有序样品聚类法
数学建模-聚类分析
满足输出；不满足循环；
（7）重复；
初始聚类中心的选择
初始聚类中心的选取决定着计算的迭代 次数，甚至决定着最终的解是否为全局最优， 所以选择一个好的初始聚类中心是很有必要 的。
（1）方法一：选取前k个样品作为初始凝聚点。
(2)方法二： 选择第一个样本点作为第一个聚类 中心。然后选取距离第一个点最远的点作为第二个 聚 类中心。……
数据变换：进行[0,1]规格化得到
初始类个数的选择； 初始类中心的选择；
设k=3，即将这15支球队分成三个集团。现抽取日 本、巴林和泰国的值作为三个类的种子，即初始化三 个类的中心为 A：{0.3, 0, 0.19}； B：{0.7, 0.76, 0.5}； C：{1, 1, 0.5}；
样品到类中心的距离； 归类；
计算所有球队分别对三个中心点的欧氏 距离。下面是用程序求取的结果：
第一次聚类结果： A：日本，韩国，伊朗，沙特； B：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜； C：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰 国，越南，阿曼，印尼。
重新计算类中心；
下面根据第一次聚类结果，采用k-均值法调整各个类的 中心点。
A类的新中心点为：{(0.3+0+0.24+0.3)/4=0.21,
数据变换
（5）极差正规化变换:
x*ij
=
xij
min 1t n
xij
Rj
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
（6）对数变换x*:ij = log xij
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
k
样品间的距离
（1）绝对值距离：
m
dij
xit x jt
t 1
有序聚类过程
有序聚类过程1有序样本聚类法又称为最优分段法。
该方法是由费歇在1958年提出的。
聚类分析是对多维变量的研究对象进行分类的一种多元统计分析方法，聚类分析依据定义研究对象之间的相近程度(距离或相似系数)，将性质相近的对象聚为一类，性质不相近的对象不能聚为一类，在一般的系统聚类和动态聚类中，研究对象(样品)之间是不考虑顺序的，只要两个样本之间的距离最近，就将其聚为一类。
但是，在实际问题中，我们观察到的样品，特别是按时间顺序观察到的样本，不能随便打乱顺序地将任意两个距离最近的样品聚为一类的，例如，观察儿童的生长发育过程，按着每年增加的体重，将生长期进行分阶段，就不可以将新生儿期与学龄期分在一类，因为这中间还有一个幼儿期。
数据来源2006年统计年鉴。
表1 1990年到2005年三次产业增加值占GDP比重（％）年份序号第一产业第二产业第三产业国内生产总值第一产业第二产业第三产业人均国内生产总值1990 1 26.9 41.3 31.8 亿元亿元亿元亿元 (元/人) 1991 2 24.3 41.8 33.9 18667.8 5017.0 7717.4 5933.4 1644 1992 3 21.5 43.5 35.0 21781.5 5288.6 9102.2 7390.7 1893 1993 4 19.5 46.6 33.9 26923.5 5800.0 11699.5 9424.0 2311 1994 5 19.6 46.6 33.8 35333.9 6887.3 16454.4 11992.2 2998 1995 6 19.8 47.2 33.0 48197.9 9471.4 22445.4 16281.1 4044 1996 7 19.5 47.5 33.0 60793.7 12020.0 28679.5 20094.3 5046 1997 8 18.1 47.5 34.4 71176.6 13885.8 33835.0 23455.8 5846 1998 9 17.3 46.2 36.5 78973.0 14264.6 37543.0 27165.4 6420 1999 10 16.2 45.8 38.0 84402.3 14618.0 39004.2 30780.1 6796 2000 11 14.8 45.9 39.3 89677.1 14548.1 41033.6 34095.3 7159 2001 12 14.1 45.2 