三角形中位线讲义
三角形的中位线完整版课件
已知：如图，在四边形ABCD中，E，G，分别是AB，CD，的中点.
A
E
P
D
B
G
C
若AD=BC，连结BD，P是 BD的中点，
连结EP，GP，若∠PEG=15°，则
∠PGE=
度.
分析 由已知可得EP与GP分别是△ABP与△BCD的中位线，
∴EP ＝ ∥ 1 AD， PG＝ ∥ 1 AD.
2
2
又∵AD=BC
三角形中线，一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点.
新知探究
4.5三3.角3垂 3形.4径圆的定心中理角位②②线
通过观察，测量等方法，你发现线段DE有哪些性质？
A
观察发现DE∥BC，度量发现 DE 1 BC . 2
三角形的中位线定理：
D
E
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
B
几何语言：
新知探究
4.5三角形的中位线
• 了解三角形中位线的概念 • 了解三角形中位线的性质 • 探索三角形中位线定理证明的方法 • 能由线段的中点联想到三角形中位线 • 探索三角形中位线性质的一些简单应用
4.5三角形的中位线
• 定义：连结三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线
• 任意画一个△ABC，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE. A • 你还能画出几条三角形的中位线？
A
D
G
O
EM F
B
C
课堂小结
4.5三角3形.4圆的心中角位②线
三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
中位线定理经常用于： ① 证明平行关系； ② 线段大小的计算.
D
E
全等三角形中的倍长类中线--讲义--学生版
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．版块一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCB A【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．例题精讲全等三角形中的倍长类中线FEDC BA【例3】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例4】 已知AM 为ABC ∆的中线，AM B ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA【例5】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA家庭作业。
三角形中位线定理课件
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
北师大版八年级数学下册6.4《三角形的中位线》知识点精讲
、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。
（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
《三角形的中位线》 知识清单
《三角形的中位线》知识清单一、三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
需要注意的是，一个三角形共有三条中位线。
二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理是解决与三角形中位线相关问题的重要依据。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过以下方式来证明：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE。
延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接 CF。
因为 AE ＝ EC，∠AED ＝∠CEF，DE ＝ EF，所以△ADE ≌△CFE（SAS）所以 AD ＝ CF，∠ADE ＝∠F所以 AB ／／ CF又因为 AD ＝ BD所以 BD ＝ CF所以四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）所以 DF ／／ BC，DF ＝ BC因为 DE ＝ 1/2 DF所以 DE ／／ BC，DE ＝ 1/2 BC通过以上证明，我们得出了三角形中位线定理。
三、三角形中位线定理的应用1、证明线段平行如果已知一条线段是三角形的中位线，那么可以直接得出这条线段与三角形的第三边平行。
例如，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，则DE ／／ BC。
2、证明线段的数量关系可以利用中位线等于第三边的一半来证明线段之间的倍数关系。
比如，已知△ABC 中，DE 是中位线，那么 DE ＝ 1/2 BC。
3、计算线段的长度在一些几何计算题中，如果能找到三角形的中位线，就可以利用中位线定理求出相关线段的长度。
例如，在△ABC 中，AB ＝ 10，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE ＝ 5。
4、求图形的面积通过中位线与底边的关系，可以求出相关三角形的面积比。
假设△ABC 中，DE 是中位线，△ADE 的面积为 S1，△ABC 的面积为 S2。
因为 DE ／／ BC，所以△ADE ∽△ABC，相似比为 1 ： 2。
三角形的中位线讲义
教育教学讲义学员姓名：年级：学科教师：课时数：上课时间：辅导科目：数学三角形的中位线题课：了解三角形中位线的证明方法。
1：会运用三角形的中位线性质解决相关几何问题。
2教学目标：比较三角形的中位线和梯形的中位线的区别与应用。
3： 4 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别。
教学内容知识梳理定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线(如图： D、E分别是AB、AC边的中点，DE就是△ABC的中位线。
)思考：一个三角形共有几条中位线？中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
例题1.已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.1BC?DE求证：DE∥BC，2证明：如图，以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到△CFE，则D，E，F同在一直线上DE=EF，且△ADE≌△CFE。
