三角形中位线讲义
三角形的中位线完整版课件
已知：如图，在四边形ABCD中，E，G，分别是AB，CD，的中点.
A
E
P
D
B
G
C
若AD=BC，连结BD，P是 BD的中点，
连结EP，GP，若∠PEG=15°，则
∠PGE=
度.
分析 由已知可得EP与GP分别是△ABP与△BCD的中位线，
∴EP ＝ ∥ 1 AD， PG＝ ∥ 1 AD.
2
2
又∵AD=BC
三角形中线，一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点.
新知探究
4.5三3.角3垂 3形.4径圆的定心中理角位②②线
通过观察，测量等方法，你发现线段DE有哪些性质？
A
观察发现DE∥BC，度量发现 DE 1 BC . 2
三角形的中位线定理：
D
E
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
B
几何语言：
新知探究
4.5三角形的中位线
• 了解三角形中位线的概念 • 了解三角形中位线的性质 • 探索三角形中位线定理证明的方法 • 能由线段的中点联想到三角形中位线 • 探索三角形中位线性质的一些简单应用
4.5三角形的中位线
• 定义：连结三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线
• 任意画一个△ABC，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE. A • 你还能画出几条三角形的中位线？
A
D
G
O
EM F
B
C
课堂小结
4.5三角3形.4圆的心中角位②线
三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
中位线定理经常用于： ① 证明平行关系； ② 线段大小的计算.
D
E
全等三角形中的倍长类中线--讲义--学生版
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．版块一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCB A【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．例题精讲全等三角形中的倍长类中线FEDC BA【例3】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例4】 已知AM 为ABC ∆的中线，AM B ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA【例5】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA家庭作业。
三角形中位线定理课件
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
北师大版八年级数学下册6.4《三角形的中位线》知识点精讲
、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。
（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
《三角形的中位线》 知识清单
《三角形的中位线》知识清单一、三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
需要注意的是，一个三角形共有三条中位线。
二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理是解决与三角形中位线相关问题的重要依据。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过以下方式来证明：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE。
延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接 CF。
因为 AE ＝ EC，∠AED ＝∠CEF，DE ＝ EF，所以△ADE ≌△CFE（SAS）所以 AD ＝ CF，∠ADE ＝∠F所以 AB ／／ CF又因为 AD ＝ BD所以 BD ＝ CF所以四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）所以 DF ／／ BC，DF ＝ BC因为 DE ＝ 1/2 DF所以 DE ／／ BC，DE ＝ 1/2 BC通过以上证明，我们得出了三角形中位线定理。
三、三角形中位线定理的应用1、证明线段平行如果已知一条线段是三角形的中位线，那么可以直接得出这条线段与三角形的第三边平行。
例如，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，则DE ／／ BC。
2、证明线段的数量关系可以利用中位线等于第三边的一半来证明线段之间的倍数关系。
比如，已知△ABC 中，DE 是中位线，那么 DE ＝ 1/2 BC。
3、计算线段的长度在一些几何计算题中，如果能找到三角形的中位线，就可以利用中位线定理求出相关线段的长度。
例如，在△ABC 中，AB ＝ 10，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE ＝ 5。
4、求图形的面积通过中位线与底边的关系，可以求出相关三角形的面积比。
假设△ABC 中，DE 是中位线，△ADE 的面积为 S1，△ABC 的面积为 S2。
因为 DE ／／ BC，所以△ADE ∽△ABC，相似比为 1 ： 2。
三角形的中位线讲义
教育教学讲义学员姓名：年级：学科教师：课时数：上课时间：辅导科目：数学三角形的中位线题课：了解三角形中位线的证明方法。
1：会运用三角形的中位线性质解决相关几何问题。
2教学目标：比较三角形的中位线和梯形的中位线的区别与应用。
3： 4 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别。
教学内容知识梳理定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线(如图： D、E分别是AB、AC边的中点，DE就是△ABC的中位线。
)思考：一个三角形共有几条中位线？中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
例题1.已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.1BC?DE求证：DE∥BC，2证明：如图，以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到△CFE，则D，E，F同在一直线上DE=EF，且△ADE≌△CFE。
∴∠1=∠F，AD=CF，∴AB∥CF又∵BD=AD∴BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC1BC/DE/∴2三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言：的中位线ABC是△DE∵．1BC DE=∥BC,且∴DE2例题2.如图，作出△ABC的3条中位线DE，DF，EF(1) △DEF的周长与△ABC的周长有什么关系?答：△DEF的周长是△ABC周长的一半1S=S，则△DEF的面积的面积为(2) 设△ABC41S (3) 过D作DG⊥BC，垂足为G，过E作EH⊥BC，垂足为H，则四边形DEHG的面积=2变式：已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.①求证：四边形EFGH是平行四边形.②若四边形ABCD的面积为10，求四边形EFGH的面积提示：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形例题3.如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分例题4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。
三角形中位线定理及推论
三角形中位线定理及推论一、三角形中位线定理三角形中位线定理是指在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段称为中位线，三条中位线交于一点，且该点与三个顶点的距离相等。
具体表述为：三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等。
以三角形ABC为例，连接顶点A与边BC的中点D，顶点B与边AC 的中点E，顶点C与边AB的中点F，根据中位线定理可知，中位线AD、BE和CF三条线段交于一点G，并且AG=BG=CG。
