线性规划的灵敏度分析实验报告

合集下载

线性规划灵敏度分析

淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号***********指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。

关键词单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’, the variety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition‘i b ’in the economic management ‘shadow price problem’.Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resourcescondition ，cost coefficient目录引言 (1)一、价值系数的变化分析 (2)二、技术系数的变化分析 (5)三、右端常数的变化分析 (6)四、增加新约束条件的灵敏度分析 (8)五、增加一个新变量的灵敏度分析 (9)六、线性规划灵敏度分析的应用 (9)七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用 (14)八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)引言灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究，本文基于已有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵敏度分析的应用进行分析.在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义：定义线性规划的标准形：（LP ）max ..0Z CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩ (1.1)(1.2)(1.3) 其中()12,,,n C c c c =为行向量，()12,,,Tn X x x x =，()12,,,Tm b b b b =均为列向量，()ij m nA a ⨯=为m n ⨯矩阵；0b ≥，并假设A 的秩为m ，在问题（LP ）中，约束方程（1.2）的系数矩阵A 的任意一个m m ⨯阶满秩子矩阵B （0B ≠）称为线性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵B 是由矩阵A 中m 个线形无关的列向量组成的，不失一般性，可假设()111121,,,m m m mm a a B p p p a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭并称()1,2,i p i m =为基向量，与基向量相对应的变量()1,2,i X i m =称为基变量不在B 中的列向量()1,2,j p j m m n =++称为非基向量，与非基变量相对应的变量()1,2j X j m m n =++称为非基变量，并记()1,11,12,1,,,m m m m n m m mn a a N p p p a a ++++⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭，则系数矩阵A 可以写成分块形式，不失一般性(,)A B N =，（1.4）将基变量和非基变量组成的向量分别记为()12,,,TB m X x x x =，()12,,,TN m m n X x x x ++=，则向量X 相应的写成分块形式B N X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1.5）再将（1.5）代入约束方程组（1.2）中，得(),B N X B N b X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由矩阵的乘法可得B N BX NX b +=，又因为B 是非奇异方阵，所以1B -存在，将上式两边乘以1B -，移项后，得11B N X B b B NX --=-现在可以把N X 看作一组自由变量（又称独立变量），给他们任意一组值N X ，则相应的B X 的一组值B X ，于是B N X X X ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭便是约束方程组（1.2）的一个解.特别令0N X =时，则1N X B b -=，现把约束方程组的这种特殊形式的解10B b X -⎛⎫= ⎪⎝⎭，称为基本解.满足变量非负约束条件（1.3）的基本解称为基本可行解. 现在来研究线性规划的灵敏度分析.灵敏度分析的含义是指对系统或事物因为周围条件变化显示出来的敏感度.具体说来就是要研究初始单纯形表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数在什么范围内变化时原最优基仍然是最优的.若原最优基不是最优的，如何用简便的方法找到新的最优解.现考虑标准形线性规划问题：（LP ）max ..0Z CXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有没有变化.但这样做即麻烦又没有必要，因为单纯形法的迭代过程是从一组基向量变换为另一种基向量，每次迭代都和基变量的系数矩阵B 有关，表中每次迭代得到的数据只随基向量的不同选择而改变，因此可以把个别参数的变化直接在计算得到的最优解的单纯形表上反映出来.这样就不需要从头计算，而直接在最优性单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最优性的条件，如果不满足的话再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解.下面就各个参数改变后的情况进行讨论：一、价值系数j c 的变化分析（一）非基变量j x 的价值系数j c 的变化若非基变量j x 的价值系数j c 的改变为j j j c c c '=+∆，则变化后的检验数为1j j j B j c c C B p σ-'=+∆-，0要保持原最优基不变，即当j c 变化为j c ∆后，最终单纯形表中这个检验数小于或等于零，即10j j j B j c c C B p σ-'=+∆-≤，因此j j c σ∆≤-∆，这就确定里在保持最优解不变时非基变量j x 的目标函数j c ，的变化范围，当超出这个范围时，原最优解将不是最优解了.为了求新的最优解，必须在原最优单纯形表的基础上，继续进行迭代以求得新的最优解.例1 已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++()12341234123423280054341200..3453100001,2,3,4j x x x x x x x x s t x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩（Ⅰ）为保持原最优解不变，分别求非基变量13,x x 的系数13,c c 的变化范围（Ⅱ）当1c 变为5时，求新的最优解.解（i ）由图表可知：113/4σ=-，311/4σ=-，于是由公式j j c σ∆≤-∆知，保持原最优解不变，则有 1313/4,11/4c c ∆≤∆≤，当111113/417/4c c c '=+∆≤+=，333311/423/4c c c '=+∆≤+=时，原最优解不变.（ii ）当1517/4c =>时，已经超出了1c 的变化范围，最优解发生了变化，下面来求新的最优解.首先求出的检验数：()11111/450,4,523/403/4B c C B p σ-⎛⎫⎪''=-=-=> ⎪ ⎪-⎝⎭故1x 为换入基，用新的检验数13/4σ'=代替原来的检验数113/4σ=-，其余数据不变，得到新的单纯形表，并继续迭代得：表（1.2）由表中可看出已得到新的最优解()*100,175,0,0,75Tx =及新的目标函数最优值 *1375Z =.（二）基变量j x 的价值系数j c 的变化若r c 是基变量r x 的价值系数，因为r B c C ∈，当r c 变为r r c c +∆时，就引起BC 的变化，则()()()1111120,,,0,,,B B B rB r r r rnC C B A C B A c B A C B A c a a a ----'''+∆=+∆=+∆其中 ()12,,,r r rn a a a '''是矩阵1B A -的第r 行.于是，变化后的检验数为1j j B j r rj j r rj c C B p c a c a σσ-'''=--∆=-∆ （j = 1，2，，n ）若要求最优解不变，则必须满足0j j r rj c a σσ''=-∆≤ （j = 1，2，，n ）由此可以导出当0rj a <时，有/r j rj c a σ'∆≤ ；当0rj a >时，有/r j rj c a σ'∆≥. 因此，r c ∆的允许范围是{}{}max /|0min /|0j rj rj r j rj rj jja a c a a σσ''''>≤∆≤<使用此公式时，首先要在最优表上查出基变量r x 所在行中的元素()1,2,,rj a j n '=，而且只取与非基变量所在列相对应的元素，将其中的正元素放在不等式的左边，负元素放在不等式右边，分别求出r c ∆的上下界.例2 为保持现有最优解不变，分别求出例1 中基变量24,x x 的变化范围.若当B C 由（0，4，5）改变为（0，6，2）时，原最优解是否保持最优，如果不是，该怎么办？解根据上述公式，利用表（1.1），为使最优基变量()245,,x x x 不变，4c ∆的变化范围是413/41/413/41/4max ,min ,213/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭即4114c -≤∆≤ 故当41554c ≤≤时，原最优解不变，现在4c 变为6，已超出了4c ∆的允许变化范围.同样的，2c ∆的允许范围是211/4113/41/4max ,min ,11/413/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，即2113c -≤∆≤故当21643c ≤≤时，原最优解不变，现在2c 变为2，也不在2c ∆的允许变化范围内，当B c 由（0，4，5）变为（0，6，2）即4c 变为6，2c 变为2，都超过了它们的允许变化范围，需要求新的最优解.为此用变换后的B c '代替B c ，将表（1.2）改成表1.3（I ），在继续进行迭代求得新的最优解，由该表知，已求得最优解()*0,0,0,300,200,0,100Tx =及目标函数最优值*1800Z =.j 最优解对目标函数中的价值系数j c 的改变不十分灵敏，而对价值系数j c 的灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定幅度内改变价值系数j c 的值，来积极应对市场挑战.二、技术系数ij a 的变化分析由于对价值系数j c 的分析分为基变量价值系数和非基变量价值系数，现也可以按这种方法把对技术系数ij a 的分析分为两类：（一）、非基向量列j P 改变为j P ' 12j j j nj a a P a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这种情况指初始表中的j P 到数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是非基向量.这一改变直接影响最优单纯形表上的第j 列数据与第j 个检验数.最终单纯形表上的第j 列数据变为1j B P -'，而新的检验数1j j B j c c B P σ-''=-，若0j σ'≤，则原最优解仍是新问题的最优解.若0j σ'>，则最优基在非退化情况下不再是最优基.这是，应在原来最优单纯形表的基础上，换上改变后的第j 列数据1j B P -'和j σ'，把j x 作为换入变量，用单纯形法继续迭代.（二）、基向量列j P 改变为j P '这种情况指初始表中的j P 列数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是基向量，此时，原最优解的可行性和最优性都可能遭到破坏，需要重新计算.三、右端常数i b 的变化分析右端常数i b 的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.当第r 个约束方程的右端常数由原来的r b 变为r r r b b b '=+∆，其它系数都不变，即初始表上新的限定向量12000r r m b b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中1200,0r r n b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆=⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设原最优解为121m B B B B x x X B b x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则新的最优解为1111100B r X B b B b B b B b B b -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥''⎢⎥==+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若原最优基B 仍是最优的，则新的最优解0B X '≥，即1111000r B r ir B r r mr d X B b B b B b d X b D d ---⎡⎤'⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=+∆=+=+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦其中r D 是1B -的第r 列，即12r r r mr d d D d ⎡⎤'⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦故()01,2,,i B r ir x b d i m '+∆≥=因此，r b 的允许变化范围是：max |0min |0i iB B ir r ir i iir ir x x d b d d d ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪''->≤∆≤-<⎨⎬⎨⎬''⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭如果r b ∆超出上述范围，则新的解不是可行解.