共3页 【解答】10、【答案】解：由题意得67.5ADC ∠=︒，30BDC ∠=︒，2000m CD =． 在Rt ADC △中，()2000tan 67.54828m AC =⨯︒≈． 在Rt BDC △中，()2000tan 301155m BC =⨯︒≈． ∴()482811553673m AB AC BC =-≈-=， 误差为()3673365023m -=．【分析】【解答】。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1-6利用三角函数测高》同步练习题(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步练习题（附答案）1．如图，小华站在水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠FDC＝30°，若小华的眼睛与底面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米．BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度i＝4：3，坡长AB为8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为（）米（≈1.732，结果精确到0.1米）A．8B．8.1C．8.3D．8.42．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14m到达D，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为（）A．m B．m C．m D．m 3．如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC为1.6m，则树的高度BD为（）A．8m B．9.6m C．（4）m D．（8+1.6）m4．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为（）米．A．30 B．30﹣30C．30D．305．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其东北方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）海里．A．15+15B．30+30C．45+15D．606．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝40m，DE＝10m，则障碍物B，C两点间的距离为m．（结果保留根号）7．为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．8．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为米．9．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶D的仰角为20°，教学楼底部B的俯角为30°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m．（结果精确到0.1m．参考数据tan20°≈0.36，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，≈1.73）（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．10．如图，亮亮在教学楼距水平地面5米高的窗口C处测得正前方旗杆顶部A点的仰角为45°，旗杆底部B点的俯角为30°，升旗时国旗上端挂在距地面2米处，若国旗随国歌冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端．（1）求旗杆AB的高度；（精确到0.1米）（2）国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：＝1.41，＝1.73）11．一货轮在A处测得灯塔P在货轮的北偏西23°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，1小时后到达B处，此时又测得灯塔P在货轮的北偏西60°的方向上，求此时货轮距灯塔P的距离（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．12．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于某山顶的一座雕像的高度．已知山的坡度i＝1：，山高BC＝300米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米到达E 处，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．13．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，BP ＝6km．（1）求A、B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向前行，求观测站B与小船的最短距离．14．如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00在点A处测得小岛O在北偏东60°方向的16km处；上午8：30轮船到达B处，测得小岛O在北偏东30°方向．（1）求轮船从A处到B处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？15．如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，在顶端E点测得A的仰角∠AEF＝45°，（1）若设AB为x米，请用含x的代数式表示AF的长．（2）求出发射塔AB的高度．（cosα≈，sinα≈，tanα≈）16．如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠P AD＝），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；（2）求建筑物MN的高度．17．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试航任务．某日航母在南海海域试航，如图，海中有一个小岛A，并测得该岛四周10海里内有暗礁，航母由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后如果航母继续向东航行，途中会有触礁的危险吗？（参考数据：sin55°＝0.8，cos55°＝0.6，tan55°＝1.4，sin25°＝0.4，cos25°＝0.9，tan25°＝0.5）18．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度CD多少米？（结果保留根号）19．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向，轮船沿着北偏东60°的方向航行16km后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向．求灯塔P与B之间的距离（结果保留根号）．20．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．（结果保留根号）21．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．22．某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．23．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）24．如图，一艘渔船以16海里/小时的速度由西向东航行，上年10点在A处测得海中小岛C在北偏东60°方向上，10点30分航行到B处，在B处测得小岛C在东北方向上．（1）求小岛C到航线的距离（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）；（2）小岛C周围10海里内有暗礁，如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？判断并说明理由．25．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．（1）求∠BAD的度数；（2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？26．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）参考答案1．解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．∵i＝＝，AB＝8米，∴BE＝，AE＝．∵DG＝1.6，BG＝0.7，∴DH＝DG+GH＝1.6+＝8，AH＝AE+EH＝+0.7＝5.5．在Rt△CDH中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝8，tan30°＝＝，∴CH＝8．