偶函数讲课 PPT课件
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函数奇偶性的概念 课件
2
综上可知，a＝b＝1，c＝0.
【互动探究】若将题2中奇函数改为偶函数，f(2)<3改为
f(2)<6，求a,b,c的值.
【解析】∵函数 f x＝(aax2,b,1c∈Z)是偶函数，
bx c
∴f(－x)=f(x)，故 ax2 1 ＝即ax－2 b1x，+c=bx+c，故b=0，f(x)=
－bx c bx c
方法二：画出函数图象如下: 由图象关于原点对称知为奇函数.
【拓展提升】 1.判断函数奇偶性的两个方法 方法一,定义法:利用函数奇偶性的定义判断. 方法二,图象法:利用奇、偶函数图象的对称性来判断. 2.定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)首先看定义域是否关于原点对称. (2)判定f(x)与f(－x)的关系. (3)利用定义下结论.
二、偶函数、奇函数图象的特征 1.偶函数图象的特征：关于_y_轴对称; 2.奇函数图象的特征：关于_原__点__对称.
类型 一 判定函数的奇偶性
【典型例题】
1.设定义在R上的函数f(x)= x ，则f(x)( )
A.是奇函数，又是增函数
B.是偶函数，又是增函数
C.是奇函数，又是减函数
D.是偶函数，但不是减函数
应用二:求函数最值、单调性问题 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性,可以利用图象解 决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题,也可以解决关 于原点对称的区间上的函数的单调性问题,同时可以简化解题 过程.
类型 三 利用函数的奇偶性求参数值
【典型例题】
1.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1,2a］,
【解析】1.因为定义域为［a-1,2a］关于原点对称，
所以a-1+2a=0，所以a1=.
综上可知，a＝b＝1，c＝0.
【互动探究】若将题2中奇函数改为偶函数，f(2)<3改为
f(2)<6，求a,b,c的值.
【解析】∵函数 f x＝(aax2,b,1c∈Z)是偶函数，
bx c
∴f(－x)=f(x)，故 ax2 1 ＝即ax－2 b1x，+c=bx+c，故b=0，f(x)=
－bx c bx c
方法二：画出函数图象如下: 由图象关于原点对称知为奇函数.
【拓展提升】 1.判断函数奇偶性的两个方法 方法一,定义法:利用函数奇偶性的定义判断. 方法二,图象法:利用奇、偶函数图象的对称性来判断. 2.定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)首先看定义域是否关于原点对称. (2)判定f(x)与f(－x)的关系. (3)利用定义下结论.
二、偶函数、奇函数图象的特征 1.偶函数图象的特征：关于_y_轴对称; 2.奇函数图象的特征：关于_原__点__对称.
类型 一 判定函数的奇偶性
【典型例题】
1.设定义在R上的函数f(x)= x ，则f(x)( )
A.是奇函数，又是增函数
B.是偶函数，又是增函数
C.是奇函数，又是减函数
D.是偶函数，但不是减函数
应用二:求函数最值、单调性问题 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性,可以利用图象解 决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题,也可以解决关 于原点对称的区间上的函数的单调性问题,同时可以简化解题 过程.
类型 三 利用函数的奇偶性求参数值
【典型例题】
1.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1,2a］,
【解析】1.因为定义域为［a-1,2a］关于原点对称，
所以a-1+2a=0，所以a1=.
偶函数的定义与性质PPT课件
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
f (x) x
f x x2
特征 1.定义域关于原点对称；
： 2. f x f x
一、偶函数
1、偶函数的定义：
一般地，如果对于函数f(x)的定
任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶
函数（even function）。
注意：定义域关于原点对称
2、偶函数的性质 A、偶函数图象关于y轴对称，反之亦然； B、偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性相反。
二、例题剖析
例1. 判断函数下列函数是否为偶函数？
(1) f x 2x2 1; x [2,2); (2) f x x3 x2.
