第1讲 坐标系种类及坐标转换分解
数学中的坐标系与坐标变换
数学中的坐标系与坐标变换数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而坐标系和坐标变换则是数学中的重要概念。
本文将介绍什么是坐标系，坐标变换的概念以及它们在数学和现实生活中的应用。
一、坐标系坐标系是在某一平面或空间中确定点的位置的一种方式。
它由坐标轴和原点组成。
常见的坐标系包括二维笛卡尔坐标系和三维笛卡尔坐标系。
1. 二维笛卡尔坐标系二维笛卡尔坐标系由两条垂直的数轴组成，通常称为x轴和y轴。
原点是坐标系的交点，用(0,0)表示。
在二维笛卡尔坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
2. 三维笛卡尔坐标系三维笛卡尔坐标系在二维笛卡尔坐标系的基础上增加了一条垂直于x轴和y轴的z轴。
在三维笛卡尔坐标系中，每个点都可以表示为一个有序组(x, y, z)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。
二、坐标变换坐标变换是指将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
坐标变换在数学和物理学中都有着广泛的应用。
1. 平移平移是一种坐标变换，通过向所有的点添加一个常量向量，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
例如，将一个点的坐标由(x, y)变为(x+a, y+b)，其中(a, b)表示平移的向量。
2. 旋转旋转是一种坐标变换，通过围绕一个给定的中心点将点按照一定角度旋转，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
旋转可以使用旋转矩阵或旋转角度表示。
3. 缩放缩放是一种坐标变换，通过改变点的坐标的比例，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
缩放可以使点的坐标变大或变小，可以根据缩放因子在x方向和y方向上进行分别缩放。
三、数学与现实生活中的应用坐标系和坐标变换在数学和现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用情景：1. 几何学中的图形表示：坐标系可以用来表示几何图形，例如在平面上绘制直线、圆等图形，或者在空间中绘制立方体、球体等图形。
CAD中的坐标系和坐标转换教程
CAD中的坐标系和坐标转换教程在CAD软件中，坐标系是一个非常重要的概念。
它用来定位和测量对象在二维或三维空间中的位置。
理解坐标系的概念及其转换是使用CAD软件的关键技巧之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨CAD中的坐标系和坐标转换教程。
1. 定义坐标系在CAD软件中，一般使用笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）来描述一个点的位置。
笛卡尔坐标系由三个坐标轴组成：x轴、y轴和z轴。
在二维空间中，只使用x和y轴。
坐标轴的交叉点被称为原点，通常表示为(0,0,0)。
2. 绝对坐标和相对坐标CAD中有两种常用的坐标表示方法：绝对坐标和相对坐标。
- 绝对坐标：通过直接给出点在坐标系中的位置来定义。
例如，一个点的绝对坐标可以表示为(10, 20, 5)，其中x坐标为10，y坐标为20，z坐标为5。
- 相对坐标：通过给出点到另一个点的距离和方向来定义。
例如，如果我们要将一个点从(10, 20, 5)移动到(15, 25, 7)，我们可以使用相对坐标表示为(5, 5, 2)，其中x轴方向移动了5个单位，y轴方向移动了5个单位，z轴方向移动了2个单位。
3. 坐标转换在CAD软件中，我们经常需要进行坐标转换，以便在不同坐标系之间切换或进行准确测量。
- 绝对坐标到相对坐标的转换：如果我们知道两个点的绝对坐标，我们可以计算它们之间的相对坐标。
例如，我们知道点A的绝对坐标为(10, 20, 5)，点B的绝对坐标为(15, 25, 7)，我们可以计算从点A到点B的相对坐标为(5, 5, 2)。
这对于移动或复制对象非常有用。
- 相对坐标到绝对坐标的转换：如果我们知道一个点的绝对坐标和另一个点的相对坐标，我们可以计算出第二个点的绝对坐标。
例如，我们知道点A的绝对坐标为(10, 20, 5)，点B相对于点A的坐标为(5, 5, 2)，我们可以计算出点B的绝对坐标为(15, 25, 7)。
4. 坐标的旋转和缩放除了坐标的转换，CAD软件还提供了旋转和缩放的功能。
测绘技术中的坐标系与坐标转换方法
测绘技术中的坐标系与坐标转换方法测绘技术在现代社会中扮演着至关重要的角色，无论是城市规划、土地测绘还是导航系统，我们都离不开测绘技术的支持。
而坐标系和坐标转换方法作为测绘技术中的重要元素，对于测绘结果的准确性和可靠性起着决定性的作用。