又∵CH＝CA+5.5，即8＝CA+5.5，∴CA＝8﹣5.5（米）≈8.4（米）．故选：D．2．解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴BC＝AB．设AB＝x（米），∵CD＝14，∴BC＝x+14．∴x+14＝x∴x＝7（+1）．即铁塔AB的高为7（+1）米．故选：B．3．解：在Rt△CBH中，∠HCB＝45°，CH＝8m，∴，∴HB＝CH•tan∠HAB＝8×tan45°＝8m，∴HD＝HB+AC＝8+1.6＝9.6．答：树的高度为9.6m．故选：B．4．解：如图，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，BC＝30m，∵tan∠DBC＝，∴CD＝BC•tan60°＝30m，∴甲建筑物的高度为30m；在Rt△AFD中，∠DAF＝45°，∴DF＝AF＝BC＝30m，∴AB＝CF＝CD﹣DF＝（30﹣30）m，∴乙建筑物的高度为（30﹣30）m．故选：B．5．解：作BD⊥AP，垂足为D，根据题意，得∠BAD＝45°，∴AC＝PC，即30+BC＝PC，又∵∠BPC＝30°，∴BP＝2BC，PC＝＝BC，∴30+BC＝BC，即BC＝＝15（+1），∴BP＝2BC＝30（+1）＝30+30．故选：B．6．解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝30m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝30m．在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（30﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（30﹣10）m．7．解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．8．解：作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．则∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，CD＝270米．在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，∴AD＝＝90（米）．在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴BD＝AD•tan30°＝90×＝90（米）．∴BC＝CD﹣BD＝270﹣90＝180（米）．答：这栋大楼的高为180米．故答案为180．9．解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE＝20°，∠BCE＝30°，∴∠BCD＝∠DCE+∠BCE＝20°+30°＝50°；（2）由题意得：CE＝AB＝30m，在Rt△CBE中，BE＝CE•tan30°≈17.32m，在Rt△CDE中，DE＝CE•tan20°≈10.8m，∴教学楼的高BD＝BE+DE＝17.32+10.8≈28.1m，则教学楼的高约为28.1m．10．解：（1）如图，作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，BH＝5米，∴CH＝BH＝5（米），在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，∴AH＝HC＝5（米），∴AB＝AH+BH＝5+5≈13.7（米）．（2）国旗上升的速度＝≈0.26（米/秒）．11．解：由题意可知：∠P AB＝53°，由平行线的性质可知∠PBA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵AB＝80×1＝80（海里），在Rt△APB中，∵∠P AB＝53°，AB＝80，∴PB＝AB•tan53°＝80×＝海里，答：此时货轮距灯塔P的距离为海里．12．解：由题意知，tan D＝i＝，即∠D＝30°，∠DBC＝60°过E作EF⊥AC于F，得∠BEF＝∠D＝30°，而∠AEF＝60°∴∠AEB＝∠A＝30°，∴AB＝BE由于BD＝2BC＝600，而DE＝540，故EB＝60∴AB＝60答：雕像AB的高度为60米．13．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD＝x，所以∠PBD＝45°即km因为∠P AD＝90°﹣60°＝30°，所以km所以A、B观测站距离：km（2）∵小船在北偏西60°的方向，∴∠F AB＝30°，∴BF＝km．14．解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D．由题意知：∠OAD＝30°，∠OBD＝60°．在Rt△OAD中，∵OA＝16，∠OAD＝30°，∴OD＝8，AD＝24．在Rt△OBD中，∵OD＝8，∠OBD＝60°．∴BD＝＝＝8，∴AB＝AD﹣BD＝24﹣8＝16（km），∴v＝＝32（km/h）答：轮船从A处到B处的航速为32km/h．（2）过点O作∠DOE＝45°交AD的延长线于点E．∵∠DOE＝45°，∠ODE＝90°，∴DE＝OD＝8km，BE＝BD+DE＝8+8（km），∵＝（h），答：轮船按原速继续向东航行，还需要航行小时才恰好位于小岛的东南方向．15．解：（1）∵四边形EDCF为矩形，∴ED＝CF＝340m，又AC＝（452+x）m∴AF＝AC﹣CF＝452+x﹣340＝（112+x）m；（2）在Rt△AEF中，∵∠AEF＝45°，∴EF＝AF＝（112+x）m＝CD在Rt△ADC中，∵∠ADC＝α，∴tanα＝∴，∴x＝28答：发射塔AB的高度为28m．16．解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．∵tan∠P AD＝＝，PD＝5，∴AD＝15，P A＝＝5（米），∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5米．（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，∴∠PNH＝∠NPH＝45°，∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，在Rt△AMN中，∵tan60°＝，∴MN＝AM，∴x＝5+（x﹣15）解得x＝（10+25）（米），∴MN＝x+5＝（10+30）米．17．解：如图，作AD⊥BC于点D，设AD＝x海里，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝25°，∴CD＝AD•tan25°＝tan25°•x．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝55°，∴BD＝AD•tan55°＝tan55°•x．∵BD﹣CD＝BC，∴tan55°•x﹣tan25°•x＝20，∴x＝≈＝＞10，因为A岛到货轮的航线的最短距离大于10，所以不可能触礁．18．解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝60m，∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30（m）19．解：过点P作PH⊥AB于点H，由题意得∠P AB＝30°，∠PBA＝45°，设PH＝x，则AH＝x，BH＝x，PB＝x，∵AB＝16，∴x+x＝16，解得：x＝8﹣8，∴PB＝x＝8﹣8，答：灯塔P与B之间的距离为（8﹣8）km．20．解：过点C作CF⊥AB于点F，如右图所示，由题知：四边形CDBF为矩形，BD＝12米，∴CF＝DB＝12米，∵在Rt△ACF中，∠ACF＝45°，∴，∴AF＝12米，∵在Rt△CEF中，∠ECF＝30°，∴，∴，∴米，∴AE＝AF+EF＝（12+4）米，即条幅AE的长度为米．21．解：作BC⊥P A交P A的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．22．解：由题意可得，∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠AED，∴ED＝AD，∴AD＝15米，∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC＝米，AC＝米，∴AH＝AC+CH＝+＝米，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝∠DBC，∴BC＝CD＝米，∴AB＝AC﹣BC＝﹣＝米，即AH＝米，AB＝米．23．解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝，∴tan22°＝，即，解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米；（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，∴sin22°＝，∴AB＝32，即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．