雅克比矩阵知识介绍
雅可比矩阵的应用与求解
雅可比矩阵的应用与求解雅可比矩阵作为数值计算中的一个重要工具，在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍雅可比矩阵的相关理论和求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、雅可比矩阵的定义和性质雅可比矩阵可以被定义为实数域上的一个n阶矩阵，其主对角线上为矩阵函数对应行的一阶偏导数，其余元素为该函数对应行和列的二阶偏导数之积的相反数。
例如，在一个三元函数f(x,y,z)的情况下，对应的雅可比矩阵为：$$J = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} &\dfrac{\partial f}{\partial z} \\\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial x} & \dfrac{\partial^2f}{\partial z\partial y} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \\\end{bmatrix}$$雅可比矩阵的一些性质包括：在点$(x_0, y_0)$处的雅可比矩阵，其转置矩阵$J^T$等于这个点处的负梯度，即$-\nabla f(x_0, y_0)$；在对称矩阵的情况下，其对应的特征值是实数；在正定对称矩阵的情况下，其特征值是正实数。
这些性质直接影响了雅可比矩阵在实际应用中的效果和精度。
二、雅可比矩阵的求解方法在实际问题中，要计算雅可比矩阵通常有两种方法：解析方法和数值方法。
解析方法主要针对函数表达式已知、求导比较简单的情况。
机器人雅可比矩阵知识讲解
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
雅可比矩阵推导过程
雅可比矩阵推导过程雅可比矩阵（Jacobian matrix）是微分几何和向量微积分中的一个重要工具，用于描述多元函数的变换关系。
在本文中，我们将详细介绍雅可比矩阵的定义、性质和推导过程。
1. 雅可比矩阵的定义考虑一个从n维欧几里得空间到m维欧几里得空间的映射，即有一个函数F: R^n -> R^m。
假设F的每个分量函数都是连续可微的，那么对于给定的输入向量x ∈R^n，可以将F在该点处进行泰勒展开：F(x + Δx) = F(x) + J(x)Δx + O(‖Δx‖)其中，J(x)是一个m×n的矩阵，称为雅可比矩阵。
它由F的各个分量函数对输入向量x中各个变量求偏导数而组成。
具体地说，如果F = (f₁, f₂, …, fₘ)，则雅可比矩阵J(x)按行排列如下：J(x) = [∂f₁/∂x₁∂f₁/∂x₂ ... ∂f₁/∂xₘ][∂f₂/∂x₁∂f₂/∂x₂ ... ∂f₂/∂xₘ][... ... ... ... ][∂fₘ/∂x₁∂fₘ/∂x₂ ... ∂fₘ/∂xₘ]2. 雅可比矩阵的性质雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：•雅可比矩阵的行数等于映射的目标空间维度m，列数等于映射的源空间维度n。
•如果F是一个线性映射，那么雅可比矩阵是一个常数矩阵。
•如果F是一个非线性映射，那么雅可比矩阵的每个元素都依赖于输入向量x。
•雅可比矩阵可以用来描述函数在某一点处的局部线性逼近，即泰勒展开式中的一次项。
3. 雅可比矩阵的推导过程为了推导雅可比矩阵，我们将以二维向量值函数为例。
假设有一个函数F: R² ->R²，表示为F(x, y) = (u(x, y), v(x, y))。
我们需要求解F在某一点(x₀, y₀)处的雅可比矩阵。
首先，我们对F的每个分量函数进行偏导数计算。
对于u(x, y)，其偏导数为：∂u/∂x = lim(Δx→0) [u(x + Δx, y) - u(x, y)] / Δx同理，对于v(x, y)，其偏导数为：∂v/∂x = lim(Δx→0) [v(x + Δx, y) - v(x, y)] / Δx类似地，我们可以计算出u和v关于y的偏导数：∂u/∂y = lim(Δy→0) [u(x, y + Δy) - u(x, y)] / Δy∂v/∂y = lim(Δy→0) [v(x, y + Δy) - v(x, y)] / Δy将上述四个偏导数整理成矩阵形式，即得到雅可比矩阵J：J = [∂u/∂x ∂u/∂y][∂v/∂x ∂v/∂y]这就是二维向量值函数F在点(x₀, y₀)处的雅可比矩阵。