但由于r b 的变化不影响检验数，故仍保持检验数0σ≤，即满足对偶可行性，这时可在原最终表的基础上，用对偶单纯形法继续迭代，以求出新的最优解.一般来说，当b 变为b '时，也可以直接计算1B b -，若有10B b -≥，则原最优基B 仍是最优基，但最优解和最优值要重新计算.若1B b -不恒大于零，则原最优基B 对于新问题来说不再是可行基，但由于所有检验数0σ≥，现行的基本解仍是对偶可行的，因此，只要把原最终表的右端列改为11B B b C B b --'⎡⎤⎢⎥'-⎢⎥⎣⎦，就可用对偶单纯形法求解新问题. 例3 线性规划问题12121122312max 232212416..515,0Z x x x x b x b s t x b x x =++≤+∆⎧⎪≤+∆⎪⎨≤+∆⎪⎪≥⎩分别分析123,,b b b ∆∆∆在什么范围内变化，问题的最优基不变.解先分析1b ∆的变化，由公式10B B X X B b -'=+∆≥知，使问题最优基不变的条件是1111101325324421042053031005b λλ⎛⎫-⎡⎤ ⎪+⎢⎥∆⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪+-=-≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭由此推得162λ-≤≤同理由23403λ⎡⎤⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得， 24λ-≤≤∞，3331354405135λλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦从而3515λ-≤≤.四、增加新约束条件的灵敏度分析若在线性规划问题中再增加一个新的约束条件，即有1,11nm jj m j ax b ++=≤∑，即11m m A X b ++≤ （4.1）其中 ()11,11,21,,,,m m m m n A a a a ++++=，()12,,,Tn X x x x =，由于增加一个约束，则可行域有可能减小，但不会使可行域增大，因此，若原问题的最优解满足这个新的约束，则在新问题中仍是最优解；若原来的最优解不满足这个新约束，那么现再来求新的最优解.设原来的最优基为B ，各基向量集中于A 的前m 列，最优解为 10B N x B b X x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对新增加的约束（4.1），引进松弛变量1n x +，又因为()()()111,m m m BNA A A +++=，则（4.1）式变成()()1111m B m N n m B N A X A X X b ++++++= （4.2）显然，1n x +是约束（4.2）的基变量.增加约束后，新的基B '、()1B -'及右端向量b '如下：()101m B B B A +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦，()()111101m B B B A B ---+⎡⎤'=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，1m b b b +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦，对于新增加约束后的新问题，在现行基下对应变量()1j x j m ≠+，的检验数是：()()()111111,0,01j j j j j B j j B j B j j m m j B P B c z c C B P c C c C B P A B a σσ----++⎡⎤⎡⎤'''''=-=-=-=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦它与不增加约束时相同.又因为1n x +是基变量，故10n σ+'=.因此，现行的基本解是对偶可行的，现行基本解是：()()()1111111111101B n m m n m m B B B b X bb B B b b A B X b A B b -----++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若()()1110m m B b A B b -++-≥，则现行的对偶可行的基本解是新问题的可行解，即最优解.若()()1110m m B b A B b -++-<，则在原来最终解的基础上增加新约束（4.2）的数据，通过矩阵的初等行变换，把原最终表上的各基向量列及新增列1n P +化为单位阵，再用对偶单纯形法继续求解.五、增加一个新变量的灵敏度分析假设要增加一个非负的新变量1n x +，其相应的系数列向量为1n P +，价值系数为1n C +.又知原问题的最优解是B ，显然，增加这个新变量，对原最优解的可行性没有影响.现计算新的检验数1111n n B n C C B P σ-+++=-若10n σ+≤，则原最优解是新问题的最优解；若10n σ+>则原最优解不再是最优解.这时，把11n B P -+加入到原最终表内，并以新变量1n x +作为换入变量，按单纯形法继续迭代，即可得到新的最优解.六、线性规划灵敏度分析的应用线性规划灵敏度分析的应用主要是资源条件的应用，而对资源条件b 的分析的一个重要应用是：“影子价格问题”定义设线性规划对偶问题1max nj j j Z c x CX ===∑ min W Yb =（P ）()()11,2,,..01,2,,nij j i j ja x AXb b i m s t x j n =⎧=≤==⎪⎨⎪≥=⎩∑ （D ） ..0YA Cs t Y ≥⎧⎨≥⎩右端常数()1,2,,i b i m =表示第i 种资源的现有量下面讨论i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的变化. 设B 是问题（P ）的最优基，则*1****1122B m m Z C B b Y b y b y b y b -===+++，当i b 变为1i b +时（其余右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基B ）目标函数最优值变为*****1122(1)i i m m Z y b y b y b y b '=++++++，于是目标函数最优值的改变量为****i Z Z Z y '∆=-=，由上式可以看出*i y 的意义，它表示当右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的改变量，也可以写成**i iZ y b ∂=∂()1,2,,i m =，即*i y 表示*Z 对i b 的变化率.在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若（P ）的某个约束条件的右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值*Z 的改变量*i y 称为第i 个约束条件的影子价格，又称边际价格.由定义可知，影子价格*i y 的经济意义是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量i y 就是第i 个约束条件的影子价格.影子价格是针对某一具体的约束条件而言的.而问题中所有其它数据保持不变，因此影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数.影子价格又称灵敏度系数，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解.如果原规划模型属于一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并需求总体效益目标最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价，以便得出与最优生产计划相一致的一个企业最低总价值.该对偶模型中资源的估价表现为相应资源的影子价格.影子价格在经济管理中的应用很多，下面就下面这个问题进行分析：影子价格指示企业内部挖掘潜力的方向.设线性规划模型（LP ）：()()11max 1,2,,..01,2,,nj jj nij ji j iZ c x a x b i m s t x j n ===⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得：min ..0Z C X AX b s t X ''='=⎧⎨'≥⎩ 其中(),0c c '=-，0是m 维行向量， (),A A I '=为m m *单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基*x ，最优解为： ***11n n j j j j j j Z c x c x =='==∑∑ ，并可设()()1****,,0B B N N x B b x c c c x -⎡⎤⎡⎤'''⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()1*11*****111,0n n m j j j j B N B B i j j i i B b Z c x c x c c c B b c B b ---===⎡⎤⎡⎤'''''⎢⎥=====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 所以可令**ii Z y b∂=∂，即()()1**,1,2,,iB i y c B i m -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦因此，有***11nmj ji i j i Z c x y b ====∑∑ （6.1）再令()()1*****12,,,m B y y y y c B -'==，由单纯形法最优原则可知：()1**0B y A c c B A c -'''''-=-≤ （6.2）即()()*(,),0,0y A I c c ≤-=-因此，有*0y ≥ （6.3）而由（6.2），（6.3）及线性规划的对偶结构可知：*y 是对偶问题的可行解. 再由（6.1）及对偶定理可知：*y 是对偶问题的最优解.可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零.反之就是，若影子价格*0y >，则对应的是*x 的起作用约束.因此，影子价格*0i y =表示第i 种资源i b 未得到充分利用；而*0i y >则表示第i 种资源i b 已得到充分利用.影子价格直接应用到企业资源最有效的部门中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当当影子价格小于资源的市场价格时出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源企业必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.“影子价格问题”：影子价格设线性规划模型（LP ）Max∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 有最优解*x ，最优解为**j j z c x =∑则可令iib z ∂∂=**ϖ 则必有∑∑--==mi i i nj j j b x c z 1*1**ϖ和0*≥i ϖMax∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得min x c ''..t s 0Ax b x '=⎧⎨'≥⎩其中3(,)T x x x '=（5x 为松弛变量，是m 维列变量），(,0)c c '=-,这里0是m 维行向量，而(,)A A I '=为*m m 单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基可行解*x ，最优解为：∑∑--'==nj nj j j jj x c xc z 11***并可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-N B x x b B x **1**0)(，),(N B c c c ''=' i m i i B B nj N B jj n j j j b B c b B c b B c c xc x c z ∑∑∑------'='=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''='==11*1*11**1**])([)(0)(),( 所以可令iib z ∂∂=**ϖ，即[]i B i B c 1**)(-=ϖ，),,2,1(m i = 因此有∑∑--==n j mi i i j j b x c z 11***ϖ （6.4）再令1***2*1*)(),,(-'==B c Bm ϖϖϖϖ 由单纯形法最优准则可知0)(1**≤'-''='-'-c A B c c A B ϖ （6.5）即)0,()0,(),(*c c I A -=-≤ϖ因此有0*≥ϖ (6.6) 而由(6.5)和(6.6)，由线性规划的对偶规划结构可知：*ϖ是对偶规划的可行解，再由(6.4)，以及对偶定理可知：*ϖ是对偶规划的最优解.）称*ϖ为第i 种资源的影子价格，****12(,,)n ωωωω=为影子价格向量.*ϖ表示，第i 种资源bi 对最优值的边际贡献.从线性规划对偶理论易见，影子价格就是对偶规划的最优解.而由前述对资源条件的灵敏度分析可知，对于最优解*x 的不起作用约束而言，若此约束的资源条件bi 在灵敏度范围内变动时，则最优值*z 不变，所以0**=∂∂=iib z ϖ 可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零。

