实验5 插值方法
插值法实验报告
插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。
它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。
本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。
二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。
三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。
四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。
五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。
六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。
实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。
计算方法-插值方法实验
实验一插值方法一. 实验目的（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。
二. 实验要求用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。
三. 实验内容1. 实验题目 （1）已知概率积分dxe y xx ⎰-=22π的数据表构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。
答：①一次插值公式：输入下面内容就可以得到一次插值结果 >> X=[0.47,0.48];Y=[0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472;>> (x-X(2))/(X(1)-X(2))*Y(1)+(x-X(1))/(X(2)-X(1))*Y(2)ans =0.495546120000000>>②两次插值公式为：输入下面内容就可以得到两次插值结果>> X=[0.46,0.47,0.48];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472;>>(x-X(2))*(x-X(3))/((X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(2))*(x-X(1))/((X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)i 0123x 0.46 047 0.48 0.49 y0.4846555 0.4937452 0.5027498 0.5116683ans =0.495552928000000>>③三次插值公式为：输入下面内容就可以得到三次插值结果>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683];>> x=0.472;>>(x-X(2))*(x-X(3))*(x-X(4))/((X(1)-X(4))*(X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(4))*( x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(4))*(X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(4))*(x-X(2))*( x-X(1))/((X(3)-X(4))*(X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)+(x-X(3))*(x-X(2))*(x-X(1))/(( X(4)-X(1))*(X(4)-X(2))*(X(4)-X(3)))*Y(4)ans =0.495552960000000输入下面内容，绘出三点插值的图：>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683];>> x=linspace(0.46,0.49);>>y=(x-X(2)).*(x-X(3)).*(x-X(4))/((X(1)-X(4))*(X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(4) ).*(x-X(1)).*(x-X(3))/((X(2)-X(4))*(X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(4)).*(x-X(2) ).*(x-X(1))/((X(3)-X(4))*(X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3)+(x-X(3)).*(x-X(2)).*(x-X(1) )/((X(4)-X(1))*(X(4)-X(2))*(X(4)-X(3)))*Y(4);>>plot(x,y)（注意上面的“.*”不能用“*”替代）；（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作211)(x x f +=的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x =3.3152时的函数值。
插值运算实验报告
#### 一、实验目的1. 理解插值运算的基本概念和原理。
2. 掌握几种常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
3. 通过实验，验证插值方法在数值计算中的应用效果。
4. 培养动手能力和分析问题的能力。