40.7 99214.6 14716.2 45555.9 38942.5 7858 2002 13 13.5 44.8 41.7 109655.2 15516.2 49512.3 44626.7 8622 2003 14 12.6 46.0 41.4 120332.7 16238.6 53896.8 50197.3 9398 2004 15 13.1 46.2 40.7 135822.8 17068.3 62436.3 56318.1 10542 2005 16 12.6 47.5 39.9 159878.3 20955.8 73904.3 65018.2 12336183084.8 23070.4 87046.7 72967.7 14040 第一步，建立一个数据集newData。
聚类分析
1聚类分析内涵1.1聚类分析定义聚类分析（Cluster Analysis）是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术. 也叫分类分析(classification analysis)或数值分类(numerical taxonomy)，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析有关变量类型:定类变量,定量(离散和连续)变量聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异很大。
1.2聚类分析分类聚类分析的功能是建立一种分类方法，它将一批样品或变量，按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类．聚类分析的内容十分丰富，按其聚类的方法可分为以下几种：(1)系统聚类法：开始每个对象自成一类，然后每次将最相似的两类合并，合并后重新计算新类与其他类的距离或相近性测度．这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止．并类的过程可用一张谱系聚类图描述．(2)调优法(动态聚类法)：首先对n个对象初步分类，然后根据分类的损失函数尽可能小的原则对其进行调整，直到分类合理为止．(3)最优分割法(有序样品聚类法)：开始将所有样品看成一类，然后根据某种最优准则将它们分割为二类、三类，一直分割到所需的K类为止．这种方法适用于有序样品的分类问题，也称为有序样品的聚类法．(4)模糊聚类法：利用模糊集理论来处理分类问题，它对经济领域中具有模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果．(5)图论聚类法：利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题，创造了独具风格的方法．(6)聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题，在多元统计分析中，可用来作预报的方法很多，如回归分析和判别分析．但对一些异常数据，如气象中的灾害性天气的预报，使用回归分析或判别分析处理的效果都不好，而聚类预报弥补了这一不足，这是一个值得重视的方法。
聚类分析根据分类对象的不同又分为R型和Q型两大类，R型是对变量(指标)进行分类，Q 型是对样品进行分类。
有序样品聚类法
������ ������ − ������������ ′ |（1.2）
������ ������ =1 ������ (������������
, ������������ +1 − 1)（1.3）
当 n,k 固定时，L[b(n , k)]越小表示各类的离差平方和越小，分类是合理的。因此要寻找 一种分法b(n , k)，使分类损失函数 L 达最小。记 P(n , k)是使 L 达到极小的分类法。 3. ������[������(������ , ������)]的递推公式 Fisher 算法最核心的部分是利用以下两个递推公式： L[P n , 2 = min2≤������ ≤������ {������ 1, ������ − 1 + ������(������, ������)} （1.4） L[P n , k = min������≤������ ≤������ {������[������ (������ − 1, ������ − 1)] + ������(������, ������)} 以上两个公式由定义即可证明。 