讲义-数学-七年级上册-第12讲-几何图形与线

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七年级数学上册专题复习讲义第十二讲角的初步认识(二)(pdf)新人教版

第十三讲角的初步认识（二）一、知识精讲1.角的定义角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

2.角的大小比较（1）叠合法；（2）度量法3.余角和补角如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。

4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解析【例1】（2017洪山区期末）如图，点O位直线AB上一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE.（1）如图，若∠COF＝25°，则∠BOE=.若∠COF＝α，则∠BOE＝.（2）当射线OE绕点O旋转到如图所示的位置时其他条件不变①中的∠COF与∠B OE的数量关系是否仍然成立？请说明理由。

（3）如图3在（2）的条件下，在∠BOE的内部是否存在射线OD，使得∠BOD＝105°，且∠COF＝4∠DOE，若存在，求出∠AOC的度数，若不存在，请说明理由.【练1】如图l，已知∠AOC=m°，∠BOC=n°且m、n满足等式|3m－420|+(2n －40)=0，射线OP从OB处绕点0以4度／秒的速度逆时针旋转．（1）试求∠AOB的度数；54=∠+∠∠BOC DOE COE （2）如图l，当射线OP 从OB 处绕点O 开始逆时针旋转，同时射线OQ 从OA 处以l 度／秒的速度绕点O 顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ =10°？（3）（2012，青山区）如图2，若射线OD 为∠AOC 的平分线，当射线OP 从OB 处绕点O 开始逆时针旋转，同时射线OT 从射线OD 处以x 度／秒的速度绕点O 顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE 处（OE 在∠DOC 的内部）时，且试求x .【例2】（2017江汉区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.（1）将图1中的三角板点O旋转至图2所示位置，使OM恰好平分∠BOC，问：线段ON的反向延长线是否平分∠AOC？为什么？（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6度的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，ON恰好平分∠AOC，则t的值是.（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3所示位置，请探究：∠AOM与∠NOC之间有什么样的数量关系？并说明理由.【例3】（2017东西湖区期末）∠AOB＝80°，∠COD＝40°，OF为∠AOD的角平分线.（1）如图1，若∠COF＝10°，则∠BOD＝________；若∠COF＝m°，则∠BOD＝；猜想：∠BOD与∠COF的数量关系为_____________；（2）当∠COD绕点O按逆时针旋转至图2的位置时，(1)的数量关系是否仍然成立？请说明理由。

七年级(初一)数学-几何图形初步-线段、射线、直线讲义

内容基本要求略高要求较高要求线段、射线、直线会表示点、线段、射线、直线，知道它们之间的联系和区别；结合图形理解两点之间的距离的概念；会比较两条线段的大小，并能进行与线段有关的简单计算会用尺规作图：做一条线段等于已知线段，做已知线段的垂直平分线；会用线段中点的知识解决简单问题；结合图形认识线段间的数量关系会运用两点间的距离解决有关问题板块一基本概念直线、射线、线段的概念：① 在直线的基础上定义射线、线段：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点． ② 在线段的基础上定义直线、射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．点与直线的关系：点在直线上；点在直线外．两个重要公理：① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”． ② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．两点之间的距离：两点确定的线段的长度．⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：A ，B ，C ，D ，…… ⑵ 直线的表示方法：① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB ，如下图⑴也可以写作直线BA ．(1) (2)lA B② 用一个小写字母来表示，如直线l ，如上图⑵．注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序． ⑶ 射线的表示方法：① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA ，如图⑶，但不能写作射线AO ．② 用一个小写字母来表示，如射线l ，如图⑷．(3) (4)lAO注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．例题精讲中考要求线段、射线、直线⑷ 线段的表示方法：① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB ，如图⑸，也可以写作线段BA ．② 也可以用一个小写字母来表示：如线段l ，如图⑹．(5) (6)AB注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．中点：【例1】下列说法正确的是（）A. 直线上一点一旁的部分叫做射线B. 直线是射线的2倍C. 射线AB 与射线BA 是同一条射线D. 过两点P Q 、可画出两条射线【巩固】下列说法中正确的是（）A. 直线的一半是射线B. 延长线段AB 至C ，使BC ABC. 从北京到上海火车行驶的路程就是这两地的距离D. 三条直线两两相交，有三个交点【巩固】下面说法中错误的是( )A. 直线AB 和直线BA 是同一条直线B.射线AB 和射线BA是同一条射线 C. 线段AB 和线段BA 是同一条线段D.把线段AB 向两端无限延伸便得到直线BA【巩固】下列叙述正确的是（）A ．孙悟空在天上画一条十万八千里的直线B ．笔直的公路是一条直线C ．点A 一定在直线A B 上D ．过点A 、B 可以画两条不同的直线，分别为直线A B 和直线B A【例2】根据直线、射线、线段各自的性质，如下图，能够相交的是（）D.C.B.B AA.【巩固】下列四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（）C.B.A.【例3】下列叙述正确的是( )A．可以画一条长5cm的直线B．一根拉紧的线是一条直线C．直线AB经过C点D．直线AB与直线BA是不同的直线【例4】如图所示根据要求作图：⑴连结AB；⑵作射线AC；⑶作直线BC．ABC板块二点线问题公理：两点确定一条直线【例5】如图，图中共有条线段.ED FCA【巩固】平面上有三个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?【例6】平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?【巩固】已知平面上任意四点A、B、C、D过其中每两点画一条直线，最多可以画（）A．6条B．4条C．1条D．6条，4条或1条【例7】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？【例8】在一个圆上有6个点，它们之间可以连一些线段，那么至少连多少条线段，可以使得这6个点钟任意三点之间都至少有一条线段？请说明理由。

数学初一上册第十二章教学解析

数学初一上册第十二章教学解析本文旨在对初一上册数学第十二章的教学内容进行解析和讲解。

本章主要包括线段、角、多边形等几何图形的相关知识点。

下面将逐个进行详细解析。

一、线段线段是几何中最基本的概念之一，是由两个端点所确定的有限长度的直线部分。

线段的长度可以通过两个端点的坐标差来计算，即：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]。

二、角角是由两条射线共同形成的图形。

角的大小可以通过角度来衡量，常用的单位是度（°）。

根据角的大小可分为：钝角（大于90°）、直角（90°）、锐角（小于90°）。

在平面直角坐标系中，两条射线的端点可以表示为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则角的度数可以计算为：θ = arctan[(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)]。

三、多边形多边形是由直线边和角所组成的封闭图形。

根据边的数量，常见的多边形有三角形、四边形等。

根据角的大小，可以进一步分类为正多边形和不规则多边形。

四、直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90°）。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过直角边的长度计算得到，即：c = √(a² + b²)。

五、等腰三角形等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两条边的长度相等。

根据等腰三角形的性质，两底角（底边对应的两个角）相等，顶角等于180°减去两底角的和。

六、平行四边形平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，其中对边是平行且相等的。

根据平行四边形的性质，对角线互相平分，对角线的交点称为对角线的中点。

七、正方形正方形是一种具有特殊性质的四边形，它不仅是平行四边形，也是个菱形。

正方形的四条边相等且两两平行，四个角均为直角。

通过以上对数学初一上册第十二章的教学内容进行解析，我们对线段、角、多边形等几何图形的概念和性质有了更深入的了解。

七年级秋季班第12讲：丰富的图形世界教师版(2) (2)

现实世界就是图形的世界，任何事物都是占据一定空间而存在，呈现为立体图形，本章中，同学们通过动手折叠、切截，从不同方向看等等数学活动认识了直观的立体图形，进而实现了由立体图到平面图形的转向，培养和发展了我们的空间观念，下面用框架图概括本章内容．通过课本，我们首先认识了现实世界中的几何体，尤其是特殊几何体如：圆柱、棱球等等．并了解了图形的基本元素——点、线、面，在观察的基础上形成了“点动成线、线动成面、面动成体”的观念．《丰富的图形世界》知识结构内容分析生活中的立体图⎪⎭⎪⎬⎫从不同方向看切截展开与折叠平面图形联系建立立体图形与认识平面图形模块一：几何体的有关问题及展开知识精讲1．关于几何体的有关问题（1）在具体情境中认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征（2）常见几何体常见几何体有棱柱体、圆柱体、圆锥题、棱锥体、台体与球体（3）点、线、面在运动过程中与几何体的关系点动成线、线动成面、面动成体；体与体相交成面、面与面相交成线、线与线相交成点。

（4）与多边形有关的问题：多边形的概念和分类2．几何体的展开与折叠（1）棱柱的有关概念、特性、分类方法（2）棱柱体的底面与侧面形状问题（3）常见几何体的展开与折叠①棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②棱柱的表面展开图是由两个不同的圆形和一个长方形连成的；③圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．例题解析例1．下列图形中，都是柱体的一组是（）图1点拨：柱体包括圆柱体和棱柱体，现在棱柱体指直棱柱。