∴∠1=∠F，AD=CF，∴AB∥CF又∵BD=AD∴BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC1BC/DE/∴2三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言：的中位线ABC是△DE∵．1BC DE=∥BC,且∴DE2例题2.如图，作出△ABC的3条中位线DE，DF，EF(1) △DEF的周长与△ABC的周长有什么关系?答：△DEF的周长是△ABC周长的一半1S=S，则△DEF的面积的面积为(2) 设△ABC41S (3) 过D作DG⊥BC，垂足为G，过E作EH⊥BC，垂足为H，则四边形DEHG的面积=2变式：已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.①求证：四边形EFGH是平行四边形.②若四边形ABCD的面积为10，求四边形EFGH的面积提示：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形例题3.如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分例题4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。
三角形中位线定理及推论
三角形中位线定理及推论一、三角形中位线定理三角形中位线定理是指在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段称为中位线，三条中位线交于一点，且该点与三个顶点的距离相等。
具体表述为：三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等。
以三角形ABC为例，连接顶点A与边BC的中点D，顶点B与边AC 的中点E，顶点C与边AB的中点F，根据中位线定理可知，中位线AD、BE和CF三条线段交于一点G，并且AG=BG=CG。
中位线定理的证明可以通过向量法或平面几何法进行，这里我们选择平面几何法证明。
证明思路如下：1. 连接顶点A与边BC的中点D，假设点G是中位线AD与中位线BE 的交点；2. 连接顶点B与边AC的中点E；3. 通过顶点C以平行于边AB的直线与中位线AD交于点H；4. 由平行线的性质可知，AH=CH；5. 进一步，由三角形的对应边成比例可得：AH/AD=CH/CF；6. 由于AH=CH，所以AD=CF；7. 同样地，由中位线定理可得：BE=CF；8. 综上所述，AD=BE=CF，即证明了中位线定理。
二、三角形中位线推论基于中位线定理，我们可以得出一些有关三角形的推论。
1. 三角形中位线长度关系推论根据中位线定理，三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等，即AG=BG=CG。
由此可得，中位线上的点距离顶点的距离是相等的。
进一步推论，三角形中位线的长度满足以下关系：AG=2GD，BG=2GE，CG=2GF。
2. 三角形中位线与三角形面积推论由三角形中位线定理可知，三条中位线交于一点G。
以G为顶点，三边中点分别为D、E、F，连接DG、EG和FG。
我们可以发现，连接G与三角形顶点的线段将三角形分成了六个小三角形，而这些小三角形的面积相等。
因此，我们可以推论得到：三角形中位线所分割的三个小三角形的面积相等。
3. 三角形中位线与三角形高度推论在三角形中，如果我们将中位线作为底边，那么与之对应的高度就是顶点到底边中点的距离。
三角形的中位线说课稿
三角形的中位线说课稿(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角形的中位线说课稿三角形的中位线说课稿三角形的中位线说课稿（1）一、教学目标：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．3．难点的突破方法：（1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的，新教材与老教材在这个知识的讲解顺序安排上是不同的，它这种安排是要降低难度，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线的练习很少，因此无论讲解顺序怎么安排，证明三角形中位线的性质（例1）时，题中辅助线的添加都是一大难点，因此教师一定要重点分析辅助线的作法的思考过程．让学生理解：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等来证明结论成立的思路与方法．（2）强调三角形的中位线与中线的区别：中位线：中点与中点的连线。
中线：顶点与对边中点的连线．（3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚：特点：在同一个题设下，有两个结论．一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系。
条件（题设）：连接两边中点得到中位线。
结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与第三边的数量关系（在应用时，可根据需要选用其中的结论）。
作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．（4）可通过题组练习，让学生掌握其性质．三、课堂引入1．平行四边形的性质。
平行四边形的判定。
它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等。
北师大数学八年级下册第六章-三角形的中位线经典讲义
第02讲_三角形的中位线知识图谱三角形的中位线知识精讲一．三角形的中位线三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线性质DE ∥BC ， 12DE BC =如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，则线段DE 是△ABC 的中位线．求证：DE ∥BC ， 12DE BC =证明过程：延长DE 到F ，使EF = DE ，连接 FC 、DC 、AF 1）证明四边形ADCF 是平行四边形 2）证明四边形BCFD 是平行四边形∴DE// BC 且DE=EF=12BC 2．任意两点的中点坐标公式：平面直角坐标系内的任意两点()11A x y ， ，()22B x y ，，线段AB 的中点C 的坐标为121222x xy y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ABCD EABCDEF出现两个中点，无三角形→构造三角形如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H分别为四边中点连接对角线AC 、BD ，则HG 为△ADC的中位线，HG ∥AC 且HG ＝12AC 。