24．解：（1）过C作CD⊥AB于D，由题意得，∠CAB＝30°，∠DBC＝45°，AB＝16×＝8（海里），∵∠BDC＝90°，∴BD＝CD，在Rt△ACD中，AD＝＝CD，∵AB＝AD﹣BD＝CD﹣CD＝8，∴CD≈11（海里），答：小岛C到航线的距离是11海里；（2）没有触礁的危险，理由：∵CD＝11＞10，∴没有触礁的危险．25．解：（1）∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°．（2）过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离．∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°．∴∠ABD＝∠BAD．∴BD＝AD＝12海里．∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴AC＝AD•cos∠CAD＝≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．26．解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．答：B、C两地的距离大约是6千米．。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习
第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF⊥BC，⊥AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．2．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0 刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（）A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（2）（1）C．（4）（2）（3）（1）D．（3）（4）（2）（1）3．如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．(5√33+32)m B．(5√3+32)m C．5√33m D．4m4．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°评卷人得分二、填空题5．如图，一辆小车沿着坡度为1:3i=的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.6．如图，某同学用一个有60︒角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度．他将与60︒角相邻的直角边水平放在1.5m高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为5m，则旗杆AB的高度约为________m.（结果精确到lm，3取1.73）7．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C 点的俯角为60°,则建筑物CD的高为________m．8．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼高_____m（结果保留根号）．9．如图，一艘潜艇在海面下500m深的点A处，测得正前方俯角为31°方向上的海底有黑匣子发出信号，潜艇在同一深度保持直线航行500m，在点B处测得海底黑匣子位于正前方俯角36.9°的方向上，海底黑匣子C所在点距海面的深度为________m．（精确到1，m．参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin31°≈0.51，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）10．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC，若⊥B=56°，⊥C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）11．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．12．某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是______________米．13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得8CD=，20BC=米，CD与地面成30角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．14．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1：5，则AC的长度是_____cm．评卷人得分三、解答题15．如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）.16．如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往著名的电视塔观光，他在A处望塔顶C的仰角为30°，继续前行250m后到达B处，此时望塔顶的仰角为45°．已知这位游客的眼睛到地面的距离约为170cm，假若游客所走路线直达电视塔底．请你计算这座电视塔大约有多高？（结果保留整数. ≈1.7，≈1.4；E，F分别是两次测量时游客眼睛所在的位置．）17．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得15AB BE ED CD====cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时⊥ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：3≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器)图1图2图318．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12米，求旗杆AB 的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：3≈1.73，2≈1.41．19．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．20．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）21．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米．现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长均为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且⊥DAB=66°．(1)求点D与点C的高度差DH的长度；(2)求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，cot66°≈0.45）22．某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方D处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点A与居民楼的水平距离AB是15米，且在点A测得第一次施救时云梯与水平线的夹角⊥CAB＝45°，第二次施救时云梯与水平线的夹角⊥BAD＝55°，求C、D两点间的距离（结果精确到0.1米）.【参考数据：sin55°＝0.82；cos 55°＝0.57，tan55°＝1.43】23．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（3取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．24．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为203米．(1)求出大厦的高度BD；(2)求出小敏家的高度AE.25．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角⊥BAF=30°，⊥CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（2 1.414，CF结果精确到米）参考答案：1．A【解析】【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF⊥BC知⊥ADE=90°，由⊥AEF=143°知⊥AED=37°，根据sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．⊥AB⊥BC，EF⊥BC，⊥BD⊥DF，即⊥ADE=90°．⊥⊥AEF=143°，⊥⊥AED=37°．