线性规划模型、求解及灵敏度分析
运筹学实验报告线性规划及其灵敏度分析
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称线性规划及其灵敏度分析
所属课程名称运筹学B
实验类型综合
实验日期2014年10月24日
班级数学1201班
学号************
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，还应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价.。
excel求解线性规划和灵敏度分析实训过程记录及学习收获
excel求解线性规划和灵敏度分析实训过程记录及学习收获线性规划是一种数学优化模型，用于对一组线性限制条件下的线性目标函数进行优化。
Excel 能够进行线性规划问题的求解和灵敏度分析，以下是实习过程的记录和收获总结：1. 实训任务我们的实训任务是一个有饲料限制的生产计划问题，其中需要决定生产哪些种类的产品、购买何种原材料、以及在何时生产这些产品，以使得利润最大化。
任务中给定了各种产品需要的原材料数量，各种原材料的数量与价格，及一些限制条件，例如生产时间，最小生产量等。
2. Excel求解线性规划问题Excel中求解线性规划问题的函数是“Solver”，首先需要打开Excel中的“数据”选项卡，然后在“分析”工具中找到“Solver”。
进入“Solver参数”对话框后，需要输入目标函数和限制条件，并且设置决策变量的可变性、约束条件的类型和数量。
最后根据需要设置求解的约束条件和目标函数的目标方向，点击“求解”即可。
在我们的实训任务中，我们首先需要设置约束条件，限制了各种产品需要的原材料数量，并且确保生产时间在规定范围内。
然后我们需要设置各个决策变量的可变性，例如选择生产哪些产品，购买何种原材料以及在何时生产这些产品等。
最后将目标函数设置为生产的利润最大化，并且设置约束条件为“>=0”，以确保决策变量的可行性。
点击“求解”即可得出最优解。
3. Excel灵敏度分析Excel的灵敏度分析功能可以帮助我们了解线性规划问题的各个变量对于目标函数的影响程度。
Excel中灵敏度分析的函数是“规划求解器的报告”，在对话框中选择“接受解决方案”，然后勾选“制作规划求解器报告”选项，即可生成报告。
在报告中，我们可以看到各个决策变量的最优解以及目标函数的最优值。
同时，报告中还包括影响目标函数的变量的“系数范围”和“变化量”，我们可以通过调整这些参数来预测目标函数的变化情况。
4. 学习收获通过这次实训，我学会了如何使用Excel求解线性规划问题以及如何进行灵敏度分析。
实验二___线性规划灵敏度分析
实验二线性规划模型及灵敏度分析（一）实验目的：掌握使用Excel软件进行灵敏度分析的操作方法。
（二）实验内容和要求：用Excel软件完成案例。
（三）实例操作：（1）建立电子表格模型；（2）使用Excel规划求解功能求解问题并生成“敏感性报告”；（3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新规划求解，并对结果提出你的看法；（4）在Word文档中书写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告和结果分析等。
案例1 市场调查问题某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。
该厂对市场调查公司提出了以下要求：（1）共对500个家庭进行调查；（2）在被调查家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭；（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，对其余家庭可采用口头调查；（4）在有孩子的被调查家庭中，至少对50%的家庭采用问卷式书面调查；（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少对60%的家庭采用问卷式书面调查。
对不同家庭采用不同调查方式的费用如下表所示：市场调查费用表家庭类型调查费用（元）问卷式书面调查口头调查有孩子的家庭50 30没有孩子的家庭40 25问：市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？案例2 经理会议建议的分析某公司生产三种产品A1，A2，A3，它们在B1，B2两种设备上加工，并耗用C1，C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的每天最多可使用量如下表所示：生产三种产品的有关数据资源产品A1 产品A2 产品A3 每天最多可使用量设备B1(min) 1 2 1 430设备B2(min) 3 0 2 460原料C1(kg) 1 4 0 420原料C2(kg) 1 1 1 300每件利润(元) 30 20 50已知每天对产品A2的需求不低于70件，对A3不超过240件。
线性规划实验报告
一、实验目的通过本次实验，了解线性规划的基本原理和方法，掌握线性规划模型的建立和求解过程，提高解决实际问题的能力。
二、实验内容1. 线性规划模型的建立2. 利用Lingo软件进行线性规划模型的求解3. 分析求解结果，进行灵敏度分析三、实验步骤1. 建立线性规划模型以某公司生产问题为例，建立线性规划模型。
设该公司有三种产品A、B、C，每种产品分别需要原材料X1、X2、X3，且原材料的价格分别为p1、p2、p3。
公司拥有一定的生产设备，每种产品的生产需要消耗一定的设备时间，设备时间的价格为p4。
设A、B、C产品的生产量分别为x1、x2、x3，原材料消耗量分别为y1、y2、y3，设备使用量分别为z1、z2、z3。
目标函数：最大化利润Z = p1x1 + p2x2 + p3x3 - p4(z1 + z2 + z3)约束条件：（1）原材料消耗限制：y1 ≤ 10x1，y2 ≤ 8x2，y3 ≤ 5x3（2）设备使用限制：z1 ≤ 6x1，z2 ≤ 4x2，z3 ≤ 3x3（3）非负限制：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，x3 ≥ 0，y1 ≥ 0，y2 ≥ 0，y3 ≥ 0，z1 ≥ 0，z2 ≥ 0，z3 ≥ 02. 利用Lingo软件进行线性规划模型的求解打开Lingo软件，按照以下步骤输入模型：① 在“Model”菜单中选择“Enter Model”；② 输入目标函数：@max = p1x1 + p2x2 + p3x3 - p4(z1 + z2 + z3)；③ 输入约束条件：@and(y1 <= 10x1, y2 <= 8x2, y3 <= 5x3);@and(z1 <= 6x1, z2 <= 4x2, z3 <= 3x3);@and(x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0, y1 >= 0, y2 >= 0, y3 >= 0, z1 >= 0, z2 >= 0, z3 >= 0);④ 在“Model”菜单中选择“Solve”进行求解。
第4章线性规划灵敏度分析
-2 x1 1
0
σj
0
0
-4 0 0 B-1b
x3 x4 x5 -1/5 -2/5 1/5 2/5 7/5 -1/5 -2/5 11/5 -9/5 -8/5 -1/5 -28/5
从表中看到 c3= -4, σ3= -9/5 可得到Δc3 ≤-σ3 = 9/5 时，即 c’3≤-4 + 9/5 = -11/5 时原最优解不变。
（1）参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变—— 数据的稳定区间；
（2）当参数超出（1）的变化范围时，最优解或最优基有何变 化——如何求出新的最优解和最优基。
当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新 求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取得的最优结果 的基础上进行分析或求解，既可减少计算量，又可事先知道参 数的变化范围，及时对原决策作出调整和修正。