#### 二、实验原理插值运算是指根据已知数据点，构造一个近似函数来描述这些数据点之间的变化规律。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
#### 三、实验内容1. 数据准备准备一组数据点，例如：```x: [1, 2, 3, 4, 5]y: [2, 4, 6, 8, 10]```2. 拉格朗日插值根据给定的数据点，构造拉格朗日插值多项式。
以三次拉格朗日插值为例，其公式如下：```L(x) = y0 ((x - x1) (x - x2) (x - x3)) / ((x0 - x1) (x0 - x2) (x0 - x3))+ y1 ((x - x0) (x - x2) (x - x3)) / ((x1 - x0) (x1 - x2) (x1 - x3))+ y2 ((x - x0) (x - x1) (x - x3)) / ((x2 - x0) (x2 - x1) (x2 - x3))+ y3 ((x - x0) (x - x1) (x - x2)) / ((x3 - x0) (x3 - x1)(x3 - x2))```将数据点代入上述公式，得到拉格朗日插值多项式。
3. 牛顿插值根据给定的数据点，构造牛顿插值多项式。
以三次牛顿插值为例，其公式如下：```N(x) = y0 + (x - x0) (y1 - y0) / (x1 - x0) + (x - x0) (x - x1) (y2 - y1) / ((x1 - x0) (x2 - x1)) + (x - x0) (x - x1) (x - x2) (y3 - y2) / ((x1 - x0) (x2 - x1) (x3 - x2))```将数据点代入上述公式，得到牛顿插值多项式。
插值运算实验报告
插值运算实验报告通过实验掌握插值运算的原理和方法，并利用插值运算技术对离散数据进行插值和逼近。
实验设备：计算机、Matlab软件实验原理：插值是利用已知数据点之间的关系，使用某种函数表达式来逼近未知点的值。
插值方法可以分为多种，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
本次实验主要涉及的是拉格朗日插值和牛顿插值。
实验步骤：1. 采集实验数据，得到需要进行插值运算的离散数据。
2. 根据所给的离散数据，选择合适的插值方法，如拉格朗日插值或牛顿插值。
3. 利用Matlab软件进行编程，实现所选择的插值方法。
4. 运行程序，得到插值结果。
5. 根据插值结果，可以确定对未知数据点的函数值，也可以进行曲线拟合和逼近。
实验结果：经过对实验数据的处理和插值运算，得到了以下结果：1. 插值函数的形式，可以通过该函数计算未知数据点的函数值。
2. 插值曲线的图像，可以通过该曲线来拟合和逼近实验数据。
实验分析：通过实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 插值方法的选择对结果有重要影响，不同的插值方法适用于不同的数据类型。
2. 插值运算可以有效地处理离散数据，得到连续函数的逼近值。
3. 插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响。
实验总结：通过本次实验，我对插值运算的原理和方法有了更深入的了解。
插值运算是一种常用的数值计算方法，可以在一定程度上解决离散数据的处理问题。
插值运算不仅可以用于求解未知数据点的函数值，还可以用于曲线拟合和逼近。
不同的插值方法适用于不同类型的数据，需要根据实际情况进行选择。
插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响，需要注意选择合适的插值方法以及优化离散数据的分布。
实验5 插值方法
实验5 插值方法一、实验目的及意义[1] 了解插值的基本原理[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；[4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法； [5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内容1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件 3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）基础实验1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1）211x+，x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10x , x ∈[0,2π]．注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
2．高维插值 对于二维插值的几种方法：最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？1) ())(sin ),(px t t x f -=ω，参数p =1/2000~1/200；采样步长为：t =4ms~4s ；x =5~25m. 2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=εεεεy y x x y x f 1516sin 1516sin 1516sin 1516sin 103),(22 参数ε =1~2；x ,y ∈ [-1,1]。
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
数值分析实验报告(插值法)
武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。
但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。
对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。
由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。
数值分析插值实验报告
数值分析插值实验报告引言插值是数值分析中常用的一种技术，通过已知点的函数值来推测未知点的函数值。
在实际应用中，我们经常需要根据有限的数据点来估计连续函数的值，这时插值就起到了关键作用。