在Rt⊥ADE中，⊥sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米，⊥AD=AE•sin⊥AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．2．C【解析】【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；故选择：C.【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．3．A【解析】【详解】先根据题意得出AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，在Rt⊥ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD =AD•tan30°=5×33=533，由CE=CD+DE=533+1.5（m）．故选A.点睛：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．4．C【解析】【详解】试题分析：由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出⊥BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出⊥BAO=50°，以及求出⊥BAD的度数，得出点B位于点A的方向，故本题选C．点睛：本题主要考查的就是方位角的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要能够根据已知的条件得出各个角的度数，从而求出问题中所要求的角的度数．在解决这种类型的题目时，我们还要注意参照物是那个物体，就要以参照物为标注建立方位图，从而得出答案．5．25【解析】【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了3x米．根据勾股定理可得：x2＋（3x）2＝502．解得x＝25．即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．故答案为：25.【点睛】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan （坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．6．10【解析】【分析】在⊥ACE中，CE⊥AE，tan⊥ACE=AECE，由此可得AE，AB=AE+BE=AE+CD．【详解】解：由题意可知，在⊥ACE中，CE⊥AE，且⊥ACE=60°，BD=5，而tan⊥ACE=AE CE，⊥AE＝CE×tan60°＝53≈8.6．又⊥EB=1.5，⊥AB=AE+EB≈10（米）．故答案为10.【点睛】解题的关键是把实际问题抽象到解直角三角形中，然后利用三角函数的定义解决问题．7．203m【解析】【分析】延长CD交AM于点E．在Rt⊥ACE中，可求出CE；在Rt⊥ADE中，可求出DE．CD=CE-DE．【详解】解：延长CD交AM于点E，则AE=30．⊥30103DE AE tan=⨯︒=．同理可得303CE．=⊥203CD CE DE=-=（米）故答案为203【点睛】考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．8．1603【解析】【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：在Rt⊥ABD中，⊥⊥BAD=30°，AD=120m，⊥BD=ADtan30°=120×33=403m，在Rt⊥ACD中，⊥⊥CAD=60°，AD=120m，⊥CD=ADtan60°=120×3=1203m，BC=BD+CD=1603m．即这栋楼高为1603m．故答案为1603．考点：仰角与俯角的计算．9．2000.【解析】【详解】试题解析：作CD⊥AB于D，设CD=xm ，则AD=5tan 3CD DAC =∠xm ， BD=4tan 3CD DBC =∠xm ， 由题意得，AD-BD=500m ，即53x-43x=500， 解得，x=1500m ，1500+500=2000m.考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．10．60【解析】【分析】 根据题意和图形可以分别表示出AD 和CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决．【详解】⊥⊥B=56°，⊥C=45°，⊥ADB=⊥ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ⊥BD=tan 56AD ︒，CD=tan 45AD ︒， ⊥tan 56AD ︒+tan 45AD ︒=100， 解得，AD≈60 考点：解直角三角形的应用．11．58【解析】【详解】试题分析：直接利用锐角三角函数关系得出EC 的长，进而得出AE 的长，进而得出答案．如图所示：由题意可得：CE⊥AB 于点E ，BE=DC ， ⊥⊥ECB=18°48′， ⊥⊥EBC=78°12′， 则tan78°12′=10EC EC BE ==4.8， 解得：EC=48（m ）， ⊥⊥AEC=45°，则AE=EC ，且BE=DC=10m ，⊥此塑像的高AB 约为：AE+EB=58（米）．考点：解直角三角形的应用12．2400.【解析】【详解】试题解析：根据题意，飞机到控制点的距离是1200sin 30︒=2400（米）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．13．（14+23）米【解析】【分析】过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．⊥CD =8，CD 与地面成30°角，⊥DE =12CD =12×8=4，根据勾股定理得：CE =22CD DE -=2242-2284-=43．⊥1m 杆的影长为2m ，⊥DE EF =12， ⊥EF =2DE =2×4=8，⊥BF =BC +CE +EF =20+43+8=（28+43）．⊥AB BF =12，⊥AB=12（28+43）=14+23．故答案为（14+23）．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．14．240【解析】【详解】试题分析：如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答即可．解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．⊥tan⊥BCA==⊥DC=300cm，⊥AC=DC﹣AD=300﹣60=240（cm）．答：AC的长度是240cm，故答案为240．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15．15.54米【解析】【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．【详解】解：在Rt△ACE中，⊥ACE=α=35°，CE=BD=20，⊥tan⊥ACE=AE CE，⊥AE=CE•tan⊥ACE=20•tan35°14.004，⊥AB=AE+BE= 14.004+1.54≈15.54（米）．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．电视塔大约高339米．【解析】【详解】试题分析：根据CG和⊥CFG、CG和⊥CEG可以求得FG、EG的长度，根据EF=EG﹣FG 可以求出CG的长度，即可解题．试题解析：延长EF交CD于G，在Rt⊥CGF中，FG==CG，Rt⊥CGE中，EG==CG，⊥EF=EG﹣FG，⊥CG==125（+1）≈337.5米170cm=1.7，337.5+1.7≈339米．答：电视塔大约高339米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．17．(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°(2)台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°【解析】【分析】（1）由题意得：17.52DF CD==cm，EF CD⊥，根据1cos2DFDDE∠==，可求D∠；（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得31531522EF=⨯=，根据cos0.134BHABHAB∠=≈，可得ABH∠的值，进而可求ABE∠的值．(1)解：由题意得，17.52DF CD==cm，EF CD⊥，⊥1cos2DFDDE∠==⊥60D∠=︒⊥平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．(2)解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，⊥30HF=⊥31531522EF=⨯=⊥15330152BH BE EF=--=-⊥cos0.134BHABHAB∠=≈⊥82.30ABH∠≈︒⊥18097.70ABE ABH∠=︒-∠=︒⊥台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的余弦值求角度．