最后可证四边形HEFG 为平行四边形三．易错点（1）注意中线与中位线的区分 （2）中位线的辅助线构造三点剖析一．考点：1．中位线定理．二．重难点： 构造中位线，解决相关的角度线段问题．三．易错点：中线与中位线的区别．中位线定理例题1、 如图，▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3cm ，则AB 的长为（ ）A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.12 cm【答案】 B【解析】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC ；又∵点E 是BC 的中点， ∴BE=CE ，∴AB=2OE=2×3=6（cm ） 故选：B ．例题2、 如图，在Rt △ABC 中，△A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A.1B.2C.D.1+【答案】 A【解析】 如图，△在Rt △ABC 中，△C=90°，△A=30°， △AB=2BC=2．又△点D 、E 分别是AC 、BC 的中点， △DE 是△ACB 的中位线， △DE=AB=1．例题3、 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCEH GFEA BCD中，DE 的最小值是（ ）A.5B.6C.12D.13【答案】 A【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°， ∴BC ⊥AB ．∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴OD ＝OE ，OA ＝OC ．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短，此时OD ⊥BC ． ∴OD 是△ABC 的中位线，∴12.52OD AB ==，∴ED ＝2OD ＝5．例题4、 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=DE ，求证：∠CDF=∠A ．【答案】 见解析【解析】 证明：∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，∵点F 在BC 的延长线上， ∴DE ∥CF ， ∵DE=CF ，∴四边形CEDF 为平行四边形， ∴DF ∥CE ，∴∠CDF=∠ECA ，∵∠ACB=90°，E 为AB 的中点， ∴CE=21AB=AE ， ∴∠A=∠DCE ， ∴∠CDF=∠A ．例题5、 （1）如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则BME CNE ∠=∠，求证：AB CD =．（提示取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线） （2）如图2，在ABC ∆中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，若5AB DC ==，60OEC ∠=︒，求OE 的长度．【答案】 （1）见解析（2）52【解析】 连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴EH AB ∥，12EH AB =，FH CD ∥，12FH CD =BME CNE ∠=∠，∴HE HF =， ∴AB CD =；（2）解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ， AB CD =，∴HO HE =，∴HOE HEO ∠=∠，60OEC ∠=︒，∴60HEO AGO ∠=∠=︒， ∴OEH ∆是等边三角形， 5AB DC ==∴52OE =随练1、 一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ） A.6 B.12 C.18 D.36 【答案】 C【解析】 根据题意，画出图形如图示， 点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴DE=12BC ，DF=12AC ，EF=12AB ，∵AB+CB+AC=36，∴DE+DF+FE=36÷2=18． 故选C ．随练2、 如图，△ABC 中，已知AB=8，△C=90°，△A=30°，DE 是中位线，则DE 的长为（ ）A.4B.3C.D.2【答案】 D【解析】 △△C=90°，△A=30°， △BC=AB=4， 又△DE 是中位线， △DE=BC=2．故选D ．随练3、 如图，已知ABC △是锐角三角形，分别以AB 、AC 为边向外侧作两个等边三角形ABM △和CAN △，D 、E 、F 分别MB 、BC 、CN 的中点，连结DE 、FE ，求证：DE EF =.【答案】 证明见解析【解析】 连接MC 、BN ，ABM ∵△和CAN △是等边三角形，60BAM CAN ∠=∠=︒∴，MA BA =，AN AC =， BAM BAC CAN BAC ∠+∠=∠+∠∴， 即MAC BAN ∠=∠， 在MAC △与BAN △中 MA BA MAC BAN AN AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， MAC BAN ∴△≌△， MC NB =∴，D ∵、E 、F 分别是MB 、BC 、CN 的中点，12DE MC =∴，12EF BN =，DE EF =∴.随练4、 如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ．若AB=14，AC=19，则MN 的长度为__________．【答案】 2.5【解析】 延长BN 交AC 于D ，∵AN ⊥BN ，AN 平分∠BAC ，∴AN 是BD 的垂直平分线，∵点M 是BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，111 2.5222MN CD AC AD AC AB ==-=-=（）（） 随练5、 已知，如图，四边形ABCD 中AD BC =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、EF 和BC 的延长线分别交于M 、N 两点，求证：AME BNE ∠=∠．ABCMN ABC D EFMNNMFD C BA【选项】【答案】见解析【解析】证明：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FGE、F、G分别是AB、CD、BD的中点//FG BC∴，//EG AD且1=2FG BC，1=2EG ADAME FEG∴∠=∠,BNE GFE∠=∠AD BC=FG EG∴=FEG EFG∴∠=∠AME BNE∴∠=∠．拓展1、如图，在△ABC中，从A点向∠ACB的角平分线作垂线，垂足为D，E是AB的中点，已知AC＝4，BC＝6，则DE的长为（）A.1B.43C.32D.2【答案】A【解析】如图，延长AD交BC于F，∵CD是∠ACB的角平分线，CD⊥AD，∴AD＝DF，AC＝CF，（等腰三角形三线合一），又∵E是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴12DE BF=，∵AC＝4，BC＝6，∴BF＝BC－CF＝6－4＝2，∴1212DE=⨯=．