本实验旨在通过插值方法来推测未知数据点的函数值，并对比不同插值方法的精度和效果。
实验目的1.了解插值的基本概念和方法；2.掌握常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等；3.对比不同插值方法的精度和效果，分析其优缺点。
实验步骤1.数据采集：选取一组已知数据点，作为插值的基础。
这些数据点可以是从实际场景中测量得到的，也可以是人为设定的。
2.插值方法选择：根据实验要求和数据特点，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
3.插值计算：根据选定的插值方法，利用已知数据点进行计算，并得到插值结果。
4.结果分析：比较插值结果与实际数据的差异，并评估插值方法的精度和效果。
可以使用误差分析等方法进行评估。
5.优化调整：根据实验结果和需求，对插值方法进行优化调整，以提高插值的准确性和可靠性。
实验结果与讨论通过实验，我们得到了不同插值方法的结果，并进行了对比和分析。
根据实验数据和误差分析，我们可以得出以下结论：1.拉格朗日插值方法具有较高的插值精度，在一定程度上能够准确地模拟实际数据。
2.牛顿插值方法相对于拉格朗日插值方法而言，对于大量数据点的计算速度更快，但在少量数据点的情况下，两者的精度差异较小。
3.分段线性插值方法适用于数据点较为离散的情况，能够提供较为平滑的插值结果。
4.插值方法的选择应根据具体需求和数据特点进行，没有一种插值方法适用于所有情况。
实验总结通过本次实验，我们对插值方法有了更深入的了解，并掌握了常见的插值方法的原理和应用。
实验结果表明，插值方法在数值分析中起到了重要的作用，能够准确地推测未知点的函数值。
然而，在实际应用中，我们还需要考虑数据的特点、插值方法的适用性以及计算效率等因素。
插值法和拟合实验报告
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。
二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。
三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。
-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。
2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。
常用的拟合法有最小二乘法。
-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。
-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。
2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。
-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。
三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。
实验报告-插值法
实验报告-插值法计算机上机实验报告专业和班级姓名成绩学号课程名称数值计算⽅法实验名称插值法实验⽬的和要求实验⽬的1、掌握⽤MATLAB计算拉格朗⽇、分段线性、三次样条三种插值的⽅法，改变节点的数⽬，对三种插值结果进⾏初步分析。
2、掌握⽤MAT L AB作线性最⼩⼆乘的⽅法。
3、通过实例学习如何⽤插值⽅法与拟合⽅法解决实际问题，注意⼆者的联系和区别。
实验内容和步骤实验的主要内容1、编制拉格朗⽇、⽜顿插值程序，并运⾏⼀个简单的实例。
（1）拉格朗⽇插值程序：function v=polyinterp(x,y,u)n=length(x);v=zeros(size(u));for k=1:nw=ones(size(u));for j=[1:k-1 k+1:n]w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;endv=v+w*y(k);end实例：当x=144,169,225时，y=12,13,15,⽤拉格朗⽇差值法求根号175。
如下：（2）⽜顿插值程序：function y=newinterp(X,Y,x)% ⽜顿插值函数m=length(X);for k=2:mfor j=1:k-1Y(k)= (Y(k)- Y(j))/(X(k)-X(j));endendy=Y(m);for j=m-1:-1:1y=y.*(x-X(j))+Y(j);end实例：当x=144,169,225时，y=12,13,15,⽤⽜顿差值法求根号175。
如下：2、给定函数xxf=)(，已知：414214.1.)0.2(=f449138.1.)1.2(=f483240.1.)2.2(=f516575.1.)3.2(=f549193.1.)4.2(=f⽤⽜顿插值法求4次Newton插值多项式在2.15处的值，以此作为函3.选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太⼤，如5~11）⽤拉格朗⽇、分段线性、三次样条三种插值⽅法，计算m 个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。
数学实验插值
插 值 问 题 的 提 法
已知 n+1个节点 个节点 互不相同， 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 其中
• •
•
•
•
可认为节点 满足函数关 系y=g(x), 表 达式复杂, 达式复杂 或无封闭形 或未知。 式, 或未知。
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的 函数 构造一个 相对简单的)函数 y = 相对简单的 通过全部节点, f (x), 通过全部节点 即
5yx二维插值的提法已知mn个节点其中互不相同不妨设求任一插值点处的插值第一种网格节点二维插值的提法第二种散乱节点已知n个节点其中互不相同求任一插值点处的插值通过全部已知节点即构造一个二元函数再用计算插值即或最邻近插值分片线性插值双线性插值双三次插值