xk为换入变量
对 所 有 aik>0 计 算 θi=bi/aik 令θl=min{θi} 第l个基变量为换出变
量，alk为主元素
令 bl/alk→bl; alj/alk→ajl 对主元素列(第k列)令1→alk; 0→其它 元素表中其它行列元素 令 aij-ali/alk·aik→aij
bi-bl/alk·aik→bi бj- alj/alk· бk → бj
4
3+Δc2 x2 0 1
1/2
-1/8
0
2
σj
0 0 -3/2-Δc2 /2 -1/8+ Δc2 /8 0 14+2Δc2
17
Ci
2 3+Δc2
0
0
0
B-1b
CB XB x1 x2
x3
x4
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结线性规划是一种重要的数学优化方法，它通过建立一个数学模型，根据特定的约束条件和目标函数，求解出使目标函数取得最大（最小）值的决策变量的取值。
而灵敏度分析则是针对线性规划模型中的参数进行变动时，目标函数值和决策变量的取值产生的变化进行评估和分析。
本文将对线性规划的灵敏度分析进行总结，并探讨其在实际应用中的一些重要知识点。
一、灵敏度分析的基本概念和原理灵敏度分析是指在线性规划模型中，通过变动参数的大小和取值范围，分析其对目标函数值和决策变量的解产生的影响程度。
主要包括以下几个方面的分析内容：1. 目标函数系数的灵敏度分析目标函数系数表示决策变量对目标函数的贡献程度，通过改变目标函数系数可以分析目标函数值的变动情况。
当目标函数系数发生较大变动时，可能导致最优解的决策变量发生改变。
2. 约束条件右侧常数的灵敏度分析约束条件的右侧常数表示资源的可利用程度，通过改变约束条件右侧常数可以分析资源的利用程度对决策变量解的影响。
当约束条件右侧常数发生较大变动时，可能会改变最优解的取值范围。
3. 决策变量的灵敏度分析决策变量的灵敏度分析可以评估决策变量值的改变对目标函数值和约束条件的违背程度产生的影响。
通过改变决策变量的取值范围，可以判断最优解的稳定性和可行性。
二、灵敏度分析的具体应用灵敏度分析在实际应用中有广泛的应用价值，主要包括以下几个方面：1. 评估模型的可靠性通过灵敏度分析，可以评估线性规划模型中参数的变动对解的影响程度，从而判断模型的可靠性和稳定性。
当参数变动对解的影响较小时，说明模型具有较好的鲁棒性。
2. 制定决策方案灵敏度分析可以帮助决策者评估决策方案的可行性和稳定性，从而选取出最优的决策方案。
在实际应用中，决策者可以通过改变参数的取值范围，确定决策方案的合理范围。
3. 资源优化分配通过灵敏度分析，可以评估资源可利用程度的变动对决策变量的解产生的影响。
在资源有限的情况下，通过调整资源的利用程度，实现资源的优化分配。
线性规划模型 实验报告
某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目可供选择：
项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；
项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；
项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；
项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果；
5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）
基础实验
1．求解下述线性规划问题
min
300
分别设从Toronto和Detroit到Chicago运输的货物为x1,x2
从Chicago运输到NewYork、Phila.和St.louis的货物为x3,x4,x5
则 可列方程
Min=4*x1+7*(600-x1)+5*x2+7*(500-x2)+3*x3+2*x4+2*x5+1*(450-x3)+3*(350-x4)+4*(300-x5)
Z=zeros(16,1);
Z1=zeros(1,10);
Z4=zeros(1,4);
Z2=zeros(1,2);
F6=ones(1,6);
F2=ones(1,2);
A=[F6 Z1;Z4 F6 Z2 Z4;Z2 F2 Z4 F2 Z2 F2 Z2;Z4 F2 Z4 F2 Z2 F2];
b=[100 115 120 110]';
EXCEL求解第一章线性规划和灵敏度分析
线性规划模型的描述
例1：某工厂生产两种新产品：门和窗。经测算，每 生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小 时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。 而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小 时、车间2为12小时、车间3为18小时。已知每扇门 的利润为300元，每扇窗的利润为500元。根据市场 调查得到的这两种新产品的市场需求状况可以确定， 按当前的定价可确保所有的新产品均能销售出去。 问：该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，才 能使总利润最大？
$D$12） 复制E7单元格到E8、E9
EXCEL求解线性规划模型
（3）总利润计算： 在G12单元格输入公式： =C4*C12+D4*D12 或： =SUMPRODUCT（C4：D4，C12：D12）
EXCEL求解线性规划模型
在电子表格中建立线性规划模型步骤总结
收集问题数据； 在电子表格中输入数据（数据单元格）； 确定决策变量单元格（可变单元格）； 输入约束条件左边的公式（输出单元格）使用
EXCEL求解线性规划模型
2、主要求解结果 ■两种新产品每周的产量； ■两种新产品每周各实际使用的工时 （不能超过计划工时）； ■两种新产品的总利润
EXCEL求解线性规划模型
3、主要结果的计算方法
（1）两种新产品的每周产量：C12、D12，初始 值为0。
（2）实际使用工时计算（三种方法） 1）分别在E7、E8、E9中输入相应的计算公 式：
例：车间2：12——13，车间3：18——17 例：车间2：12——16，车间3：18——15
EXCEL求解线性规划模型
5、aij变化 例：由于车间2采用新的生产工艺，生产
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析是研究线性规划的参数(非可控输入)发生 变化对最优解的影响程度
线性规划的参数包括：
• 目标函数系数 • 约束条件右侧值 • 约束条件系数矩阵
最优解中包含的信息：
• 目标函数值 • 决策变量值 • 递减成本(reduced cost) • 松弛/剩余变量
4
3.1 灵敏度分析简介
利用Lingo 软件做灵敏度分析
16
17
利用Excel做灵敏度分析
Microsoft Excel 16.0 敏感性报告 工作表: [数据模型与决策第3章例题.xlsx]第三章例题1 报告的建立: 2021/5/29 10:48:56
可变单元格
单元格 $B$15 $C$15
名称 决策变量值 x1 决策变量值 x2
作者
John Loucks
St. Edward’s University
1
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
2
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
6
x1 < 6
2x1 + 3x2 < 19 x1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
固定x2的系数7，改变x1 的系数
5
最优解:
Max 14/3x1 + 7x2
4
x1 = 5, x2 = 3
3
Max 7x1 + 7x2
线性规划实验
的系数在允许的增量与减量范围内变化时，最优解不
变。
“阴影价格”，即影子价格，是指约束条件右边增加 （或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量。 “允许的增量”、“允许的减量”：表示约束条件右