解：选C。

点评：直棱柱体的上下底面相同，侧面是长方形；棱锥的侧面是三角形；掌握好各类图形的特征，就能轻松辨认。

易错辨析：组合体在辨认时要注意是由哪几类体组合而成。

例2．如图2，是长方体和正方体的模型，请你认真观察，并比较它们的相同点和不同点。

七年级数学几何图形初步讲义

几何图形初步【知识梳理】一、几何图形1、立体图形：各部分（顶点，棱边）不都在同一个平面内。

2、平面图形：各部分（顶点，边长）都在同一个平面内。

3、展开图：立体图形表面剪开之后展开的平面图形。

4、不同方向观察立体图形：正面、左面、上面。

5、点、线、面、体的认识。

二、直线、射线、线段1、直线、射线、线段的区别和表示名称端点个数延伸情况长度表示方法直线 0 向两方无限延伸不确定，不可度量直线l 或直线AB 射线 1 一端固定，一端无限延伸不确定，不可度量射线l 或射线OA 线段2两段固定，不延伸确定，可以度量线段a 或线段AB方位角点、线、面、体立体图形从不同的方向看物体---三视图展开立体图形平面图形直线、射线、线段直线的性质线段的有关性质几何图形比较大小两点之间线段最短线段的中点角角的度量及分类角的比较与运算，角平分线余角和补角余角和补角的性质作图: (尺规)画一条线段等于已知线段画一个角等于已知角2、基本定理（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

（两点确定一条直线）（2）两点的所有线段中，线段最短，（两点之间线段最短）。

又称为两点之间的距离。

3、画一条线段等于已知线段（1）度量法（2）用尺规作图法 4、线段的大小比较方法（1）度量法（2）叠合法5、中点、三等分点、四等分点：将线段分别分成相等的2、3、4段。

三、角1、角：由有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法（3种）：.1∠∠∠、、αAOB3、角的度量单位及换算：度（°）、分（′）、秒（″） 1°=60′；1′=60″。

1周角=360°；1平角=180°；4、角的分类∠β 锐角（小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°）、平角（等于180）周角范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° 5、角的比较方法（1）度量法（2）叠合法6、角的和、差、倍、分7、画一个角等于已知角（1）确定公共顶点和一条边（2）借助量角器能画出给定度数的角. 8、角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.9、余角和补角（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.【例题精讲】1. 常见几何体例1：将下列图形绕其一边所在的直线旋转一周能得到圆柱的几何体是（）。

【北师大】七年级上册数学第12讲平面图形的应用讲义(含答案)

教师讲义四、典型例题〔一〕、七巧板1、如下图的七巧板中，三角形有_________块，正方形有_________块，45°角的有_________个，90°的角有_________个，135°的角有_________个．2、如图，答复以下问题：〔1〕G是线段_________中点，O既是线段_________的中点，又是线段_________的中点，E，F，H，K 分别是线段_________，_________，_________，_________的中点．〔2〕图中，EK_________BK，EK_________AG，HG_________AB〔填“⊥〞或“∥〞〕3、在一副七巧板中，有_________个锐角，_________个直角，_________个钝角．4、假设七巧板中，小正方形的面积为2cm2，那么制作该七巧板的原正方形的面积是_________cm2．5、如图，用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅〞图案，其中阴影局部的面积为_________．同步练习1、如图，有一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：作图①，作对角线AC，分别取AB，BC中点E，F，连接EF作DG⊥EF于G，交AC于H，过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K，将正方形ABCD沿画出的线剪开，现由它拼出一座桥〔如图②〕，这座桥的阴影局部的面积是〔〕A、8B、6C、5D、4典型例题〔二〕单元综合1、如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠DOF、∠BOF的度数．2、在图中，〔1〕分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来．〔2〕找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来．3、如图，∠AOB=∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．4、线段AB=8cm，答复以下问题：〔1〕是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm，为什么？〔2〕是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？同步练习1、一个钝角与一个锐角的差是〔〕A、锐角B、钝角C、直角D、不能确定2、以下各直线的表示法中，正确的选项是〔〕A、直线AB、直线ABC、直线abD、直线Ab3、以下说法中，正确的有〔〕①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④假设AB=BC，那么点B是线段AC的中点．A、1个B、2个C、3个D、4个4、以下说法中正确的个数为〔〕①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；②平面内经过一点有且只有一条直线与直线垂直；③经过一点有且只有一条直线与直线平行；④平行同一直线的两直线平行．A、1个B、2个C、3个D、4个5、图中有_________条线段，分别表示为_________．6、钟表上8点30分时，时针与分针所夹的锐角是_________度．7、线段AB，延长AB到C，使BC=AB，D为AC的中点，假设AB=9cm，那么DC的长为_________．8、如图，点D在直线AB上，当∠1=∠2时，CD与AB的位置关系是_________．9、如下图，射线OA的方向是北偏东_________度．10、如图，∠AOB内有一点P，过点P画MN∥OB交OA于C，过点P画PD⊥OA，垂足为D，并量出点P到OA距离．11、如图点C为AB上一点，AC=12cm，CB=AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．五、课堂练习1.以下图中表示∠ABC的图是〔〕A、B、C、 D、2.如图，从A到B最短的路线是〔〕A、A⇒G⇒E⇒BB、A⇒C⇒E⇒BC、A⇒D⇒G⇒E⇒BD、A⇒F⇒E⇒B3.，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC=2：3，那么∠BOC的度数为〔〕A、30°B、150°C、30°或150°D、90°、4.在同一平面内，三条直线的交点个数不能是〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个5.如图，与OH相等的线段有〔〕A、8B、7C、6D、46.以下说法正确的选项是〔〕〔A〕过一点能作直线的一条平行线〔B〕过一点能作直线的一条垂线〔C〕射线AB的端点是A和B 〔D〕点可以用一个大写字母表示，也可用小写字母表示7.以下4 种说法中，正确的有〔〕〔1〕一根绳子，不用任何工具，可以找到它的中点，〔2〕用圆规可把一个圆六等分，〔3〕用圆规可把一个圆三等分〔4〕画在透明纸上的一个角，不用任何工具，可以找到它的角平分线，图1CNM BA图2CBAH GFEDCBA〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个8.如图，与CD既不平行，又不相交的棱有〔〕〔A〕４条〔B〕３条〔C〕２条〔D〕１条9.探照灯发出的光线可近似看作：；两根长长的铁轨可近似看作：；跳远时测量成绩，尺子所在直线与起跳线必须；10.七〔１〕班的同学用二个图钉就把刚获得的校田径运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上了，请你用本章的一个知识来说明这样做的道理：；11.如图1，AB的长为m，OC的长为n，MN分别是AB，BC的中点，那么MN =_____；12.如图2，用“＞〞、“＜〞或“＝〞连接以下各式，并说明理由．AB＋BC_____AC，AC＋BC_____AB，BC_____AB＋AC，理由是______ ___；13.计算：48°39′+67°41′=_________；90°－78°19′40″=___________；21°17′×5=_______；176°52′÷3=_________(精确到分)；14.将一张正方形的纸片，按如下图对折两次，相邻两条折痕〔虚线〕间的夹角为_________度．15.如图，B、C两点在线段AD上，〔1〕BD=BC+_________；AD=AC+BD﹣_________；〔2〕如果CD=4cm，BD=7cm，B是AC的中点，那么AB的长为_________cm．16.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，假设得∠AOB′=70°，那么∠B′OG的度数为_________．六、课堂小结ABCDE七、课后作业一．填空题：〔1.如图中，∠AOB=180°，∠AOC=90°，∠DOE=90°，那么图中相等的角有＿对，分别为_______________；两个角的和为90°的角有___________对；两个角的和为180°的角有________对；2.平面上两条直线的位置关系只有两种，即__________和_________________；3.平面面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有___条；4.面上有五条直线，那么这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点．5.在无风的情况下，一重物从高处落入池塘，它的运动路线与水面的位置关系是，在阳光下，站在操场上的学生与他影子的位置关系是；二．选择题6.线段AB = 6厘米，在直线AB 上画线段AC=2厘米，那么BC 的长是〔〕〔A 〕 8厘米〔B 〕 4厘米〔C 〕 8厘米或4厘米〔D 〕不能确定7.以下推理中，错误的选项是〔〕〔A 〕在m 、n 、p 三个量中，如果n m =, p n =，那么p m =；〔B 〕∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角中，如果∠A=∠B ，∠C=∠D ，∠A=∠D ，那么∠B=∠C ；〔C 〕a 、b 、c 是同一平面内的三条直线，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；〔D 〕a 、b 、c 是同一平面内的三条直线，如果a 丄b ，b 丄c ，那么a 丄c ；8.甲、乙、丙、丁四个学生判断时钟的分针与时针互相垂直时，他们每个人都说了两个时间，说对的是〔〕〔A 〕甲说3点时和3点30分〔B 〕乙说6点15分和6点45分〔C 〕丙说9时整和１２时１５分〔D 〕丁说3时整和9时整9.如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东60°的是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕10.一个人从A 点出发向北偏东60°的方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 的度数是〔〕〔A 〕75° 〔B 〕105° 〔C 〕45° 〔D 〕 135°11. 同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是〔〕OE DCBAEFEDCB A18.如下图，OA 丄OB ，OC 丄OD ，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE=17°18′，求∠AOC 的度数19.如图，将书角斜折过去，直角顶点A 落在F 处 , BC 为折痕，∠FBD = ∠DBE, 求∠CBD的度数. 附答案典型例题〔一〕七巧板1、三角形有5块；正方形有1块；45°角的有12个；90°的角有12个；135°的角2个．2、〔1〕G 是线段 EF 中点，O 既是线段 BD 的中点，又是线段 KH 的中点，E ，F ，H ，K 分别是线段 BC ，DC ，OD ，BO 的中点；〔2〕图中，EK ⊥BK ，EK ∥AG ，HG ∥AB ．故答案为：EF ，BD ，KH ，BC ，DC ，OD ，BO ；⊥，∥，∥． 3、解：七巧板如下图：根据图示可知，在一副七巧板中，有12个锐角，13个直角，5个钝角． 4、解：S 小=2cm 2所以小正方形边长为：cm最大三角形直角边为：2cm最大三角形斜边为：4 cm即为大正方形边长所以原正方形的面积为42=16cm2．故答案为16．5、解：如图，阴影局部面积是正方形的面积减去，A，B，C局部的面积，A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的，所以，阴影局部面积=1﹣﹣=．故答案为．同步练习 D〔二〕、单元综合1、解：如图，∵∠COE=35°，∴∠DOF=∠COE=35°，∵AB⊥CD，∴∠BOD=90°，∴∠BOF=∠BOD+∠DOF，=90°+35°=125°．2、解：〔1〕答案不唯一，如：AD∥LF，AD∥JG，AJ∥DG；AD⊥DG，AD⊥AJ，AJ⊥JG；〔2〕答案不唯一，如：锐角∠MNO、直角∠DAJ、钝角∠LOG．3、解：设∠AOB=x°，由题意3x+3x+2x+x=360，解之可得x=40，即∠AOB=40°，又因为∠COD=3∠AOB，即∠COD=120°．故答案为40°、120°．4、解：〔1〕①当点C在线段AB上时，AC+BC=8，故此假设不成立；②当点C在线段AB外时，由三角形的构成条件得AC+BC＞AB，故此假设不成立；所以不存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm．〔2〕由〔1〕可知，当点C在AB上，AC+BC=8，所以存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，线段是由点组成的，故这样的点有无数个．同步练习1.D2.B3.B4.C5、解：图中共有6条线段，分别表示为AD、AC、AB、DC、DB、CB．6、解：8点30分，时针和分针中间相差个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°=75°．7、解∵BC=AB，AB=9cm，∴BC=3cm，AC=AB+BC=12cm，又因为D为AC的中点，所以DC=AC=6cm．故答案为：6cm．8、解：∵∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°．故答案为：CD⊥AB．9、解：根据方向角的概念，射线OA表示的方向是北偏东60°．10、解：根据题意，如以下图所示，〔量PD的长度，请学生自己动手操作．〕11、解：根据题意，AC=12cm，CB=AC，所以CB=8cm，所以AB=AC+CB=20cm，又D、E分别为AC、AB的中点，所以DE=AE﹣AD=〔AB﹣AC〕=4cm．即DE=4cm．故答案为4cm．课堂练习1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A9.射线、平行线、互相垂直；10.两点确定一条直线；4321F E D C BA 11.)(21n m +；12.> > < ，两点之间线段最短； 13.⑴116°20′ ⑵11°40′20″；⑶106°25′；⑷58°57′；14、解：根据题意可得相邻两条折痕〔虚线〕间的夹角为度．15、解：〔1〕由图可知：BD=BC+CD ，AD=AC+BD ﹣CB ；〔2〕如果CD=4cm ，BD=7cm ，B 是AC 的中点，那么BC=BD ﹣CD=7﹣4=3cm ，∴AC=2BC=6cm ，∴AB=BC=3cm ，故答案为：3cm ．16、解：根据轴对称的性质得：∠B′OG=∠BOG又∠AOB′=70°，可得∠B′OG+∠BOG=110°∴∠B′OG=×110°=55°．课后作业一、填空题1.3 ∠AOC=∠BOC ， ∠BOC=∠DOE ，∠DOE=∠AOC 4， 3；2.相交平行；3.12 ；4.10 0 ；5.垂直，垂直；二、选择题6.C ；7.D ； 18.D ；9.B ； 10.C ； 11.C ； 12.D ； 13.B ；14.D ；三．解答题15、16．略17．∠1=∠2+∠3 18、145°24′19．如图，∠ABE 是一个平角，∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =︒180，又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4， ∴2〔∠2 +∠3〕=︒180，∴∠2 +∠3 =︒90即∠CBD =︒90；。