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
电力系统雅可比矩阵
电力系统雅可比矩阵电力系统雅可比矩阵电力系统中，雅可比矩阵是一种常用的描述系统状态的工具。
它能够对电力系统的各个节点进行连通性分析，进而求解系统的各种物理量，如电压、电流等。
本文将从以下方面详细介绍电力系统雅可比矩阵。
一、雅可比矩阵的定义电力系统雅可比矩阵是指根据各节点的连通性及其电气量之间的关系，形成的一个n×n矩阵。
其中n为电力系统节点数。
其主要作用是描述电力系统的复杂结构，为后续的系统分析和控制提供基础。
二、雅可比矩阵的构成雅可比矩阵由两部分构成：节点导纳矩阵和潮流方程的导数矩阵。
具体构成如下：1.节点导纳矩阵节点导纳矩阵是由电源节点、负荷节点和导纳节点构成的。
电源节点是指系统中生成电能的节点，负荷节点是指系统中消耗电能的节点，而导纳节点是指系统中连接元件的节点。
节点导纳矩阵的主要作用是描述电力系统的电路拓扑结构。
2.潮流方程的导数矩阵潮流方程的导数矩阵又称潮流矩阵，描述了电力系统的电气量间的关系。
其中，潮流方程是指系统中各节点的电流和电压之间的关系式。
潮流矩阵是潮流方程对各电气量求偏导数得到的矩阵。
三、雅可比矩阵的应用雅可比矩阵是电力系统中的常用工具，其应用涉及广泛。
常见的应用包括：1.电力系统负荷流量分析通过分析系统的雅可比矩阵，可以确定系统中各节点的电流和电压。
从而实现对电力系统中各元件负荷流量的分析。
2.电力系统优化调整雅可比矩阵可以通过对系统的结构和状态进行分析，使得系统能够更好地适应外部负荷和变化。
从而实现电力系统的优化调整。
3.电力系统稳定分析雅可比矩阵可以通过对系统的节点状态进行分析，使得系统更好地实现电力平衡，进而保持系统的稳定性。
四、总结电力系统雅可比矩阵是电力系统中的一种常用工具，在对电气量的计算和系统优化调整过程中发挥着重要作用。
它的构成和应用均非常广泛，能够为电力系统的稳定性和运行效率提供支持。
雅可比矩阵_灵敏度矩阵_解释说明以及概述
雅可比矩阵灵敏度矩阵解释说明以及概述1. 引言1.1 概述雅可比矩阵是数学中一种重要的矩阵形式，用于描述多元函数的局部性质和关系。
灵敏度矩阵则是一种衡量系统响应对输入参数变化的敏感程度的工具。
本文将深入探讨雅可比矩阵和灵敏度矩阵的定义、计算方法、性质以及它们在实际问题求解中的潜在应用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分来展开对雅可比矩阵和灵敏度矩阵的介绍和解释。
首先，我们将给出本文的概述，明确文章主题和目标；其次，我们将详细介绍雅可比矩阵包括其定义、基本概念、计算方法以及应用领域；随后，我们将深入探讨灵敏度矩阵，包括其意义定义、计算方法和性质，并通过实际案例来展示其运用；接着，我们将进一步解释说明雅可比矩阵在问题求解中的作用与意义以及灵敏度矩阵在问题求解中的应用举例；最后，我们将总结全文内容，并对雅可比矩阵及其应用进行展望。
1.3 目的本文旨在系统介绍雅可比矩阵和灵敏度矩阵的相关概念、计算方法以及实际应用，帮助读者全面了解它们在数学和工程领域的重要性和作用。
同时，通过详细解释说明它们在问题求解中的具体应用案例，期望读者能够理解如何应用雅可比矩阵和灵敏度矩阵来分析和优化复杂系统中的相互关系。
最后，我们希望通过本文对雅可比矩阵与灵敏度矩阵的深入探讨，为进一步研究提供启示和方向。
2. 雅可比矩阵:2.1 定义和基本概念:雅可比矩阵是数学中的一种线性变换矩阵，用于描述多元函数的导数。
对于一个具有n个自变量和m个因变量的向量值函数，其雅可比矩阵是一个m×n的矩阵，其中每个元素表示因变量关于自变量之间的偏导数。
设函数f(x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ym)，则该函数的雅可比矩阵J就是一个m ×n矩阵，其中每个元素Jij表示yj关于xi的偏导数。
2.2 计算方法和性质:计算雅可比矩阵的方法通常即是求各偏导数。
对于一个标量场(只有一个因变量)来说，其雅可比行列式称为该函数的梯度，也就是常说的向量场。
机器人雅可比矩阵
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可比矩阵的维度， 以适应不同情况下的计算需求。