一、坐标系的概念与分类在测绘过程中，我们需要建立一个坐标系来描述地球上的点。
坐标系是一种空间坐标系统，通过指定原点、坐标轴方向和单位长度来确定地球上每一个点的位置。
在测绘技术中常用的坐标系有地心地固坐标系（GCS）、地心坐标系（ECEF）和平面直角坐标系（PCS）。
地心地固坐标系是一种以地球质心为原点、与地球自转轴平行的坐标系。
它常用于大地测量和地形测量中，由于其基准面与地球的真实形状吻合较好，因此可以提供更精确的测量结果。
地心坐标系是以地球质心为原点，通过与地球自转轴相交的直线（Z轴）和指向北极的单位向量（Y轴）确定的坐标系。
在全球定位系统（GPS）中，地心坐标系被广泛应用，用于描述测量设备的位置。
由于地心坐标系能够提供与GPS信号接收器坐标之间的准确转换，因此在导航系统中具有重要意义。
平面直角坐标系是一种简化的坐标系，适用于小范围的测绘工作。
它将地球表面划分为多个局部的二维坐标系，并通过指定一个基准点、坐标轴方向和单位长度来描述地图上每一个点的位置。
二、坐标转换方法的原理与应用由于地球是一个不规则的椭球体，测绘工作中经常需要将不同坐标系下的点进行转换。
坐标转换方法是指通过一系列的数学计算将一个坐标系中的点的位置转换到另一个坐标系中。
常见的坐标转换方法有三维坐标转换和三维坐标系转换。
三维坐标转换是指将一个坐标系中的点的经纬度（或纬度、经度、高程）转换为另一个坐标系中的点的经纬度（或纬度、经度、高程）。
这种转换方法适用于GPS定位系统中，通过将接收到的GPS信号的经纬度转换为地心坐标系下的坐标，再把地心坐标系下的坐标转换为地心地固坐标系下的坐标，最后将地心地固坐标系下的坐标转换为所需的坐标系统中的坐标。
第1讲坐标系种类及坐标转换
第1讲坐标系种类及坐标转换在数学和物理学中，坐标系是用于表示和定位点的一组数学规则。
它可以帮助我们在平面或空间中精确地描述和测量位置、方向和距离。
坐标系通常由坐标轴和原点组成，坐标轴是一条直线，它们与原点形成直角。
有多种类型的坐标系，每一种都有特定的用途和应用。
以下是常见的几种坐标系：1.直角坐标系：直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系。
它由两条垂直的坐标轴和一个原点组成。
坐标轴可以是水平的x轴和垂直的y轴，或者在三维空间中可以加上一个垂直的z轴。
直角坐标系使用(x,y,z)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。
2.极坐标系：极坐标系用于描述平面上的点，它由一个原点和一个角度和距离组成。
极坐标系以原点为中心，用一个角度（通常用弧度表示）表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，用一个距离表示点与原点之间的距离。
极坐标系使用(r,θ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线之间的角度。
3.柱坐标系：柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个角度、一个距离和一个高度组成。
柱坐标系类似于极坐标系，但增加了一个垂直的z轴来表示高度。
柱坐标系使用(r,θ,z)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的水平距离，θ表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，z表示点的高度。
4.球坐标系：球坐标系也是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个纬度、一个经度和一个距离组成。
球坐标系使用(r,θ,φ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线（通常是z轴）之间的纬度，φ表示点在参考平面上的经度。
在不同的坐标系之间进行转换时，我们需要使用特定的转换公式。
以直角坐标系和极坐标系为例，我们可以使用以下公式进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些公式使我们能够在不同坐标系之间相互转换，并确保保持位置的准确性。
坐标转换详解
坐标转换一、经纬度转换成6度带坐标1、108—114度之间，中央子午线为111度2、输入数据3、在Y 前加（中央子午线[111+3] /6）19（带号）二、经纬度转换3度带坐标1、106.5--109.5度之间，中央子午线为108度（带号36）109.5--112.5度之间，中央子午线为111度（带号37）112.5--115.5度之间，中央子午线为114度（带号38）2输入数据转换3、在Y前在（中央子午线/3）带号三、6度带坐标转换经纬度1、中央子午线为带号×6-32、输入数据转换四、3度带坐标转换经纬度1、中央子午线为带号×32、输入数据转换北京坐标系大于或等于1：1万的是6度带。
