高中物理小船过河问题含答案讲解

小船过河问题

轮船渡河问题：

（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

2

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间

　，显然，当时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最

θ

υυsin 1

船d

d

t =

=

︒=90θ小为

，合运动沿v 的方向进行。v

d

2．位移最小若水

船υυ>结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为

船

水υυθ=

cos 若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短水船v v <呢？如图所示，

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据船头与河岸的夹角应为

水

船v v =

θcos

，船沿河漂下的最短距离为：

水

船v v arccos

=θθ

θsin )cos (min 船船水v d v v x ⋅

-=此时渡河的最短位移：船

水v dv d

s =

=θcos 【例题】河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问：

(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?

(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间

s s d

t 2030

60

2

==

=

υ(2)渡河航程最短有两种情况：

①船速v 2大于水流速度v 1时，即v 2>v 1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；

②船速v 2小于水流速度v l 时，即v 2

设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则

，2

1

63cos 12===

υυθ 60=θ最短行程，m m d s 1202

660

cos ===

θ小船的船头与上游河岸成600角时，渡河的最短航程为120m 。

技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。

【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流

去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( C ) A ．

B ．0

21

222

υ

υυ-d C ．

D ．

2

1

υυd 1

2

υυd ★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v 2，

到达江岸所用时间t=

；沿江岸方向的运动速度是水速v 1在相同的时间内，被水冲下的2

v d

距离，即为登陆点距离0点距离。答案：C 2

1

1v dv t v s =

=【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了

T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）

(A)

(B)

(C) (D) 2

1222T T T -12T T 2

2211T T T -21T T

★解析：设船速为 ，水速为 ，河宽为d ，则由题意可知 ： ①1v 2v 1

1v d T =

当此人用最短位移过河时，即合速度方向应垂直于河岸，如图所示，则

v ②

22

212v

v d

T -=

联立①②式可得： ，进一步得12

22121

v v v T T -=2

122221T T T v v -=

【例题】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，

，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为d

v k kx v 0

4=

=，水，则下列说法中正确的是（ A ）

0v A 、小船渡河的轨迹为曲线B 、小船到达离河岸

处，船渡河的速度为2

d

02v C 、小船渡河时的轨迹为直线

D 、小船到达离河岸处，船的渡河速度为4/3d 0

10v 高中物理-渡河模型习题讲解

【模型概述】

在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题

【模型讲解】

一、速度的分解要从实际情况出发

例1. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体

A ，当绳与

0v 水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

图1

解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变01v v =角度θ的值。这样就可以将按图示方向进行分解。所以及实际上就是的两个

A v 1v 2v A v 分速度，如图1所示，由此可得。θ

θcos cos 01

v v v A ==

解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有

，两边同除以△t 得：

θcos x L ∆=∆θcos t

x

t L ∆∆=∆∆