边在允许的增量与减量范围内变化时，影子价格不变。
制定一个产品生产计划，使其在资源限制条件下，得到最大利润。
能至第四步，选择右部“敏感性报告”，选择确定， 即可获得一个名为敏感性报告的新工作表。
（2）敏感性报告中各项指标的含义
上部是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影响； 下部是关于约束条件右边变化对目标值的影响。
“递减成本”：它的绝对值表示目标函数中决策变量的
系数必须改进多少，才能得到该决策变量的正数解。 “允许的增量”和“允许的减量”：表示目标函数中
在给定的几组数组中，将数组间对应的元素相乘后求和。 B8*B14+C8*C14
(2)用excel的“规划求解”功能求解线性规划问题
第一步：打开“工具”菜单，加载宏“规划求解”； 第二步：打开“工具”菜单中的规划求解选项，在对话
框中输入规划的目标函数、决策变量和约束条件。
单击对话框内的“选项”按钮，输入规划求解运算中的 有关参数：选择“采用线性模型”、“假定非负”，
性报告和对灵敏度分析的概念和意义的理
解报告。
四、实验设备与软件
内存128Mb以上，操作系统为WindowsXP
或2000的电脑，并安装了完整Excel软件
五、实验步骤
例：美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品，已知各制造一件时
分别占用的设备A、B台时、调试工序及每天可用于这两种家电 的资源能力和各售出一件时的获利情况如表1所示。问该公司应 制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大？ 表1 美佳公司单位产品资源使用和利润情况 Ⅰ 0 6 1 Ⅱ 5 2 1 每天可用能力 15 24 5
线性规划的灵敏度分析
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2023年2月1日星期三 Page 20 of 34
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
第3章线性规划的灵敏度分析
又获得了10个小时的切割与印染时间，我 们可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可 行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出，极点 S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数 值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元，比原 来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。 因此，利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小 时。
在式（3-2）中，我们计算出只要满足 下列条件，极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元，同时使CD降低到8美 元，新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限，因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD =8代入，可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围，我们得出结论，无论是
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到： 从左边的不等式，我们得到
因此
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为 高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果 通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最 优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么 管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这 个估计量的可信程度有多大了。管理层希望 知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎 样变化。
浅谈线性规划问题的灵敏度分析
浅谈线性规划问题的灵敏度分析符龙飞2016年5月15日摘要线性规划是运筹学的一个重要的分支，本文主要讨论有关线性规划问题的灵敏度分析，灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析，在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.因此本文讨论在实际问题中当技术系数、资源系数、价值系数以及增加一个变量和增加一个约束条件时，原问题最优解的变化，对原线性规划问题进行灵敏度分析.关键词：线性规划；灵敏度；最优解AbstractLinear programming is an important branch of operational research, this paper mainly discusses the sensitivity analysis of linear programming, sensitivity analysis of the definition refers to the analysis of the sensitivity of its own because of changes in ambient conditions and displayed on things or to make the whole system of linear programming problems, we assume that the technology of data resources the data value and data vector or matrix elements in the known constant, but in the actual problems in these data are just some forecast data and estimates, the establishment of a linear programming model to deal with practical problems, will not change the data, is not very accurate, may be modified in this paper.When discussing technical factors, in the actual problem of resource factor, value factor and add a variable and add a constraint condition, the original problem of optimal solution Sensitivity analysis of the original linear programming problem.Keywords: Linear programming; sensitivity; optimal solution目录第一章前言 (1)1.1 线性规划问题及线性规划发展史 (1)1.2 灵敏度分析的概念 (1)1.3线性规划模型 (1)1.4灵敏度分析的方法及步骤 (2)1.5 符号说明 (2)第二章技术系数a的变化分析 (3)ij2.1 非基变量系数列向量发生变化 (3)2.2 基变量系数列向量发生变化 (4)第三章资源系数b的变化分析 (7)ic的变化分析 (10)第四章价值系数i4.1 非基变量价值系数变化 (10)4.2基变量价值系数变化 (11)第五章增加新的变量的变化分析 (13)第六章增加新约束条件的变化分析 (16)总结 (18)[参考文献] (19)第一章前言1.1 线性规划问题及线性规划发展史线性规划是我们研究运筹学最基本的也是最重要的问题之一，是运筹学中相对比较成熟的一个重要分支.