雅可比矩阵的奇异性问题
1 2
奇异值分解
利用奇异值分解（SVD）等技术处理雅可比矩阵 的奇异性问题，提高矩阵的稳定性和可靠性。
冗余自由度
合理配置机器人的冗余自由度，避免产生奇异位 姿，提高机器人的运动能力和灵活性。
。
逆向运动学
03
已知机器人在笛卡尔空间中的位姿，求解关节空间的运动变量
，进而得到雅可比矩阵。
03
雅可比矩阵的应用
机器人的运动学正解与逆解
01
02
03
运动学正解
通过给定的关节角度，计 算机器人末端执行器的位 置和姿态。
运动学逆解
已知末端执行器的位置和 姿态，反推出各关节角度 。
求解方法
通过几何学和线性代数的 方法，建立机器人运动学 模型，并使用数值计算方 法求解正解和逆解。
3
动态调整
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可 比矩阵的结构，以避免奇异性问题。
雅可比矩阵的实时计算优化
并行计算
采用并行计算技术，将雅可比矩阵的计算任务分解为多个子任务， 提高计算效率。
预计算和缓存
对雅可比矩阵进行预计算和缓存，减少实时计算量，提高计算速度 。
自适应算法
采用自适应算法优化雅可比矩阵的计算过程，根据机器人运动状态和 任务需求动态调整计算参数，提高计算精度和响应速度。
力矩控制
通过调节施加在机器人关节上的力矩，实现对机器人运动的精确控 制。
控制方法
基于反馈的力/力矩控制方法，如PID控制器、模糊控制器等。
04
雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的降维处理
多元函数的雅可比矩阵
多元函数的雅可比矩阵雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是多元函数的一阶偏导数以行形式组合而成的矩阵。
它在数学、物理和工程等领域具有广泛的应用。
本文将详细介绍多元函数的雅可比矩阵的定义、性质和应用。
1.雅可比矩阵的定义设有n个自变量x₁,x₂,...,xₙ的函数y=f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ分别是自变量的取值。
则函数y=f(x₁,x₂,...,xₙ)在点(x₁₀,x₂₀,...,xₙ₀)处的雅可比矩阵定义如下：J=∂(f₁,f₂,...,fₙ)/∂(x₁,x₂,...,xₙ)其中，f₁,f₂,...,fₙ是函数f的各个分量，J是一个m×n的矩阵，f₁,f₂,...,fₙ分别是J的第1行,第2行,...,第m行，而x₁,x₂, (x)则是J的第1列,第2列,...,第n列。
其中∂表示偏导数。
2.雅可比矩阵的性质(1)雅可比矩阵的行列式称为雅可比行列式，用J表示。
如果雅可比行列式在特定点的值不等于0，则说明该点附近的函数是可逆的。
(2)如果雅可比行列式在特定点的值等于0，则说明该点附近的函数存在奇点或者多个点映射到同一个点。
(3)雅可比矩阵的转置矩阵称为复合函数矩阵。
3.雅可比矩阵的计算方法计算雅可比矩阵需要对目标函数的每个分量进行偏导数的计算。
具体来说，对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，计算其分量的偏导数，然后按行组合起来即可得到雅可比矩阵。
4.雅可比矩阵的应用(1)多元函数的线性逼近：雅可比矩阵可以用于多元函数的线性逼近问题。
线性逼近可以将一个复杂的多元函数近似为一个线性函数，这在数值计算和优化问题中起着重要作用。
(2)物理问题中的运动学分析：在物理学中，运动学描述了物体的位置、速度和加速度等属性。
雅可比矩阵可以用于计算物体的速度和加速度。
例如，在机器人学中，雅可比矩阵可以用于描述机器人末端执行器的位置和速度之间的关系。
(3)优化算法中的梯度计算：雅可比矩阵可以用于优化算法中的梯度计算。
速度运动学-雅可比矩阵
速度运动学-雅可比矩阵第4章 速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵Sρ被称为反对称矩阵，当且仅当=+S S T ,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ijs s3,2,1,=j i ，所以iiS =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S如果Tzyxa a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘 3）)()(Ra S Ra RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量nR X ∈，有0=SX XT旋转矩阵的导数 )(θθSR R d d =公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵的物理意义雅可比矩阵（Jacobianmatrix）是一个非常重要的矩阵，在物理学中有着广泛的应用。