七年级数学上册第四章几何图形初步认识4.2直线、射线、线段第2课时(图文详解)

1 2
CB=2cm,
DE=DC+CE=2cm+2cm=4cm.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
5.如图所示,点B,C在线段AD上.（1）图中以A为端点的
线段有哪些？以B为端点的线段有哪些？
A
B
C
D
解:以A为端点的线段有:线段AB,线段AC,线段AD.以B为端点的线段有:线段BA,线段BC,线段BD.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
如图所示，要从甲地到乙地去，有３条路线，请你选择一条相对近一些的路线.
① ②
乙地
③
甲地
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
从甲地到乙地能否修一条最近的路？如果能，你认为这条路应该怎样修？
①
②
乙地
③
甲地
生活常识告诉我们：结论：两点之间的所有连线中，线段最短. 定义：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
（
）
(2)手电筒照在墙上，从灯泡到墙上的光线是射线.
（
）
(3)线段是直线的一部分.
（
）
(4)直线比射线长.
（
）
(5)在射线上可以截取2厘米长的线段. （
）
(6)过一个点只可以画一条射线.
(
）
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
2.某班的同学在操场上站成笔直的一排，确定两个同学的位置,这一排的位置就确定下来了，这是因为 ___经__过__两__点_有__且__只__有__一__条__直__线________.
A
B
C
在所画图中,我们把点B叫做线段AC的中点
如果点B为线段AC的中点,
1

人教版七年级数学上册培优讲义《第12讲平行线的判定及性质》

12平行线的判定及性质知识目标目标一熟练掌握平行线三个判定方法，学会证明题的步骤书写格式目标二熟练掌握平行线三个性质，理解区分平行线的判定和性质目标三灵活运用平行线的判定和性质解平行线的综合题模块一平行线的判定知识导航根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行．这就需要更简单易行的判定方法来判定两条直线平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．4321C DBA如上图：若已知∠1＝∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1＝∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1＋∠4＝180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．例1（1）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）．A．两直线平行，同位角相等；B．内错角相等，两直线平行；C．同旁内角互补，两直线平行；D．同位角相等，两直线平行．（2）如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D＝∠DCE；⑤∠A＋∠ABD＝180°；⑥∠A＋∠ACD＝180°⑦AB＝CD．能说明AC∥BD的条件有__________________．练（1）如图，下列说法正确的有__________________．① 由∠1＝∠2，得AB∥CD；② 由∠5＝∠6，∠3＝∠4，得AB∥CD；③ 由∠1＋∠3＝∠2＋∠4，得AE∥CH；④ 由∠SAF＝∠SCG，得AF∥CG．（2）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）．A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°742136FEBGHDA CS例2如图，已知∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，求证：AB ∥EF ．4321ABC D EF HGN M证明：∵∠1＝∠2，（）∴AB ∥______．（_______________，__________________） ∵∠3＋∠4＝180°，（）∴CD ∥_______，（_______________，__________________） ∵AB ∥_______，CD ∥_______，（）∴AB ______EF ．（_______________ __________________）练如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∠CAE ＝∠DBF ，求证：AE ∥BF ．证明：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，（）∴∠CAB ＝90°，∠______＝90°，（）∴∠CAB ＝∠______，（）∵∠CAE ＝∠DBF ，（） ∴∠BAE ＝∠______，（）∴_____∥_____．（_______________，__________________）例3（1）如图，∠1＝∠2，∠CNF＝∠BME，证明：AB∥CD，MP∥NQ．（2）如图，∠1＝∠A，∠2与∠B互余，AC⊥BC．求证：AC∥DE，AB∥CD．21FCG DEA B（3）如图，∠B＝102°，∠DEF＝70°，求证：AB∥CD．AC DFEB（4）如图，∠A＋∠B＝180°，∠EFC＝∠DCG，求证：AD∥EF．练如图，FE⊥CD于点E，∠FEH＝64°，∠HGB＝26°，求证：AB∥CD．FA G BEHC D模块二平行线的性质知识导航利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如图已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的关系．这就是平行线的性质．性质1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两直线平行，同旁内角互补例4（1）如图，已知AB∥CD，∠1＝70°，∠2＝40°，求∠3的度数．321A BCFEMGDN（2）如图，已知AB∥CD，∠1＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，求∠2的度数．（3）如图，已知BC∥AD，CA平分∠BCD，∠1＝35°，求∠D的度数．321DCBA练如图，已知AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC＝32°，求∠CAB的度数．总结归纳平行线的判定是已知同位角、内错角、或同旁内角的数量关系，来判定两直线平行．平行线的性质是已知两直线平行，从而得到同位角、内错角、同旁内角的数量关系．“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”这两个依据，前后顺序不同，含义也不一样，一个是判定平行，一个是得到角相等，二者不要弄混．模块三平行线的判定与性质综合知识导航一般，题目会综合考查平行线的判定和性质，例如，可以先由题目中某些角相等或互补的条件，得到两条线相互平行（判定）；再由此平行线推出其它的同位角、内错角相等或同旁内角互补（性质），从而得到新的角度关系．熟练掌握、灵活运用平行线的判定和性质，是解平行线导角以及证明类题型的关键．例5（2013外校七上期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠1＋∠FEA＝180°．求证：∠CDG＝∠B．练如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．21ECBAGDFH例6（2013开珞路七上期末）如图，点E在直线BC上，直线AE交CD于F，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．练（2013二中七上期末）如图，已知∠1与∠2互补，∠3＝∠B，求证：∠AFE＝∠ACB．例7如图，AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ．（1）若∠ABC ＝40°，∠CDE ＝30°，求∠BFD ；（2）求∠C 和∠F 的关系．BCAEF D练如图，AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，若∠ABC ＝140°，∠CD 3＝130°，分别求出∠C 和∠F 的度数．第12讲平行线的判定及性质1.下列说法错误的有__________________．①不相交的两条直线是平行线．② 两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．③ 三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a∥c；同理：若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．④ 已知∠α的两边与∠β的两边平行，若∠α＝48°，则∠β＝48°．⑤ 若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF．理由是等量代换．⑥ 有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．⑦ 同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．2.如右图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠B＝60°，∠EDA＝50°，则∠CDO＝_______．3.如图，已知AB∥CD，CM平分∠BCD，∠B＝74°，CM⊥CN，则∠NCE的度数是_________．4.如图，∠1＝∠A，∠2与∠B互余，DE⊥BC于点F，求证AB∥CD．21FCG DEA B[课后作业]5.如图，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC交BC于点E，EF∥CD交AB于点F．求证：EF平分∠BED．54321ADCB EF6.如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠GFH＋∠BHC＝180°，求证：∠1＝∠2．7.（2014洪山区七下期中）如图，点E在AB上，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC延长线上，CE平分∠ACB，交BD于O，且∠F＝∠G，∠EOD＋∠OBF＝180°，DG和CE 平行吗？请说明理由．8.（2013硚口区七下期中）如图，MG是∠BME的平分线，NH是∠CNF的平分线，且∠BME＝∠CNF．求证①AB∥CD；②MG∥NH．挑战压轴题（2013江岸区七上期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC－4∠AOF＝2∠BOE＋∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．。