插 值
一维插值
1.插值的基本原理； 1.插值的基本原理； 插值的基本原理 2.三种插值方法： 2.三种插值方法： 三种插值方法 分段线性插值; 分段线性插值 三次样条插值; 三次样条插值 拉格朗日插值。 拉格朗日插值。 插值 3. 用MATLAB作插值 作插值 计算 4. 应用实例
y y + + + x + + x
函数f( )的产生办法：插值和拟合。 函数 (x)的产生办法：插值和拟合。 第一步:适当选择函数的形式； 第一步:适当选择函数的形式； 第二步:确定函数的参数。 第二步:确定函数的参数。
引例. 函数查表问题
标准正态分布函数
Φ( x) = ∫
x
1 2π
−∞
e
− 1 x2 2
MATLAB作三次样条插值计算 用MATLAB作三次样条插值计算
x0=linspace(x0=linspace(-5,5,11); y0=1./(1+x0.^2); x=linspace(x=linspace(-5,5,100); y=interp1(x0,y0,x,'spline'); x1=linspace(x1=linspace(-5,5,100); y1=1./(1+x1.^2); plot(x1,y1,'k',x0,y0,'+',x,y,'r');
数值计算插值法实验报告
数值计算插值法实验报告
一、实验目标
本实验的目标是学习和掌握插值法的基本原理，通过实际操作，验证插值法的有效性，并利用插值法解决实际问题。
二、实验原理
插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点，构造一个连续的函数来近似地表示未知的函数值。
常用的插值法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
其中，多项式插值是一种常用的方法，其基本思想是选择一个多项式来逼近已知的数据点，从而得到未知点的近似值。
三、实验步骤
1.准备数据：收集一组已知的数据点，并将其整理成表格形式。
2.选择插值方法：根据实际情况选择适当的插值方法，如线性插值、多项式插值或样条插值等。
3.计算插值函数：根据选择的插值方法，利用已知的数据点计算插值函数的系数。
4.验证插值函数：利用已知的数据点对插值函数进行验证，检查其精度和误差。
5.应用插值函数：利用插值函数计算未知点的近似值，并将结果与实际值进行比较。
四、实验结果及分析
下面是本次实验的结果及分析：
1.已知数据点：。
数据插值方法
y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ),L, yn = f (xn )
求 n 次插值多项式 Ln (x) 使其满足插值条件
Ln (x j ) = y j ( j = 0，1，…，n )
（5.6）
拉格朗日插值多项式的特点是用插值基函数的组合表示插值函数，首先定义基函数如下
定义 5.2 如果(n+1)个 n 次多项式 l j (x)( j = 0,1,L, n) 在插值结点
的两个零点恰好是插值结点x1，x2，故二次函数l0(x)可表示为
l0 ( x) = c( x − x1 )( x − x 2 )
而l0(x)在x0处的值为 1。所以
c = 1 /( x0 − x1 )( x0 − x 2 )
l0(x)
l1(x)
l2(x)
即
l0 ( x)
=
(x (x0
− −
x1 )( x − x 2 ) x1 )( x0 − x 2
− −
x1 )(x − x2 ) x1 )(x0 − x2 )
y0
+
(x ( x1
− −
x0 x0
)(x − x2 ) )(x1 − x2 )
y1
+
(x (x2
− −
x0 x0
)(x − x1 ) )(x2 − x1 )
y2
（5.5）
在插值结点处，三个基函数的基为表 5.1 所示。将三个插值结点的值分别代入式（5.5），有
是存在而且唯一的。
Pn(x) = a0 + a1x + a2 x2 + … + an xn
证 由插值多项式，利用插值条件可得线性方程组
牛顿插值法数值实验五
牛顿插值法数值实验五一、实验名称牛顿插值法二、实验目的及要求学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。
（1）用牛顿插值法求4次Newton 插值多项式在2.15处的值，以此作为函数的近似值)15.2(15.2N ≈。
在MATLAB 中用内部函数ezplot 绘制出4次Newton 插值多项式的函数图形。
（2） 在MATLAB 中用内部函数ezplot 可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton 插值多项式的图形进行比较。
三、算法描述插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
四、实验内容：给定函数 x x f =)(，已知：414214.1)0.2(=f 449138.1)1.2(=f 483240.1)2.2(=f516575.1)3.2(=f 549193.1)4.2(=f五、程序流程图开 始int s,int tt=s+1NYf(s,t)=(d[t].y-d[s].y)/(d[t].x-d[s].x)f(s,t)=f(s+1,t)-f(s,t-1))/(d[t].x-d[s].x输入插值次数n float t=1.0, y=d[0].y, yt=0.0,inty=(x-d[j-1].x)*t+f(0,j)*t返回yj+1=>jY j<=nN结 束六、实验过程及结果（1）在M文件中输入：function[y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)n=length(X);m=length(x);for t=1:mz=x(t);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0;p=1.0;q1=1.0;c1=1.0;for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));endq1 =abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));for k=(n-1):-1:1C =conv(C,poly(X(k)));d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k)=polyval(C,z);endR=M*q1/c1;L(k,:)=poly2sym(C);（2）在MATLAB工作窗口输入：symsM,X=[2.0,2.1,2.2,2.3,2.4];Y=[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575, 1.549193];x=2.15;[y,R,A,C,P]=newdscg(X,Y,x,M)运行后得结果如下表：X=2.15处的插值yy =1.4663误差限RR =(8301034833169303*M)/708354972430446782054404次牛顿插值多项式P P =-(4803839603609061*x^4)/2305843009213693952+ (7806239355294329*x^3)/288230376151711744- (176292469178709*x^2)/1125899906842624+ (1624739243112817*x)/2251799813685248+ 1865116246031207/4503599627370496系数向量C C =-0.0021 0.0271 -0.1566 0.7215 0.4141差商矩阵AA = 1.4142 0 0 0 0 1.4491 0.3492 0 0 0 1.4832 0.3410 -0.0411 0 0 1.5166 0.3334 -0.0383 0.0092 0 1.5492 0.3262 -0.0359 0.0083 -0.0021用牛顿插值法求4次Newton 插值多项式在2.15处的值为 2.151.4663 。
插值法实验案例范文
插值法实验案例范文插值法是一种数值分析方法，用于通过已知数据点推测未知数据点的近似值。
该方法通过在已知数据点之间进行插值计算，并利用插值多项式来描述数据点之间的曲线。
插值法在很多领域都有广泛的应用，比如图像处理、信号处理以及科学计算等领域。
下面我将为大家介绍一个插值法的实验案例。
实验目的：通过插值法来估计未知数据点的近似值。
实验材料：1.已知数据点的数据表格2.插值法计算工具实验步骤：1.收集已知数据点的数据表格，并整理该数据表格，找到未知数据点的位置。
2.将数据表格中的已知数据点用插值法进行计算，并将计算结果填入未知数据点的位置。
3.使用插值法计算工具来计算每个未知数据点的近似值。
4.对每个未知数据点进行计算，并记录计算结果。
5.用插值法计算结果与实际值进行比较，评估插值法的准确性。
实验案例：假设我们有一个关于温度变化的数据表格。
已知温度数据点如下：时间（小时）温度（摄氏度）0202254286?8?1030我们需要用插值法来计算问号处的温度值。
首先，我们可以使用拉格朗日插值法来进行计算。
拉格朗日插值法使用一个多项式来逼近所有已知数据点。
具体计算步骤如下：1.将已知数据点用拉格朗日插值多项式表示：L(x)=L0(x)*y0+L1(x)*y1+L2(x)*y2其中，L(x)为插值多项式，Li(x)为基函数，yi为已知数据点的温度值。
2.计算每个基函数Li(x)：L0(x)=(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)L1(x)=(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)L2(x)=(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1)3.将插值多项式带入未知数据点的x值，并解出对应的温度值：L(6)=L0(6)*20+L1(6)*25+L2(6)*28L(8)=L0(8)*20+L1(8)*25+L2(8)*28计算结果如下：L(6)=(6-2)(6-4)/(0-2)(0-4)*20+(6-0)(6-4)/(2-0)(2-4)*25+(6-0)(6-2)/(4-0)(4-2)*28=(3*2)/(-8)*20+(-6*2)/(-4)*25+(6*4)/(8)*28=6/4*20+3*5*25+3*14*28=30+375+1176=1581L(8)=(8-2)(8-4)/(0-2)(0-4)*20+(8-0)(8-4)/(2-0)(2-4)*25+(8-0)(8-2)/(4-0)(4-2)*28=(6*4)/(-8)*20+(8*4)/(-4)*25+(8*6)/(8)*28=12/2*20+8*(-5)*25+8*3*28=120+(-1000)+672=-208通过插值法计算，我们得出未知数据点的温度值为1581摄氏度和-208摄氏度。
插值方法_实验报告
肖建 计科三班 20095420开课学院、实验室： 数统学院实验时间 ：2011年 5 月 8 日实验项目类型课程名称数学实验实验项目名 称插值方法验证演示综合设计其他指导教师李东成 绩实验5 插值方法一、实验目的及意义[1] 了解插值的基本原理[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；[4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法；[5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内容1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）基础实验1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1），x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10x , x ∈[0,2π]．211x+M 文件：（1）clcx=linspace(-5,5,11);y=1./(1+x.