第二个公式表明，若要找将 n 个样品分为 k 类的最优分割，应建立在将 j-1 个样品分为 k-1 类的最优分割基础上（这里 j=2,3,· · · ,n） 4. 最优解的求法 若分类数 k(1<k<n)已知,求分类法 P(n , k)，使它在损失函数意义下达最小.其求法如下： 首先找分点 jk，使（1.4）达极小，即 L[P(n ,k)= L[P(jk-1 , k-1)] + D(jk, n). 于是得第 k 类 Gk = {jk, jk+1 ,· · · , n}. 然后找 jk-1，使它满足 L[P(jk-1 ,k-1)= L[P(jk-1-1 , k-2)] + D(jk-1, jk-1)，得到第 k-1 类 Gk-1 = {jk-1, jk-1+1 ,· · · , jk-1}，类似的方法依次可得到所有类 G1，G2，· · · Gk，这就是我们欲 求的最优解，即 P(n , k)={G1，G2，· · · Gk}。 总之，为了求最优解，主要是计算{D(i ,j)；1≤i<j≤n}和{L[P(i ,j)]；1≤i≤n,i≤j≤n}. 三．应用举例 下面通过一个例子来说明最优解的具体求法。 【例】为了了解儿童的生长发育规律，今统计了男孩从出生到十一岁每年平均增长的重 量如下： 年龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.3 11 2.1 增加重量 9.3 （kg） 1.8 1.9 1.7 1.5 1.3 1.4 2.0 1.9
聚类分析之有序样品的聚类
由于只有一个指标，所以DG ( xi x )2
i 1
m
2.评价函数：D DG1 DG2 DG3
3. 计算各分类的评价函数 2 | 3 | 7 8 12 2 | 3 7 | 8 12 2 | 3 7 8 | 12 2 3 | 7 | 8 12 2 3 | 7 8 | 12 2 3 7 | 8 | 12 D 14 D 16 D 14 D 8.5 D1 D 14
即：样品1,2一类，样品3，4一类，样品5一类
谢 谢 大 家！
i 1 m
2.定义评价函数（各类直径的和） 3.根据分类数，尝试计算所有划分方法的评价函数 （各类直径的和最小），确定最优分类方案。
例子：根据指标X的观察值将有序样品1,2,3,4,5分为 三类.
样品 X 1 2 2 3
m
3 7
4 8
5 12
1.定义直径：DG ( xi x )( xi身高 25 （cm）
1.9 1.7
12.2 8.4 7.5
根据这些数据，试将男孩的发育分为3个阶段。
有序样品：样品是有先后关系，不能随意改变先后 关系，例如：与时间有关的样品。 有序样品聚类的过程： 1.定义类的直径，包含m个样品的类的直径
DG ( xi x )( xi x )
数学模型与数学建模之
聚类分析之 （简单）有序样品聚类
于晶贤
E-mail: yujingxian@
例：为了了解儿童的生长发育规律，现在统计了男 孩从出生到11岁每年平均增长的重量和身高如下：
年龄 1 2 1.8 3 4 5 1.5 7.1 6 1.3 6.4 7 1.4 5.9 8 2.0 6.0 9 1.9 5.6 10 2.3 6 11 2.1 6.5
聚类分析
聚类算法聚类分析根据分类对象不同分为Q型聚类分析和R型聚类分析。
Q型聚类是指对样品进行聚类；R型聚类是指对变量进行聚类。
根据处理方法的不同又分为：系统聚类法、有序样品聚类法、动态聚类法、模糊聚类法、图论聚类法等。
算法原理：对于样品（变量）进行分类，就需要研究样品之间的关系。
性质越接近的样品（变量），它们的相似系数绝对值越接近1，而彼此无关的样品（变量），它们相似系数的绝对值接近于0.比较相似的样品（变量）归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。
一、数据类型在实际问题中，遇到的变量有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量的类型分为以下三种尺度：间隔尺度：变量是用实数来表示的，如长度、重量、压力和速度等等。
有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如产品分为上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量关系。
