动态法测杨氏模量实验报告

动态法测量杨氏模量

一、 实验目的

1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。

3. 了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方法。

4. 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。

二、 实验原理：

在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量。

根据杆的横振动方程式

02

244=∂∂+∂∂t y EJ S x y ρ （1） 式中ρ为杆的密度，S 为杆的截面积，⎰=

s dS y J 2 称为惯量矩（取决于截面的形状），E 即为杨氏模量。

如图1所示，长度L 远远大于直径d （L >>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为

02244=∂∂+∂∂t EJ y

S x y

ρ （1） 棒的轴线沿x 方向，式中y 为棒上距左端x 处截面的y 方向位

移，E 为杨氏模量，单位为Pa 或N/m 2；ρ为材料密度；S 为

截面积；J 为某一截面的转动惯量，⎰⎰=s ds y J 2。 横振动方程的边界条件为：棒的两端(x =0、L )是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令)()(),(t T x X t x y =，则有

2

24411dt T d T EJ S dx X d X •-=ρ （2） 由于等式两边分别是两个变量x 和t 的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程

044

4=-X K dx X

d （3） 0422=+T S

EJ K dt T

d ρ （4） 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为

图1 细长棒的弯曲振动

⎩

⎨⎧+=+++=)cos()(sin cos )(4321ϕωt b t T Kx a Kx a shKx a chKx a x X （5） 于是可以得出

)cos()sin cos (),(4321ϕω+•+++=t b Kx a Kx a shKx a chKx a t x y （6） 式中 214⎥⎥

⎦⎤⎢

⎢⎣⎡=S EJ K ρω （7） 式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到

1cos =•chKL KL (8)

采用数值解法可以得出本征值K 和棒长L 应满足如下关系

K n L =0，4.730，7.853，10.996，14.137， (9)

其中第一个根K 0L =0对应试样静止状态；第二个根记为K 1L =4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a ）所示；第三个根K 2L =7.853所对应的振动状态如图2（b ）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L 和0.776L 。将基频对应的K 1值代入频率公式，可得到

杨氏模量为

232243108870.7109978.1f J

m L J S

L E --⨯=⨯=ωρ （10） 如果试样为圆棒(d <

4

d J π=，所以式（10）可改写为 2436067.1f d m L E = （11）

同样，对于矩形棒试样则有

2339464.6f bh m

L E =矩 （12）

式中m 为棒的质量，f 为基频振动的固有频率，d 为圆棒直径，b 和h 分别为矩形棒的宽度和高度。

如果圆棒试样不能满足d <

(a) n =1 (b) n =2

图2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形

12436067.1T f d m

L E = （13）

上式中的修正系数T 1可以根据径长比d/L 的泊松比查表1得到。

表1 径长比与修正系数的对应关系

径长比d/L

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.10 修正系数T 1 1.001 1.002 1.005 1.008 1.014 1.019 1.033 1.055 由式（10）～（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。

本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f 固和共振频率f 共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为

241

1Q f f +=共固 （14）

上式中Q 为试样的机械品质因数。一般Q 值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。

动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所示。由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发射换能器（激振器）2上，使电信号变成机械振动，再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振动传给试样3，使试样受迫作横振动，机械振动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给接收换能器（拾振器）4，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器5显示。当信号源的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很小，只有试样发生共振时，示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即为试样的共振频率。

测出共振频率，由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。这一实验装置还可以测量不同温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以改变试样的温度。

图3

2．李萨如图法观测共振频率

实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X 和Y 通道，示波器处于观察李萨如图形状态，从小到大调节信号发生器的频率，直到出现稳定的正椭圆时，即达到共振状态。这是因为，拾振器和激振器的振动频率虽然相同，但是当激振