^2);x0=linspace(-5,5,101);y0=1./(1+x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('Lagr.'),hold on ,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on ,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold off（2）x=linspace(0,2*pi,11); y=cos(x);x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0);剩余代码和（1）中相同（3）x=linspace(0,pi,11);y=cos(x).^10;x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0).^10;剩余代码和（1）中相同注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
计算方法试验报告-插值方法
重庆大学学生实验报告实验课程名称计算方法开课实验室DS1421学院年级专业学生姓名学号开课时间至学年第学期1．实验目的：（1） 学会拉格朗日插值、牛顿插值等基本方法（2） 设计出相应的算法，编制相应的函数子程序（3） 会用这些函数解决实际问题2．实验内容（1）设计拉格朗日插值算法，编制并调试相应的函数子程序（2）设计，编制并调试相应的函数子程序试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值。
（4）已知，，，392411===用牛顿插值公式求5的近似值。
3.实验过程解：(1) 拉格朗日插值算法如下：function s=Lagrange(x0,y0,x)format long;%输入初始数据x0,y0%插值点xn=length(x0);s=0;%进入迭代计算过程for j=0:(n-1)t=1;for i=0:(n-1)if i~=jt=t*(x-x0(i+1))/(x0(j+1)-x0(i+1));endends=s+t*y0(j+1);endformat short;(2) 牛顿插值算法如下：function y=Newton(x0,y0,x)format long;%显示15位%插值点x, 迭代初始值：x0,y0n=max(size(x0));y=y0(1);%迭代初始值disp(y);s=1;dx=y0;for i=1:n-1%构造差商表dx0=dx;for j=1:n-idx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j));enddf=dx(1);s=s*(x-x0(i));y=y+s*df;%计算disp(y);end（3）用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值输入：x0=[1.1,2.3,3.9,5.1];y0=[3.887,4.276,4.651,2.117];x=2.101; Lagrange(x0,y0,x)结果为：输入：x=4.234; Lagrange(x0,y0,x)结果为：所以x=2.101处的函数值为4.1457，x=4.234处的函数值为4.3007。
插值方法
一、插值思想简介
插值：最初来源于天体计算的需要，比如，人们得到了
若干观测值，即某个星球在若干已知时刻的位置，需要计 算星球在另一些时刻的位置。所谓插值，就是在若干已知 的函数值之间插入计算一些未知的函数值。
例如，在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi) ,i=0,1,…，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用 一个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观 测数据与要求的不同而异。
xi 1 x xi ，i=1,2,…,n
分段线性插值具有良好的收敛性，即
lim q ( x ) f ( x )
n
f(x)为被插值函数
用分段线性插值计算时，只用到x左右两个节点，计算量与节 点个数无关。但是n越大，分段越多，插值误差越小。实际上 用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了。
饲陆巡熔因为三次样条插值具有很好的逼近特性这里采用三次样条插值来得到水流量的近似击数给出样条插值击数所需的边界条件我们用如上向前和向后的差商公式插值方法在工程实践和科学实验中常常需要从一组实验观测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系一般可以用一个近似的函数关系式
实验四、插值方法
一、插值思想简介
二、一维插值 三、二维插值 四、利用matlab进行插值计算 五、建模实例
故令Pn ( x) Li ( x) yi即是我们寻求的插值函数
i 0
n
用matlab编写拉格朗日插值函数：[lagr1.m] function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); for k=1:m z=x(k); s=0; for i=1:n p=1.0 ; for j=1:n if j~=i p=p*(z-x0(j))/(x0(i)-x0(j)); end end s=p*y0(i)+s; end y(k)=s; end
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实验5 插值方法
一、实验目的及意义
[1] 了解插值的基本原理
[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；
[4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法； [5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内
容