excel求解线性规划和灵敏度分析实训过程记录及学习收获

excel求解线性规划和灵敏度分析实训过程记录及学习收获线性规划是一种数学优化模型，用于对一组线性限制条件下的线性目标函数进行优化。

Excel 能够进行线性规划问题的求解和灵敏度分析，以下是实习过程的记录和收获总结：1. 实训任务我们的实训任务是一个有饲料限制的生产计划问题，其中需要决定生产哪些种类的产品、购买何种原材料、以及在何时生产这些产品，以使得利润最大化。

任务中给定了各种产品需要的原材料数量，各种原材料的数量与价格，及一些限制条件，例如生产时间，最小生产量等。

2. Excel求解线性规划问题Excel中求解线性规划问题的函数是“Solver”，首先需要打开Excel中的“数据”选项卡，然后在“分析”工具中找到“Solver”。

进入“Solver参数”对话框后，需要输入目标函数和限制条件，并且设置决策变量的可变性、约束条件的类型和数量。

最后根据需要设置求解的约束条件和目标函数的目标方向，点击“求解”即可。

在我们的实训任务中，我们首先需要设置约束条件，限制了各种产品需要的原材料数量，并且确保生产时间在规定范围内。

然后我们需要设置各个决策变量的可变性，例如选择生产哪些产品，购买何种原材料以及在何时生产这些产品等。

最后将目标函数设置为生产的利润最大化，并且设置约束条件为“>=0”，以确保决策变量的可行性。

点击“求解”即可得出最优解。

3. Excel灵敏度分析Excel的灵敏度分析功能可以帮助我们了解线性规划问题的各个变量对于目标函数的影响程度。

Excel中灵敏度分析的函数是“规划求解器的报告”，在对话框中选择“接受解决方案”，然后勾选“制作规划求解器报告”选项，即可生成报告。

在报告中，我们可以看到各个决策变量的最优解以及目标函数的最优值。

同时，报告中还包括影响目标函数的变量的“系数范围”和“变化量”，我们可以通过调整这些参数来预测目标函数的变化情况。

4. 学习收获通过这次实训，我学会了如何使用Excel求解线性规划问题以及如何进行灵敏度分析。

实验二___线性规划灵敏度分析

实验二线性规划模型及灵敏度分析（一）实验目的：掌握使用Excel软件进行灵敏度分析的操作方法。

（二）实验内容和要求：用Excel软件完成案例。

（三）实例操作：（1）建立电子表格模型；（2）使用Excel规划求解功能求解问题并生成“敏感性报告”；（3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新规划求解，并对结果提出你的看法；（4）在Word文档中书写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告和结果分析等。