人教版七年级(上)数学讲义第四章几何图形初步角的概念与大小比较 (含解析)

第12讲角的概念与大小比较知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初一，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习角的概念与大小比较，掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；能借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.知识梳理讲解用时：15分钟角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．角的理解(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．1.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．2.角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.角度的换算(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同； (2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′， 1′＝60″；①由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″⎝ ⎛⎭⎪⎫＝160′，1′⎝ ⎛⎭⎪⎫＝160°，用除法．注意：度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．1.角的比较：（1）度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．（2）叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．技巧角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．2.角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，①AOB与①BOC的和是①AOC，表示为①AOB＋①BOC＝①AOC；①AOC与①BOC的差为①AOB，表示为①AOC－①BOC＝①AOB.①代数意义：如已知①A＝23°17′，①B＝40°50′，①A＋①B就可以像代数加减法一样计算，即①A＋①B＝23°17′＋40°50′＝64°7′，①B－①A＝40°50′－23°17′＝17°33′.3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC是①AOB的平分线，则有①1＝①2＝12①AOB或①AOB＝2①1＝2①2.角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．课堂精讲精练【例题1】（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；【答案】（1）3；（2）6；（3）10．【解析】解：（1）在①AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在①AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在①AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10．讲解用时：5分钟解题思路：根据角的概念，结合图形，即可数出角的个数．教学建议：考查了角的有关概念的应用难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习1.1】如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠AOC也可用∠O来表示【答案】D．【解析】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．教学建议：本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题2】(1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．【答案】（1）70°13′48″；(2)26.81°.【解析】解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝')601(×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝︒⎪⎭⎫ ⎝⎛601×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.讲解用时：6分钟解题思路：：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用')601(乘以36. 教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习2.1】若∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°，则（）A ．∠A ＞∠B ＞∠C B ．∠B ＞∠A ＞∠CC ．∠A ＞∠C ＞∠BD ．∠C ＞∠A ＞∠B【答案】A ．【解析】解：∵∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°=20°15′，∴∠A＞∠B＞∠C．故选A．讲解用时：5分钟解题思路：∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．教学建议：两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习2.2】3.76°=度分秒；22°32′24″=度．【答案】3、45、36、22.54．【解析】解：3.76°=3度45分36秒；22°32′24″=22.54度．故填3、45、36、22.54．讲解用时：5分钟解题思路：此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制．教学建议：进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无计算：18°13′×5﹣49°28′52″÷4【答案】78°42′47′′【解析】解：原式=90°65′﹣48°88′52′′÷4=90°65′﹣12°22′13′′=78°42′47′′讲解用时：6分钟解题思路：根据度分秒的除法，从大的单位算起，余数乘以进率化成小的单位再除，可得答案．教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习3.1】计算：77°53′26″+33.3°=．【答案】111°11′26″．【解析】解：77°53′26″+33.3°=77°53′26″+33°18′=110°71′26″=111°11′26″．故答案为：111°11′26″．讲解用时：5分钟解题思路：先将33.3°转化为33°18′，然后度与度、分与分、秒和秒对应相加，秒的结果满60转化为分，分的结果满60转化为度．教学建议：度分秒的换算，注意以60为进制难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？【答案】28个；一般方法为：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．【解析】解：7+6+5+4+3+2+1==28，一般地如果MOG小于180，且图中一共有n条射线，则小于180°的角一共有：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．讲解用时：5分钟解题思路：先根据题意算出以O为顶点且小于180°的角一共有7+6+5+4+3+2+1=28个，然后根据第一问的解法得出一般方法为：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．教学建议：考查角的大小比较，结合图找出符合条件的角，从而推出解这类问题的一般方法．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图所示，其中最大的角是，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是．【答案】∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．【解析】解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．讲解用时：5分钟解题思路：根据图形，结合角的概念与大小比较的方法：度量法和覆盖法，即可得出结论．教学建议：熟悉角的大小比较的两种方法：度量法和覆盖法．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题5】如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（）A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD【答案】C．【解析】解：A、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠DOE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=60°．故本选项叙述错误；B、∵OD是∠AOC的角平分线，∴∠AOD=∠AOC．又∵OC是∠AOB内部任意一条射线，∴∠AOC=∠EOC不一定成立．故本选项叙述错误；C、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠BOE+∠AOD=∠EOC+∠DOC=∠DOE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=60°．故本选项叙述正确；D、∵OC是∠AOB内部任意一条射线，∴∠BOE=∠AOC不一定成立，∴∠BOE=2∠COD不一定成立．故本选项叙述错误；故选：C．讲解用时：5分钟解题思路：本题是对角的平分线的性质的考查，角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．教学建议：根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习5.1】如图，下列条件中不能确定的是OC是∠AOB的平分线的是①．∠AOC=∠BOC②．∠AOB=2∠AOC③．∠AOC+∠BOC=∠AOB④．【答案】①②④．【解析】解：①、∠AOC=∠BOC能确定OC平分∠AOB，正确；②、∠AOB=2∠AOC能确定OC平分∠AOB，正确；③、∠AOC+∠COB=∠AOB不能确定OC平分∠AOB，错误；④、∠BOC=∠AOB，能确定OC平分∠AOB，错误．故正确答案为：①②④．讲解用时：8分钟解题思路：直接利用角平分线的性质分别分析得出答案．教学建议: 正确把握角平分线的定义是解题关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题6】已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，求∠MON 的大小【答案】20°或40°．【解析】解：∠BOC在∠AOB内部∵∠AOB=60°，其角平分线为OM∴∠MOB=30°∵∠BOC=20°，其角平分线为ON∴∠BON=10°∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°；∠BOC在∠AOB外部∵∠AOB=60°，其角平分线为OM∴∠MOB=30°∵∠BOC=20°，其角平分线为ON∴∠BON=10°∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°．讲解用时：10分钟解题思路：根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部．教学建议：考查平分线的性质，注意引导学生分类讨论难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习6.1】已知∠AOB=70°，∠BOC=20°，OE为∠AOB的平分线，OF为∠BOC的平分线，则∠EOF=．【答案】25°或45°．【解析】解：（1）当点C在∠AOB的内部时，∠EOF=∠AOB﹣∠BOC=35°﹣10°=25°；（2）当点C在∠AOB的外部时，∠EOF=∠AOB+∠BOC=35°+10°=45°．故答案为25°或45°．讲解用时：5分钟解题思路：此题分点C在∠AOB的内部和外部两种情况讨论．教学建议：查角平分线的定义，重点是分类讨论．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数．【答案】28°．【解析】解：设∠AOB=x，∠BOC=2x．则∠AOC=3x．又OD平分∠AOC，∴∠AOD=x．∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=x﹣x=14°∴x=28°即∠AOB=28°．讲解用时：5分钟解题思路：此题可以设∠AOB=x，∠BOC=2x，再进一步表示∠AOC=3x，根据角平分线的概念表示∠AOD，最后根据已知角的度数列方程即可计算．教学建议：考查角平分线的定义．此类题设恰当的未知数，根据已知条件进一步表示出相关的角，列方程计算．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，已知O是直线AB上一点，∠1=20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是度．【答案】80【解析】解：如图，∵∠1=20°，∠1+∠BOC=180°，∴∠BOC=160°．又∵OD平分∠BOC，∴∠2=∠BOC=80°；故填：80．讲解用时：6分钟解题思路：首先根据平角角的定义得到∠BOC=160°；然后由角平分线的定义求得∠2=∠BOC．教学建议：注意此题中隐含着已知条件：∠1+∠BOC=180°．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD=4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM=20°，求∠AOD和∠MOC．【答案】∠AOD=120°，∠MOC=30°．【解析】解：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，∴∠AOD=12x，∵OM平分∠AOD，∴∠AOM=∠AOD=6x，由题意得，6x﹣4x=20°，解得，x=10°，∴∠AOD=12x=120°，∠BOC=5x=50°，∴∠MOC=∠BOC﹣∠BOM=30°．讲解用时：8分钟解题思路：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，得到∠AOD=12x，根据角平分线的定义得到∠AOM=∠AOD=6x，根据题意列出方程，解方程即可．教学建议：掌握设未知数求解角度的方法，可类比应用题的求解方式.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？【答案】50度【解析】解：设∠COD的度数为x，∵OD是∠COE的平分线，∴∠EOC=2∠COD=2x，∵∠BOC比∠COD的2倍还多10°，∴∠BOC=2x+10°，∵OB是∠AOC的平分线，∴∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠BOC=4x+20°，∵∠AOE=140°，∴2x+4x+20°=140°，解得x=20°，∴∠BOC=2x+10°=50°∴∠AOB是50度．讲解用时：8分钟解题思路：设∠COD的度数为x，则∠BOC=2x+10°，利用角平分线定义得到∠EOC=2∠COD=2x，∠BOC=2x+10°，再利用OB是∠AOC的平分线得到∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠BOC=4x+20°，所以2x+4x+20°=140°，解得x=20°，然后计算2x+10°即可．教学建议:理解角平分线的定义：灵活应用角平分线的定义进行角度的计算．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无课后作业【作业1】如图，点D在∠AOB的内部，点E在∠AOB的外部，点F在射线OA上，试比较下列各角的大小．（1）∠AOB∠BOD；（2）∠AOE∠AOB；（3）∠BOD∠FOB；（4）∠AOB∠FOB；（5）∠DOE∠BOD．【答案】（1）＞；（2）＞；（3）＜；（4）=；（5）＞．【解析】解：（1）∠AOB＞∠BOD；（2）∠AOE＞∠AOB；（3）∠BOD＜∠FOB；（4）∠AOB=∠FOB；（5）∠DOE＞∠BOD．讲解用时：2分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无A BC D O 【作业2】如图，已知AOB DOC ∠=∠，56AOC ∠=︒，DOB ∠=______．【答案】56°．【解析】解：由题可知：56DOB DOC COB AOB COB AOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业3】如图所示，已知点O 在直线AB 上，∠AOE ：∠EOD=1：3，OC 是∠BOD 的平分线，∠EOC=115°，求∠AOE 和∠BOC ．【答案】①AOE=25°，①BOC=40°．【解析】解：∵∠AOE：∠EOD=1：3，∴设∠AOE=x，则∠EOD=3x，又∵∠EOC=115°，∴∠COD=115°﹣3x，∵OC是∠BOD的平分线，∴∠COB=∠COD=115°﹣3x，又∵点O在直线AB上，∴∠AOE+∠EOD+∠COD+∠COB=180°，∴x+3x+2（115﹣3x）=180°，解得，x=25°，∴∠AOE=25°，∴∠BOC=115°﹣3×25°=40°．讲解用时：8分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无。