它是一种矩阵，用于描述一个函数的偏导数，它的物理意义是非常重要的。
在这篇文章中，我们将会探讨雅可比矩阵的物理意义以及它在物理学中的应用。
1. 雅可比矩阵的定义雅可比矩阵是一个由一组函数的偏导数组成的矩阵。
对于一个由n个变量x1, x2, ..., xn组成的函数f(x1, x2, ..., xn)，它的雅可比矩阵J就是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素是函数f对变量xi的偏导数关于变量xj的偏导数，即：J = [ f1/x1 f1/x2 ... f1/xn ][ f2/x1 f2/x2 ... f2/xn ][ ... ... ... ][ fn/x1 fn/x2 ... fn/xn ]2. 雅可比矩阵的物理意义雅可比矩阵的物理意义非常重要，它可以用来描述一些物理量之间的关系。
在物理学中，我们经常需要研究一些物理量之间的相互作用，例如速度、加速度、力等等。
这些物理量之间的关系可以用雅可比矩阵来描述。
2.1. 速度和加速度在物理学中，速度和加速度是两个非常重要的物理量。
它们之间的关系可以用雅可比矩阵来描述。
假设我们有一个由n个质点组成的系统，每个质点的位置可以用一个n维向量r来描述，那么每个质点的速度v和加速度a可以分别表示为：v = [ r1/t r2/t ... rn/t ]a = [ v1/t v2/t ... vn/t ]我们可以把速度和加速度看作是位置的一阶和二阶导数，它们之间的关系可以用雅可比矩阵来描述：a = Jv其中J是速度和加速度之间的雅可比矩阵。
这个公式的物理意义是，加速度是速度对时间的一阶导数，而速度是位置对时间的一阶导数，因此加速度可以看作是位置对时间的二阶导数，即速度的一阶导数。
因此，加速度和速度之间的关系可以用雅可比矩阵来描述。
2.2. 力和势能在物理学中，力和势能是两个非常重要的物理量。
速度运动学-雅可比矩阵
第4章 速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数）2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵S ρ被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘3）)()(Ra S R a RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T旋转矩阵的导数)(θθSR R d d= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
雅可比矩阵专题知识
解 由式(2.6)知，二自由度机械手速度雅可比为 所以，逆雅可比为
2.1.3 机器人雅可比讨论
机器人旳奇异形位分为两类： (1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折 回时，使手部处于机器人工作空间旳边界上或边界附 近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理构造旳 约束。这时相应旳机器人形位叫做边界奇异形位。 (2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重叠时， 机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。这时 相应旳机器人形位叫做内部奇异形位。
例2.2 图2.5所示为一种二自由度平面关节机械手，已知手部端点 力F=[FX，FY]T，忽视摩擦，求θ1=0°、θ2=90°时旳关节力矩。
力雅可比矩阵在奇点旳情况：
练习
1. 分析下图 RRRR 机械手
其正向变换矩阵和转动 雅可比矩阵如下:
(a)求解当各个关节坐标为q = [0, 900,−900, 0] T旳时候，相对于 基坐标系旳雅可比矩阵 Jo.