解：(1)由于f x 2x2 1的定义域为 2,2
§1.3.2 偶函数的定义与性质
• 观察下列函数的图象，从图象对称的角度把这些函数图象分 类：
y f (x) x2
y f (x) | x |
y f (x) 1
| x|
x O
(1) y f (x) x x
(4)
x O
(2)
y f (x) x3 x
O (5)
x O
(3)
y f x x 1
x O
P1 (1,1)
1
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
y
P'(x, x )
P' 2
2,2
P' 1
1,1
x
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
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自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
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思维辨析
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4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
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探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的奇偶性和单调性1-课件
$f(x) = x^3$，满足$f(-x) = f(x)$，在全域上单调递增。
偶函数实例
$f(x) = x^2$，满足$f(-x) = f(x)$，在$x geq 0$时单调递增 。
单调性实例分析
单调递增函数实例
$f(x) = x$，在全域上单调递增。
单调递减函数实例
$f(x) = frac{1}{x}$，在$( - infty ,0)$和$(0, + infty)$上单调递减。
非奇非偶函数
定义
既不是奇函数也不是偶函数的函 数称为非奇非偶函数。
特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
举例
$f(x)=x+1$是非奇非偶函数，因为 $f(-x)=-x+1neq -f(x)$且$f(-x)neq f(x)$。
02
CHAPTER
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意 $x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如 果$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$ 在其定义域内单调递增。
奇偶性与单调性的综合应用
利用奇偶性和单调性判断函数的值域
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的值域，进而确定整个函 数的值域。
利用奇偶性和单调性判断函数的极值
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的增减性，进而确定函数 的极值点。
04
CHAPTER
实例分析
奇偶性实例分析
奇函数实例
递减。
性质
单调减函数的图像是沿x轴方向 下降的。
举例
正比例函数$y = -kx$（$k > 0$ ）和指数函数$y =
偶函数实例
$f(x) = x^2$，满足$f(-x) = f(x)$，在$x geq 0$时单调递增 。
单调性实例分析
单调递增函数实例
$f(x) = x$，在全域上单调递增。
单调递减函数实例
$f(x) = frac{1}{x}$，在$( - infty ,0)$和$(0, + infty)$上单调递减。
非奇非偶函数
定义
既不是奇函数也不是偶函数的函 数称为非奇非偶函数。
特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
举例
$f(x)=x+1$是非奇非偶函数，因为 $f(-x)=-x+1neq -f(x)$且$f(-x)neq f(x)$。
02
CHAPTER
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意 $x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如 果$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$ 在其定义域内单调递增。
奇偶性与单调性的综合应用
利用奇偶性和单调性判断函数的值域
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的值域，进而确定整个函 数的值域。
利用奇偶性和单调性判断函数的极值
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的增减性，进而确定函数 的极值点。
04
CHAPTER
实例分析
奇偶性实例分析
奇函数实例
递减。
性质
单调减函数的图像是沿x轴方向 下降的。
举例
正比例函数$y = -kx$（$k > 0$ ）和指数函数$y =
函数的奇偶性ppt课件
2.4.1函数的奇偶性
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
PARENT CONFERENCE DIRECTORY
壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
探索新知
肆
当堂检测
Explore new knowledge
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
北师大版（2019）必修第一册
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壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
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PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
函数的奇偶性PPT课件
图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象.
y
0
x
两直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
（ 1 ） 有 斜 率 的 两 直 线 l1：y=k1x+b1；l2：
y=k2x+ b2
① l1∥l 2 k1=k2 且 b1≠b2； ②l1⊥l2
k1·k2= -1；
③l1与l2相交 k1≠k2 ④l1与l2重合
x x
例如: f (3) 1 f (3) , f (1) 2 (2) f ( 1)
3
2
2
这时我们说函数 f (x) x与 f (x) 1 为奇函数．
x
那么奇函数又该如何去定义？
一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个x,
都有 f (x) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做奇函数．
定理：
⑴奇函数的图象关于原点对称，反过来， 若一个函 数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
⑵ 偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函 数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴的右
边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左
边的图象.