小于1：1万的是3度带。
Mapgis坐标转换一、经纬度转换6度带坐标例：1、东经113°12′33″，北纬34°23′11″2、……………………步骤：1从开始里找到程序，附件，打开记事本输入1131233.00，342311.00…………, …………保存，保存文件为6662打开Mapgis，实用服务中的投影变换，按投影变换，查找用户文件投影转换，按“打开文件”，把文件666装入；3按“用户投影参数”，坐标系类型改为“地理坐标系”，椭球参数改为“北京54”，坐标单位设置“DDDMMSS.SS”，按“确定”；4按“结果投影参数”，坐标系类型改为“投影平面直角”，椭球参数改为“北京54”，坐标单位设置“米”，投影带类型设定为“6度带”，投影带序号设定为19，（可通过坐标转换进行计算），按“确定”；5写到文件，保存文件为777.txt;6定。
二、经纬度转换3度带坐标例：1、东经113°12′33″，北纬34°23′11″2、……………………步骤：1从开始里找到程序，附件，打开记事本输入1131233.00，342311.00…………, …………保存，保存文件为6662打开Mapgis，实用服务中的投影变换，按投影变换，查找用户文件投影转换，按“打开文件”，把文件666装入；3按“用户投影参数”，坐标系类型改为“地理坐标系”，椭球参数改为“北京54”，坐标单位设置“DDDMMSS.SS”，按“确定”；4按“结果投影参数”，坐标系类型改为“投影平面直角”，椭球参数改为“北京54”，坐标单位设置“米”，投影带类型设定为“3度带”，投影带序号设定为38，（可通过坐标转换进行计算），按“确定”；5写到文件，保存文件为777.txt;6定。
大地测量常用的几大坐标以及转换方式
大地测量常用的几大坐标以及转换方式在大地测量学中通常采用的坐标系有大地坐标系，空间直角坐标系，高斯平面直角坐标系等。
在同一参考椭球基准下，大地坐标系，空间直角坐标系，高斯平面直角坐标系是等价的，一一对应的，只是不同的坐标表现形式。
1、大地坐标大地坐标是大地测量的基本坐标系，它是大地测量计算，地球形状大小研究和地图编制等的基础大地坐标以参考椭球面为基准面的坐标，地面点P的位置用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示。
大地坐标多应用于大地测量学，测绘学等。
坐标原理：当点在参考椭球面上时，仅用大地经度L和大地纬度B 表示。
大地经度L是通过P点的大地子午面与起始大地子午面（通过格林尼治天文台的子午面）之间的夹角。
规定以起始子午面起算，向东由0°至180°称为东经；向西由0°至180°称为西经。
大地纬度B是通过P点的法线与赤道面的夹角，规定由赤道面起算，由赤道面向北从0°至90°称为北纬；向南从0°到90°称为南纬。
大地高H是地面点沿法线到参考椭球面的距离。
2、空间直角坐标在卫星大地测量中，常采用空间大地直角坐标系来确定地面点的三维坐标。
空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴与椭球的旋转轴一致，指向参考椭球的北极; X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上，按右手系与X轴正交成90“夹角。
3、高斯平面直角坐标为了方便工程的规划、设计与施工，我们需要把测区投影到平面上来，使测量计算和绘图更加方便。
而地理坐标是球面坐标，当测区范围较大时，要建平面坐标系就不能忽略地球曲率的影响。
把地球上的点位化算到平面上，称为地图投影。
地图投影的方法有很多，我国采用的是高斯——克吕格投影（又称高斯正形投影），简称高斯投影。
它是由德国数学家高斯提出的，由克吕格改进的一种分带投影方法。
它成功解决了将椭球面转换为平面的问题。
与数学中的平面直角坐标系不同的是，其x轴为纵轴，上(北)为正，Y轴为横轴，右(东)为正，方位角是从北方向为准按顺时针方向计算出的夹角。
浅谈几种坐标系的坐标转换
浅谈几种坐标系的坐标转换在计算机图形学和计算机视觉领域，不同的坐标系在模拟和仿真方面发挥着重要的作用。
在这篇文章中，我们将浅谈几种坐标系的坐标转换。
这些坐标系包括笛卡尔坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系、欧拉角坐标系和四元数坐标系。
1. 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是所有坐标系中使用最普遍的坐标系。
在笛卡尔坐标系中，一个点在一个平面内由x，y坐标确定，在3D空间中由x，y，z坐标确定。
笛卡尔坐标系是一种直角坐标系，其中的任何一点都可以由其从原点到该点的距离和其与x轴之间的角度确定。
2. 极坐标系极坐标系是一种使用极径和极角来确定环境中一个点的位置的坐标系。
在极坐标系中，距离和角度都是必需的。
它可以表示欧几里德平面上的所有点，但不适合用于仿真。
3. 柱坐标系柱坐标系是一种使用半径、角度和高度来定位三维空间中某个点的坐标系。