案例1 市场调查问题某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。

该厂对市场调查公司提出了以下要求：（1）共对500个家庭进行调查；（2）在被调查家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭；（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，对其余家庭可采用口头调查；（4）在有孩子的被调查家庭中，至少对50%的家庭采用问卷式书面调查；（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少对60%的家庭采用问卷式书面调查。

对不同家庭采用不同调查方式的费用如下表所示：市场调查费用表家庭类型调查费用（元）问卷式书面调查口头调查有孩子的家庭50 30没有孩子的家庭40 25问：市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？案例2 经理会议建议的分析某公司生产三种产品A1，A2，A3，它们在B1，B2两种设备上加工，并耗用C1，C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的每天最多可使用量如下表所示：生产三种产品的有关数据资源产品A1 产品A2 产品A3 每天最多可使用量设备B1(min) 1 2 1 430设备B2(min) 3 0 2 460原料C1(kg) 1 4 0 420原料C2(kg) 1 1 1 300每件利润(元) 30 20 50已知每天对产品A2的需求不低于70件，对A3不超过240件。

运筹学实验报告线性规划及其灵敏度分析

.
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称线性规划及其灵敏度分析
所属课程名称运筹学B
实验类型综合
实验日期2014年10月24日
班级数学1201班
学号201264100128 成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的容.概括整个实验过程. 对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，还应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告容，给出本次实验报告的评价.。

实验线性规划图解法灵敏性分析

实验3 线性规划的灵敏性分析专业班级信息121 班学号201212030120 姓名刘帅报告日期实验类型：●验证性实验○综合性实验○设计性实验实验目的：熟练线性规划图解法的灵敏性分析。

实验内容：线性规划的灵敏性分析4个（题目自选b,c灵敏性分析）实验原理在线性规划图解法求出最优解的情况下，分析b,c分别变化对最优解的影响，确定最优解的变化范围，在变化的情况下能求出最优解。

实验步骤1 要求上机实验前先编写出程序代码2 编辑录入程序3 调试程序并记录调试过程中出现的问题及修改程序的过程4 经反复调试后，运行程序并验证程序运行是否正确。

5 记录运行时的输入和输出。

预习编写程序代码：实验报告：根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。

(1) 唯一最优解：max z=x1+x2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+02,182126221X X X X X X建立simplex.m 文件function [x,z,flg,sgma]=simplex(A,A1,b,c,m,n,n1,cb,xx)% A,b are the matric in A*x=b% c is the matrix in max z=c*x% A1 is the matric in simplex table% m is the numbers of row in A and n is the column number in A% n1 is the nubers of artificial variables,and artificial variables are default at the last % n1 variables in x.% cb is the worth coefficient matrix for basic variables% xx is the index matrix for basic variables% B1 is the invers matrix for the basic matrix in simplex table.The initial % matrix is default as the last m con in the matrix A.x=zeros(n,1)。

线性规划问题及灵敏度分析

实验一线性规划问题及灵敏度分析实验目的：了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容，掌握操作命令。

用WinQSB 软件求解线性规划，掌握winQSB 软件写对偶规划，灵敏度分析和参数分析的操作方法。

实验每组人数及学时：组人数1人，学时数：4学时实验环境：装有WinQSB 软件的个人电脑实验类型：验证性实验内容：一、用WinQSB 软件求解线性规划的方法：操作步骤：1.将WinQSB 文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。

2.指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\ WinQSB ）。

3. 安装过程需输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB 菜单自动生成在系统程序中。

4.熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。

5．求解线性规划。

启动程序开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming 。

6．学习例题点击File→Load Problem→lp.lpp, 点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。

用图解法求解，显示可行域，点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors，改变X1、X2的取值区域（坐标轴的比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。

下面结合例题介绍WinQSB 软件求解线性规划的操作步骤及应用。

用WinQSB 软件求解下列线性规划问题：1234max657Z x x x x =+++s.t. 12341234123123431234269260852150730001020,,0,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤⎧⎪-+-≥⎪⎪++=⎪-≥⎨⎪-≥⎪≤≤⎪⎪≥⎩无约束解：应用WinQSB 软件求解线性规划问题不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先线性化，对于有界变量及无约束变量可以不用转化，只需要修改系统的变量类型即可，对于不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式符号。

线性规划的灵敏度分析

实验课程名称运筹学实验项目名称线性规划的灵敏度分析年级 08数学专业应用数学学生姓名吴进强学号 080701110186理学院实验时间：2010 年10 月20日学生实验室守则一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。

二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。

三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。

四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。

五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。

六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。

七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。

仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。

八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。

九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。

十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。

十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。

学生所在学院：专业：班级：姓名吴进强学号080701110186 实验组无2010-10-2指导教师杨辉成绩实验时间实验项目名称线性规划的灵敏度分析实验目的及要求：1. 运用LINDO，TORA的验证价值系数和左端项变化时的灵敏度分析2. 分析其它参数发生变从时的最优基不变的范围3. 输入模型4 求解保存结果实验（或算法）原理：线性规划单存行法单纯形法是一种迭代算法，其基本原理及主要步骤是：首先设法找到一个（初始）基可行解，然后再根据最优性理论判断这个基可行解是否最优解。

线性规划问题的灵敏度分析

a' 1, n 1
a' 1, n i
a' 1,n m
设
B 1
a' k ,n1
a' k ,ni
a' k ,n m
a
'
m
,n
1
a' m,ni
a
' m,nm
b b1, b2 , , (bk bk ), bm T
为保证最优解的基变量不发生变化 , 必须满足
XB
B b b 0 1
注意：若碰到原问题和对偶问题均为非可行解时，就需要引进人工变量后重新求解。
线性规划问题的灵敏度分析
最优解/最优值的变化情况； (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化，其最优
基/最优解/最优值不变。
灵敏度分析内容：
(1)参数 Cj,bi,aij的影响分析;
(2) 增加约束或变量的影响分析；
线性规划问题的灵敏度分析
2
5.2 灵敏度分析工具与原理
(1)灵敏度分析工具
Pj’ =B-1Pj
b’=B-1b
– 已知 c6=4, p6=(2,4,5)
– 计算 x6 的检验数可知生产是否
有利
线性规划问题的灵敏度分析
18
5.7 技术系数aij的变化
约束矩阵A随之变化
若xj在最终表中为非基变量，其约束条件中系数 aij的变化分析步骤参考增加一个变量时的情形
若xj在最终表中为基变量，则aij的变化将使相应的基矩阵B和B-1发生变化，可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况，需引进人工变量将原问题化为可行解，再用单纯形法
σj =Cj-CBB-1Pj=Cj-CBPj’

线性规划的灵敏度分析实验报告

A( 1, 2) 2.000000 0.000000
A( 1, 3) 1.000000 0.000000
A( 1, 4) 0.000000 0.000000
A( 1, 5) 0.000000 0.000000
A( 2, 1) 4.000000 0.000000
A( 2, 2) 0.000000 0.000000
实验项目线性规划的灵敏度分析实验目的掌握用lingolindo对线性规划问题进行灵敏度分析的方法理解解报告的容
《运筹学/线性规划》实验报告
实验室：实验日期：
实验项目
线性规划的灵敏度分析
系别
数学系
姓名
学号
班级
指导教师
成绩
一实验目的
掌握用Lingo/Lindo对线性规划问题进行灵敏度分析的方法，理解解报告的内容。初步掌握对实际的线性规划问题建立数学模型，并利用计算机求解分析的一般方法。
X( 1) 2.000000 INFINITY 2.000000
X( 2) 3.000000 INFINITY 3.000000
X( 3) 0.0 1.500000 INFINITY
X( 4) 0.0 0.5000000 INFINITY
X( 5) 0.0 0.7500000 INFINITY
Righthand Side Ranges
X( 3) 0.000000 1.500000
X( 4) 0.000000 0.1250000
X( 5) 4.000000 0.000000
A( 1, 1) 1.000000 0.000000
A( 1, 2) 2.000000 0.000000
A( 1, 3) 1.000000 0.000000