七年级数学上册第四章几何图形初步认识4.2直线、射线、线段第1课时(图文详解)

人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
按下列语句画出图形. （1）直线EF经过点C
E
C
F
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
（2）经过点O的三条线段a,b,c
c
a
o b
a c
b
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
（3）看图说话点A在直线 l 外
A
l
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
ห้องสมุดไป่ตู้
3.如图所示, （1）过点A可以画几条直线？（2）过点A、B可以画几条直线？（3）过点A、B、C可以画几条直线？
答案:（1）无数条（2）一条
B A
（3）0条
C
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
1.如图所示，下列说法正确的是A（） (A)直线OM与直线MN是同一直线 (B)射线MO与射线MN是同一射线 (C)射线OM与射线MN是同一射线 (D)射线NO与射线MO是同一射线
a
O
A
射线0A 或射线 a
射线0A和射线AO是同一射线吗？
A
O
射线AO
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
CAB D
射线AC与射线AB 是同一射线吗？射线AB与射线AD 呢？
怎样判断两条射线是同一射线呢？
必须具备的条件
端点相同延伸方向相同
画一画：画一条射线BE
B
E
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射
线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….则“17”在射线
上；“2007”在射线

七年级数学几何图形的初步认识知识点(K12教育文档)

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第二章几何图形的初步认识2.1从生活中认识几何图形知识点：一、认识几何图形几何图形二、几何图形的构成1、面与面相交成＿＿＿,线与线相交成＿＿＿。

2、点动成＿＿＿，＿＿＿动成面，面动成＿＿＿.3、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿是构成几何图形的基本要素，体是由＿＿＿围成的.4、面有＿＿＿面和＿＿＿面，线有＿＿＿线和＿＿＿线。

引申探讨：n 棱柱有几个顶点、几条棱、几个面2。

2 点和线知识点：1、点的表示： A B 用一个大写的字母,例如:点A、点B2、线段的表示：方法一：用表示端点的两个大写字母（没有次序). 例如：线段AB、线段BA。

方法二:用一个小写字母。

例如线段a。

3、射线的表示：用表示端点的大写字母和其余任一点的字母(表示端点的大写字母必须写在前). 例如：射线AB4、直线的表示：方法一 :用表示任两点的两个大写字母（没有次序). 例如：直线AB、直线BA.方法二:用一个小写字母.例如直线a.5、线段、射线、直线的比较:6、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简记为：两点确定一条直线）7、点与直线的位置关系：点在直线上（直线经过点);点在直线外（直线不经过点）引申探讨：1、一条直线上有n个点，会有几条线段?2、握手问题、票价问题、车票问题.2。

初一数学讲义

第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为，取得最小值时x 的取值范围为 . （4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为四、小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

七年级数学上册专题复习讲义第十二讲角的初步认识新人

第十二讲角的初步认识（一）一、知识精讲1.角的定义角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

2.角的大小比较（1）叠合法；（2）度量法3.余角和补角如果两个角的和是90° ,那么称这两个角互为余角。

如果两个角的和是180° ,那么称这两个角互为补角。

4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解析【例1】（2017汉阳区期末）如图，在锐角/ XB内部，画1条射线，可得射线，可得6个锐角，画3条射线，可得10个锐角，……，按此规律，画可得锐角个.【练1】如图，在/ 图内部引出两条射线C D则图中小于平角的角共有A.3 B.4 C.5 D.6【练2】在/O内部从O点引出n条射线，图中小于平角的角共有多少4/3个锐角画2条9条不同射线，B B B【练3】从O点引出n条射线，图中小于平角的角共有多少个?【例2】（2017武昌区期末）一个角的余角比它的补角的1大150求这4个角的度数.【练4】18° ,则/ A.54°【练5】(A.3 若/ AOB和/ BOC互为邻补角，且/ AOB比/ BOC大AOB如图,）对的度数是（B.81 °C.99°D162°。