qi zi
v
w
lim
Dt 0
1 Dt
d
i
zi
i pn
z0
y0 x0
对于移动关节，有： 0, d ziqdt
v w
zi 0
qi
,
Ji
zi
0
对于转动关节，有：
i pn0 是i pn在在基坐标系{o}中旳表达。
基坐标系
v w
zi
i zi
pn0
qi
,
Ji
zi
i zi
pn0
斯坦福机械手速度雅可比矩阵旳求解
斯坦福机械手广义速度雅可比矩阵旳求解
教材例题2.1：逆雅可比矩阵旳示例：
例2.1 如图2.2所示旳二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正 向以1.0 m/s旳速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°， θ2=60°，求相应瞬时旳关节速度。
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用雅可比矩阵在机器人静力学中扮演了关键的角色，它用于描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
下面我将逐个回答你的问题，并用易于理解的术语解释。
1. 雅可比矩阵是什么雅可比矩阵是一个将机器人的关节速度与其末端执行器速度之间的关系进行描述的矩阵。
它将机器人关节空间中的速度转化为末端执行器空间中的速度。
雅可比矩阵的每个元素代表了末端执行器速度对于关节速度的敏感程度。
2. 机器人的静力学是什么机器人的静力学研究的是机器人系统在静止或匀速运动时所受到的力学影响。
它关注的是机器人系统在特定关节角度下的受力情况，包括关节力和末端执行器力等。
3. 雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是什么雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是用于分析机器人系统中的力学平衡和力的传递。
通过雅可比矩阵，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以控制机器人系统中的力分配。
4. 如何利用雅可比矩阵进行力的传递分析在机器人静力学中，我们可以利用雅可比矩阵来分析力的传递和分布。
具体而言，我们可以通过雅可比矩阵将末端执行器上的力转化为关节空间中的力。
这样，我们可以对机器人系统进行力分析，包括力矩的计算和力的传递路径的分析等。
5. 为何需要力的传递分析力的传递分析对于机器人的应用非常重要。
它可以帮助我们理解机器人系统中的力分配情况，从而进行力控制和路径规划等。
通过力的传递分析，我们可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，以及力的传递路径是否满足设计要求。
总结起来，雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
它帮助我们分析机器人系统中的力学平衡和力的传递，从而进行力控制和路径规划等。
通过雅可比矩阵的应用，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，从而进行力的传递分析。
这对于机器人的应用非常重要，能够帮助我们优化机器人的设计和控制，提高其性能和安全性。
雅可比矩阵的形式
雅可比矩阵的形式【原创版】目录1.雅可比矩阵的定义2.雅可比矩阵的形式3.雅可比矩阵的性质4.雅可比矩阵的应用正文1.雅可比矩阵的定义雅可比矩阵是一种特殊的方阵，它可以通过给定向量空间中的基底进行线性变换得到。
设 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间，$B$ 是 $V$ 的一个基底，$A$ 是一个 $ntimes n$ 的方阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP=J$，其中 $J$ 是 $n$ 阶单位矩阵，那么矩阵 $A$ 就被称为雅可比矩阵。
2.雅可比矩阵的形式雅可比矩阵的形式可以通过它的标准型来描述。
设 $A$ 是一个$ntimes n$ 的雅可比矩阵，通过一系列的初等行变换（交换行、倍加行或者数乘行），我们可以将 $A$ 变为如下形式：$$A = begin{bmatrix}lambda_1 & & & && lambda_2 & & && & ddots & && & & lambda_n &end{bmatrix}$$其中，$lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n$ 是 $A$ 的 n 个特征值。
这种形式被称为雅可比标准型，其中对角线上的元素被称为雅可比元素。
3.雅可比矩阵的性质雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：（1）雅可比矩阵一定是方阵。
（2）雅可比矩阵的行列式等于它的特征值之积。
（3）雅可比矩阵的特征值是实数。
（4）雅可比矩阵的特征向量构成了它的标准正交基。
4.雅可比矩阵的应用雅可比矩阵在向量空间和矩阵的变换中具有广泛的应用，例如：（1）线性变换：设 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间，$B$ 是 $V$ 的一个基底，$A$ 是一个 $ntimes n$ 的雅可比矩阵，则 $A$ 对 $B$ 进行线性变换后得到的新基底 $B_A$ 也是 $V$ 的一个基底。
四边形单元雅可比矩阵
四边形单元雅可比矩阵雅可比矩阵（Jacobi Matrix）是一个广泛应用于数学和科学工程领域的矩阵。
它在解决大规模线性方程组、计算特征值等数值分析问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍四边形单元雅可比矩阵的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、四边形单元的定义四边形单元是将一个平面分割成四边形的基本单元，通常用于有限元法中的数值计算。
在四边形单元内，雅可比矩阵用于描述不同坐标系之间的转换关系。