第3章线性规划的灵敏度分析

又获得了10个小时的切割与印染时间，我们可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出，极点 S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元，比原来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。因此，利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小时。
在式（3-2）中，我们计算出只要满足下列条件，极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元，同时使CD降低到8美元，新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限，因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD =8代入，可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围，我们得出结论，无论是
（3-2）为了计算标准袋利润最优的范围，我们假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2），我们得到：从左边的不等式，我们得到
因此
从右边的不等式，我们得到
因此，综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优范围为：
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这个估计量的可信程度有多大了。管理层希望知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎样变化。

浅谈线性规划问题的灵敏度分析

浅谈线性规划问题的灵敏度分析符龙飞2016年5月15日摘要线性规划是运筹学的一个重要的分支，本文主要讨论有关线性规划问题的灵敏度分析，灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析，在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.因此本文讨论在实际问题中当技术系数、资源系数、价值系数以及增加一个变量和增加一个约束条件时，原问题最优解的变化，对原线性规划问题进行灵敏度分析.关键词：线性规划；灵敏度；最优解AbstractLinear programming is an important branch of operational research, this paper mainly discusses the sensitivity analysis of linear programming, sensitivity analysis of the definition refers to the analysis of the sensitivity of its own because of changes in ambient conditions and displayed on things or to make the whole system of linear programming problems, we assume that the technology of data resources the data value and data vector or matrix elements in the known constant, but in the actual problems in these data are just some forecast data and estimates, the establishment of a linear programming model to deal with practical problems, will not change the data, is not very accurate, may be modified in this paper.When discussing technical factors, in the actual problem of resource factor, value factor and add a variable and add a constraint condition, the original problem of optimal solution Sensitivity analysis of the original linear programming problem.Keywords: Linear programming; sensitivity; optimal solution目录第一章前言 (1)1.1 线性规划问题及线性规划发展史 (1)1.2 灵敏度分析的概念 (1)1.3线性规划模型 (1)1.4灵敏度分析的方法及步骤 (2)1.5 符号说明 (2)第二章技术系数a的变化分析 (3)ij2.1 非基变量系数列向量发生变化 (3)2.2 基变量系数列向量发生变化 (4)第三章资源系数b的变化分析 (7)ic的变化分析 (10)第四章价值系数i4.1 非基变量价值系数变化 (10)4.2基变量价值系数变化 (11)第五章增加新的变量的变化分析 (13)第六章增加新约束条件的变化分析 (16)总结 (18)[参考文献] (19)第一章前言1.1 线性规划问题及线性规划发展史线性规划是我们研究运筹学最基本的也是最重要的问题之一，是运筹学中相对比较成熟的一个重要分支.线性规划是近几十年发展起来的一种数学规划的方法，它主要研究在给定的线性不等式或者线性方程约束条件下，对所求的目标函数在一定意义下的极值问题，使其线性指标最优.它广泛应用于工、商、农、军事、交通运输、经济管理以及计划等各个领域.具有应用广泛、适应性强、计算技术比较简单等特点，线性规划在理论上已经也来越成熟，其应用也越来越广泛和深入[1].线性规划的发展是运筹学史上几代人智慧的结晶.1939年，原苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法，1941年美国学者希奇柯克独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题，1947年，美国学者丹捷格提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展.自此以后线性规划在计算上趋向成熟，应用也更加广泛深入[2].1.2 灵敏度分析的概念灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析.在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.如果市场条件发生了变动，价值系数的值就会发生变化，技术系数会随着工艺技术条件的变化而变化，同样，在资源投入量发生变化时，资源系数也会随之发生变化，它的值会根据资源投入后能产出多大经济效果来决定的一种决策选择.因此，当这些数据发生变化时，线性规划的最优目标值或者最优解会发生怎样的变化？或者是不是这些参数在一定的范围内其线性规划问题的最优解不会发生变化？这就是本文我们研究线性规划问题的灵敏度分析所要解决的问题.1.3线性规划模型线性规划模型的标准形式如下：max z CX(0)0AX b b X =≥⎧⎨≥⎩我们在求解线性规划问题时首先就应该把数学模型转化成标准形式.1.4灵敏度分析的方法及步骤要进行灵敏度分析，首先要弄明白的就是上述问题：①当系数发生变化时，最优解或者最优目标值发生变化，我们如何简便地求出新的最优目标值和最优解；②当系数在什么一定范围内，线性规划的最优解是不变的.我们可以将灵敏度度分析归纳为：（1）将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来，具体的计算方法是按下列公式计算出由技术参数、资源参数和价值参数的变化引起的最终单纯形表上有关数字的变化，即*1b B b -∆=∆*1j j P B P -∆=∆()()*1mj j j j ij i i c z c z a y =∆-=∆--∑（2）检查原问题是否仍为可行解；（3）检查对偶问题是否仍为可行解.（4）我们可以按照下表1-1所列出的情况得出结论或者得出继续计算的步骤[3].表1-1原问题对偶问题结论或者继续计算的步骤可行解可行解表中的解仍为最优解可行解非可行解用单纯法继续迭代求最优解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代求最优解非可行解非可行解引入人工变量，编制新的的单纯形表，求最优解1.5 符号说明①ij a 技术数据； ②i b 资源数据； ③j c 价值数据； ④B 最优基； ⑤s .t . 约束条件.第二章技术系数ij a 的变化分析2.1 非基变量系数列向量发生变化如果我们用最优基B 来说，当非基变量j x 的系数列向量j A 改变为'j j jA A A =+∆就会有变化后的检验数为()'1j j B j j j j c C B A A Y A σσ-=-++∆=+∆ ()1,2,,j n =[4]在这里，对偶可行解为1B Y C B -=，我们要使原来的线性规划最优基B 仍然保持不变的话，必须有'0j σ≥，即j j Y A σ∆≥- ()1,2,,j n =而当()0,,,,0Tj ij P a ∆=∆时，则由上式可得()10,,0im i ij j ij y y y y a a σ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆≥-∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们可以导出当0i y >时，有jij ja y σ∆≥-；当0i y <时，有jij ja y σ∆≤-.例1已知线性规划问题12345max 2300Z x x x x x =---++s .t .()12341234347901,2,3,4,5j x x x x x x x x x j ⎧+++=⎪⎪+++=⎨⎪≥=⎪⎩ 23a 怎样变化时最优解保持不变？解：最终单纯形表如下表2-1j c2- 3- 1-0 0bB C B X 1x2x3x 4x5x2-1x 1 0 1-43 13- 1 3-2x0 1 2 13- 13 2j σ353138Z =-由此表可得[]133323234113312,311331233B cC B p a a σ-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤=-=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=+ 32323120233a a σ=+≥⇒≥-所以[232,)a ∈-+∞原最优解保持不变.2.2 基变量系数列向量发生变化仍然对于最优基B 来说，当基变量j x 的系数列向量j A 发生变化的时候，对于基向量B 和它的逆矩阵1B -都会有一定的影响，则线性规划的解的可行性、最优性以及它的最优目标值都会随之发生变化.我们要求出一个一般公式是很难的，因此，我们会用单纯形法重新求解变化后的线性规划问题.对于重新的求解可以在原来的单纯形终表上变换数据后进行迭代[5].例2已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++s .t .()123412341234232800543412003453100001,2,3,4jx x x x x x x x x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩如果非基变量3x 的系数由135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦变为141⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么原线性规划的最优解是否还是最优？如果不是求出最优.