y
0
x
小结
2.3 函数的性质
——奇偶性
我们看到这两个函数的图象都关于y轴对称，而且 从刚才的演示中可以看出：当自变量x取一对相反数时， 相应的两个函数值相同．
实际上，对于函数 y x2 ，在R内任意取一个x,都
有 f (x) (x)2 x2 f (x),比如：
f (3) 9 f (3) f (1.2) 1.44 f (1.2)
点与直线的位置关系：
函数奇偶性的性质PPT教学课件
1.3.2 奇偶性 第二课时 函数奇偶性的性质
问题提出
1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？
2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有 何特征？
3.函数的奇偶性有那些基本性质？
知识探究（一）
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶 函数？若存在，这样的函数有何特征？
f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 情形？
2. 食物的酸碱性并非味觉上的感受。味觉上 感受到酸味的物质，不一定是酸性食物。
酸性食物： 在人体内，其最终 代谢产物是酸性物 质的食物
酸性食物
碱性食物： 在人体内，其最终 代谢产物是碱性物 质的食物
碱性食物
碱性食物
• 常见食物的酸碱性 1.强酸性食品：蛋黄、乳酪、白糖做的西点或柿 子、乌鱼子等。
食物的组成成分在人体内代谢后生成 碱性物质，使体液呈弱碱性。这类食物在 生理上称为成碱性食物，习惯上称为碱性 食物。
（如某些蔬菜、水果多含钾、钠、钙、 镁等盐类，多属于碱性食物。）
1. 食物的酸碱性与化学上所指的溶液的酸碱 性是不同的概念。食物的酸碱性指的是代 谢产物的性质，而溶液的酸碱性直接指溶 液的性质。
件是什么？
b=0
理论迁移
例1 已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，
f (x) x2 3x
,求x 当0 时f(x)的解析
式.
f (x) x2 3x(x 0)
例2 设函数 f (x) 2x2 mx 3，已知 f (x 1) 是 偶函数，求实数m的值.
m=-3
例3 已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意
人体细胞的酸碱平衡：
• CO2+H2O
H2CO3
OHH+
问题提出
1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？
2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有 何特征？
3.函数的奇偶性有那些基本性质？
知识探究（一）
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶 函数？若存在，这样的函数有何特征？
f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 情形？
2. 食物的酸碱性并非味觉上的感受。味觉上 感受到酸味的物质，不一定是酸性食物。
酸性食物： 在人体内，其最终 代谢产物是酸性物 质的食物
酸性食物
碱性食物： 在人体内，其最终 代谢产物是碱性物 质的食物
碱性食物
碱性食物
• 常见食物的酸碱性 1.强酸性食品：蛋黄、乳酪、白糖做的西点或柿 子、乌鱼子等。
食物的组成成分在人体内代谢后生成 碱性物质，使体液呈弱碱性。这类食物在 生理上称为成碱性食物，习惯上称为碱性 食物。
（如某些蔬菜、水果多含钾、钠、钙、 镁等盐类，多属于碱性食物。）
1. 食物的酸碱性与化学上所指的溶液的酸碱 性是不同的概念。食物的酸碱性指的是代 谢产物的性质，而溶液的酸碱性直接指溶 液的性质。
件是什么？
b=0
理论迁移
例1 已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，
f (x) x2 3x
,求x 当0 时f(x)的解析
式.
f (x) x2 3x(x 0)
例2 设函数 f (x) 2x2 mx 3，已知 f (x 1) 是 偶函数，求实数m的值.
m=-3
例3 已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意
人体细胞的酸碱平衡：
• CO2+H2O
H2CO3
OHH+
函数的奇偶性的性质PPT教学课件
CH2—OH＋ 3HO C R 催化剂 CH —O—C—R ＋ 3H2O
加热
O
CH2—OH
CH2—O—C—R
2020/10/4
动物脂肪与植物油
2020/10/4
不同的油脂性质不同（R不同）
多数动物脂肪因饱和脂肪酸 甘油酯含量高在常温下呈固态
植物油因不饱和脂肪酸甘油 酯含量高而在常温下呈液态
油脂的生理功能
2020/10/4
水解 胃蛋白酶
氨基酸
酶
多肽
肽键 人体蛋白质
3、氨基酸
（1）结构：
羧酸分子中烃基上的氢原子被氨基 （ NH2）取代的产物。
（2）通式：
2020/10/4
O R CH—C—OH
NH2
（3）常见氨基酸及其酸碱性
甘氨酸 （H2N—CH2—COOH） (中性)
谷氨酸（HOOC—CH2—CH—COOH）
吃哪类油脂更利于健康
富含不饱和高级脂肪酸的植物油 特别是：必需脂肪酸的植物油
必需脂肪酸（P27）： 亚油酸 亚麻酸
花生四烯酸
2020/10/4
三、人必须吃含蛋白质的食物吗
1、蛋白质是构成人体的基础物质
人体内，肌肉、血液、内脏、神经、 毛发以及各种酶、抗体等都含有蛋白质。
2、蛋白质在人体内的转化
含有蛋白 质的食物
当x 0 时，f (x) x2 3x ,求 当x 0 时 f (x) 的解析式.
