2006年福建高考理科数学试卷及答案(文字版)[1]

2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

(1)设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是

A.ad －bc =0

B.ac －bd =0

C. ac +bd =0

D.ad +bc =0

(2)在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于

A.40

B.42

C.43

D.45

(3)已知α∈(

2

π

,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于

A.71

B.7

C.－ 7

1

D.－7 (4)已知全集U =R,且A=｛x ︱︱x －1︱>2｝,B =｛x ︱x 2

－6x +8<0｝，则(U

A )∩等于

A.[－1,4]

B. (2,3)

C. (2,3)

D.(－1,4)

(5)已知正方体外接球的体积是

π3

32

，那么正方体的棱长等于 A.22 B.332 C.32

4 D.334

(6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑

球的概率等于

A.

72 B.83 C.73 D.28

9

(7)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是

A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α

B.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n

C.若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n

D.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m

(8)函数y=㏒2

1-x x

(x ﹥1)的反函数是 A.y =122-x x (x >0) B.y = 122-x x

(x <0)

C.y =x x 212- (x >0)

D. .y =x

x 212- (x <0)

(9)已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4

π

]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于

A.32

B.23

C.2

D.3 (10)已知双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且

只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.( 1,2)

B. (1,2)

C.[2,+∞]

D.(2,+∞)

(11)已知︱︱=1，︱︱=3,•=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R )，则

n

m

等于 A.3

1

B.3

C.33

D.3

(12)对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1

－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC

中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. (13)(x 2－

x

1)2

展开式中x 2的系数是 (用数字作答) (14)已知直线x －y －1=0与抛物线y =ax 2相切，则a= (15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个 面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 （16）如图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1，又连结的 △A 1B 1C 1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC ， △A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A (0,0) , B (3,0),C (2,2)，则点M 的坐标是 .

二、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2x ,x ∈R.

（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；

（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ （18）（本小题满分12分）

如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离.

（19）（本小题满分12分）

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数

解析式可以表示为：y =

880

3

12800012+-x x (0

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ （20）（本小题满分12分）

已知椭圆12

22

=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。 （21）（本小题满分12分）

已知函数f (x )=－x 2

+8x,g (x )=6ln x+m

（Ⅰ）求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t );

（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。 （22）（本小题满分14分）

已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈N *

) （Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n }满足4k1-14k2-1…4k-1=(a n +1)km (n ∈N *),证明:{b n }是等差数列; （Ⅲ）证明:2

31213221n

a a a a a a n n n ＜＜++⋯++-(n ∈N *).