解:由3110431154A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则330115110,,114444Y A σ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∆==-<-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦因此不满足j j Y A σ∆≥-，那么原线性规划的最优解就不再是最优解了，根据灵敏度分析的步骤，求新的最优解我们应该先求出新的检验数'1'3330130,,111044B c C B A σ-⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+=-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦所以可以取3x 为进基变量，然后计算1'311111401143312014B A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦用它去替换原线性规划最优单纯形表表2-1的第3列，从而得到表2-2，继续迭代可以得到表2-3，如下表2-1 原线性规划最优单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 134- 0 1 141- 4x20022-111-2x100 34-1 114 0 0 34-1 1300134114141表2-2 改变后的单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 1 0 1 141- 4x 200 20 31 0 11-2x100 34-1 2- 0 0 34-1 13001341-141表2-3 迭代后的单形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 1003 512- 0 0 13- 1 112-23- 4x 2003 23 0 1 13 0 13 13- 2x7003 712 1 0 23 0 112- 13 41003471213712 23我们由上表就可以看得出来，求得的最优解*7002001000,,,0,,0,0333X ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及改变后的最优值*41003z =.第三章资源系数i b 的变化分析我们知道，资源系数发生变化的问题关键就是怎样把i b 的变化直接的反映到原来线性规划问题的最终单纯形表，对于单纯形法的迭代过程，其实就是矩阵的初等变换过程，用所学的知识我们知道，对于分块矩阵[]BI我们进行初等变换时，把矩阵B 变成单位矩阵I ,会有单位矩阵I 变成矩阵1B -，即1IB -⎡⎤⎣⎦因此我们可以知道，若在已知的最终单纯形表中基可行解所对应的基“B ”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“1B -”（初始单纯形表中的单位矩阵I 在最终单纯形表中所对应的矩阵），我们可以有'1b B b -=[6].例3对于线性规划问题12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 如果把第二个约束条件的右端项增大到32，那么分析一下最优解如何让变化.解：由最终单纯形表表3-1表3-1 最终单纯形表1x2x3x4x5x3x 152 0 0 1 54 152- 1x 72 1 0 0 14 12- 2x32114- 32i i z c -0 0 014 12因为003224880b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由*1b B b -∆=∆，得*51514201011082420213042b ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将其加到表3-1一列数字上的最终单纯形表的基变量解，得表3-2.表3-21x2x3x4x5x3x 352 0 0 1 54 152- 1x 112 1 0 0 14 12- 2x12- 0 1 0 14- 32 i i z c -1412又因为上表中原问题是非可行解，因此我们需继续计算，采用对偶单纯形法可以得到表3-3表3-31x2x3x4x5x3x 15 0 5 1 0 0 1x 5 1 10 0 12x20 4-0 1 6-i i z c -12从表中我们可以看出新的最优解15x =，*2510z =⨯=.第四章价值系数i c 的变化分析4.1 非基变量价值系数变化假设()12n A p p p =.若j j j c c c =+∆，j N ∈,则1T j j B j j j c c B p c σσ-=-=+∆如果使最优基不变，则必须有0j σ≤，因此非基变量价值系数j c ，j N ∈的变动范围应该满足j j c σ∆≤-例4已知线性规划问题123max 234Z x x x =---s .t .123412341234523234,,,,0x x x x x x x x x x x x x ---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩求解价值系数在什么范围变化时，最优解不变.解：表4-1是最终单纯形表表4-1j c →2-3- 4- 0 0b cB X b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x1151 0 75 15- 25- j σ95- 85- 15- 由单纯形法计算可得表4-2表4-2j c →2-3-34c -+∆0 0b cb x b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x115175 15- 25- j σ0 0395c -+∆85- 15- 从表4-2中我们可以看出当395c ∆≤时，最优解不变. 4.2基变量价值系数变化如果B B B c c c =+∆,则对于j N ∀∈,11TT B j j j j B j c c B p c B p σσ--=-=-∆这时，若保持最优基不变，一定要使得0j σ≥，j N ∀∈.所以基变量价值系数Bc 满足不等式组的取值范围为1T B j jc B p j N σ-∆≤∀∈例5已知线性规划问题123max 2z x x x =-++s .t .1231241234624,,,0x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪≥⎩当1c 变为4时，求新问题的最优解.解：这个线性规划模型的最终单纯形表为表4-3 .表4-31x2x3x4x2x 6 1 1 1 0 4x1030 11 i i 1c 是非基变量的系数，则()1133,132c c ∆≤--=≤-+=所以，1c 在12c ≤的范围内变化时，最优解不变.当1c 变为4时，超出范围，则重新计算()()1'1241144,42,003TB j c B p c c p σ-⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭把表4-3中13σ=-变为2，选择1x 为入基变量，4x 为出基变量，进行迭代，得到的最终单纯形表，表4-4表4-41x2x3x 4x2x83 0123 13- 4x 1031 013 13 i i c z - 0 053- 23- 新的最优解为：1234108,,033x x x x ====；最优值：*563z =.第五章增加新的变量的变化分析增加一个新的变量实际上就是在单纯形表中增加一列，假如增加一个新的变量1n x +，1n c +是它所对应的价值系数，()111211,,,Tn n n mn A a a a ++++=是它在约束矩阵中的对应系数列向量，则增加一列'11'''2111'1n n n n mn a a A B A a +++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其检验数1111n n B n c C B A σ-+++=-+那么就得到了新问题的单纯形表，如果10n σ+≥，则原线性规划问题的最优解不变.我们通过具体例题来讨论增加新的约束条件.例6某生产加工厂计划用两种不同的原料生产四种商品，四种商品的收益和消耗的原料数以及消耗的原料定量如表5-1表5-1产品（万件）/原料（kg ）甲乙丙丁提供量第一种原料3 2 104 18 第二种原料 0 0 2 1/2 3 求：如果增加第一种原料，增加多少原最优基不变？解：设生产甲、乙、丙、丁四种产品各1x ，2x ，3x ，4x 万件，则线性规划模型为1234max 985019Z x x x x =+++s .t .()1234343210418123201,2,3,4j x x x x x x x j ⎧+++≤⎪⎪+≤⎨⎪⎪≥=⎩增加第一种原料时，1b 就会发生变化，设1118b b =+∆，1(18,3)b b =+∆，则1111210221833314311636b b B b b -⎡⎤⎡⎤-+∆⎢⎥⎢⎥+∆⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则需满足12203b +∆≥，11106b -∆≥原最优基不变，得136b -≤∆≤，即11524b ≤≤.函数1112(0,0,1,2)63t X b b =-∆+∆，113883Z b =+∆是1b ∆最优值和最优解，当16b ∆>，13b ∆<-时，原来的最优基就会改变，原问题的最优基如下表表5-2.表5-2j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-2 503x12- 13- 1 0 16- 43 1j σ4- 23- 0133- 103- 88Z =当16b ∆>时，情形如下，常数项用111223116b B b b -⎡⎤+∆⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-∆⎢⎥⎣⎦代替，用对偶单纯法得表5-3.表5-3j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-1223b +∆503x12- 13- 116- 43 1116b -∆j σ4-23- 0 0133- 103-113883Z b =+∆用对偶单纯形法求解，第二行需乘以3-,第一行加上第二行乘以43-,可以得到单纯形表表5-4.表5-4j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 00 41 02683x321 3-0 124-1132b ∆- j σ3- 02- 04-6-1904Z b =+∆当11302b ∆-≥，即16b ∆>，新的最优基42(,)B P P =,最优解为11(0,3,0,6)2b ∆-，最大收益为1904b +∆万元.第六章增加新约束条件的变化分析我们在处理实际问题时，往往会遇到在其问题的基础上增加新的约束条件，如果新添加的约束条件能够使原来的最优解得到满足，那么它的最优解一定不变，反之，则需对问题继续进行分析.例7对于线性规划问题 12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩增加一个新的约束条件123212x x +≤，分析最优解的变化.解：把原来线性规划问题最优解带入新的约束条件中，因为 73273212222⨯+⨯=> 则约束条件可以写成1263212x x x ++=，6x 为基变量，反映到表3-1中得表6-1.表6-11x2x 3x 4x5x6x 0 3x 152 0 0 1 54 152- 0 2 1x 72 1 0 0 14 12- 0 1 2x 320 1 0 14- 320 06x12 3 2 0 01 i i c z -14121将1x ，2x 列系数变为单位向量，用对偶单纯法进行迭代，得最终单纯形表，表6-2.表6-21x2x 3x 4x5x 6x0 3x 15 0 0 1 52 0 5-2 1x 4 1 0 0 13 0 13-1 2x 0 0 1 0 12- 0 16x13 2 0 16 1 23- i i c z -16- 013-则新的最优解为*124,0,8x x z ===.总结从本文中讨论我们可以看出，在线性规划问题中，一些数据发生变化时，特别是当数据变化的幅度较小时，用灵敏度分析新的问题要比从头求解新问题简便的多，因此我们要学会掌握线性规划问题的灵敏度分析并加以推广.[参考文献][1] 李小光.线性规划中的灵敏度分析[J].2000,20(3),15-20.[2] 张伯声．运筹学[M]．北京：科学出版社，2008，65-75．[3] 党耀国，李邦义．运筹学[M]．北京：科学出版社，2009，61-73．[4] 施泉生.运筹学[M].北京：中国电力出版社，2004，44-50.[5] 孙麟平.运筹学[M].北京：科学出版社，2005，32-38.[6] 吕蓬，潘志.运筹学数学规划篇[M].北京：清华大学出版社，2011，32-40.。

