2021高考数学冲刺练习专题09 概率统计(解析版)

【答案】(1) 列联表见解析；有 99% 的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 选做第 23题，
理由见解析 【解析】（1）由数据表可得 2 2 列联表如下：
选做 22 题
选做 23题
总计
理科人数
500
400
900
文科人数
200
100
300
总计
700
500
1200
则 K 2 的观测值 k
旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A． 27 64
【答案】B
B． 9 16
C． 81 256
D． 7 16
【解析】四名学生从四个地方任选一个共有 4444 256 种选法，
恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，
考虑先分堆在排序共有 C42 A43 6 4 3 2 144 种， 所以恰有一个地方未被选中的概率为 144 9 .
6. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
设 A { x, y | 0 x m,0 y 1}， s 为 e 1n 的展开式的第一项（ e 为自然对数的底数）， m n s ，
若任取 a,b A ，则满足 ab 1的概率是（ ）
A． 2 e
B． 2 e
【答案】C
C． e 2 e
甲只能正确作答其中的 4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为 2 ，且甲、乙两位同学对每个题目的作答 3
得分
0
3
5
8
10
理科人数
50
50
75
125
200
文科人数
25
25
125
0
25
第 23 题的得分统计表
得分
0
3
5
8
10
理科人数
30
52
58
60
200
2020高考数学 冲刺训练
文科人数
5
10
10
5
70
(1)完成如下 2×2 列联表，并判断能否有 99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；
条路径，从 到 共有
条路径，根
2020高考数学 冲刺训练
据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从 到 可以爬行的不同的最短路径有
条，故选 B.
5. 【河北省衡水中学 2018—2019 学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
某县教育局招聘了 8 名小学教师，其中 3 名语文教师，3 名数学教师，2 名全科教师，需要分配到 两个学
D． e 1 e
【解析】由题意，s= Cn0en en ，
∴m= n s =e，则 A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出 A={（x， y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域， 任取（a，b）∈A，则满足 ab＞1 的平面区域为图中阴影部分， 如图所示：
2020高考数学 冲刺训练
专题 09 概率统计
一、选择题
1. 【2020 届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，
简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去
2020高考数学 冲刺训练
差值为
，接近 2000 万件，所以 A 是正确的；
对于选项 B： 2018 年 1～4 月的业务量同比增长率分别为
，均超过 ，在 3 月最高，所
以 B 是正确的；
对于选项 C：2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增长率为 30%，所以 C 是正确的；
对于选项 D，1，2，3，4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误.
C．
D．
【解析】由图知,7 月,8 月,11 月的利润不低于 40 万元,故所求概率为
,故选 D.
3. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】
2020高考数学 冲刺训练
如图所示，分别以正方形 ABCD 两邻边 AB、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O．若向正方形内 投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为
1200200 400 5001002
80
11.42 10.828
700 500 300 900
7
有 99% 的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.
(2)全体高三学生第 22, 23题的平均得分分别为:
x1
1 700
75 0
753
200 5
125 8
225 10
4475 700
13.【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】
，所以
赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆
方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形
组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边
则 落 入 阴 影 部 分 （ 曲 线 C 为 正 态 分 布 N 1,1 的 密 度 曲 线 ） 的 点 的 个 数 的 估 计 值 为
N 10000 0.1359 1359 . 1
本题选择 B 选项.
12. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】
已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则 E （ ）
的 点 的 个 数 的 估 计 值 为 （ 附 ： X N u, 2 ）， 则 P(u X u ) 0.6827 ，
P(u 2 X u 2 ) 0.9545 .
A． 906 B．1359 C． 2718 D． 3413
【答案】B
【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 S 0.9545 0.6827 0.1359 ， 2
如图所示的 5 个数据，去掉
后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数 变大 B．残差平和变大
C． 变大 D．解释变量 与预报变量 的相关性变强
【答案】B 【解析】由散点图知，去掉
后， 与 的线性相关加强，且为正相关，
所以 r 变大， 变大，残差平方和变小．故选 B．
10. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】法一：设正方形的边长为 2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为
，所以该
质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为
.故选 C.
法二：设正方形的边长为 2.过 O 作 OF 垂直于 AB，OE 垂直于 AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为
，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为
6.4
；
2020高考数学 冲刺训练
x2
1 500
35 0
623
68 5
658
270 10
3746 500
7.5 ；
x2 x1 以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，应选做第 23题.