解题的关键在于找出线段的数量关系．18．约是5.3米．【解析】【分析】由条件易得BE =DE =20，在Rt △BCE 中，利用三角函数求得BC 的长，进而可求AB ．【详解】解：⊥⊥BEC =⊥BDE +⊥DBE ，⊥⊥DBE =⊥BEC -⊥BDC =60°-30°=30°，⊥⊥BDE =⊥DBE ，⊥BE =DE =20，在Rt △BCE 中，⊥BCE =90°，sin⊥BEC =BC BE ， ⊥3sin 2010310 1.7317.32BC BE BEC =⋅∠=⨯=≈⨯=（米）， ⊥AB =BC -AC =17.3-12=5.3（米），答：旗杆AB 的高度约为5.3米．【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明BE ＝DE ，掌握三角形函数定义． 19．旗杆AB 的高度是（83+8）米．【解析】【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB ）×33=BD×1，解得BD ，从而可以求得AB 的高度． 【详解】，解：由题意可得，CD=16米，⊥AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，⊥CB•tan30°=BD•tan45°，⊥（CD+DB ）×33=BD×1， 解得BD=83+8，⊥AB=BD•tan45°=（83+8）米，即旗杆AB 的高度是（83+8）米．20．10.5米．【解析】【分析】设CD=x 米，由已知可得DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，利用⊥A 的正切求出x 的值即可.【详解】设CD=x 米，⊥⊥DBC=45°，⊥DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，tan⊥A=CD AD， ⊥tan35°=5.4+x x ， 解得：x=10.5，所以大树的高为10.5米．【点睛】 本题考查了俯角、仰角的定义，借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.21．(1)1.2米；(2)约为4.9米．【解析】【分析】（1）根据“每级小台阶都为0.4米”即可求得高度差DH 的长度；（2）过点B 作BM ⊥AH ，垂足为M ，由题意得：MH ＝BC ＝AD = 1，66A ∠=，即可求得AM 的长，在Rt △AMB 中，根据⊥A 的余弦函数即可求得AB 的长，从而可以求得结果．(1)解：由题意得，DH ＝0.43⨯＝1.2（米）；答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米；(2)解：过点B作BM⊥AH，垂足为M，由题意得：⊥BCH＝⊥CHM＝⊥BMH＝90°，⊥ 四边形BCHM是矩形，MH＝BC＝AD= 1，⊥ AM＝AD+DH－MH＝1+1.2－1＝1.2，在Rt⊥AMB中，⊥A＝66°，⊥cosAMAAB =，⊥AB＝1.22.92cos660.41AM≈=︒（米），⊥ l ＝AD＋AB＋BC1 2.921 4.9≈++≈（米），答：所用不锈钢材料的总长度约为4.9米．【点睛】解直角三角形的应用是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．22．C、D两点间的距离约为6.5米．【解析】【详解】试题分析：要求线段CD的长，可以先求线段BC和BD的长. 根据已知条件易知⊥ABC是等腰直角三角形，根据线段AB的长可以求得线段BC的长. 根据已知条件可以利用Rt⊥ABD和⊥BAD 的正切值求得线段BD的长. 利用线段BC和BD的长即可求得线段CD的长.试题解析：⊥⊥ABC=90°，⊥CAB=45°，⊥在Rt⊥ABC中，⊥CAB=⊥BCA=45°，⊥AB =15(米)，⊥在Rt⊥ABC 中，AB=BC =15(米).⊥⊥ABD =90°，⊥BAD =55°，tan55 1.43︒≈，⊥在Rt⊥ABD 中，tan tan5515 1.4321.45BD AB BAD AB =⋅∠=⋅︒≈⨯=(米)，⊥BC =15(米)，BD ≈21.45(米)，⊥CD =BD -BC ≈21.45-15=6.45≈6.5(米).答：点C 与点D 之间的距离约为6.5米.点睛：本题考查了解直角三角形及其应用的相关知识. 本题的图形属于典型的“双直角三角形”，需要重点掌握. 该类型问题的关键在于利用两个直角三角形的公共边(如本题中的线段AB )将已知条件在两个直角三角形之间进行转换，最终求解出要求的线段和角度.23．（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析【解析】【分析】（1）在Rt ⊥ABE 中，根据⊥α的正切值即可求得楼高；（2）当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H .可求得AF =AB =17.3米，又因CF =CH =17.3-17.2=0.1米，CM =0.2，所以大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，即老人仍可晒到太阳．【详解】解：（1）当α=60°时，在Rt ⊥ABE 中，⊥tan 6010BA BA AE ︒==, ⊥BA =10tan 60°=10310 1.7317.3≈⨯=米.即楼房的高度约为17.3米；（2）当45α︒=时，老人仍可晒到太阳；理由如下：假设没有台阶，当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H ，⊥⊥BF A =45°，⊥tan 451BA AF︒==，此时的影长AF =BA =17.3米， 所以CF =AF -AC =17.3-17.2=0.1，⊥CH =CF =0.1米，⊥大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上．⊥老人仍可晒到太阳．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．24．（1）大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）小敏家的高度AE 为20米．【解析】【详解】试题分析：（1）易得四边形AEDC 是矩形，即可求得AC 的长，然后分别在Rt⊥ABC 与Rt⊥ACD 中，利用三角函数的知识求得BC 与CD 的长，继而求得答案；（2）结合（1），由四边形AEDC 是矩形，即可求得小敏家的高度AE ．试题解析：（1）如图，⊥AC⊥BD ，⊥BD⊥DE ，AE⊥DE ，⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AC=DE=203米，⊥在Rt⊥ABC 中，⊥BAC=45°，⊥BC=AC=203米，在Rt⊥ACD 中，tan30°=CD AC ， ⊥CD=AC•tan30°=203×33=20（米）， ⊥BD=BC+CD=203+20（米）；⊥大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AE=CD=20米．⊥小敏家的高度AE为20米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题25．（1）山坡高度为400米；（2）山CF的高度约为541米．【解析】【详解】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用⊥CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，⊥sin⊥BAH=BHAB，⊥BH=800•sin30°=400，⊥EF=BH=400米．答：AB段山坡的高度EF为400米；（2）在Rt△CBE中，⊥sin⊥CBE=CEBC，⊥CE=200•sin45°=1002，⊥CF=CE+EF=（1002+400）（米）．答：山峰的高度CF为（1002+400）米.。
6利用三角函数测高
2、测量底部不可以直接到达的物体的高度:
MN b tan tan a tan tan
北师大版初中数学九年级下册Leabharlann 测量底部可以直接到M
达的物体的高度:
MN b tan a
Cα
a
E
a
A
b
N
1、在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=b；
3、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。
测量底部不可以直接到
M
达的物体的高度:
C αD β
E
A
B
N
1、在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
tan tan ME tan ME tan b tan tan ME(tan tan ) b tan tan ME b tan tan
tan tan MN ME a b tan tan a
tan tan
小结课堂
1、测量底部可以直接到达的物体的高度：
2、在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,可求出物体MN的高度.