是直线居上一点，OC, OD, OE是三条射线，则图中互补的角共有B.3C.4D.5【例3】（2017东湖开发区）如图，直线AB、CD相交于点平分/ BOC, Z 1 : 72=7 ： 1,求/ BOD 和/ AON 的度数.0, OM 平分/ BOD, OND【例4】(2017江岸区期末)如图，在同一平面内，皿⑥于O射线OM平分/ AB从点O引射线OC射线N平分/ BC(1)若/ BC= 30° ,请你补全图形，再计算/ MN的度数(2)若O与(B不垂直，/ AOB= a , Z BOC= 3 ( 0< 3 < a < 90° )变，请你画出大致图形，并直接写出MN的度数(3)结合上面的计算，观察并继续思考：在同一平面内，/ AO-a,分/ AOB, ON平分/ BOC,你发现/ MON与/ AOC有怎样的数量出来.【例5】(2017东湖开发区期末)8时30分，钟的时针与分针成(角. A.75° B.90° 0.105° D.120 °【练6】2点30分时，时钟与分钟所成的角为度.【例6】（2017江汉区期末）如图，直线SN与直线WE相交于点O,射线O N 表示正北方向，射线O E表示正东方向.已知射线O B的方向是南偏东m ,射线OC的方向是北偏东n° ,且m°的角与n °的角互余.其它条件不/ BOC= 3 , OM 平关系？请你直接写（1 ）①若 m = 60 ,则射线 O C 的方向是 .②请直接写出图中所有与BOE 互余的角及与 BOE 互补的角；（2）若射线O 是/BOJ 的角平分线，求/ AOC 的度数（用含有 m 的式子表示）三、课堂检测1. （2017黄陂区期末）如图，已知 OD 平分/ AOB, OE 平分/ BOD,若 AOC 3BOC 虹 COE 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 3' ------ 2” ----- :2 3 5 22. （2017 洪山区期末）如图， O 为直线 AB 上一点，/ DOC= 90° , OE 平分/ AOC OF 平分/ BOC.北N 阳东南（1）图中与/ COF 互余的角有 ,与/ COF 互补的角有（2）如若5 EOD AOE , / EOD 的度数为^23. （2017江岸区期末）如图，直线 SN 与直线 WE 相交于点0,射线 ON 表示正②图中与/ BOE 互余的角有与/ BOE 互补的角有（2）若射线 O A 是/ BON 的角平分线，则/ BOS 与/ AOC 是否存在确定的数量关系？如果存在，请写出你的结论以及计算过程；如果不存在，请说明理由.四、课后练习1. （2017江汉区期末）9时30分钟的时针与分针所成的角度是（2. （2017青山区期末）如图，在观测站。