中位线定理的证明可以通过向量法或平面几何法进行，这里我们选择平面几何法证明。
证明思路如下：1. 连接顶点A与边BC的中点D，假设点G是中位线AD与中位线BE 的交点；2. 连接顶点B与边AC的中点E；3. 通过顶点C以平行于边AB的直线与中位线AD交于点H；4. 由平行线的性质可知，AH=CH；5. 进一步，由三角形的对应边成比例可得：AH/AD=CH/CF；6. 由于AH=CH，所以AD=CF；7. 同样地，由中位线定理可得：BE=CF；8. 综上所述，AD=BE=CF，即证明了中位线定理。
二、三角形中位线推论基于中位线定理，我们可以得出一些有关三角形的推论。
1. 三角形中位线长度关系推论根据中位线定理，三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等，即AG=BG=CG。
由此可得，中位线上的点距离顶点的距离是相等的。
进一步推论，三角形中位线的长度满足以下关系：AG=2GD，BG=2GE，CG=2GF。
2. 三角形中位线与三角形面积推论由三角形中位线定理可知，三条中位线交于一点G。
以G为顶点，三边中点分别为D、E、F，连接DG、EG和FG。
我们可以发现，连接G与三角形顶点的线段将三角形分成了六个小三角形，而这些小三角形的面积相等。
因此，我们可以推论得到：三角形中位线所分割的三个小三角形的面积相等。
3. 三角形中位线与三角形高度推论在三角形中，如果我们将中位线作为底边，那么与之对应的高度就是顶点到底边中点的距离。
三角形的中位线说课稿
三角形的中位线说课稿(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角形的中位线说课稿三角形的中位线说课稿三角形的中位线说课稿（1）一、教学目标：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．3．难点的突破方法：（1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的，新教材与老教材在这个知识的讲解顺序安排上是不同的，它这种安排是要降低难度，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线的练习很少，因此无论讲解顺序怎么安排，证明三角形中位线的性质（例1）时，题中辅助线的添加都是一大难点，因此教师一定要重点分析辅助线的作法的思考过程．让学生理解：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等来证明结论成立的思路与方法．（2）强调三角形的中位线与中线的区别：中位线：中点与中点的连线。
中线：顶点与对边中点的连线．（3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚：特点：在同一个题设下，有两个结论．一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系。
条件（题设）：连接两边中点得到中位线。
结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与第三边的数量关系（在应用时，可根据需要选用其中的结论）。
作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．（4）可通过题组练习，让学生掌握其性质．三、课堂引入1．平行四边形的性质。
平行四边形的判定。
它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形中位线讲义
【知识梳理】
操作1：把一个等边三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别
连接（图1）；
操作2：把一个任意三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别
连接（图2）；
操作3：把一个任意三角形剪拼成一个平等四边形——剪一个三角形，记为
△ABC；分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；沿DE将△ABC
剪成两部分，并将△ADE续点E旋转180°，得四边形BCFD（图3）。
1、概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线的性质：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
练习：
（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是__平行四边形
（2）顺次连结矩形各边中点所得图形是______.
（3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是______.
（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____.
（5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是_______.
（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_____.
（7）顺次连结正方形各边中点所得的图形是______.
【例题精讲】
例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA、的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
操作1：请任画一个四边形，顺次连接四边形各边的中点。
问题1：猜想探索得到的四边形的形状，并说明理由。
问题2：由E、F分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？
变式：（1）依次连接矩形4边中点所得的四边形是怎样的图形?为什么？
（2）如果将矩形改成菱形，结果怎样？
巩固：
1．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.以上都不对
2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.以上都不对
3．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为cm 4．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长.
5．已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足是E、F是BC的中点，试
说明BD=2EF。
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、DO的中点，四边形EFGH是矩形吗？为什么？
【课堂练习】
1．如果四边形的对角线相等，那么顺次连结四边形的中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对
2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对
3．如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（）A．互相平分B．互相垂直C．相等D．相等且互相平分
4．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）.
A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形
D．菱形或对角线互相垂直的四边形
5．△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的，线段DE是△ABC. 6．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，（1）如果EF＝4cm，那么BC＝cm；如果AB＝10cm，那么DF＝cm；（2）中线AD与中位线EF的关系是.
7．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB的中点D、E.
（1）若DE的长度为36米，求A、B两地之间的距离；
（2）如果D、E两点之间还有阻隔，你有什么方法解决？
8.如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
9.如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，
求证：MN∥BC．
12．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．。