测量底部不可以直接到达的物体的高度:
M
MN b tan tan a tan tan
C αD β
A
B
E
N
ME ME b,
1.6 利用三角函数测高 (1)
1.6利用三角函数测高一．选择题（共6小题）1．（2020•沙坪坝区校级一模）碧津公园坐落在江北机场旁，它是一个风景秀丽、优美如画的公园．园中的碧津塔是一座八角塔，每个角挂有一个风铃，被评为重庆市公园最美景点．重庆一中某数学兴趣小组，想测量碧津塔的高度，他们在点C处测得碧津塔顶部A 处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得碧津塔顶部A的仰角为37°，碧津塔AB所在平台高度EF为0.8米．A、B、C、D、E、F在同一平面内，则碧津塔AB的高约为（）米（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．24 2．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，则旗杆AB的高度是（）（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，3≈1.732，5≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8 3．（2019春•江岸区校级月考）如图，甲乙两楼相距30m，甲楼高度为40m，自乙楼楼顶A处看甲楼楼顶B处仰角为30°，则乙楼高度为（）A．10米B．(40−153)米C．25米D．(40−103)米4．（2020秋•遵义期末）小明在学了间接测量法之后，设计了一个测算古树高度的方法：如图所示，从B处观测A处的仰角∠ABC＝30°然后尝试着向树的方向前进12m到达D处，此时观测A处的仰角正好为∠ADC＝60°，假设树身AC正好与地面BC垂直，他很快就算出了树的高度AC为63m，则你知道CD的长是（）A．43B．5C．6D．122 5．（2021•九龙坡区校级模拟）我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到305米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．906．（2020秋•盘龙区期末）如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（）米．（参考数据：3≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．30二．填空题（共5小题）7．（2019•辽阳模拟）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．8．（2020秋•密云区期末）如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD＝m．（结果保留根号）9．（2020秋•通州区期末）如图，输电塔高41.7m．在远离高压输电塔100m的D处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为θ．已知测角仪高AD＝1.7m，则tanθ＝．10．（2020秋•大东区期末）如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离AB为1.5m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30°，看建筑物顶部D的仰角为45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．则建筑物CD的高度m．11．（2020秋•桂林期末）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD的高度为m．（结果精确到1m，3≈1.73）三．解答题（共29小题）12．（2020•雁塔区校级模拟）陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手栽种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录．小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度．阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，然后着DM方向走了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算银杏树AB的高度．（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）13．（2020•西青区二模）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）14．（2019•邓州市二模）如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑﹣福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45°，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40°，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）15．（2019•聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，2≈1.41，3≈1.73）16．（2020秋•成都期末）如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．17．（2021春•武侯区校级月考）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D 到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308米，步行道BD＝338米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长．（结果保留根号）18．（2020秋•成华区期末）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面CD的中点B垂直起飞到达点A处，测得一号楼顶部E的俯角为55°，测得二号楼顶部F的俯角为37°，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高CE为20米，求二号楼的高DF．（结果精确到1米）（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）19．（2020秋•盐城期末）如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房项部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：3，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：3≈1.73，2≈1.41）20．（2020秋•长春期末）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]21．（2020秋•平谷区期末）如图，热气球探测器显示，从热气球M处看一座电视塔尖A处的仰角为20°，看这座电视塔底部B处的俯角为45°，热气球与塔的水平距离MC为200米，试求这座电视塔AB的高度．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）22．（2020秋•溧阳市期末）如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米，2=1.414，3=1.732）23．（2020秋•青羊区期末）如图，线段AC、BD表示两建筑物的高，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，从B点测得A点的仰角为30°，从B点测得C点的俯角为45°，已知BD＝69米，求两建筑物之间的距离CD与建筑物AC的高．（结果保留根号）24．（2020秋•大兴区期末）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m，求这棵树AB的高度．（结果保留根号）．25．（2020秋•历下区期末）如图，楼和塔之间的距离AC为50m，小明在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求楼高AD．26．（2020秋•龙泉驿区期末）如图，楼房AB建在山坡BC上，其坡度为i＝1：2，小明从山坡底部C处测得点A的仰角为56.35°，已知山坡的高度BD为10米，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度BD与水平宽度CD的比）（结果精确到1米，参考数据：sin56.35°≈0.83，cos56.35°≈0.55，tan56.35°≈1.50）27．