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A.2B.3C.52D.4【答案】 B【解析】 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点 ∴DE ∥AB∴∠EDC=∠ABC ∵BF 平分∠ABC ∴∠EDC=2∠FBD在△BDF 中，∠EDC=∠FBD+∠BFD ∴∠DBF=∠DFB∴FD=BD=12BC=12×6=3．3、 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝________．【答案】 5【解析】 ∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴BC 2＋AC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE ＝EC ＝4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝3， ∴225AD DC AE DE ==+=．4、 如图，点A ，B 为定点，定直线l △AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值： ①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤△APB 的大小． 其中会随点P 的移动而变化的是（ ）A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤【答案】 B【解析】 △点A ，B 为定点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点， △MN 是△PAB 的中位线， △MN=AB ，即线段MN 的长度不变，故①错误； PA 、PB 的长度随点P 的移动而变化，所以，△PAB 的周长会随点P 的移动而变化，故②正确；△MN 的长度不变，点P 到MN 的距离等于l 与AB 的距离的一半， △△PMN 的面积不变，故③错误；直线MN ，AB 之间的距离不随点P 的移动而变化，故④错误； △APB 的大小点P 的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点P 的移动而变化的是②⑤． 故选：B5、 如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边△ACD 、等边△ABE ，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ，当ACAB=______时，四边形ADFE 是平行四边形．【答案】32【解析】 当ACAB =32时，四边形ADFE 是平行四边形．理由：∵ACAB =32，∴∠CAB=30°，∵△ABE 为等边三角形，EF ⊥AB ，∴EF 为∠BEA 的平分线，∠AEB=60°，AE=AB ， ∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°， ∴∠FEA=∠BAC ， 在△ABC 和△EAF 中， ACB EFA BAC AEF AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△EAF （AAS ）； ∵∠BAC=30°，∠DAC=60°， ∴∠DAB=90°，即DA ⊥AB ， ∵EF ⊥AB ， ∴AD ∥EF ，∵△ABC ≌△EAF ， ∴EF=AC=AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形6、 如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点．求证：()12EF BC AD =-【答案】 见解析【解析】 如图所示，连接AE 并延长，交BC 于点G ． AD BC ∥，∴ADE GBE ∠=∠，EAD EGB ∠=∠，又E 为BD 中点，∴AED GEB ∆∆≌．∴BG AD =，AE EG =． 在AGC ∆中，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点∴F 、E 是AGC ∆的为中位线，∴EF BC ∥，()()111222EF GC BC BG BC AD ==-=-，即()12EF BC AD =-。
三角形中位线定理 知识讲解
三角形中位线定理知识讲解本文介绍了三角形中位线定理和中点四边形的形成规律。
三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，定理为中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
每个小三角形的周长为原三角形周长的1/2，面积为原三角形的1/4.中点四边形是由原四边形各边中点顺次连接而成的四边形，若原四边形对角线互相垂直，则新四边形是矩形；若对角线相等，则新四边形是菱形；若对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。
举例来说，题目中给出了一个四边形ABCD，其中∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN。
要证明BM=MN，根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明。
另外，题目中还要求求出BN的长，首先证明∠BMN=90°，根据BN²=BM²+MN²即可解决问题。
根据中位线定理和勾股定理，可以得出 BN^2 = BM^2 + MN^2.因为 MN=BM=AC=1，所以BN=√3.这道题考查了中考常考的知识点，需要学生能够熟练地运用这些知识点解决问题。
变式题中，给定了一个矩形 OABC，其中 A、C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，B 点坐标为 (3,2)，OB 与 AC 相交于点 P，D、E、F、G 分别是线段 OP、AP、BP、CP 的中点。
我们需要求出四边形 DEFG 的周长。
根据矩形的性质，可以得到OA=3，AB=2.因为 D、E、F、G 分别是线段 OP、AP、BP、CP 的中点，所以 DE=GF=1.5，EF=DG=1.因此，四边形DEFG 的周长为 (1.5+1)*2=5.在三角形 ABC 中，已知点 D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，AH 是高。
第一问需要求出四边形ADEF 的面积。