1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件 3．保存文件并运行；
4．观察运行结果(数值或图形)；
5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
基础实验
1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1）
2
11
x
+，x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10
x , x ∈[0,2π]．
注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的
差异，或采用两个函数之间的某种距离。
2．高维插值 对于二维插值的几种方法：最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？
1) ())(sin ),(px t t x f -=ω，参数p =1/2000~1/200；采样步长为：t =4ms~4s ；
x =5~25m. 2) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=
εεεεy y x x y x f 1516sin 1516sin 1516sin 1516sin 103),(22 参数ε =1~2；x ,y ∈ [-1,1]。
3) 将2）中的函数推广到三维情形，进行同样的处理，体会高维插值的运用。
应用实验
3．轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间
8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：
0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073， 计算甲板的面积。
横向最大相间为8.534米，然后等间距地测得纵向高度,共有11个值，所以应该是吧8.534米分成12分，对应的值为纵向高度；
以左边零点位坐标原点，建立坐标系。
线性插值得到图形，再用数值积分可求面积
x=linspace(0,8.534,13)
y=[0 0.914 5.060 7.772 8.717 9.083 9.144 9.083 8.992 8.687 7.376 2.073 0]; x0=0:0.001:8.534; y1=interp1(x,y,x0);
figure,plot(x,y,'k*',x0,y1,'-r') S=trapz(y1)*0.001 S = 54.6894
4．物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。
测得位移与受力如表7.1
求(a) 物体从位移为0到0.4所做的功； (b) 位移为0.4时的速度是多少？
5．火车行驶的路程、速度数据如表7.2，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。
6．确定地球与金星之间的距离
天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表7.3。
表7.3
由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？
7．日照时间分布表7.4的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间的观测数据（单位：小时/月），试分析日照时间的变化规律。
表7.4
8．山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800） （0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表7.5，试作出该山区的地貌图和等高线图。
表7.5
y=[0:400:2400];
x=[0:400:2800];
z=[1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900
1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060
1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150
1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380
1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600
1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200
1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940
];
figure(1)
meshz(x,y,z)
title('源数据点')
y0=[0:25:2400];
x0=[0:25:2800];
z0=interp2(x,y,z,x0,y0','linear');
z1=interp2(x,y,z,x0,y0','nearest');
z2=interp2(x,y,z,x0,y0','cubic');
z3=interp2(x,y,z,x0,y0','spline');
figure(2)
surfc(x0,y0,z0)
title('linear插值')
figure(3)
surfc(x0,y0,z1)
title('nearest插值')
figure(4)
surfc(x0,y0,z2)
title('cubic插值')
figure(5)
surfc(x0,y0,z3)
title('spline插值')
figure(6)
subplot(1,4,1),contour(x0,y0,z0); subplot(1,4,2),contour(x0,y0,z1); subplot(1,4,3),contour(x0,y0,z2); subplot(1,4,4),contour(x0,y0,z3);。