机器人的位姿描述与坐标变换

j i
R (a , ) R( Z , ) R( X , a )
Xi
Xm

Xj
cos sin j i R (a , ) 0
sin cos 0
0 1 0 0 cos a 0 1 0 sin a
0 cos sin sin a cos a 0
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos(X i , X j ) y j cos(X i , Y j ) z j cos(X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
T
5 21 7
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj Zi P
坐标系j由坐标系i旋转而成 已知点P在j坐标系的坐标：
Yj
j
P [x j
yj
z j ]T
Yi Xi Xj
求点P在i坐标系的坐标：
i
P [ xi
yi
zi ]T
Zj
Zi
zi
P
yj
zj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
☺ 关于(Yi , X j )？
Z2 Z i (Z1 )
j f
R(Z i ,j )
j i
R(Y1 , )
R(Z 2 , f )
Zj
R(j , , f ) R ( Z , j ) R (Y , ) R ( Z , f )
Yj （Y2 )
f j

ZYZ欧拉角jY1 YifXi
X1 X 2 X j
cos j j R(j , , f ) i sin j 0
3、坐标变换综合（平移+旋转）
Zj Zc P
Pi RPj P
旋转部分 平移部分
Zi
Oj i
j i
Oj i
Pj
X Z b Z' O' O n X' Y' t
Y
刚体姿态：
O' O ' R [O OX O' O
Y
单位主矢量
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) cos(X 'Y ) cos(Y 'Y ) cos(Z 'Y ) O' Z ] O 33 cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵 1）、绕固定坐标系旋转
坐标系 ( X i , Yi , Z i ) 坐标系( X m , Ym , Z m ) 坐标系 ( X j , Y j , Z j )
Zi Zm Zj

R( X i ,a )
R ( Z i , )
j i
R (a , ) ?
a a
Yj Ym Yi
sin j cos j 0
0 cos 0 0 1 sin
0 sin cos f sin f 1 0 0 cos 0
sin f cos f 0
0 0 1
cosj cos cosf sin j sin f sin j cos cosf cosj sin f sin sin f
3）RZ
Zi Z
j

Yj Yi
Xi
Xj
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z , X ) cos(Z , Y ) cos(Z , Z ) z i j i j i j j
证明： 1）绕运动坐标系旋转
R(Z i ,j )
坐标系 ( X i , Yi , Z i )
Z2 Zj Z i (Z1 )
R(Y1 , ) R(Z 2 , f ) 坐标系 ( X 1 , Y1 , Z 1 ) 坐标系 ( X 2 , Y2 , Z 2 )
坐标系 ( X j , Y j , Z j )
1) Pm mjR Pj R ( Z i , ) Pj 2) Pi m iR P m R( X i , a) P m R ( X i , a ) R ( Z i , ) Pj

Xj
适用的机器人类型举例（有旋转关节）
例1: 已知坐标系B初始位姿与A重合,首先B相对于坐标系A的Z 轴转30度, 假设点P在 坐标系B的描述为PB={3,7,0}T,求它在坐标 系A中的描述PA.
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z , X ) cos(Z , Y ) cos(Z , Z ) z i j i j i j j
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) cos(X 'Y ) cos(Y 'Y ) cos(Z 'Y ) O' O' O' O' R [ X Y Z ] O O O O 33 cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z ) 姿态矩阵R的特点：
Xi
X1 X 2 X j
2）、绕固定坐标系旋转
( X i , a) ( Z i , )
坐标系 ( X i , Yi , Z i )
Zi Zm Zj
坐标系( X m , Ym , Z m )
j i
坐标系 ( X j , Y j , Z j )
a a
Xi Xm Yj Ym Yi
R?
证明与讨论:
cosj cos sin f sin j cosf sin j cos sin f cosj cosf sin sin f
cosj sin sin j sin cos
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。
1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右 乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同； 2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往 左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
X
Z b Z' O' Y' t O n X'
Y
i
P R P
旋转矩阵
j i
j
坐标系j相对 于i的方位
旋转矩阵的性质：
j i
R R R
i j
1
i j
T
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
Zi Z
j
Zi Zj

Yj

Yi Y j
Yi Xi Xi X
j

Xj
1）RX
Zi Zj
2）RY
Yj

Xi Xj Yi
sin cos a cos cos a sin a
sin sin a cos sin a cos a
2）、绕运动坐标系旋转
坐标系 ( X i , Yi , Z i ) 坐标系 ( X 1 , Y1 , Z1 ) 坐标系 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 坐标系 ( X j , Y j , Z j )
0 1 0 cos j R ( X , ) i i 0 sin sin cos 0
Zi Zj
cos 0 j R ( Y , ) i i sin
0 sin 1 0 0 cos

R是单位正交阵
O' O
R 1
刚体的位置和姿态：
' {O'} {O O R, O' O
P}
Zj
例：某刚体j在参考系i中的 位置 姿态
oj oi
P?
Oj Oi
Oj
Yj Xj Zi
R?
6
10
Oi
Xi
Yi
3-2 坐标变换（点的映射）
1、坐标平移（坐标系方位相同）
已知点P在j坐标系的坐标，平移j至i，求 点P在i坐标系的坐标。
Xi Xj Yi Yj
Zi
Zj Yj
cos sin j R ( Z , ) i i 0
sin cos 0
0 0 1

Xi

Xj
Yi
0 1 0 cos j R ( X , ) i i 0 sin
sin cos
yi x j cos(Yi , X j )
yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j )
Zj
Zi
zi
P
zj
yj
适用的机器人类型举例（有平移关节）
Z1 X1
Y1 Z2 X2
Y2
Z3 X3
Y3
三坐标的直角坐标机器人
Z
Y
X
Zi
Zj
例: Oi
Yi Xi Xj
P
Oj
Yj
15 已知
j
P 5 6 7
T
求 P点在i坐标系中的坐标。
T T
解答： i P j P OjP
i
5 6 7 0 15 0
☺
9个元素，只有3个独立， 满足6个约束条件:
O' O O' O ' X .O OX O' O ' Y .O OY ' O' O O Z .O Z 1 ' O' O' O' O' X .O Y Y . Z O O O O Z .O X 0
' T R 1 O R O
☺
O' O
j i
Yj （Y2 )
j f
R?
1) P2 2j R Pj R( Z 2 , f ) Pj
Y1 Yi
f
j

2 2) P 1 1R P 2 R(Y1 , ) P 2
j

3) Pi R P 1 R( Z i , j ) P 1
f
1 i
R( Z i , j ) R(Y1 , ) P2 R( Z i , j ) R(Y1 , ) R( Z 2 , f ) Pj
Xj
Zj
P
Oj
Yj
Oi P OiO j O j P
i
Zi
Oj i
P
P P P
Xi
Oj i
j
Oi
Yi
沿着不同轴向的组合平移：
x 0 0 x 0 y 0 y Oj P i 0 0 z z
0
cos 0 j R ( Y , ) i i sin
0 sin 1 0 0 cos
cos sin j R ( Z , ) i i 0
sin cos 0
0 0 1
转动矩阵的特点： (1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦； (2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应； (3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0； (4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现 的为正，反之依然。
j i
R
j
P
►姿态矢量矩阵
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O' R O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
《机器人学》
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换 战强
北京航空航天大学机器人研究所
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换
Z Y X 机器人 的位姿
Zi Xi Zw
连杆I的 位姿 Yi
Yw Xw
3-1 刚体位姿的数学描述
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
x0 y ' 刚体位置： o P o 0 z0