线性规划是近几十年发展起来的一种数学规划的方法，它主要研究在给定的线性不等式或者线性方程约束条件下，对所求的目标函数在一定意义下的极值问题，使其线性指标最优.它广泛应用于工、商、农、军事、交通运输、经济管理以及计划等各个领域.具有应用广泛、适应性强、计算技术比较简单等特点，线性规划在理论上已经也来越成熟，其应用也越来越广泛和深入[1].线性规划的发展是运筹学史上几代人智慧的结晶.1939年，原苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法，1941年美国学者希奇柯克独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题，1947年，美国学者丹捷格提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展.自此以后线性规划在计算上趋向成熟，应用也更加广泛深入[2].1.2 灵敏度分析的概念灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析.在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.如果市场条件发生了变动，价值系数的值就会发生变化，技术系数会随着工艺技术条件的变化而变化，同样，在资源投入量发生变化时，资源系数也会随之发生变化，它的值会根据资源投入后能产出多大经济效果来决定的一种决策选择.因此，当这些数据发生变化时，线性规划的最优目标值或者最优解会发生怎样的变化？或者是不是这些参数在一定的范围内其线性规划问题的最优解不会发生变化？这就是本文我们研究线性规划问题的灵敏度分析所要解决的问题.1.3线性规划模型线性规划模型的标准形式如下：max z CX(0)0AX b b X =≥⎧⎨≥⎩我们在求解线性规划问题时首先就应该把数学模型转化成标准形式.1.4灵敏度分析的方法及步骤要进行灵敏度分析，首先要弄明白的就是上述问题：①当系数发生变化时，最优解或者最优目标值发生变化，我们如何简便地求出新的最优目标值和最优解；②当系数在什么一定范围内，线性规划的最优解是不变的.我们可以将灵敏度度分析归纳为：（1）将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来，具体的计算方法是按下列公式计算出由技术参数、资源参数和价值参数的变化引起的最终单纯形表上有关数字的变化，即*1b B b -∆=∆*1j j P B P -∆=∆()()*1mj j j j ij i i c z c z a y =∆-=∆--∑（2）检查原问题是否仍为可行解； （3）检查对偶问题是否仍为可行解.（4）我们可以按照下表1-1所列出的情况得出结论或者得出继续计算的步骤[3].表1-1原问题 对偶问题 结论或者继续计算的步骤 可行解 可行解 表中的解仍为最优解 可行解 非可行解 用单纯法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解非可行解引入人工变量，编制新的的单纯形表，求最优解1.5 符号说明①ij a 技术数据； ②i b 资源数据； ③j c 价值数据； ④B 最优基； ⑤s .t . 约束条件.第二章 技术系数ij a 的变化分析2.1 非基变量系数列向量发生变化如果我们用最优基B 来说，当非基变量j x 的系数列向量j A 改变为'j j jA A A =+∆就会有变化后的检验数为()'1j j B j j j j c C B A A Y A σσ-=-++∆=+∆ ()1,2,,j n =[4]在这里，对偶可行解为1B Y C B -=，我们要使原来的线性规划最优基B 仍然保持不变的话，必须有'0j σ≥，即j j Y A σ∆≥- ()1,2,,j n =而当()0,,,,0Tj ij P a ∆=∆时，则由上式可得()10,,0im i ij j ij y y y y a a σ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆≥-∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们可以导出 当0i y >时，有jij ja y σ∆≥-；当0i y <时，有jij ja y σ∆≤-.例1已知线性规划问题12345max 2300Z x x x x x =---++s .t .()12341234347901,2,3,4,5j x x x x x x x x x j ⎧+++=⎪⎪+++=⎨⎪≥=⎪⎩ 23a 怎样变化时最优解保持不变？解：最终单纯形表如下表2-1j c2- 3- 1-0 0bB C B X 1x2x3x 4x5x2-1x 1 0 1-43 13- 1 3-2x0 1 2 13- 13 2j σ353138Z =-由此表可得[]133323234113312,311331233B cC B p a a σ-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤=-=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=+ 32323120233a a σ=+≥⇒≥-所以[232,)a ∈-+∞原最优解保持不变.2.2 基变量系数列向量发生变化仍然对于最优基B 来说，当基变量j x 的系数列向量j A 发生变化的时候，对于基向量B 和它的逆矩阵1B -都会有一定的影响，则线性规划的解的可行性、最优性以及它的最优目标值都会随之发生变化.我们要求出一个一般公式是很难的，因此，我们会用单纯形法重新求解变化后的线性规划问题.对于重新的求解可以在原来的单纯形终表上变换数据后进行迭代[5].例2已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++s .t .()123412341234232800543412003453100001,2,3,4jx x x x x x x x x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩如果非基变量3x 的系数由135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦变为141⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么原线性规划的最优解是否还是最优？如果不是求出最优.解:由3110431154A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则330115110,,114444Y A σ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∆==-<-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦因此不满足j j Y A σ∆≥-，那么原线性规划的最优解就不再是最优解了，根据灵敏度分析的步骤，求新的最优解我们应该先求出新的检验数'1'3330130,,111044B c C B A σ-⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+=-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦所以可以取3x 为进基变量，然后计算1'311111401143312014B A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦用它去替换原线性规划最优单纯形表表2-1的第3列，从而得到表2-2，继续迭代可以得到表2-3，如下表2-1 