柱坐标系通常用于有相关圆柱体或柱状物的仿真问题。
4. 球坐标系球坐标系是一种使用经度、纬度和距离来定位三维空间中某个点的坐标系。
球坐标系适合模拟宇宙和行星的运动。
5. 欧拉角坐标系欧拉角坐标系是一种使用三个地址向量来描述中心在旋转、移动或缩放的三维物体的位置的坐标系。
用户可以选择旋转的角度以及旋转的方向和顺序。
欧拉角坐标系是用于机器人学、模拟和游戏编程中常用的坐标系。
6. 四元数坐标系四元数坐标系是一种四元数作为坐标系统的数学模型，用于描述三维空间中旋转。
四元数坐标系具有良好的数学性质，适合用于计算机图形学和数据处理方面。
关于坐标系的转换，通常包括从笛卡尔坐标系到其他坐标系的转换和从其他坐标系到笛卡尔坐标系的转换。
这可以通过一些基本的公式和规则来实现。
例如，笛卡尔坐标系到极坐标系的转换可以使用以下公式：r = sqrt(x^2 + y^2)theta = atan(y / x)其中r是极径，theta是极角。
综上所述，坐标系在计算机图形学和计算机视觉领域中扮演着非常重要的角色，它们可以用于描述物体的位置、方向和大小。
大地测量常用坐标系及其转换
常用坐标系及其转换
1、常用坐标系
大地坐标系：以地球椭球面为参考面的地球椭球面坐标系(LBH)。
(参心、地心)
空间直角坐标系(XYZ)
站心(局部)直角坐标系(UNE)极坐标系
直角坐标系原点位于测站点
U轴与测站点法线重合，指向天顶
N轴垂直于U轴，指向(北)
E轴形成左手系(东)
站心极坐标系用极距、方位角和高度角表示
常用坐标系及其转换
1、常用坐标系
高斯直角坐标系(xyH)
高斯投影的条件是：
满足正形投影条件(柯西黎曼方程)
中央子午线投影后为直线
中央子午线投影后长度不变(其它线变长)
2、坐标系转换
XYZ LBH(同一参考系下换算)
XYZ NEU(同一参考系下换算，已知站心的大地或空间直角坐标) 不同参考系下坐标系转换(用XYZ转换公式，B 模型和M
模型，七参数-平移量旋转量各3，一个尺度因子;
四参数一般是针对平面坐标的转换-2个平移，一个旋转，一个尺度) LBH xyH(球面化为平面，注意中央子午线选取和分带,H为大地高)
2、坐标系转换
不同坐标系之间常用BURSA 模型，七参数)
2、坐标系转换
局部小范围内，对高斯平面坐标可用四参数模型
四、我国的大地坐标系
(一)、1954年北京坐标系
(二)、1980年国家大地坐标系
(三)、2000中国大地坐标系CGCS2000
(四)、新1954年北京坐标系
(五)、1978地心坐标系
(六)、1988地心坐标系。
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大地测量学与测量工程专业
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高等应用测量
空间直角坐标系
P(B,L,H;X,Y,Z)
z
N
P´
椭球中心
W
H
G O L B E y
x S
图2-1 空间直角坐标系示意图
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高等应用测量
高斯平面直角坐标系
图2-14 高斯－克吕格投影
图2-15 高斯－克吕格投影的分带
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大地测量学与测量工程专业
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（1）地心大地坐标系 （2）地心空间直角坐标系 z N
P´
P(B,L,H;X,Y,Z)
椭球中心 地球中心
W
H B E y
G O L x S
地球椭球
地心 坐标系示意图 2018/10/24 10
高等应用测量
地心高斯平面直角坐标系
图2-14 高斯－克吕格投影
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高等应用测量
（二）、按椭球（坐标系）的中心（原点）分类 可分为地心坐标系和参心坐标系。 1.地心坐标系
椭球的中心和地心重合。椭球称为地球椭球。
（1）地心大地坐标系 地球椭球的中心和地球质心重合的大地坐标系。 （2）地心空间直角坐标系 地球椭球的中心和三维直角坐标系的原点重合的空间直角坐标系。 （3）地心平面直角坐标系 由地心大地坐标系转化而来的平面直角坐标系。
图2-15 高斯－克吕格投影的分带
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高等应用测量
（二）、按椭球（坐标系）的中心（原点）分类 2.参心坐标系 椭球的中心和地心不重合。椭球称为参考椭球。 （1）参心大地坐标系 参考椭球的中心和地球质心不重合的大地坐标系。 （2）参心空间直角坐标系 参考椭球的中心和三维直角坐标系的原点不重合的空间直角坐标系。 （3）参心平面直角坐标系 由参心大地坐标系转化而来的平面直角坐标系。