七年级上册数学培优讲义(角、角平分线)第十二讲

一、角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角.这个公共端点是角的顶点.这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关.而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.处于初始位置的那条射线叫做角的始边.终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到.这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到.这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；（2）顶点是这两条边的交点；（3）角的两条边是射线.是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部.平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发.把这个角分成相等的两个角的射线.叫做这个角的平分线.二、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示.如图1.1．∠AOB图1.1注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠.但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示.如图1.2．角、角平分线∠A图1.2A注意：用一个大写字母来表示角的时候.这个大写字母一定要表示角的顶点.而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角.如图2.1．∠1图2.11③ 用希腊字母来表示角.如图2.2．∠α图2.2α三、单位换算1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）.重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）.读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度.分.秒．把平角分成180等份.每一份就是一度的角.记做1︒．把一度的角60等分.每一份叫做1分的角.记做1'．把一分的角60等分.每一份叫做1秒的角.记做1''．角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角角的分类：锐角α（090α<<︒）.直角α（90α=︒）.钝角α（90180α︒<<︒）．五、两角的和.差.倍.分（1）两角的和.差.倍.分的度数等于它们的度数的和.差.倍.分.（2）从一个角的顶点出发.把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角.记为∠PQR .折线使射线QR 与射线QP 重合.把纸展开.以Q 为端点.沿折痕画一条射线.这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心.以任意长为半径.交角的两边于A B 、两点；（2）分别以A .B 两点为圆心.以大于12AB 长为半径画弧.画弧交于C 点；（3）过C 点作射线OC . 所以.射线OC 就是所求作的.OCBA七、余角.补角（1）如果两个角的和是一个平角.那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角.那么这两个角叫做互为余角.简称“互余”. （3）补角.余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.八、方位角方位角一般以正北.正南为基准.描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”.“北偏西⨯⨯度”.“南偏东⨯⨯度”.“南偏西⨯⨯度”.方位角α的取值范围0900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向.“北偏西45度”西北方向.“南偏东45度”为东南方向.“南偏西45度”为西南方向.九、钟表角度问题时针12小时转动360度.每小时转动30度；分针60分钟转动360度.每分钟转动6度. 秒针60秒钟转动360度.每秒钟转动6度.角的概念及表示【例1】角是由有的两条射线组成的图形.两条射线的是这个角的顶点.角也可以看成是由一条射线．【解题思路】略【题目答案】公共端点公共端点绕端点旋转而得到的图形【例2】下列语句正确的是（）①角的大小与边的长短无关.②如果一个角能用一个大写字母A 表示.那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠.那么以1∠顶点为顶点的角只有一个. ④两条射线组成的图形叫做角A ①.②B ①.③C ①.④D ②.③ 【解题思路】略【题目答案】A【例3】如图.角的顶点是 .边是 .用三种方法表示该角分别为．αBAO【解题思路】略【题目答案】O ；OA .OB ；AOB ∠.α∠.O ∠．【巩固】在右图中.角的表示方法正确的是（）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【解题思路】本题考查用一个大写英文字母表示角.本题选B ．【题目答案】B【巩固】如图.以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来.以D 为顶点的角呢?D CEBA【解题思路】略【题目答案】以B 为顶点的角有3个：ABE ∠.ABC ∠.EBC ∠以D 为顶点的角有4个：ADE ∠.ADB ∠.BDC ∠.CDE ∠【例4】下图中.以A 为顶点的角是_________.有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个.HGFEDCB A【解题思路】按照约定.我们讨论的角都是小于平角的角. 【题目答案】以A 为顶点的角有：BAE BAD EAD ∠∠∠，，；一边与射线FD 在同一条直线上的角有10个【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30︒的角.这个角就变成了60︒．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．【解题思路】略【题目答案】×；×；×；×；×．角的分类【例6】下列语句正确的是（）A.平角就是一条直线B.周角就是一条射线C.小于平角的角是钝角D.一周角等于四个直角【解题思路】答题时首先理解角的概念.然后对各选项进行判断．【题目答案】平角是一个点和两条射线组成.故A错误.角度和射线不是同一个概念.故B错误.小于平角的角不一定是钝角.故C错误.一周角等于360°.一直角等于90°.故D正确.故选D．【考点难点】本题主要考查角的概念.不是很难．【例7】如图.图中包含小于平角的角的个数有（）A.4个B.5个C.6个D.7个【解题思路】根据三角形的性质及平角的概念结合图形解答．【题目答案】图中角除∠BDC为平角外.∠B.∠C.∠BAD.∠BAC.∠DAC.∠BDA.∠CDA均为小于180°的角．共七个．故选D．【考点难点】先利用三角形的性质.确定三角形的每个内角都小于180°.再根据角的定义数出角的个数即可．但要注意顶点为A的角有3个．【例8】如图.∠AOB是平角.则图中小于平角的角共有（）A.4个B.7个C.9个D.10个【解题思路】当AO为角的一边时.有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角.依次类推得到所有小于平角的角．【题目答案】小于平角的角为：∠AOC.∠AOD.∠AOE.∠COD.∠COE.∠COB.∠DOE.∠DOB.∠EOB共9个.故选C．【考点难点】应有规律去寻找角的个数.注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．【例9】如图.必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A.10个B.15个C.20个D.25个【解题思路】找到以每一个字母为顶点的角.若该顶点处有多个角.则必须用三个大写字母表示．【题目答案】在该题中.以A.B.C.D.E为顶点的角有五个.且该顶点处只有一个小于180度的角.可用一个大写字母表示；以F.G.H.M.N为顶点的角各有四个.共计4×5=20个.而该顶点处只有三个小于180度角.只能用三个大写字母表示．故选C．【考点难点】此题不仅考查了对角的概念的掌握.还考查了数角的方法：找准角的顶点.统计出该顶点处的所有角.做到不漏数.不多数．【例10】如图.∠CAE=90°.锐角有（）个.钝角至少有（）个．A.4.3B.3.2C.6.3D.4.2【解题思路】根据直角.锐角.钝角的概念来解．∠CAE=90°.通过角的运算.得出结果．【题目答案】∵∠CAE=90°.∴∠FAB+∠BAC=90°.∠CAD+∠DAE=90°.∴∠FAB＜90°.∠BAC＜90°.∠CAD＜90°.∠DAE＜90°.锐角有四个.∴∠FAD＞90°.∠BAE＞90°.故钝角至少有两个.∠BAD不能确定．故选D．【考点难点】本题关键是要做到不重复不遗漏的数出角的数量.同时一定要注意∠BAD不能确定.故不能计算在内．角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【解题思路】（1）首先在第一个空上填上32.然后计算(32.4332)0.43︒-︒=︒.0.430.436025.8''︒=⨯=.25.8250.8'''-=.0.86048''''⨯=32.43322548'''︒=︒（2）这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式.12600.2'''÷=.430.243.2'''+=.43.2600.72'÷=︒.65431265.72'''︒=︒．【题目答案】（1）322548'''︒；（2）65.72︒【巩固】（1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【解题思路】（1）5149242175707610''''︒+︒=︒=︒；（2）394124453810124451456'''''︒-︒=︒-︒=︒；（3）231342369416''''''︒⨯=︒；（4）121343315''''︒÷=︒ 【题目答案】（1）7610'︒；（2）1456'︒；（3）69416'''︒；（4）3315'''︒【例12】（1）2020'4______︒⨯=.（2）4437'3______︒÷= 【解题思路】（1）原式8080'8120'=︒=︒（2）先将度.分.秒的量数都化成3的倍数：4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''︒=︒+︒=︒++=︒++=︒【题目答案】（1）8120'︒；（2）1452'20''︒【巩固】（1）77423445______''︒+︒=；（2）108185623_______''︒-︒=；（3） 180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=；（6） 135********______''︒⨯+︒÷= （7）57.32_________'''︒=︒；（8） 122342_______'''︒=︒ 【解题思路】（1）7742344511227'''︒+︒=︒；（2）1081856235155'''︒-︒=︒；（3）180(34542133)12333'''︒-︒+︒=︒；（4）23295837812937''''''︒+︒=︒；（5）513932532193328'''''''︒-︒=︒；（6）13533157435731136'''''︒⨯+︒÷=︒；（7） 57.3257 19 12'''︒=︒；（8）12234212.395'''︒=︒【题目答案】（1）11227'︒；（2）5155'︒；（3）12333'︒；（4）812937'''︒；（5）193328'''︒；（6）731136'''︒；（7）57 19 12'''︒（8）12.395︒【例13】在小于平角的范围内.用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A ．4个B ．7个C ．11个D ．16个【解题思路】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515︒-︒=︒.而其它角都是15︒的倍数．所以在小于平角的范围内.能画出确定度数的角有153045607590105120135150165︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒，，，，，，，，，，共11个.故选C ．【题目答案】C【例14】如右图.AOB 是直线.1:2:31:3:2∠∠∠=.求DOB ∠的度数．123ABC D O【解题思路】设1x ∠=.23x ∠=.32x ∠=.根据题意有32180x x x ++=︒.30x =︒.120DOB ∠=︒．【题目答案】120︒一、余角和补角【例15】如图.OE AB ⊥于O .OF OD ⊥.OB 平分DOC ∠.则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【解题思路】3；2由题意可知90AOF FOE ∠+∠=︒.所以与AOF ∠互余的角必与FOE ∠相等. 由题中条件可知FOE ∠=BOD BOC ∠=∠.所以余角有3个；AOF ∠的补角为,EOB ∠所以与AOF ∠互补的角必与EOB ∠相等.【题目答案】3；2【巩固】如图.O 是直线AB 上的一点.120AOD ∠=︒.90AOC ∠=︒.OE 平分BOD ∠.则图中彼此互补的角共有______对．ABC DEO【解题思路】根据题意可得：30BOE EOD DOC ∠=∠=∠=︒.60BOD EOC ∠=∠=︒等.互补的角只满足和为180︒这个数量关系即可.与位置无关．所以共有6对：AOE ∠与BOE ∠.AOE ∠与EOD ∠.AOE ∠与DOC ∠. AOD ∠与BOD ∠.AOD ∠与EOC ∠.AOC ∠与BOC ∠．【题目答案】6【例16】如下图.A .O .B 在一条直线上.AOC ∠是锐角.则AOC ∠的余角是（）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠A BCO【解题思路】选C ．11190()()222AOC AOB AOC AOC BOC AOC BOC AOC ︒-∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠-∠【题目答案】C【例17】一个角和它的余角的比是5:4.则这个角的补角是【解题思路】设这个角为α.则根据题意可知有5904αα=︒-，解得50α=︒. 所以它的补角为18050130︒-︒=︒. 【题目答案】130︒【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角.求这个锐角的度数．【解题思路】设这个锐角为x 度.根据题意可列方程：1(90)(180)1802x x x +︒-+︒-=︒.得60x =︒．【题目答案】60︒【例19】如果一个角的补角与余角的和.比它的补角与余角的差大60︒.求这个角的余角度数．【解题思路】设这个角为x .则它的补角和余角分别为180x ︒-和90x ︒-.(180)(90)[(180)(90)]60x x x x ︒-+︒--︒--︒-=︒.所以60x =︒.所以这个角的余角的度数为30︒【题目答案】30︒【巩固】一个角a 与50︒角之和的17等于65︒角的余角.求a ．【解题思路】1(50)90657a +︒=︒-︒.125a =︒．【题目答案】125︒【巩固】已知α的余角是β的补角的13.并且32βα=.试求αβ+的度数．【解题思路】根据题意可得：190(180)3αβ-=⨯-.1303αβ-=.且32βα=.60,90,150αβαβ==+=（度）．【题目答案】150︒【例20】已知两角互补.试说明：较小角的余角等于两角差的一半. 【解题思路】略【题目答案】设两角分别为()αβαβ<，.则180αβ+=︒． ∴较小角的余角()()11190180222αααβαβα︒-=⨯︒-=+-=-∴原结论成立.角平分线【例21】从一个角的顶点出发.把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【解题思路】根据角平分线的定义可知.此话是错误的．【题目答案】根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发.把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线.答案为错误．【考点难点】主要考查了角平分线的定义．定义：从一个角的顶点出发.把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线．【例22】如图.已知直线AB.CD 相交于点O.OE 平分∠COB.若∠EOB=55°.则∠BOD 的度数是（）A.35°B.55°C.70°D.110°【解题思路】利用角平分线的定义和补角的定义求解．