原线性规划最优单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 134- 0 1 141- 4x20022-111-2x100 34-1 114 0 0 34-1 1300134114141表2-2 改变后的单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 1 0 1 141- 4x 200 20 31 0 11-2x100 34-1 2- 0 0 34-1 13001341-141表2-3 迭代后的单形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 1003 512- 0 0 13- 1 112-23- 4x 2003 23 0 1 13 0 13 13- 2x7003 712 1 0 23 0 112- 13 41003471213712 23我们由上表就可以看得出来，求得的最优解*7002001000,,,0,,0,0333X ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及改变后的最优值*41003z =.第三章 资源系数i b 的变化分析我们知道，资源系数发生变化的问题关键就是怎样把i b 的变化直接的反映到原来线性规划问题的最终单纯形表，对于单纯形法的迭代过程，其实就是矩阵的初等变换过程，用所学的知识我们知道，对于分块矩阵[]BI我们进行初等变换时，把矩阵B 变成单位矩阵I ,会有单位矩阵I 变成矩阵1B -，即1IB -⎡⎤⎣⎦因此我们可以知道，若在已知的最终单纯形表中基可行解所对应的基“B ”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“1B -”（初始单纯形表中的单位矩阵I 在最终单纯形表中所对应的矩阵），我们可以有'1b B b -=[6].例3对于线性规划问题12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 如果把第二个约束条件的右端项增大到32，那么分析一下最优解如何让变化.解：由最终单纯形表表3-1表3-1 最终单纯形表1x2x3x4x5x3x 152 0 0 1 54 152- 1x 72 1 0 0 14 12- 2x32114- 32i i z c -0 0 014 12因为003224880b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由*1b B b -∆=∆，得*51514201011082420213042b ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将其加到表3-1一列数字上的最终单纯形表的基变量解，得表3-2.表3-21x2x3x4x5x3x 352 0 0 1 54 152- 1x 112 1 0 0 14 12- 2x12- 0 1 0 14- 32 i i z c -1412又因为上表中原问题是非可行解，因此我们需继续计算，采用对偶单纯形法可以得到表3-3表3-31x2x3x4x5x3x 15 0 5 1 0 0 1x 5 1 10 0 12x20 4-0 1 6-i i z c -12从表中我们可以看出新的最优解15x =，*2510z =⨯=.第四章 价值系数i c 的变化分析4.1 非基变量价值系数变化假设()12n A p p p =.若j j j c c c =+∆，j N ∈,则1T j j B j j j c c B p c σσ-=-=+∆如果使最优基不变，则必须有0j σ≤，因此非基变量价值系数j c ，j N ∈的变动范围应该满足j j c σ∆≤-例4已知线性规划问题123max 234Z x x x =---s .t .123412341234523234,,,,0x x x x x x x x x x x x x ---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩求解价值系数在什么范围变化时，最优解不变.解：表4-1是最终单纯形表表4-1j c →2-3- 4- 0 0b cB X b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x1151 0 75 15- 25- j σ95- 85- 15- 由单纯形法计算可得表4-2表4-2j c →2-3-34c -+∆0 0b cb x b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x115175 15- 25- j σ0 0395c -+∆85- 15- 从表4-2中我们可以看出当395c ∆≤时，最优解不变. 4.2基变量价值系数变化如果B B B c c c =+∆,则对于j N ∀∈,11TT B j j j j B j c c B p c B p σσ--=-=-∆这时，若保持最优基不变，一定要使得0j σ≥，j N ∀∈.所以基变量价值系数Bc 满足不等式组的取值范围为1T B j jc B p j N σ-∆≤∀∈例5已知线性规划问题123max 2z x x x =-++s .t .1231241234624,,,0x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪≥⎩当1c 变为4时，求新问题的最优解.解：这个线性规划模型的最终单纯形表为表4-3 .表4-31x2x3x4x2x 6 1 1 1 0 4x1030 11 i i 1c 是非基变量的系数，则()1133,132c c ∆≤--=≤-+=所以，1c 在12c ≤的范围内变化时，最优解不变.当1c 变为4时，超出范围，则重新计算()()1'1241144,42,003TB j c B p c c p σ-⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭把表4-3中13σ=-变为2，选择1x 为入基变量，4x 为出基变量，进行迭代，得到的最终单纯形表，表4-4表4-41x2x3x 4x2x83 0123 13- 4x 1031 013 13 i i c z - 0 053- 23- 新的最优解为：1234108,,033x x x x ====；最优值：*563z =.第五章 增加新的变量的变化分析增加一个新的变量实际上就是在单纯形表中增加一列，假如增加一个新的变量1n x +，1n c +是它所对应的价值系数，()111211,,,Tn n n mn A a a a ++++=是它在约束矩阵中的对应系数列向量，则增加一列'11'''2111'1n n n n mn a a A B A a +++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其检验数1111n n B n c C B A σ-+++=-+那么就得到了新问题的单纯形表，如果10n σ+≥，则原线性规划问题的最优解不变.我们通过具体例题来讨论增加新的约束条件.例6某生产加工厂计划用两种不同的原料生产四种商品，四种商品的收益和消耗的原料数以及消耗的原料定量如表5-1表5-1产品（万件）/原料（kg ）甲 乙 丙 丁 提供量 第一种原料3 2 104 18 第二种原料 0 0 2 1/2 3 求：如果增加第一种原料，增加多少原最优基不变？解：设生产甲、乙、丙、丁四种产品各1x ，2x ，3x ，4x 万件，则线性规划模型为1234max 985019Z x x x x =+++s .t .()1234343210418123201,2,3,4j x x x x x x x j ⎧+++≤⎪⎪+≤⎨⎪⎪≥=⎩增加第一种原料时，1b 就会发生变化，设1118b b =+∆，1(18,3)b b =+∆，则1111210221833314311636b b B b b -⎡⎤⎡⎤-+∆⎢⎥⎢⎥+∆⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则需满足12203b +∆≥，11106b -∆≥原最优基不变，得136b -≤∆≤，即11524b ≤≤.