线性规划的灵敏度分析

结果显示：
最优解：x1=24;x2=24;x3=5 最优值max=134.5;
模型（2）的建立与求解
（2）数学模型为：

建立LP模型 max z 3x1 2x 2 2.9x 3 18 model: max=3*x1+2*x2+2.9*x3-18; 8x1 2x 2 10x 2 300 8*x1+2*x2+10*x3<=300; 10x1 5x 2 8x 3 460 10*x1+5*x2+8*x3<=460; s.t. 2x1 13x 2 10x 3 420 2*x1+13*x2+10*x3<=420; x ，x ，x 0 @gin(x1); 1 2 3 x1 ,，x 2，x 3为整数 @gin(x2); @gin(x3); end
8x1 2x 2 10x 2 12x 4 4x 5 300 10x1 5x 2 8x 3 5x 4 4x 5 400 s.t. 2x1 13x 2 10x 3 10x 4 12x 5 420 x ，x ，x ，x ，x 0 1 2 3 4 5 x1 ,，x 2，x 3，x 4，x 5为整数
max=3*x1+2*x2+2.9*x3+2.1*x4+1.87*x5; 8*x1+2*x2+10*x3+12*x4+4*x5<=300; 10*x1+5*x2+8*x3+5*x4+4*x5<=400; 2*x1+13*x2+10*x3+10*x4+12*x5<=420; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @gin(x4); @gin(x5); End

《运筹学》第2章线性规划灵敏度分析

2.9 灵敏度分析的应用举例
该公司在运营了一年后，管理层为第二年的运营进行了以下的预想（假设以下问题均单独出现）：
问题1：由于建材市场受到其他竞争者的影响，公司市场营销部门预测当年的产品甲的价格会产生变化：产品甲的单位利润将会在3.8万元～5.2万元之间波动。公司该如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行规划求解）
总利润为3750元，增加了：37503600=150元。由于总利润增加了，而目标函数系数不变，所以最优解一定会发生改变，从图中可以看出，最优解由原来的（2， 6）变为（1.667， 6.5）
2.4 单个约束右端值变动
▪ 方法2：从敏感性报告中获得关键信息
2.3 多个目标函数系数同时变动
▪ 假如，以前把门的单位利润（300元）估计得太低了，现在把门的单位利润定为 450 元；同时，以前把窗的单位利润（ 500元）估计得过高了，现在定为400元。这样的变动，是否会导致最优解发生变化呢
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行规划求解）
2.4 单个约束右端值变动
▪ 单个约束右端值变动对目标值的影响 ▪ 如果车间2的可用工时增加1个小时，
总利润是否会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? ▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行规划求解） ▪ 方法2：从敏感性报告中获得关键信息（影子价格）；
2.4 单个约束右端值变动
本章主要内容框架图
目标函数系数变动
单个多个
单个
灵敏度分析
内容
约束右端值变动
多个影子价格
约束条件系数变化
增加新变量

实验2 线性规划的灵敏性分析

实验2 线性规划的灵敏性分析实验类型：●验证性实验○综合性实验实验目的：熟练线性规划的灵敏性分析。

实验内容：线性规划的灵敏性分析4个（题目自选b,c,A灵敏性分析）实验原理在线性规划单纯形法求出最优解的情况下，分析b,c,A分别变化对最优解的影响，确定最优解或最有基德变化范围，在变化的情况下能求出最优解。