名义尺度：变量度量时既没有数量表示，也没有次序关系，而用不同状态来表示，如性别变量有男、女两种状态；某物体有红、黄、白三种颜色等。
二、对于数据具有不同的量纲以及不同的数量级单位，为了使不同量纲及不同数量级的数据能放在一起比较，一般在具体运用多元统计各种方法之前，先对数据进行变换处理。
（一）间隔尺度变量变换方法1、中心化处理变换：变换后数值=变换前数值-该变量的均值称为中心化变换，即平移变换，该变换可以使新坐标的原点与样品点集合的重心重合，而不会改变样本间的相互位置，也不会改变变量的相关性。
2、标准化变换变换：变换后数值=（变换前数值-该变量的均值）/该变量标准差称为标准化变换，变换后的数据，每个变量的样本均值为0，标准差为1，而且标准化变换后的数据与量纲无关。
3、极差正规化变换（规格化变换）变换：变换后数值=（变换前数值-该变量最小值）/极差称为极差正规化变换，变换后的数据在0到1之间；也是与量纲无关。
4、对数变换变换：变换后数值=log(变换前数值)称为对数变换，要求该变量所有值均大于0，它可以将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。
聚类分析
1聚类分析内涵1.1聚类分析定义聚类分析（Cluster Analysis）是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术. 也叫分类分析(classification analysis)或数值分类(numerical taxonomy)，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析有关变量类型:定类变量,定量(离散和连续)变量聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异很大。
1.2聚类分析分类聚类分析的功能是建立一种分类方法，它将一批样品或变量，按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类．聚类分析的内容十分丰富，按其聚类的方法可分为以下几种：(1)系统聚类法：开始每个对象自成一类，然后每次将最相似的两类合并，合并后重新计算新类与其他类的距离或相近性测度．这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止．并类的过程可用一张谱系聚类图描述．(2)调优法(动态聚类法)：首先对n个对象初步分类，然后根据分类的损失函数尽可能小的原则对其进行调整，直到分类合理为止．(3)最优分割法(有序样品聚类法)：开始将所有样品看成一类，然后根据某种最优准则将它们分割为二类、三类，一直分割到所需的K类为止．这种方法适用于有序样品的分类问题，也称为有序样品的聚类法．(4)模糊聚类法：利用模糊集理论来处理分类问题，它对经济领域中具有模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果．(5)图论聚类法：利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题，创造了独具风格的方法．(6)聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题，在多元统计分析中，可用来作预报的方法很多，如回归分析和判别分析．但对一些异常数据，如气象中的灾害性天气的预报，使用回归分析或判别分析处理的效果都不好，而聚类预报弥补了这一不足，这是一个值得重视的方法。
聚类分析根据分类对象的不同又分为R型和Q型两大类，R型是对变量(指标)进行分类，Q 型是对样品进行分类。
有序聚类分析操作方法是
有序聚类分析操作方法是
1. 确定数据集：首先，需要明确定义数据集，即要聚类的数据集。
数据集通常指行与列之间的关系，也称为二维数据表。
2. 选择相似性度量：然后，需要选择相似性度量。
它是衡量数据之间相似性的方法。
可以使用欧几里得距离、曼哈顿距离、余弦距离、皮尔逊相关系数等度量方法。
3. 构建距离矩阵：根据所选度量方法，需要计算每个数据点之间的距离，并将它们记录在距离矩阵中。
4. 进行聚类操作：通过不断计算距离并进行合并，将数据集分成若干个聚类。