f (x) x2 3x(x 0)
例3、 设函数 f (x) 2x2 mx 3 ，
已知 f ( x 1) 是偶函数，求实数m的值.
例4、 已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且对任意实数x都有 f (x 3) f ( x) 0 ，
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
人教版高中数学函数的奇偶性(共15张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
函数的的奇偶性PPT教学课件
又∵f(x)在(-1,1)上为减函数， ∴
1-a>a2-1 -1<1-a<1 -1<a2-1<1,解得0<a<1.
（2）因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)<g(m)，可得g(|1m|)<g(|m|),
又当x≥0时，g(x)为减函数，得到
|1-m|≤2 |m|≤2
1 解之得-1≤m< 2
（4）f(x)= 1 x2 x2 1
.
x
11
(1)x x 定1 1
(x)2 1 x2 x2
义 域 为
x1 x
得x2 1
（
3 ）
函
数
的
定
义
域
为
A
=
{
学点二 由奇偶性求函数解析式 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2 +x+1,求 函数解析式. 【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析 式间的联系.
（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个 函数既不是奇函数，也不是偶函数.
（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数， 既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,x∈R.
判断下列函数的奇偶性：
1
1
（1）f(x)=x+ （3）f(x)=x+
xx
;
1
;
（2）f(x)=x2+ x2 ;
|1-m|>|m|,.
1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？
（1）对于函数奇偶性的理解
①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数 的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意 义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是 函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都 有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能说f(x)是奇（或偶）函数.
高一数学人教版必修一函数的奇偶性 PPT课件 图文
猜想： f(x)f(x)
x ..3.2 1 0 1 2 3..
... f (x) x2
941
0
14
9..
偶函数的定义
一般地，如果对函数 f (x) 的定义域内任意一个 x, 都有f (x) f (x)， 那么函数 f (x)就叫偶函数 .
类比&探究
f(1)f(1) f(2)f(2) f(3)f(3)
1.3.2函数的奇偶性
必修1（人教版）
故宫
女子跳水10米跳台决赛，正反跳映衬对称美
数学&生活
生活中的对称美引入我们的数学领 域中，它又是怎样的情况呢？
请同学们观察下列函数图形，说出 他们各有怎样的对称性？
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征呢？ 哈哈，我来回答
以上函数图像都关于y轴对称
把图像关于y轴对称函数称为偶函数
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征 呢？
以上函数图像都关于原点对称
把图像关于原点对称函数称为奇函数
根据下列函数图象,判断其奇偶性.
y
y
o
奇函数
x
o
x 偶函数
y
b
oLeabharlann x 偶函数yo
x 奇函数
观察 & 发现
f(1)1f(1)
f(2)4f(2)
f( 3)9f(3) ……
2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。 一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。
3. 判断函数奇偶性的方法和步骤
我来总结
判断函数的奇偶性，注意定 义域优先
1.
课堂小结
f ( x )是 函数f (x)的图像 对函数 f (x)的定义
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2020/1/22
1
一、设疑导入，观图激趣
2020/1/22
2
故宫博物院
埃菲尔铁塔
2020/1/22
3
二、指导观察，形成概念
观察学生制作的函数图像思考以下问题：
问1：仔细观察这两个图，从对称的角度思考 他们有什么特征 ?