根据三角形面积公式，可以得到 S△ABC=1/2*10*8=40.因为 D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，所以△BDE、△EFC 的面积都等于△ABC 面积的四分之一，因此四边形 ADEF 的面积为 40-20=20.第二问需要证明∠DHF=∠DEF。
三角形中位线定理课件
02 三角形中位线定理的推导 与证明
三角形中位线的定义与性质
定义
在三角形中，连接一个顶点和它所对 边的中点的线段叫做三角形的中位线 。
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且 等于第三边的一半。
三角形中位线定理的推导过程
01
02
第一步，根据定义，画 出三角形的一条中位线。
ห้องสมุดไป่ตู้
第二步，通过相似三角形的 性质，证明中位线与第三边 平行且等于第三边的一半。
解析法
通过建立坐标系，利用解析几何的 方法证明三角形中位线定理，通过 点的坐标和直线的方程进行推导。
03 三角形中位线定理的应用 举例
在几何问题中的应用
证明线段相等
利用三角形中位线定理可 以证明两条线段相等，通 过构造中位线并利用其性 质进行推导。
证明线段平行
通过三角形中位线的性质， 可以证明两条线段平行， 这在几何问题中经常用到。
对三角形中位线定理的深入理解与展望
01
深入理解三角形中位线的性质
除了基本的定义和性质外，还可以进一步探讨三角形中位线的其他性质，
如与三角形各边之间的关系、与三角形内角之间的关系等，以加深对三
角形中位线的理解。
02
拓展三角形中位线定理的应用范围
可以进一步拓展三角形中位线定理的应用范围，探索其在更广泛的数学
证明角相等
三角形中位线定理还可以 用来证明两个角相等，通 过构造适当的三角形并应 用定理进行推导。
在三角形面积计算中的应用
计算三角形面积
利用三角形中位线定理，可以将一个 三角形划分为两个小的相似三角形， 从而简化面积计算过程。
求解三角形高
推导三角形面积公式
结合三角形中位线定理和其他几何知 识，可以推导出三角形面积的多种计 算公式。
三角形中位线课件
三角形中位线的定理
• 定理：三角形的中位线定理是指三角形的中位线长度等于 第三边长度的一半，并且平行于第三边。
三角形中位线的性质定理
01
02
03
性质定理1
三角形的中位线将相对边 分为两段，且这两段长度 相等。
性质定理2
三角形的中位线与第三边 平行，且长度为第三边的 一半。
性质定理3
三角形的中位线将相对顶 点与对边中点连接，且该 连线长度为中位线长度的 一半。
电路设计
在电路设计中，三角形中位线可以用来平衡电流，防止电流过大导致设备损坏或 火灾等安全事故。
05 总结与思考
三角形中位线的重要性和意义
几何构造的基础
在实际生活中的应用
三角形中位线是几何学中的基础概念 ，对于理解几何图形的构造和性质至 关重要。
在建筑、工程和设计等领域，三角形 中位线的应用广泛，例如在测量、绘 图和计算面积等方面。
02 三角形中位线的 性质与判定
三角形中位线的性质
三角形中位线平行于第三边
01
三角形中位线与第三边平行，这是三角形中位线的基本性质。
三角形中位线长度为第三边的一半
02
三角形中位线的长度是第三边长度的一半，这是三角形中位线
的长度性质。
三角形中位线将相对边等分
03
三角形中位线将相对边等分，这是三角形中位线的等分性质。
在解题中的应用
解题辅助
在解决一些几何问题时，三角形中位线可以作为一个重要的解题工具，帮助我 们找到解题的突破口。
证明定理
通过三角形中位线，我们可以证明一些重要的几何定理，如“三角形中位线定 理”等。
在生活中的实际应用
建筑测量
在建筑行业中，三角形中位线被广泛应用于测量和计算角度、长度等参数，决几何证明问题
三角形中位线和梯形中位线讲义+习题含答案
三角形中位线和梯形中位线要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.类型一、三角形的中位线1、如图，已知P 、R 分别是长方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【变式】在△ABC 中，中线BE 、CF 交于点O ，M 、N 分别是BO 、CO 中点，则四边形MNEF 是什么特殊四边形？并说明理由．2、如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是（ ） 1214A ．2B ．3 C. D ．43、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【变式】如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN⊥BE 于N ，AM⊥CF 于M ，求证：MN∥BC．4、（1）如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD ．（提示取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）52（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1类型二、中点四边形5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF 、FG 、GD ．（1）判断四边形DEFG 的形状，并说明理由；（2）若M 为EF 的中点，OM=2，∠OBC 和∠OCB 互余，求线段DG 的长．类型三、梯形中位线6、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。
三角形的中位线专题复习 八年级下学期重难点及章节分类精品讲义
第7讲三角形的中位线专题探究类型一三角形中位线定理知识点睛：三角形中位线定理的应用（1）证明平行问题;（2）证明一边是另一边的2倍或（3）解决"中点问题".注意∶在处理这些问题时，要求出现三角形及其中位线：①有中点连线而无三角形，要作辅助线产生三角形;②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.类题训练1．（2021春•罗湖区校级期末）如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝2，△AEG的面积＝2，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝2，进而得到△AFG的面积．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×16＝2，△AEG的面积＝2，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝8，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝×8＝2，∴△AFG的面积是2×3＝6，故选：A．2．