函数1112(0,0,1,2)63t X b b =-∆+∆，113883Z b =+∆是1b ∆最优值和最优解，当16b ∆>，13b ∆<-时，原来的最优基就会改变，原问题的最优基如下表表5-2.表5-2j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-2 503x12- 13- 1 0 16- 43 1j σ4- 23- 0133- 103- 88Z =当16b ∆>时，情形如下，常数项用111223116b B b b -⎡⎤+∆⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-∆⎢⎥⎣⎦代替，用对偶单纯法得表5-3.表5-3j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-1223b +∆503x12- 13- 116- 43 1116b -∆j σ4-23- 0 0133- 103-113883Z b =+∆用对偶单纯形法求解，第二行需乘以3-,第一行加上第二行乘以43-,可以得到单纯形表表5-4.表5-4j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 00 41 02683x321 3-0 124-1132b ∆- j σ3- 02- 04-6-1904Z b =+∆当11302b ∆-≥，即16b ∆>，新的最优基42(,)B P P =,最优解为11(0,3,0,6)2b ∆-，最大收益为1904b +∆万元.第六章 增加新约束条件的变化分析我们在处理实际问题时，往往会遇到在其问题的基础上增加新的约束条件，如果新添加的约束条件能够使原来的最优解得到满足，那么它的最优解一定不变，反之，则需对问题继续进行分析.例7对于线性规划问题 12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩增加一个新的约束条件123212x x +≤，分析最优解的变化.解：把原来线性规划问题最优解带入新的约束条件中，因为 73273212222⨯+⨯=> 则约束条件可以写成1263212x x x ++=，6x 为基变量，反映到表3-1中得表6-1.表6-11x2x 3x 4x5x6x 0 3x 152 0 0 1 54 152- 0 2 1x 72 1 0 0 14 12- 0 1 2x 320 1 0 14- 320 06x12 3 2 0 01 i i c z -14121将1x ，2x 列系数变为单位向量，用对偶单纯法进行迭代，得最终单纯形表，表6-2.表6-21x2x 3x 4x5x 6x0 3x 15 0 0 1 52 0 5-2 1x 4 1 0 0 13 0 13-1 2x 0 0 1 0 12- 0 16x13 2 0 16 1 23- i i c z -16- 013-则新的最优解为*124,0,8x x z ===.总结从本文中讨论我们可以看出，在线性规划问题中，一些数据发生变化时，特别是当数据变化的幅度较小时，用灵敏度分析新的问题要比从头求解新问题简便的多，因此我们要学会掌握线性规划问题的灵敏度分析并加以推广.[参考文献][1] 李小光.线性规划中的灵敏度分析[J].2000,20(3),15-20.[2] 张伯声．运筹学[M]．北京：科学出版社，2008，65-75．[3] 党耀国，李邦义．运筹学[M]．北京：科学出版社，2009，61-73．[4] 施泉生.运筹学[M].北京：中国电力出版社，2004，44-50.[5] 孙麟平.运筹学[M].北京：科学出版社，2005，32-38.[6] 吕蓬，潘志.运筹学数学规划篇[M].北京：清华大学出版社，2011，32-40.。
线性规划模型的应用与灵敏度分析(DOC)
摘要线性规划是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最少或获得的利益最大。
它的研究对象是有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高；某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。
它要解决的问题的目标可以用数值指标反映，对于要实现的目标有多种方案可以选择，有影响决策的若干约束条件。
本文主要介绍了线性规划模型在实际生活中的应用，其中包括解线性方程组的各种方法，如图解法、单纯形法、以及对偶单纯形法等等，以及简单介绍了有关灵敏度分析的方法。
由于许多问题仅仅利用线性规划的方法还不足以解决，因此用到了对偶理论，也因此引出了对偶单纯形法。
对偶规划是线性规划问题从另一个角度进行研究，是线性规划理论的进一步深化，也是线性规划理论整体的一个不可分割的组成部分。
灵敏度分析是对线性规划结果的再发掘，是对线性规划理论的充要应用，本文以实例验证灵敏度分析的实际应用。
关键词：线性规划；单纯形法；对偶单纯形法ABSTRCTLinear programming is an effective method to solve the optimal allocation of scarce resources, make the cost of pay or receive at least the interests of the largest. Its object of study is the human and financial resources, resource conditions, how to reasonably arrange to use, benefit is supreme; A task is determined, how to arrange people, goods, and make it the most provinces. It to the target can be used to solve the problem of the numerical indicators, to achieve a variety of solutions to choose from, have an impact on the decision of some constraint conditions. Through the subject design, can deepen the operations research, optimization method, linear programming, nonlinear programming, to improve the integrated use of knowledge, improve the ability of using the sensitivity analysis to solve various practical problems. This article mainly introduces the application of linear programming model in real life, including the various methods of solving linear equations, as shown in figure method, simplex method and dual simplex method, etc., and simply introduces the method of sensitivity analysis. Due to many problems just by using the method of linear programming is not enough to solve, so use the duality theory, thus raises the dual simplex method. The dual programming is linear programming problem from another Angle, is the further deepening of linear programming theory, linear planning theory as a whole is also an integral part of. Sensitivity analysis is to discover, the result of the linear programming is the charge to application of linear programming theory. Keywords: linear programming；Simplex method；The dual simplex method目录前言线性规划模型的应用与灵敏度分析 (1)第一章线性规划问题 (1)1. 