2. 【河北省衡水市 2019 届高三下学期第三次质量检测】
某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取 3 个题目进行作答，已知这 6 个题目中，
已知随机变量 服从正态分布 ，且
，
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
等于（ ）
随机变量 服从正态分布 ，
曲线关于 对称，且
，
由
，可知
，故选 B.
11. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】
2020高考数学 冲刺训练
在如图所示的正方向中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N 1,1 的密度曲线）
，故选 C.
4. 【河北省衡水中学 2018—2019 学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】 如图，一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点
，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条
A．40 B．60 【答案】B 【解析】
C．80
D．120
试题分析：蚂蚁从 到 需要走五段路，其中三纵二竖，共有
校任教，其中每个学校都需要 2 名语文教师和 2 名数学教师，则分配方案种数为（ ）
A．72 B．56 C．57 D．63
【答案】A
【解析】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有 种，然后将新的 4 个语文老师分给两个学校 种，
同样的方法将新的 4 个数学老师分给两个学校 种，所以共有
=72 种分配方法。
三角形拼成的一个大等边三角形，设
，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三
角形的概率是
2020高考数学 冲刺训练
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在 中，
，
，
，由余弦定理，得
，
所以
.
所以所求概率为
.
故选 A. 14. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】 如图 1 为某省 2018 年 1~4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2018 年 1~4 月快递业务收入统计图，下列对 统计图理解错误的是（ ）
A．2018 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B．2018 年 1~4 月的业务量同比增长率均超过 50%，在 3 月底最高 C．从两图来看，2018 年 1~4 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从 1~4 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 【答案】D 【解析】对于选项 A： 2018 年 1～4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，
,
，则新数据 ,
准差分别为（ ） A．-4 -4 B．-4 16 C．2 8 D．-2 4 【答案】D
【解析】∵ , , ， 的平均数为 3，方差为 4，
∴
，
．
又
，
∴
，
的平均数和标
2020高考数学 冲刺训练
，
∴新数据 ,
的平均数和标准差分别为 ．
故选 D．
9. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理)试题】
256 16 故选：B
2.【河北省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】
如图的折线图是某公司 2017 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据.若从这 12 个月份中任意选 3 个月的数据进 行分析，则这 3 个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于 40 万的概率为（ ）
A．
B．
【答案】D
A． 3
B． 7 2
C． 18 5
D． 4
【答案】B
【解析】由题意知，
的可能取值为
2,3,4, 其 概 率 分 别 为
P
2
A22 A52
1 10
，
P
ห้องสมุดไป่ตู้
3
A22C31C21 +A33 A53
3 10
，
P
4
A33C32C21 +A33C31C21 A54
6 10
E 2 1 +3 3 +4 6 = 7 ，故选 B． 10 10 10 2
选做 22 题
选做 23 题
总计
理科人数
文科人数
总计
(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，
并说明理由.
附: K 2
n ad bc2
a bc d a cb d
PK2 k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
计算阴影部分的面积为
S
阴影=
e 1
1
1 x
dx
=（x﹣
ln
x
）
e | 1
=e﹣1﹣ ln e +ln1=e﹣2．
2020高考数学 冲刺训练
所求的概率为
P=
S阴影 S矩形
e2 e
，
故选：C．
7. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知随机变量 服从正态分布 ，且
，
，
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于 对称，且
详解：
等于（ ） ，结合题意得到 的值.
随机变量 服从正态分布 ，
曲线关于 对称，且
，
由
，可知
，故选 B.
8. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】
若 , , ， 的平均数为 3，方差为 4,且
本题选择 D 选项.
二、填空题
1. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理)试题】
若从区间
（ 为自然对数的底数，
）内随机选取两个数，则这两个数之积不小于 的概率
为_____________．
【答案】2
【解析】设
，由 ，得 ，所以所求概率
．
三、解答题 1. 【2020 届河北省衡水中学高三上学期五调考试】 在 2018、2019 每高考数学全国Ⅰ卷中，第 22 题考查坐标系和参数方程，第 23 题考查不等式选讲.2018 年髙 考结束后，某校经统计发现:选择第 22 题的考生较多并且得分率也较高.为研究 2019 年选做题得分情况，该 校高三质量检测的命题完全采用 2019 年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的 选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做—道题): 第 22 题的得分统计表