2020/1/22
4
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
计算ｆ(-x) ，然后根据定义判断是否为偶函数。
(2) 如果定义域没有关于原点对称,则函数肯定是 非奇非偶函数
2020/1/22
11
例2 根据函数图像判断下列函数是否为偶函数？
y
x
答：（1）不是偶函数 （2）是偶函数
2020/1/22
四、小组讨论，综合练习
如图所示，给出了偶函数y=f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小
（1）f (x) 2x2 1 （2）f (x) x2 -1
（3）f (x) x
（4）f (x) x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）该函数定义域为 x | x 0，没有关于原点对称
该函数是非奇非偶函数
定义域不关于原点对称的 函数都是非奇非偶函数
2020/1/22
10
判断函数奇偶性的方法： (1) 求出定义域，如果定义域关于原点对称，
偶函数定义：
如果对于函数ｆ(x)定义域内的任意一个x,
-x也在其定义域内
都有ｆ(-x)=ｆ(x)成立，则称函数ｆ(x)为
偶函数. 图象关于Y轴对称
2020/1/22
8
三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数是否为偶函数.
（1）f (x) 2x2 1 （2）f (x) x2 -1
（3）f (x) x
y
-3 -2 -1
x
2020/1/22
五、归纳小结，布置作业
偶函数
f(x)=f(-x)
图像关于 y轴对称
2020/1/22
五、归纳小结，布置作业
请同学们打开微信，班级群里有我们的微课，练习题和作业。
微课 习题 作业
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15
THANK YOU
2020/1/22
16
（4）f (x) x 1
（1）函数定义域为（ ， ）
且对于任意 x （ ， ）,都有 x (,) 且f (x) 2(x)2 1 2x2 1 f (x)
该函数是偶函数
2020/1/22
9
三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数是否为偶函数.
f(-x)=f(x)
问2：从数值角度研究图像的这种特征，自变量与函数值之间有何规律？
通过取值
2020/1/22
发现特征
5
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
问3：如何用符号语言来刻画?
通过解析式给出严格证明
得出定义
2020/1/22
6
讨论法
2020/1/22
7
师生互助，得出定义
1
一、设疑导入，观图激趣
2020/1/22
2
故宫博物院
埃菲尔铁塔
2020/1/22
3
二、指导观察，形成概念
观察学生制作的函数图像思考以下问题：
问1：仔细观察这两个图，从对称的角度思考 他们有什么特征 ?
2020/1/22
4
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
计算ｆ(-x) ，然后根据定义判断是否为偶函数。
(2) 如果定义域没有关于原点对称,则函数肯定是 非奇非偶函数
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例2 根据函数图像判断下列函数是否为偶函数？
y
x
答：（1）不是偶函数 （2）是偶函数
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四、小组讨论，综合练习
如图所示，给出了偶函数y=f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小
（1）f (x) 2x2 1 （2）f (x) x2 -1
（3）f (x) x
（4）f (x) x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）该函数定义域为 x | x 0，没有关于原点对称
该函数是非奇非偶函数
定义域不关于原点对称的 函数都是非奇非偶函数
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判断函数奇偶性的方法： (1) 求出定义域，如果定义域关于原点对称，
偶函数定义：
如果对于函数ｆ(x)定义域内的任意一个x,
-x也在其定义域内
都有ｆ(-x)=ｆ(x)成立，则称函数ｆ(x)为
偶函数. 图象关于Y轴对称
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三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数是否为偶函数.
（1）f (x) 2x2 1 （2）f (x) x2 -1
（3）f (x) x
y
-3 -2 -1
x
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五、归纳小结，布置作业
偶函数
f(x)=f(-x)
图像关于 y轴对称
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五、归纳小结，布置作业
请同学们打开微信，班级群里有我们的微课，练习题和作业。
微课 习题 作业
2020/1/22
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THANK YOU
2020/1/22
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（4）f (x) x 1
（1）函数定义域为（ ， ）
且对于任意 x （ ， ）,都有 x (,) 且f (x) 2(x)2 1 2x2 1 f (x)
该函数是偶函数
2020/1/22
9
三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数是否为偶函数.
f(-x)=f(x)
问2：从数值角度研究图像的这种特征，自变量与函数值之间有何规律？
通过取值
2020/1/22
发现特征
5
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
问3：如何用符号语言来刻画?
通过解析式给出严格证明
得出定义
2020/1/22
6
讨论法
2020/1/22
7
师生互助，得出定义