初始时，每个数据点是一个簇，然后合并不断靠近的簇，最终形成较小的聚类。
5. 选择聚类的数量：聚类操作完成后，需要确定聚类的数量。
这通常需要进行可视化操作，以选择最合适的聚类数量。
6. 分析聚类结果：最后根据聚类结果进行分析，了解聚类数据之间的关系，探索数据集的内在分布和特征，以及可能的模式和异常点。
有序样品聚类的相关序列法
有序样品聚类的相关序列法
程乾生
【期刊名称】《石油地球物理勘探》
【年(卷),期】1994(029)001
【摘要】本文借助于广义相关系数（相关度），引入了相关序列的概念，并提出了有序样品聚类的相关序列法。
应用该方法确定二叠－三叠系界线的实例表明，相关序列法是简单而有效的。
【总页数】5页(P96-100)
【作者】程乾生
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】P624.4
【相关文献】
1.用有序样品聚类法建立蒙古族7~18岁学生腰围的参考值 [J], 赵宏林;王风英;王丽梅;孙红;钟宏伟
2.使用有序样品聚类分析法划分东南沿海地震活跃幕 [J], 杨向东;秦乃岗
3.地震序列的有序样品聚类方法研究 [J], 许俊奇
4.国民经济发展周期的有序样品聚类法及R软件实现——从三大产业的构成出发[J], 袁琳琳
5.国民经济发展周期的有序样品聚类法及R软件实现——从三大产业的构成出发[J], 袁琳琳
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有序样品聚类法
有序样品聚类法-最优分割法一.最优分割法简介1958 年Fisher 提出处理资料：有序资料任务：寻找最优分割点聚类统计量：离均差平方和基本思想：先将n个样品看成一类，然后依据分类的误差函数逐渐增加分类。
二.聚类步骤设有序样品依次为X(i” X⑵,…，X(n) (X(i)为m维向量).用b(n, k)表示将n个有序样品分为k类的某一种方法.常记分法b(n, k)为: Gl={i』+l,・・・j2・l}，G2 = {i2, i2+l,Gk = {i k, ik+1, •••」】}，其中分点为1 = ii<i2<i3<e,,<ik< n = ik+i -1 (即ik+i= n+1 )。
1.定义类的直径设某一类G包含的样品有{X(i),Xg,・・・，X(j)} (j>i),记为G={i,i+1,…,j}. 该类的均值向量文G 为1=1用D(i,j)表示这一类的直径，常用的直径有：D(i,j) = Y仁(心一心)，(")—&)(11)当m=l时，也可以定义直径为D(i,j) = X仁|X(%)|(1.2)其中，心‘是这一类数据中的中位数。
2.定义误差函数(损失函数)定义这种分类法的损失函数为L[b(n,k)] = S?=1D(Q,i t+1-l) (1.3)当i】J<固定时，L[b(n,k)]越小表示各类的离差半方和越小，分类是合理的。
因此要寻找一种分法b(n,k),使分类损失函数L达最小。
记P(n , k)是使L达到极小的分类法。
3.L[b(n,k)]的递推公式Fisher算法最核心的部分是利用以下两个递推公式：L[P(n, 2) = niin2<,夕{D(1J 一1) + D(/“)}L[P(n,k) = miny^{L[P(j-l f k- 1)] + D(/,n)}以上两个公式由定义即可证明。
第二个公式表明，若要找将n个样品分为k类的最优分割，应建立在将j・l个样品分为k-1类的最优分割基础上(这里j=2»3,…,n)4.最优解的求法若分类数k(l<k<n)己知，求分类法P(n ,k),使它在损失函数意义下达最小.其求法如下：首先找分点jk，使(1.4)达极小，即L[P(n ,k)= L[P(j k-l ,k-l)]+D(j k,n).于是得第k类唾={jk, jk+1 ,n}.然后找je 使它满足L[P(j k.i Jc-1)= L[P(j k.r l,k-2)]+D(j k.i,jk-l),得到第k・l 类Gk-i = {jk-i,jk-i+l，-类似的方法依次可得到所有类Gi，6,…G k,这就是我们欲求的最优解,即P(n,k)={Gi，③,・・・Gk}。
有序样品聚类分析方法在花开左组划分中的应用