线性规划及灵敏度分析简介 (1)2. 线性规划模型应用的发展 (1)3. 线性规划模型研究的问题 (2)4. 线性规划模型的应用 (2)4.1问题 (2)4.2线性规划方法的特点及局限性 (2)4.3线性规划模型的基本结构 (3)4.4线性规划模型的一般形式 (3)4.4线性规划的性质…………………………………………………………………………………5第二章求解线性规划的方法 (6)1. 图解法 (6)2. 单纯行法 (7)2.1 单纯行法的基本思路 (7)2.2 单纯形法的求解步骤 (11)2.3 单纯形法的求解过程小结 (12)2.3.1人造基、初始基本可行解 (12)2.3.2最优解判别定理： (14)2.3.3单纯行过程的两种方法 (14)3. 单纯行法 (14)3.1对偶问题的提出 (14)3.2线性规划的对偶理论 (15)3.3对偶单纯形法的步骤 (15)4. 单纯行表......................................................................................................错误!未定义书签。
线性规划的方法论
线性规划的方法论线性规划（Linear Programming, LP）是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的优化问题。
它的目标是找到一个最优的决策方案，使得目标函数值最大化或最小化。
线性规划在经济、管理、工程、决策科学等领域得到广泛应用，是运筹学的重要分支之一。
线性规划的方法论主要包括六个基本步骤：问题建模、目标函数的确定、约束条件的建立、单纯形法求解、解的解释和灵敏度分析。
下面我将逐一介绍这些步骤。
1. 问题建模问题建模是线性规划的第一步，需要将实际问题转化为数学模型。
首先需要明确决策变量，即需要进行决策的变量。
然后确定目标函数，即需要最大化或最小化的函数。
最后建立约束条件，即限制决策变量取值的条件。
2. 目标函数的确定目标函数是衡量决策结果优劣的函数，可以是最大化利润、最小化成本等。
目标函数的形式可以是线性函数、多项式函数或指数函数等，但在线性规划中，目标函数通常是线性函数。
3. 约束条件的建立约束条件是限制决策变量取值的条件，它们可以是等式约束或不等式约束。
线性规划中的约束条件是由给定的问题决定的，比如资源约束、技术约束等。
约束条件的形式需要与目标函数形式匹配，即线性约束条件与线性目标函数相匹配。
4. 单纯形法求解单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，它通过不断迭代来找到最优解。
单纯形法的基本思想是从可行解中找到一个改进的方向，然后沿该方向进行移动，直到找到最优解为止。
单纯形法的求解过程中，需要对角度表和单纯形表进行操作，通过选择基本变量和非基本变量进行迭代计算。
5. 解的解释线性规划求解得到的解需要进行解释和分析。
解的解释是对最优解的实际意义进行解释，包括各个决策变量的取值以及目标函数的值。
解的分析是对解进行灵敏度分析，分析最优解的变化情况对问题的影响。
6. 灵敏度分析灵敏度分析是对线性规划解进行分析，分析结果对问题的解释和应用。
灵敏度分析可以分为参数变化分析和解的变化分析两个部分。
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0 ≤ x i ≤ ai ,
0 ≤ y i ≤ bi ,
i = 1, , , , , , , 2345678
x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 ≤ 100 x 6 + x 7 + x 8 + y 6 + y 7 + y 8 ≤ 115
x 2 + x 4 + x 7 + y 2 + y 4 + y 7 ≤ 120 x 3 + x 5 + x 8 + y 3 + y 5 + y 8 ≤ 110
St.louis，Buffalo 中的 450 运到 New York，剩下的运到 Phila。运费最少为 6400.
5. 投资策略
某部门现有资金 10 万元，五年内有以下投资项目可供选择： 项目 A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利 15%； 项目 B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利 25%，最大投资额为 4 万元； 项目 C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利 40%，最大投资额为 3 万元； 项目 D：每年初投资，年末收回本金且获利 6%； 问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大？ 分析： 分析： 先考虑只能投资一次的项目 C，项目 A 连续投资两次，其利润为 32.25%，项目 D 连续投资 4 次其利 润为 26.25%，明显项目 C 的利润要高，所以第二年首先选择项目 C 的 3 万元。 再考虑只能投资一次的项目 B，可以由项目 A 和项目 D 组合而成，而其利润为 21.90%，所以第三年首 先投资 4 万元到项目 B。
Bond1=x(1); Bond2=x(2); Bond3=x(3); Returnexpectation=-fmin 结果为： 结果为： x = 0.0000 15.0000 3.0000 fmin =-78.0000 Returnexpectation =78.0000
应用实验
2. 两种面包产品的产量配比问题
田园食品公司生产的面包很出名。他们生产两种面包：一种是叫“唐师”的白面包，另一种是叫“宋 赐”的大黑面包。每个唐师面包的利润是 0.05 元，宋赐面包是 0.08 元。两种面包的月生产成本是固定 的 4000 元，不管生产多少面包。 该公司的面包生产厂分为两个部：分别是烤制和调配。 烤制部有 10 座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出 140 台，每台可容纳 10 个唐师面包或 5 个更大的宋 赐面包。可以在一台上同时放两种面包，只需注意宋赐面包所占的空间是唐师面包的两倍。 调配部每天可以调配最多 8000 个唐师面包和 5000 个宋赐面包。有两个自动调配器分别用于两种面包 的调配而不至于发生冲突。 田园公司决定找出这两种面包产品的最佳产量配比，即确定两种面包的日产量，使得在公司面包厂的 现有生产条件下利润最高。 作出假设： 作出假设： TS：为唐师面包的日产量（个/日） SC：为宋赐面包的日产量（个/日） 建立模型： 建立模型： 根据题目，面包的日产量可以归结为以下的最优化模型: 目标函数： fmax=0.05TS+0.08SC-4000/30 约束条件： 0.1TS+0.2SC ≤ 1400 0 ≤ TS ≤ 8000 0 ≤ SC ≤ 5000 编程： 用 MATLAB 编程： c=[-0.05;-0.08] A=[0.1 0.2] b=[1400] xL=[0;0] xU=[8000;5000] [x,fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL,xU) Bond1=x(1); Bond2=x(2); Fmax=-fmin 结果如下： 结果如下：
基础实验
1．求解下述线性规划问题
min s.t.