对于一个四边形单元，其雅可比矩阵可以表示为：J = [ ∂x/∂ξ ∂y/∂ξ ][ ∂x/∂η ∂y/∂η ]其中，(x, y) 是四边形单元中的实际坐标，(ξ, η) 是相对于参考坐标系的参数坐标。
雅可比矩阵描述了实际坐标与参数坐标之间的转换关系。
二、四边形单元雅可比矩阵的性质1. 雅可比矩阵是一个2x2的矩阵，其行列式也称为雅可比行列式，表示了坐标转换的比例因子。
在四边形单元的情况下，雅可比行列式的值表示了面积的扭曲情况。
2. 若雅可比矩阵的雅可比行列式为正，则表示坐标转换是一个保度量变换；若雅可比行列式的值为零，则表示坐标转换存在奇点；若雅可比行列式的值为负，则表示坐标转换是一个翻转变换。
3. 雅可比矩阵的逆矩阵称为反雅可比矩阵，用于将实际坐标转换回参数坐标。
反雅可比矩阵可以表示为：J^-1 = [ ∂ξ/∂x ∂ξ/∂y ][ ∂η/∂x ∂η/∂y ]三、四边形单元雅可比矩阵的应用四边形单元雅可比矩阵的应用广泛存在于数值计算和科学工程的各个领域。
下面以两个常见的应用为例进行说明：1. 有限元法在有限元法中，将实际的物理问题离散为多个单元，其中四边形单元是最基本也是最常用的单元。
通过求解雅可比矩阵，可以实现实际坐标系与参考坐标系之间的转换，从而将问题转化为简化的参数坐标系求解。
2. 计算特征值雅可比矩阵在计算特征值和特征向量的过程中起到了重要的作用。
通过对雅可比矩阵进行特征值分解，可以得到原始问题的特征值和特征向量。
雅克比矩阵(Jacobi)
雅可比矩阵(Jacobi方法)Jacobi 方法Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ = diag(λ1 ,λ2,…,λn) (3.1)其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。
即设A=(aij )n×n,Q交矩阵,记B=Q T AQ=(bij )n×n, 则Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。
反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 Vij(φ)是正交矩阵, 记注意到B=VijA的第i,j行元素以及的第i,j列元素为可得≠0，取φ使得则有如果aij对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。
可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。
设由式(3.4)可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。
2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。
计算过程如下1)令k=0, A(k) =A2) 求整数i,j, 使得3) 计算旋转矩阵4) 计算A(k+1)5) 计算6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值，Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T的各列为相应的特征向量；否则，k+1=>k返回2,重复上述过程。
雅可比矩阵的形式
雅可比矩阵的形式【最新版】目录1.引言2.雅可比矩阵的定义和形式3.雅可比矩阵的性质和应用4.结论正文1.引言矩阵在数学和物理学等领域中具有广泛的应用，而雅可比矩阵是矩阵理论中的一个重要概念。
对于一个线性变换，如果它的矩阵表示是雅可比矩阵，那么这个线性变换就是可逆的。
因此，研究雅可比矩阵的形式和性质对于理解线性变换以及解决实际问题具有重要意义。
2.雅可比矩阵的定义和形式雅可比矩阵（Jacobian matrix）是指一个多元函数的梯度矩阵。
设函数 f(x) 是一个从 n 维空间到 m 维空间的映射，其雅可比矩阵记作J(x)，则有：J(x) = [f1/x1, f1/x2,..., f1/xn;f2/x1, f2/x2,..., f2/xn;...fn/x1, fn/x2,..., fn/xn]其中，f1, f2,..., fn 是函数 f(x) 的各个分量，x1, x2,..., xn 是自变量。
3.雅可比矩阵的性质和应用雅可比矩阵具有以下性质：（1）行列式：雅可比矩阵的行列式表示了函数 f(x) 在点 x 处的切空间和法向量。
当行列式不等于 0 时，函数 f(x) 在点 x 处可微分；当行列式等于 0 时，函数 f(x) 在点 x 处取到极值或曲线拐点。
（2）逆矩阵：如果函数 f(x) 在点 x 处可逆，那么其雅可比矩阵在点 x 处也是可逆的，且有 J(x)^- = (f1/y1, f1/y2,..., f1/yn;f2/y1, f2/y2,..., f2/yn;...fn/y1, fn/y2,..., fn/yn)，其中 (y1, y2,..., yn) 是函数 f(x) 的反函数 (即 f^-1(x)) 的导数。
（3）伴随矩阵：雅可比矩阵可以表示线性变换的矩阵形式，也可以表示非线性变换的伴随矩阵。
对于一个非线性变换，其伴随矩阵是该变换在切空间上的矩阵表示。
4.结论雅可比矩阵是描述多元函数在各点处的局部性质的重要工具，其形式和性质对于理解线性变换和非线性变换具有重要意义。
雅格比矩阵
雅格比矩阵雅格比矩阵（Yagubimatrix）是一种被普遍用于描述技术交互性和社会影响力变化的结构矩阵。
它以一个网状的矩阵结构表示技术的发展，其中每个矩阵点代表某个特定技术的状态，比如垂直市场的影响力、技术和产品的具体发展状态等。
每个矩阵点都可以连接到另一个矩阵点，表示技术发展的“流动性”，即技术从垂直市场走向水平市场，或从较少利用的技术发展到较广泛使用的技术。
雅格比矩阵在技术社会学中被用来描述技术的影响力和交互性，尤其是技术的差异、传播和发展。
它的主要功能是将技术的流动性和社会变化表示成一个矩阵，每个矩阵点表示技术的具体状态，并且可以清楚地反映出技术的影响力和社会影响力变化。
雅格比矩阵由三部分组成：矩阵点，矩阵点连接线，和矩阵点标签。