（2020秋•昌平区期末）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园的仿古建筑“弘文阁”AB的高度．他们先在点C处用高1.5米的测角仪CE测得“弘文阁”顶A的仰角为30°，然后向“弘文阁”的方向前进18m到达D处，在点D处测得“弘文阁”顶A的仰角为50°．求“弘文阁”AB的高（结果精确到0.1m，参考数据：tan50°≈1.19，tan40°≈0.84，3≈1.73）．28．（2020秋•成都期末）疫情期间，某中学为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为该测温门截面示意图．已知测温门顶部A距地面高AD＝2.2m，为了解自己的有效测温区间，身高1.6m的小明做了如下实验：当他在地面N处时，测温门开始显示额头温度，此时测得A的仰角∠ABE＝18°；当到达地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时测得的仰角∠ACE＝53°．求小明在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到0.1米）[参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33]29．（2020秋•郴州期末）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功．如图，运载火箭从地面A处发射．当运载火箭到达点B处时，地面点O处的雷达站测得B 处的仰角为30°，12s后，火箭直线上升到达点C处．此时地面点O处的雷达站测得C 处的仰角为60°，并测得OC的距离是6km．试求火箭从B处到C处的平均速度为多少m/s？（结果精确到1m/s，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）30．（2020秋•武侯区期末）近年来，成都IFS商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C处距离地面AD的高度，他在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角为45°，已知AB＝4.5米，求熊猫C处距离地面AD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）31．（2020秋•罗湖区期末）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高2米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH上，再向前走6米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）计算古树BH的高；（2）计算教学楼CG的高．（结果保留根号）32．（2020秋•龙口市期末）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为34cm．（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（2）求显示屏项端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，2≈1.4，3≈1.7）33．（2020秋•龙岗区期末）如图，从楼层底部B处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是53°，从楼层顶部A处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是45°，已知楼层AB的楼高为3米．求旗杆CD的高度约为多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43．）34．（2020秋•门头沟区期末）数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米，求旗杆AB的高度．35．（2020秋•金山区期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：3，山坡坡底点B到坡顶A 的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB 在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）36．（2020秋•镇平县期末）如图，某小区楼房附近有一个斜坡CD＝6m，坡角到楼房的距离CB＝8m，在坡顶D点处观察点A的仰角为54°，已知坡角为30°，求楼房AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73）37．（2020秋•孟津县期末）某学习小组，为了测量旗杆AB 的高度，他们在大楼MN 第10层D 点测得旗杆底端B 的俯角是32°，又上到第35层，在C 点测得旗杆顶端A 的俯角是60°，每层楼高度是2.8米，请你根据以上数据计算旗杆AB 的高度．（精确到0.1米，已知：sin32°≈0.37，cos32°≈0.93，tan32°≈0.62，3≈1.73）38．（2020秋•宝山区期末）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB ）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB ）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测量数据从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°EF＝9米，从点P处测得A点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]39．（2020秋•桐城市期末）如图，在某居民楼AB楼顶悬挂“大国点名，没你不行”的横幅BC，在距楼底A点左侧水平距离30m的D点处有一个斜坡，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，DE＝26m，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为45°，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°（居民楼AB，横幅BC与斜坡DE的剖面在同一平面内），则广告牌BC的高度约为多少？（结果精确到0.1，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）40．（2020秋•茌平区期末）如图，在淮河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度 =1：3的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了10米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．（结果保留整数）（参考数据3≈1.7）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用直角三角形测高向阳校区一、地位近几年河北中考对于直角三角形的考察越来越趋于现实知识，将直角三角形求高的经常与三角函数应用联系，所以对于综合探究性题型起到敲门砖的重要作用，同时它是河北各市模拟考试的常见题型，每年都有体现，选择、填空及解答题都有涉及，对于学生有一定能力要求，所以学好这一模块有很大的现实意义。
二、基础知识：一、如何测量倾斜角测量倾斜角可以用测倾器。
----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成二、使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：1、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅锤线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置。
2、转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的读数三、测量底部可以直接到达的物体的高度。
所谓“底部可以到达”－－－就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.四、测量底部不可以直接到达的物体的高度。
所谓“底部不可以到达”－－－就是在地面上不可以直接测得测点与被测物体之间的距离。
五、测高方法总结1、凡是求高（求线段的长）的问题往往可以借助解直角三角形来解决，如果没有直角三角形可以设法去构造。