− 5 x1 − 4 x2 − 6 x3 x1 − x2 + x3 ≤ 20
3x1 + 2x 2 + 4x 3 ≤ 42 3x1 + 2x 2 ≤ 30
0 ≤ x1, 0 ≤ x 2 , 0 ≤ x 3
编程如下： 用 matlab 编程如下： c=[-5;-4;-6] A=[1 -1 1;3 2 4;3 2 0] b=[20;42;30] xL=zeros(3,1) [x fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL)
max z =
∑ (pi x i i
=1
+ qi y i )
s.t. 航班 AC 上的销售机票总数为 3 个航线 AC、AD、AE 的销售机票数之和，不准超过班机容量 100，故有
x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 ≤ 100
航班 BC 上的销售机票总数为 3 个航线 BC、BD、BE 的销售机票数之和，不准超过班机容量 115，故有
表1 第一段的运输单价 To From Toronto Detroit Chicago $4 $ 5 表2 Buffalo $ 7 $ 7 第二段的运输单价 Supply 600 500
To From Chicago Buffalo Demand New York $3 $ 1 450 Phila. $ 2 $ 3 350 St.louis $ 2 $ 4 300
x =8000 3000 fmin =-640.0000 Fmax =640.0000 所以唐师面包的日产量 8000 个/日，宋赐面包的日产量,5000 个/日时，利润最大为 640-400/3=506.67 元。
3. 航空公司的机舱设计及机票销售
在五个城市 A、B、C、D、E 之间，有唯一一家航空公司提供四个航班服务，这四个航班的“出发地— 目的地”分别为 AC、BC、CD、CE，可搭载旅客的最大数量分别为 100 人、115 人、120 人、110 人，机票 的价格分头等舱和经济舱两类。经过市场调查，公司销售部得到了每天旅客的相关信息，见下表。该公 司应该在每条航线上分别分配多少张头等舱和经济舱的机票？ 出发地-目的地 AC AD(经 C 转机) AE(经 C 转机) BC BD(经 C 转机) BE(经 C 转机) CD CE 头等舱 需求（人） 31 22 10 25 20 8 34 13 价格（元） 190 244 261 170 260 280 140 186 52 41 60 33 31 41 59 15 经济舱 需求（人） 价格（元） 90 193 199 110 150 165 80 103
开课学院、实验室： 开课学院、实验室：数理学院 DS1401
课程 数学实验 名称 指导 李东 教师 实验项目 名 成 称 绩
实验时间 ：2011 年 5 月 2 日
实验项目类型
验证 演示 综合 设计 其他
线性规划模型、 线性规划模型、求解及灵 敏度分析
实验目的
学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类； 掌握线性规划的建模技巧和求解方法； 学习灵敏度分析问题的思维方法； 熟悉 MATLAB 软件求解线性规划模型的基本命令； 通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。 通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化 模型，并且使学生学会使用 MATLAB 软件进行线性规划模型求解的基本命令，并进行灵敏度分析。解决现 实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。 [1] [2] [3] [4] [5]
x 6 + x 7 + x 8 + y 6 + y 7 + y 8 ≤ 115
在另外两个航班 CD、CE 上，有同样的容量限制，故有
x 2 + x 4 + x 7 + y 2 + y 4 + y 7 ≤ 120 , x 3 + x 5 + x 8 + y 3 + y 5 + y 8 ≤ 110 ;
每条航线上有需求量的限制，故有 所以 s.t.
建立模型： 建立模型： 。 Xij 为 i 地到 j 地运输的货物量（0 ≤ xij） s.t.： x13+x14=600 x23+x24=500 -x13- x23+x35+x36+x37 =0 -x14- x24+x45+x46+x47 =0 x35+ x45=450 x36+ x46=350 x37+ x47=300 目标函数： Min=4x13+7x14+7 x23+5x24+ 3x35+2x36+x37+ x45+3x46+4x47 编程如下： 用 matlab 编程如下： c=[4;7;7;5;3;2;1;1;3;4] xL=zeros(10,1) Aeq=[1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 1 1 0 0 0 0 0 0;-1 -1 0 0 1 1 1 0 0 0;0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1;0 0 0 0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 1 0 0 1 0;0 0 0 0 0 0 1 0 0 1] seq=[600;500;0;0;450;350;300] [x,fmin]=LINPROG(c,[],[],Aeq,seq,xL) 结果如下： 结果如下： x =600.0000 0.0000 0.0000 500.0000 0.0000 300.0000 300.000 450.0000 50.0000 0.0000 fmin = 6400 运输方案如下： 运输方案如下： Toronto 的 600 全运到 Chicago，Detroit 的 500 全运到 Buffalo，Chicago600 中的 300 运到 Phila，剩下的运到
目标函数为：
max z =
编程： 用 matlab 编程： c=[-190;-244;-261;-140;-186;-170;-260;-280;-90;-193;-199;-80;-103;-110;-150;-165] A=[1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1;0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0; 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1] b=[100;115;120;110] xL=zeros(16,1) xU=[31;22;10;34;13;25;20;8;52;41;60;59;15;33;31;41] [x,fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL,xU) fmax=-fmin 运行结果如下： 运行结果如下： x =31.0000 22.0000 10.0000 34.0000 13.0000 25.0000 20.000 8.0000 0.0000 2.0000 35.0000 42.0000 15.0000 33.0000 0.0000 29.0000 fmin = -5.3407e+004 fmax = 5.3407e+004 方案如下： 方案如下： AC、AD、AE、CD、CE、BC、CD、CE 上经济舱票数分别为：31 22 10 34 13 25 20 8；AC、AD、 AE、CD、CE、BC、CD、CE 上豪华舱票数分别为：0 2 35 42 15 33 0 29；最大收入为 53407 元。