（2021秋•寿光市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.5【分析】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝6，AF ＝FH，再证△BF A≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，在△BF A和△BFH中，，∴△BF A≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝8，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF是△ABH的中位线，∴DF＝BH＝4，∴EF＝DE﹣DF＝2，故选：C．3．（2021秋•海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（）A．17B．18C．19D．20【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN ＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故选：A．4．（2018春•江干区期末）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE 于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（）A．4B．5C．6D．7【分析】延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，根据全等三角形的性质得到AF＝AB ＝10，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长BE交AC于F，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB（ASA）∴AF＝AB＝10，BE＝EF，∴CF＝AC﹣AF＝8，∵BE＝EF，BD＝DC，∴DE＝CF＝4，故选：A．5．（2021•吴兴区二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（）cm2．A．0.5B．1C．2D．4【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，进而证明△EFD∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵点D、E、F分别是各边的中点，∴EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，∴＝＝＝，∴△EFD∽△ABC，且相似比为，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为4cm2，∴△DEF的面积是1cm2，故选：B．6．（2021秋•广饶县期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A．B．C．1D．【分析】取BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DH＝FC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠F AE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．7．（2021秋•龙口市期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△A n B n∁n的周长为（）A．a B．a C．a D．a【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长＝a，△A2B2C2的周长＝a＝a，总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB，∴△A1B1C1的周长＝a，同理，△A2B2C2的周长＝a＝a，……则△A n B n∁n的周长＝a，故选：A．8．（2021秋•东莞市校级期末）如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE 是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，即可判断①；求出∠F AE＝∠B，再根据平行线的性质得出AE∥BC，即可判断②；求出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AE＝BD，求出AE＝CD，根据矩形的判定推出四边形ADCE 是矩形，根据矩形的性质得出AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，求出DG＝AG＝CG＝EG，根据勾股定理判断④即可；根据AE＝BD＝BC和AG＝AC判断③即可．【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴∠DAE＝90°，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．类型二三角形中位线在四边形中的应用知识点睛：四边形中中位线的构造（1）四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;（2）四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于判断线段关系或由线段引发的角度关系。
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
三角形中位线精品讲义
三角形中位线知识目标：1、掌握三角形中位线的性质 2、构造三角形的中位线解题例1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，且CF=21BC ． （1）求证：DE=CF ；（2）若BE=BC=5，求△BEF 的周长练习：已知三角形的三边为6、8、10,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？例2、如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形即时练习：已知如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形HGFEDBCA例3：如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=8，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．ENFAB CDM即时练习：1、如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．2、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线相交于M 、N 。