有序样品聚类分析方法在花开左组划分中的应用李守奎;杨柳扬;赵庆红;王明明【摘要】本文根据云南云龙县凤代中侏罗统花开左组(J2h)剖面上系统获得的地球化学分析数据,采用多变量最优分割法,对花开左组进行了化学地层划分的应用研究,发现了该地层地球化学元素特征显著变化面,找到沉积环境变化层位,从而为岩石地层划分提供辅助依据.取得了与野外岩石地层观察情况较为一致的结果,为组级以下地层单位的划分以及沉积环境的解释提供辅助和补充资料.【期刊名称】《云南地质》【年(卷),期】2017(036)003【总页数】5页(P327-331)【关键词】有序样品聚类分析;最优分割法;化学地层;花开左组;云南云龙地区【作者】李守奎;杨柳扬;赵庆红;王明明【作者单位】云南省地质矿产勘查院大理地质矿产所,云南大理 671000;云南省地质矿产勘查院大理地质矿产所,云南大理 671000;云南省地质矿产勘查院大理地质矿产所,云南大理 671000;云南省地质矿产勘查院大理地质矿产所,云南大理671000【正文语种】中文【中图分类】P539.7在目前的区域地质调查中，地层划分研究主要采用岩石地层、生物地层和年代地层等三种地层单位。
《1∶50000区域地质调查工作指南》(2016年)要求“沉积岩岩石地层的填图单位要划分到组，组内应根据岩性组合的变化划分到段并进行翔实填绘”。
云南地区缺乏正式命名的段级及以下的正式填图单位，这也使相当于段级及以下的填图单位(非正式)的划分标准难以统一，虽然大都以组内岩层明显不同的岩性特征来进一步细分为段及亚段，但“明显不同”往往带有经验性，并无标准，具有较大的随意性。
本文试用化学地层划分方法对组内单位细分问题进行研究。
化学地层划分是按岩层的地球化学变化特征，将岩层分割为不同的层位或者单位[1]。
沉积岩中微量元素的多元统计分析是化学地层划分广泛采用的工作手段，最常用的数理统计方法为有序样品聚类分析方法，其数学原理为最优分割法。
基于遗传算法的有序样本聚类及其应用
作者： 石建辉
作者机构： 中国人民大学统计学院,北京100086
出版物刊名： 统计与决策
页码： 19-21页
年卷期： 2010年 第23期
主题词： 有序样本聚类;方向数据聚类;遗传算法
摘要：传统的解决有序样本聚类的Fisher最优分割法对计算机存储能力要求较高,不适合由于样本长度较大时的情况。
实践中常用的最优二分割法只能求得局部最优解。
文章提出了一种基于遗传算法解决有序样本聚类问题的新算法。
该算法适用于多种聚类距离,适合于大样本,可以解决方向聚类问题。
有序样品的最优分割的算法及其在MATLAB中的实现
有序样品的最优分割算法及其在Matlab 中的实现一、 有序样品聚类——最优分割的概念地质数据中，有些样品有一定的排列顺序，如沿地层剖面采集的岩石标本，由钻孔取得的岩芯样品，由测井曲线所得的数据，由岩体中心到围岩的蚀变剖面的样品等，它们是有序地质变量，在对这些有序样品进行分类时，不能打乱样品的前后次序。
所以， 一些不考虑样品排列顺序的数学处理方法，对此并不适用。
有序样品的聚类分析就是对有序样品进行分段的统计方法。
对n 个有序样品进行分割，就可能有2n-1种划分方法，这每一种分法成为一种分割。
在所有的这些分割中，有一种分割使得各段内部之间差异性最小，而短语段之间差异性最大。
这种对n 个样品分段并使组内离差平方和最小的分割方法，成为最优分割法。
这类问题的提法如下：设有一批（N 个）按一定顺序排列的样品，每个样品测得p 项指标，其原始资料矩阵:X （p ×N ） = x 11x 12⋯x 1N x 21x 22⋯x 1N ⋮⋮⋱⋮x p1x p2⋯x pN其中元素xij 表示第j 个样品的第i 个指标的观测值。
现在要把此N 个样品按顺序（不破坏序列的连续性）进行分割（分段或者分类）。
其所有可能的分割法共有C 1N-1+C 2N-1+ C 3N-1+…+C N-1N-1 = 2N-1-1种。
现在要求在所有分割中找出一种分割法，这种分割法使得各段内样品之间的差异最小，而各段之间的差异最大。
各段内部差异最小，即各段内数值变化最小，段内数值变化可用变差或者极差来表示，比如样品段｛x i 、x i+1、x i+2、…、x j ｝:变差：d ij = [x α−x jα=i (i,j)]2 x i,j =1 x αjα=1d ij 表示样品段｛x i 、x i+1、x i+2、…、x j ｝内样品间的差异情况，d ij 小表示段内各样品之间数值比较接近，反之，d ij 大表示段内各样品数值之间的差异大。