5 记录运行时的输入和输出。

预习编写程序代码：1）分析b变化对最优解的影响的代码functionyy=lingmiudu(bb,b,b0 ,AA,k)m=length(b);if k==0B=AA(:,1:m);if B*bb>=0flg='the base is optimal'elseflg='the baseis changed'endelsefor i=1:mif AA(i,k)>0d1=-b(i)/AA(i,k);endif AA(i,k)<0d2=-b(i)/AA(i,k);endendld=max(d1)+b0(k);gd=min(d2)+b0(k);flg=[ld,gd];endyy=flg2）分析c变化对最优解的影响的代码：functionyy=lingc(cc,c,A,AA,s gma,xx,k，i)m=length(c);B=AA(1,1:m);if k==0if sgma（i）+cc（i）<0flg=' the base is optimal 'elseflg=' the base is changed 'endelsefor j=1:mif(AA(k,j)>0)&(sgma(j)~=0)c1=sgma(j)/AA(k,j);endif(AA(k,j)<0)&(sgma(j)~=0)c2=sgma(j)/AA(k,j);endendcl=max(c1)+c(xx(k));cg=min(c2)+c(xx(k));flg=[cl,cg];endyy=flg实验报告：根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。

线性规划灵敏度分析

淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号20071101008指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容,而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。

关键词单纯形法，灵敏度分析,最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ，Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’， the var iety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis 。

This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table 。

论述：线性规划的灵敏度分析

论述：线性规划的灵敏度分析论述：线性规划的灵敏度分析。

分析的基本步骤，各参数变化带来的影响以及最优基发⽣改变后相应的处理⽅法。

线性规划的灵敏度分析研究的问题是：研究线性规划模型中aij、bi、cj等参数中的⼀个或⼏个发⽣变化时，问题最优解会发⽣什么变化；研究这些参数在⼀个多⼤范围内变化时，问题的最优解不变。

研究的前提条件:1、原线性规划问题已取得了最优解；2、每次只讨论⼀种参数的变化，⽽参数之间的变化互不关联。

分析的基本步骤：1、将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来2、检查原问题是否仍为可⾏解3、检查对偶问题是否仍为可⾏解4、按照单纯形表所列情况得出结论活决定继续计算的步骤。

各参数变化带来的影响：1、⾮基变量cj发⽣变化当⽬标函数中cj发⽣变化，将影响最终单纯形表中⾮基变量的检验数。

如果是⾮基变量的价值系数发⽣变化，只影响该⾮基变量的检验数。

如果是基变量的价值系数发⽣变化，将影响所有⾮基变量的检验数。

如果变化后所有的检验数仍然⼩于等于0，则最优解不变；否则，使⽤单纯形法求变化后的新最优解。

2、右端常数项bi发⽣变化当右端常数项发⽣变化时，将影响最优单纯形表中基变量的值。

如果基变量的值仍然都⼤于等于0，则线性规划问题的最优解不变，但是基变量的值将发⽣变化；如果有基变量的值⼩于0，则⽤对偶单纯形法对原最优单纯形表继续求解。

3、增加⼀个变量增加⼀个变量也就是多⽣产⼀种产品。

只需考虑该产品（变量）的检验数是否⼤于0，如果⼤于0则表⽰应该⽣产，⽤单纯形表进⾏求解；如果⼩于等于0则该产品不⽤⽣产，最优解也不发⽣变化。

4、增加⼀个约束条件增加⼀个约束条件，可能影响的只是该约束条件的松弛变量的值。

如果该松弛变量的值⼤于等于0，则线性规划最优解不变；如果该松弛变量的值⼩于0，则⽤对偶单纯形法进⾏计算。

5、aij发⽣变化改变aij只会影响检验数，如果改变后所有的检验数均⼩于等于0，则最优解不变；如果存在检验数⼤于0，则⽤单纯形法进⾏求解。

灵敏度分析实验报告

实验报告课程名称：运筹学实验项目名称：应用Excel对线性规划进行灵敏度分析班级与班级代码：实验室名称（或课室）：809专业：信息管理与信息系统任课教师：学号：姓名：实验日期：2010 年10 月18 日广东商学院教务处制姓名实验报告成绩评语：指导教师（签名）年月日说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。

实验二应用Excel对线性规划的灵敏度分析一、实验目的与要求1.了解线性规划模型中各参数的变化对最优解的影响。

2.会用Excel中提供的敏感性报告对目标函数系数进行灵敏度分析。

3.会用Excel中提供的敏感性报告对约束条件右端值的灵敏度分析。

二、实验步骤与方法1.可以在电子表格中采取试验的方法，不断增加或减少的c值，直到最优j 解发生改变，以找到最优解发生变化时对应的c值.但是，这样计算太j麻烦了。

2.在Excel求得最优解之后，在其右边列出了它可以提供的三个报告。

选择第二项敏感性报告的选项，就可以得到灵敏度的分析报告，它显示在模型的工作表之前。

3.当几个价值系数同时变动时，注意使用百分之百法则。

4.对约束条件限定数的灵敏度分析同上：选择第二项“敏感性报告”的选项，就可以得到灵敏度的分析报告，其中“约束”表即是。

5.若几个约束限定数同时变动，也要注意使用百分之百法则。

三、实验内容第1题．医院放射科目前可以开展X线平片检查和CT检查业务，现拟购买磁共振仪，以增A设磁共振检查业务。

为此A医院收集了有关信息，从医院获取最大利润角度出发，问是否应购买磁共振仪？经过资料收集，A医院估计今后放射科如果开展此3项业务，在现有放射科医务人员力量和病人需求的情况下，每月此3项业务的最多提供量为1800人次。

平均每人次检查时间、每月机器实际可使用时间、平均每人次检查利润如下表放射科业务项目X线平片检查CT检查磁共振检查平均每人次检查时间（小时/次）0.1 0.25 0.5每月机器实际可使用时间（小时）300 120 120平均每人次检查利润（元/次）20 60 101、建立模型设123,,x x x 分别表示进行X 线平片检查，CT 检查，磁共振检查的人次，z 表示总利润，建立模型为：123123123123max 2060100.1 300 0.25 120.. 0.5120 1800,,0z x x x x x s t x x x x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪++≤⎪⎪≥⎩（1）Excel 规划求解过程得到规划求解结果及敏感性报告表如下: 规划求解结果敏感性报告表（2）灵敏度分析1)、目标函数系数变动分析①单个目标函数系数变动情况：由以上得到的灵敏度报告表中可以看到：c1 的现值： 20c1 允许的增量：40c1 允许的减量：10c1 的允许变化范围：10≤c1≤60所以在目标函数系数c2、c3不变时，c1在10≤c1≤60范围内变化，问题最优解不变；同理，目标函数系数c1、c3不变时，c2在20≤c2范围内变化，问题的最优解不变；由灵敏度报告表可看出，核共振项目的终值为0，即不增设这个项目的检查，系数c3在c3≤20 的范围内变化都不影响最优解。

线性规划的灵敏度分析实验报告

线性规划灵敏度分析

excel求解线性规划和灵敏度分析实训过程记录及学习收获

实验二___线性规划灵敏度分析

运筹学实验报告线性规划及其灵敏度分析

实验线性规划图解法灵敏性分析

线性规划问题及灵敏度分析

线性规划的灵敏度分析

线性规划问题的灵敏度分析

线性规划的灵敏度分析实验报告

第3章线性规划的灵敏度分析

浅谈线性规划问题的灵敏度分析

线性规划的灵敏度分析

《运筹学》第2章 线性规划灵敏度分析

实验2 线性规划的灵敏性分析

线性规划灵敏度分析

论述：线性规划的灵敏度分析

灵敏度分析实验报告

《运筹学》第2章线性规划灵敏度分析