2、对于一些教复杂的问题，如果解一个直角三角形还不能使问题得以解决，可考虑解两个直角三角形。
3、如果不能直接通过解直角三角形处理问题，可以去寻找已知与未知之间的等量关系，借助解直角三角形建立方程，从而使问题得以解决。
六、反思与评价1、充分体会将实际问题数学化的一种常用方式：即通过分析问题，建立数学模型，从而提出较为完整的测量方案和解决问题的方法。
实际问题画图示意已知未知数学问题2、解决这类测量问题往往是寻找或构造直角三角形，通过解直角三角形使问题得于解决。
三、题型1．要测一电视塔的高度，在距电视塔80米处测得电视塔顶部的仰角为60°，则电视塔的高度为米．2．如图1—87所示，两建筑物的水平距离为a，在A点测得C点的俯角为β，测得D点的俯角为a，则较低建筑物的高度为．3．建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50o观察底部B的仰角为45o,求旗杆的高度(精确到0.1m).45o 50oABCD4．如图1—88所示，在测量塔高AB 时，选择与塔底同一水平面的同一直线上的C ，D两处，用测角仪测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°，已知测角仪的高CE ＝1.5米CD＝30米，求塔高AB ．(精确到0.1米，3≈1.732) 5．如图1—89所示，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°．已知AB ＝20 m ，点C 和直线AB 在同一平面上，求气球离地面的高度．(结果保留整数,3≈1.73)6．如图l —90所示，一位同学用一个有30°角的直角三角板估测学校的旗杆AB的高度．他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D ，B 的距离为15米．(1)求旗杆的高度；(精确到0.1米，3≈1.73)(2)请你设计出一种更简便的估测方法．7．某商场门前的台阶截面如图1—9l 所示，已知每级台阶的宽度(如CD)均为0.3m ，高度(如BE)均为0.2 m ，现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点(A 点)到台阶前(B 点)的距离．(精确到0.1 m ，参考数据：sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16)8．如图1—92所示，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角a 为30°，测得乙楼底部B 点的俯角B 为60°，求甲、乙两栋高楼各有多高．(计算过程和结果都不取近似值)7.如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB )是1.7m ,看旗杆顶部M 的仰角为45o ；小红的眼睛与地面的距离(CD )是1.5m ,看旗杆顶部M 的仰角为30o .两人相距28m 且位于旗杆两侧(点B ,N ,D 在同一条直线上).请求出旗杆MN 的高度.(参考数据:2 1.4≈,3 1.7≈,结果保留整数)中考链接1.(2015江西南昌，12,3分).如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD?=15cm,?∠CBD=40°,M N B A D C30° 45°E F则点B到CD的距离为??????????????cm（参考数据：sin20°≈?0.342,?com20°≈0.940,??sin40°≈?0.643,???com40°≈?0.766.精确到0.1cm,可用科学计算器）.?2.（2013?四川成都14,4分）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为?_________?米．3.（2012江苏南京，14，2分）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：定点O于尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B在刻度尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm.(结果精确到0.1cm,参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)4.（2014?湖北襄阳，15,3分）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为? ?m（结果保留根号）5.（2014云南，21,6分）如图，小明在M处用高1米（DM＝1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F 处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取3≈1.73，结果保留整数）?6.(2014年贵州黔东南，22,10分)黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）7.（2014?哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点?A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC 为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．?（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；?（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．8.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是3:4，迎水坡面AB的长度是50m，则堤坝高BC的长度为（）9.（2014山东济南一模，18）如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从点测得点的俯角α为30,测得点的俯角β为60.则建筑物CD的高度为_________(结果不作近似计算).?10.(2014江西临川初中，21)如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）11.（2014河南淮阳一模，22）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.(如图所示)一天，灰太狼在自家城堡顶部A处观察羊羊们时，发现懒羊羊在大树底下睡懒觉，此时，测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC＝40米，若灰太狼以5?m/s的速度从城堡底部D 处出发，几秒种后能抓到懒羊羊？(结果精确到个位).12.（2013 甘肃兰州树人中学二模，27）如图所示中原福塔是世界上第一高钢塔，小明所在的课外活动小组在距地面268米的高的室外观光层的点D处，测得B角α为45度点D到AO的距离DG为十米，从地面上的点B沿BO方向走50米到点C处测得塔尖A的仰角β为60°，请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差，参考数据根号3≈1.732根号2≈1.41413（2013唐山开平二模，14）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度。
小民所在的学习小组在距离旗杆底部米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，则旗杆的高度是_____米。
14（2014邢台二模。
21）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度（如图），他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为37°，然后向教学楼前进10米到达点D，又测得点A的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，t an37°≈0.75，）15（石家庄辛集期末调研，15）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为( ? )（结果精确到0.1m）．A、3.5mB、3.6mC、4.3mD、5.1m16（2014邯郸二模，11）某市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2 m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）（A）??????（B）??????（C）???????（D）17（2013石家庄新华一模，22）．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）。