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研究生教学讲义-坐标系种类及坐标转换
三、坐标系转换的模型
（1）大地坐标系转换为空间直角坐标系（BLH→XYZ）
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高等应用测量
（大地坐标系）+大地高 基准面为椭球面。
大地高高程 地面（空间）点沿法线至 椭球面的距离。
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高等应用测量
一、测量坐标系的种类
（一）、按地面点（空间点）的位置表示方式分类
（2）天文坐标+正高（正常高） 表示点的三维位置，用天文经度、天文纬度和正（常)高程表示。 天文经、纬度用λφ表示，以地球的铅垂线为基准线，用天文测量的方法 测量得到。正（常）高用高程测量方法测得。 基准面为（似）大地水准面。 同一点的天文经纬度和大地经纬度不相同，原因在于同点上的铅垂线和地 球椭球的法线不相重合。两者产生的夹角称之为垂线偏差。
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高等应用测量
天文坐标+正（常）高 基准面为大地面。 正（常）高程 地面（空间）点沿铅垂线 至（似）大地水准面的距 离。
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高等应用测量
（一）、按地面点（空间点）的位置表示方式分类
2.直角坐标系
直角坐标系分为三维直角坐标系和二维平面直角坐标系 （1）三维直角坐标系（空间直角坐标系） 点的位置用点至坐标原点的连线在三个坐标轴上的投影长度X、Y、Z来表达。 （2）平面直角坐标系 点的位置用点在平面坐标系在x、y和高程（正高或正常高）表示。 我国目前采用的统一的平面直角坐标系为高斯平面直角坐标系。它是通过高斯投 影方法将椭球面上的点投影至平面建立起来的直角坐标系。
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（1）参心大地坐标系 （2）参心空间直角坐标系 z N
P´
P(B,L,H;X,Y,Z)
参考椭球
W
H B E y
G O L x S
参考椭球
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高等应用测量
参心高斯平面直角坐标系
图2-14 高斯－克吕格投影
图2-15 高斯－克吕格投影的分带
经典大地测量基准通常采用的是与区域大地水准面最佳拟合的参考椭球，其中心 往往与地心不重合。由于地球表面的不规则性，适合于不同地区的参考椭球的大 小、定位和定向都不一样，每个参考椭球都有各自的参数和参考系。参考椭球对 于天文大地测量、大地点坐标的推算以及国家测图和区域绘图来说，是十分适宜 的。
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研究生教学讲义-坐标系种类及坐标转换
二、坐标转换的基本概念 2、坐标转换的基本概念 坐标转换是测绘实践中经常遇到的重要问题之一。 坐标转换通常包含两层含义：坐标系变换和基准变换。 （1）坐标系变换： 就是在同一地球椭球下，空间点的不同坐标表示形式间进行变换。包括 大地坐标系与空间直角坐标系的相互转换、空间直角坐标系与站心坐标 系的转换、以及大地坐标系与高斯平面坐标系的转换（即高斯投影正反 算） （2） 基准变换： 是指空间点在不同的地球椭球见的坐标变换。可用空间的三参数或七参 数实现不同椭球间空间直角坐标系或不同椭球见大地坐标系的转换。 2018/10/24
高等应用测量
坐标系种类及坐标转换
史经俭
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大地测量学与测量工程专业
高等应用测量
一、测量坐标系的种类
确定地球表面或外层空间中实体（点）的空间位置，是测绘的基本任务之 一，也是最重要、最基础的工作。
实体（点）的空间位置的表达可用多种方式。常用的是用处于某种坐标系 中的坐标表达。 要表达实体（点）的空间位置，应用三维坐标表示。 表达地面点三维坐标的方法很多，测量上常用有以下几种。 （一）、按地面点（空间点）的位置表示方式分类 可分为球面坐标系（地理坐标系）和直角坐标系。 1.球面坐标系 （1）大地坐标+大地高 表示点的三维位置，用大地经度、大地维度纬度和大地高程表示。 大地经、纬度用L、B表示，以地球椭球的法线为计算的基准线，用大地 测量的方法计算得到。
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研究生教学讲义-坐标系种类及坐标转换
二、坐标转换的基本概念 1、大地测量基准的基本概念 所谓基准是指为描述空间位置而定义的点线面。
而大地测量基准是指用以描述地球形状的地球椭球参数，包含描述地球椭球几何 特征的长短半轴和物理特征的有关参数、地球在空间的定位及定向以及描述这些 位置所采用的单位长度的定义。