矩阵点表示技术的具体状态，它可以表示不同类型的技术，比如社交媒体、电子商务、数据分析等。
这些矩阵点之间由虚线链接，用来表示技术流动性，即从一个技术到另一个技术的转换过程，比如从社交媒体到数据分析的转变。
矩阵点标签提供有关矩阵点的具体信息，包括技术的具体内容、受众群体、相关应用领域、时间段等。
雅格比矩阵在技术发展领域中发挥着重要的作用，它可以揭示技术的流动性、传播和社会影响力变化。
除此之外，它还可以帮助我们理解新技术的发展趋势。
将矩阵点与时间轴相关联，可以有效地发现技术发展的趋势，从而辅助决策者更好地利用技术，快速应对新技术的发展，推动组织的发展和转型。
综上所述，可以看出雅格比矩阵不仅可以对技术的社会影响力和流动性进行描述，而且还可以帮助我们更加深入地理解新技术的发展趋势，并有力地推动组织的发展和转型。
它是目前技术发展领域中非常重要的一种分析工具，因此，未来也将不断地受到更多关注和使用。
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雅可比矩阵(Jacobi方法)Jacobi 方法Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ = diag(λ1 ,λ2,…,λn) (3.1)其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。
即设A=(aij )n×n,Q交矩阵,记B=Q T AQ=(bij )n×n, 则Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。
反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 Vij(φ)是正交矩阵, 记注意到B=VijA的第i,j行元素以及的第i,j列元素为可得≠0，取φ使得则有如果aij对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。
可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。
设由式(3.4)可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。
2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。
计算过程如下1)令k=0, A(k) =A2) 求整数i,j, 使得3) 计算旋转矩阵4) 计算A(k+1)5) 计算6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值，Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T的各列为相应的特征向量；否则，k+1=>k返回2,重复上述过程。
例5 用Jacobi方法求矩阵的特征值和特征向量。
一般地，Jacobi法不能在有限步内将A化成对角阵，但有下面的定理。
定理3 设A为n阶使对称矩阵，对A用Jacobi法得到序列{A(k)}, 其中A(0) = A, 则证明由Jacobi法计算过程故有(3.5)另一方面，有计算A 的公式可以得到于是有, 代入式(3.5)得因为所以/zhanshi/shuzhifenxi/shuzhifenxi/4.3/szfx043.h tm雅可比矩阵以m个n元函数u i=u i(x1,x2,…,x n)(i=1,2,…,m)的偏导数(j=1,2,…,n)为元素的矩阵如果把原来的函数组看作由点x=(x1,x2,…,x n)到点u=(u1,u2,…,u m)的一个变换T,则在偏导数都连续的前提之下，u随x的变化由相应的微分方程组来描述。
这是一个关于微分的线性方程组，其系数矩阵便是雅可比矩阵(J)，因而可写成矩阵形式这隐含着(J)具有微分系数的某些性质,类似于一元函数的导数。
而在m=n=1的情形,它又恰好是一个一元函数的导数；所以它也是一个一元函数的导数到m个n 元函数的一种推广。
因此，(J)作为微分系数或导数的推广,有时也被当作变换T 的“导数”看待并记为T┡(x)=(J)。
变换T的进一步的数量描述需要雅可比行列式。
定义任给一个n维向量X，其范数‖X‖是一个满足下列三个条件的实数：（1）对于任意向量X，‖X‖≥0，且‖X‖＝0óX＝0;（2）对于任意实数λ及任意向量X，‖λX‖＝｜λ｜‖X‖；（3）对于任意向量X和Y，‖X＋Y‖≤‖X‖＋‖Y‖；对于这样的,叫雅克比矩阵定义。
雅克比矩阵证明关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的。
利用中值定理可知：(u+△u,v)-(u,v)=Mdu(u,v+△v)-(u,v)=Ndv这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。
当变化量很小时，我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv而其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式。
由此问题得证。
雅可比矩阵在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式成为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤəˈko bi ən]。
雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。
因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
雅可比矩阵定义：雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵，定义式如下：见所附jpg 图片。
例：MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。