求证：∠BME=∠CNE三、专题训练1、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF的关系是＿＿＿2．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．(1) (2) (3) (4) 3．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm4．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m5．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、2200916．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定7．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．408．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．9．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．10．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．11．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．12．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．。
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三角形中位线讲义
【知识梳理】
操作1：把一个等边三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别
连接（图1）；
操作2：把一个任意三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别
连接（图2）；
操作3：把一个任意三角形剪拼成一个平等四边形——剪一个三角形，记为
△ABC；分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；沿DE将△ABC
剪成两部分，并将△ADE续点E旋转180°，得四边形BCFD（图3）。
1、概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线的性质：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
练习：
（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是__平行四边形
（2）顺次连结矩形各边中点所得图形是______.
（3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是______.
（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____.
（5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是_______.
（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_____.
（7）顺次连结正方形各边中点所得的图形是______.
【例题精讲】
例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA、的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
操作1：请任画一个四边形，顺次连接四边形各边的中点。
问题1：猜想探索得到的四边形的形状，并说明理由。
问题2：由E、F分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？
变式：（1）依次连接矩形4边中点所得的四边形是怎样的图形?为什么？
（2）如果将矩形改成菱形，结果怎样？
巩固：
1．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.以上都不对
2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.以上都不对
3．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为cm 4．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长.
5．已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足是E、F是BC的中点，试
说明BD=2EF。
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、DO的中点，四边形EFGH是矩形吗？为什么？
【课堂练习】
1．如果四边形的对角线相等，那么顺次连结四边形的中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对
2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对
3．如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（）A．互相平分B．互相垂直C．相等D．相等且互相平分
4．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）.
A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形
D．菱形或对角线互相垂直的四边形
5．△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的，线段DE是△ABC. 6．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，（1）如果EF＝4cm，那么BC＝cm；如果AB＝10cm，那么DF＝cm；（2）中线AD与中位线EF的关系是.
7．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB的中点D、E.
（1）若DE的长度为36米，求A、B两地之间的距离；
（2）如果D、E两点之间还有阻隔，你有什么方法解决？
8.如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
9.如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，
求证：MN∥BC．
12．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．。