syms r l fx=r*cos(l)*cos(f);y=r*cos(l)*sin(f);z=r*sin(l);J=jacobian([x;y;z],[r l f])结果：J = [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)] [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*c os(f)] [ sin(l),r*cos(l), 0 ]Hessian 矩阵就是一个多元实函数的二阶导数，设f=f(x1,x2..xn) 二阶导数（d^2f/d(xi)d(xj)）构成矩阵,在优化分析中常用到。
Jacobi矩阵就是一个多元矢量函数的一阶导数，如f=(f1(x1,x2..xn),...,fm(x1,x2..xn)),相应矩阵元素为d(fi)/d(xj)。
在稳定点附近的稳定性分析常用到它。
本质上说，以上两者是相关的Jacobi可以看作是一个多元实函数的梯度（一阶导数）的导数。
在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[jaˈko bi ən]或者[ʤəˈko bi ən]。
雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。
因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
假设F:R n→R m是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。
这个函数由m 个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵表示为：，或者这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置y(i=1,...,m)表示的i中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由J F(p)给出(这是如果p是Rn求该点导数最简便的方法)。
在此情况下，由(p)描述的线性算子即接近点p的FF的最优线性逼近，x逼近与p例子由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R× [0,π] × [0,2π] → R3此坐标变换的雅可比矩阵是R4的f函数:其雅可比矩阵为:此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。
在动力系统中考虑形为x' = F(x)的动力系统，F : R n→ R n。
如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点。
系统接近驻点时的表现通常可以从J F(x0)的特征值来决定。
雅可比行列式如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。
于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。
在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。
例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。
这称为反函数定理。
更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p 点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。
而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数F在p点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中。
例子设有函数F : R3→ R3，其分量为：则它的雅可比行列式为：从中我们可以看到，当x1和x2同号时，F的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在x1 = 0和x2= 0时以外。
参看海森矩阵Jacobi阵和Hessian阵可谓是用途广泛。
不仅是在优化问题中常用，在各种多元问题中一般都常遇到。
比如在求解非线性方程组时，两者会经常被使用。
关于它们的定义和用法，推荐参看李庆扬等写的《非线性方程组的数值解法》。
楼主可参看R.A.Horn的矩阵分析卷一雅可比矩阵雅可比矩阵定义：雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵，定义式如下：见所附jpg图片。
雅克比矩阵在有限单元法中指的是全局坐标对局部坐标的偏导数，我们在由节点位移求解节点应变的时候会碰到形函数对整体坐标的偏导问题，即求解B矩阵，由于形函数对整体坐标的偏导比较难求，我们可以先求形函数对局部坐标的偏导数，然后利用雅克比矩阵转化为形函数对整体坐标的偏导数。
雅克比矩阵其实质和泛函求导数中泛函中的变量对自变量的导数是一样的。
只不过一个是矩阵，一个数数值而已。
在空间问题8节点的线性单元中，雅克比矩阵是3*3得矩阵。
我们在计算过程中还经常用到雅克比行列式的值，它用来判断单元是否畸形，一般雅克比行列式为正，则说明单元形态较好，反之单元形态不好。
雅克比方法是解决线性方程组的一种迭代方法，当现行方程组的阶数较高时，用直接法解方程组时可能误差较大，就要采用迭代方法。
不过雅克比迭代不是一种很高效的迭代方法，高斯 -塞德尔迭代方法较其效率要高。
雅克比矩阵必然是n*n的矩阵，因为局部坐标和全局坐标之间的变量的数量永远是相同的在一般的应用过程中，局部坐标和整体坐标线性无关且数目相等，所以雅克比矩阵是方阵，并且行列式不恒为零。
但是，从纯数学的角度讲，如果允许广义坐标之间线性相关，那么雅克比矩阵可能不是方阵，即使是方阵，行列式也可能恒为零。
讨论Jacobi矩阵不能仅限于有限元。
应用数学上是这样定义的：设有n个变元的m个函数yi=fi(x1,x2,......,xn) (i=1,2,......,m)，A=D(y1,...,ym)/D(x1,...xn)称为上式的Jacobi矩阵。