【题目答案】OE 平分∠COB.若∠EOB=55°.∴∠BOC=55+55=110°.∴∠BOD=180﹣110=70°．故选C ．【考点难点】本题考查了角平分线和补角的定义．【例23】如图.直线AB.CD 相交于点O.OE 平分∠AOD.若∠BOC=80°.则∠AOE 的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.100°【解题思路】根据角平分线的定义计算．【题目答案】∵∠BOC=80°.∴∠AOD=∠BOC=80度．∵OE平分∠AOD.∴∠AOE=∠AOD=°×80°=40度．故填A．【考点难点】角的平分线是中考命题的热点.常与其他几何知识综合考查．【例24】如图所示.将一张长方形纸的一角斜折过去.使顶点A落在A′处.BC为折痕.如果BD为∠ABE的平分线.则∠CBD=（）A.80°B.90°C.100°D.70°【解题思路】利用角平分线的性质和平角的定义计算．【题目答案】因为将顶点A折叠落在A′处.所以∠ABC=∠A′BC.又因为BD为∠ABE的平分线.所以∠ABD=∠DBE.因为∠ABC+∠A′BC+∠ABD+∠DBE=180°.所以∠CBD=90°．故选B．【考点难点】本题是角平分线性质及平角的性质的应用．【例25】如图.BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.∠A=44°.那么∠BDC的度数为（）A.68°B.112°C.121°D.136°【解题思路】BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.且∠A=44°.根据三角形内角和定理结合角平分线定义.即可得出∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）.在△BDC中.根据三角形内角和定理即可得出∠BDC．【题目答案】根据题意.BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.∠A=44°.所以有∠CAD+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）=68°.在△BCD中.即有∠CAD+∠DCA=68°.所以∠BDC=180°﹣68°=112°．故选B．【考点难点】本题主要考查的是三角形的内角和定理和三角形的角平分线定理．【例26】下列说法正确的是（）A.两点之间直线最短B.用一个放大镜能够把一个图形放大.也能够把一个角的度数放大C.将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D.直线l 经过点A.那么点A 在直线l 上【解题思路】分别判断每个选项的正确性.注意直线是没有长度的．【题目答案】（1）对于A 选项.直线没长度.故A 错误．（2）放大镜能够把一个图形放大.不能够把一个角的度数放大.故B 错误．（3）对于C 选项.没有提到所分角的相等.故C 错误．（4）直线过A 点.则A 一定在直线上．综上可得只有D 正确．故选D ．【考点难点】本题考查线段和直线的知识.属于基础题.关键在于掌握直线和线段的定义．方位角【例27】下面图形中.表示北偏东60︒的是（）60︒A东西北南B西北南60︒C东西北南60︒D东西北南【解题思路】略【题目答案】C【巩固】下列说法不正确的是（）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向东【解题思路】略【题目答案】A ．【例28】如图.平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向．（2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BA【解题思路】略【题目答案】（1）如图.射线AC 表示点A 处北偏东70︒的方向.射线BD 表示点B 处北偏西40︒方向.（2）如图.连接AB .测得34α∠≈︒.所以点A 位于点B 南偏西45︒方向．【例29】如图.A .B .C .D 是北京奥运会场馆分布图.请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置.以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图.直线CO DE 相交于O .90COD ∠=︒.请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =.54mm OB =.36BOC AOE ∠=∠=︒.则可知场馆B 的位置是北偏西36︒.据中心54mm .可简记为（54mm .北偏西36︒）．据此方法.场馆A 的位置可简记为（_________.________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母）.AOD ∠与_____________是互补的角．东西北【解题思路】略【题目答案】①20mm .北偏东54︒；②90︒；③AOE ∠.BOC ∠．共定点角的相关计算【例30】如图.在直线AB 上取一点O .在AB 同侧引射线OC .OD .OE .OF 使COE ∠和BOE ∠互余.射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠.求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC DEO 图2F E B【解题思路】略【题目答案】COE ∠和BOE ∠互余.所以90AOC BOC ∠=∠=︒111222DOF EOF EOD EOC BOE BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠AOF BOD AOC EOF BOD ∠+∠=∠+∠+∠3BOC EOF EOD DOF =∠+∠+∠=∠【巩固】如图.直线AB .CD 相交于点O .作DOE BOD ∠=∠.OF 平分AOE ∠.若28AOC ∠=︒.求EOF ∠．A BCDE FO【解题思路】28AOC DOE BOD ∠=∠=∠=︒.(1802828)262EOF ∠=︒-︒-︒÷=︒．【题目答案】62︒【例31】如图所示.80AOB ∠=︒.OC 是AOB ∠内部的任意一条射线.若OD 平分BOC ∠.OE 平分AOC ∠.试求DOE ∠的度数．EDC BAO【解题思路】因为OD 是BOC ∠的平分线.所以12DOC BOC ∠=∠.同理可得12COE COA ∠=∠所以DOE DOC COE ∠=∠+∠1122BOC COA =∠+∠11()22BOC COA AOB =∠+∠=∠180402=⨯︒=︒．【题目答案】040【例32】如图.ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒.求GCB ∠的度数．GA B C DE 图2F【解题思路】设ACD x ∠=.则有：10DCE x ∠=+︒.20ECF x ∠=+︒.30FCG x ∠=+︒.40GCB x ∠=+︒．所以5100180x +︒=︒.16x =︒.56GCB ∠=︒【题目答案】56︒【例33】已知：如图.OC 是AOB ∠外的一条射线.OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒.40BOC ∠=︒. 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=︒.求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA【解题思路】略【题目答案】①∵OE 平分AOC ∠.OF 平分BOC ∠（已知）∴12EOC AOC ∠=∠. 12FOC BOC ∠=∠（角平分线定义）∵100AOC ∠=︒.40BOC ∠=︒（已知）∴1100502EOC ∠=⨯︒=︒. 140202FOC ∠=⨯︒=︒（等量代换）∵502030EOF EOC FOC ∠=∠-∠=︒-︒︒＝（等量代换）②∵OE 平分AOC ∠（已知） ∴AOE EOC ∠=∠（角平分线定义） ∵EOC EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠∴AOE EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠（等量代换） ∵OF 平分BOC ∠（已知） ∴BOF FOC ∠=∠（角平分线定义） ∵AOB AOE EOB ∠=∠+∠∴2AOB EOB BOF EOB ∠=∠+∠+∠ 2AOB BOF EOB ∠=∠+∠（）（等量代换） ∵EOB BOF EOF ∠+∠=∠.AOB n ∠=︒（已知）∴1122EOF AOB n ∠=∠=︒（等量代换）即：12EOF n ∠=︒【例34】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角.射线OM .ON 分别平分AOC ∠.BOC ∠．（1）90AOB ∠=°.30BOC ∠=°.求MON ∠的度数；（2）AOB α∠=.30BOC ∠=°.求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°.BOC β∠=.还能否求出MON ∠的度数吗？若能.求出其值.若不能.说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【解题思路】略【题目答案】（1）900602MON ∠==°+3?°；（2）302MON α+∠=；（3）902MON β+∠=；（4）2AOB BOCMON ∠+∠∠=.【例35】已知：OA .OB .OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒.4136'BOC ∠=︒.求AOC ∠. 【解题思路】注意分情况讨论.容易的到答案：4324'︒或12636'︒.【题目答案】4324'︒或12636'︒【巩固】已知一条射线OA .若从点O 再引两条射线OB 与OC .使60AOB ∠=︒.20BOC ∠=︒.求AOC ∠的度数. 【解题思路】注意分类讨论.为80︒或40︒. 【题目答案】80︒或40︒【例36】已知αβ，都是钝角.计算()16αβ+.正确的结果只可能是（） A ．26︒ B ．40︒ C ．72︒ D ．90︒【解题思路】根据题意9018090180αβ︒<<︒︒<<︒，.∴180360αβ︒<+<︒∴()130606αβ︒<+<︒.∴选B【题目答案】B【巩固练习】α.β.γ中有两个锐角和一个钝角.其数值已经给出.在计算1()15αβγ++的值时.有三位同学分别算出了23︒.24︒.25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案.求αβγ++的值．【解题思路】00909090180αβγ++<++<++ 16()2415αβγ<++<所以23︒答案正确．【题目答案】23︒【例37】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠.AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒.10AOD ∠=︒.求AOC ∠的度数. 【解题思路】因为AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒.所以AOC ∠小于AOB ∠；（1）射线OC 在AOB ∠的外部.如图（1）.设 ,AOC x AOB y ∠=∠=.根据题意有 3251()102x y x y x -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩. 解得：4565x y =⎧⎨=⎩.即45AOC ∠=︒（2）射线OC 在AOB ∠的内部.如图（2）.设AOC x AOB y ∠=∠=，.根据题意有 3251()102x y x y x -=⎧⎪⎨++=⎪⎩.解得：911x y =⎧⎨=⎩.即9AOC ∠=︒图（1）D CBAO图（2）D CBAO【题目答案】45︒或9︒【例38】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC .使得:5:4AOC BOC ∠∠=.且AOC ∠.BOC ∠均小于180︒.若30AOB ∠=︒.求AOC ∠的度数.【解题思路】如图（1）.5230(16)1640'93AOC ∠=⨯︒=︒=︒；如图（2）.530150AOC ∠=⨯︒=︒如图（3）.51(36030)(183)18320'18093AOC ∠=⨯︒-︒=︒=︒>︒.舍去图（1）CB AO图（2）CBAO图（3）CB AO【题目答案】1640'︒或150︒钟表角度问题【例39】从3时到6时.钟表的时针旋转角的度数是（）A.30B.60°C.90°D.120° 【解题思路】时针1小时走1大格.1大格为30°．【题目答案】从3时到6时.钟表的时针旋转角的度数是（6﹣3）×30°=90°.故选C ．【考点难点】解决本题的关键是得到时针1小时旋转的度数．【例40】下午2点30分时（如图）.时钟的分针与时针所成角的度数为（）A.90°B.105°C.120°D.135°【解题思路】钟表12个数字.每相邻两个数字之间的夹角为30度．【题目答案】∵1个小时在时钟上的角度为180°÷6=30°.∴3.5个小时的角度为30°×3.5=105°．故选B ．【考点难点】本题主要考查角度的基本概念．在钟表问题中.常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°.并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．【例41】由2点15分到2点30分.时钟的分针转过的角度是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 【解题思路】出图形.利用钟表表盘的特征解答．【题目答案】点15分.分针指在数字3上.分针水平.当2点30分时.分针指在数字6上.分针垂直于水平时的分针.故分针转的角度是90°；解法2：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份.每一份是30°. 从2点15分到2点30分分针转过了三份.转过的角度为3×30°=90°．故选D ．【考点难点】所转过的角度计算．在钟表问题中.常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°.并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．【例42】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？【解题思路】共有4次时针与分针夹成60︒的角.（1）第一次正好为2点整.（2）第二次设为2点x 分时.则101012x x =++.解得92111x =. （3）第三次设为3点y 分时.则101512y y +=+.解得5511y =.（4）第四次设为3点z 分时.则151012z z =++.解得32711z =【题目答案】4次成60︒角.分别是：2点整；2点92111分；3点5511分；3点32711分．【例43】钟表在12点钟时三针重合.经过x 分钟后.秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分.则x 的值是多少?【解题思路】因为秒针.分针.时针的速度分别是360度/分.6度/分.0.5度/分.显然x 的值大于1而小于2.则有6360(1)360(1)0.5,x x x x --=--解得:1440.1427x =故x 的值是14401427分钟.【题目答案】144014271.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112.求这个角．【解题思路】设这个角为x .则11(180)3(90)36012x x ︒-+︒-=︒⨯解得30x =︒.即这个角为30︒．【题目答案】30︒2.下列图形中.表示南偏西60︒的是（）课后练习60︒A东西北南60︒B东西北南60︒C东西北南 60︒D东西北南【解题思路】略【题目答案】D3.下列说法中.正确的是（）A.一条射线把一个角分成两个角.这条射线叫做这个角的平分线B.两个锐角的和为钝角C.相等的角互为余角D.钝角的补角一定是锐角【解题思路】根据锐角.钝角.角平线的概念.分析各选项后判断.排除错误答案．【题目答案】A.应为分成两个相等的角.故错误；B.反例：10°+20°=30°＜90°.故错误；C.两个角之和为90°时才互余.故错误；D.钝角的补角一定是锐角.故正确．故选D ．【考点难点】正确理解锐角.钝角的概念才能正确作出判断．4.一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角.求这个角的度数．【解题思路】设这个角的度数为x .则它的余角为90x ︒-.补角为180x ︒-.由题意.得：12(90)(180)1802x x ︒-+︒-=︒.解得：36x =︒．【题目答案】36︒5.已知一个角的补角等于这个角余角的6倍.那么这个角等于多少？【解题思路】设这个锐角为x 度.根据题意可列方程：(180)6(90)x x -=⨯-.72x =．【题目答案】72︒6.如图.OM 平分AOB ∠.ON 平分COD ∠.若50MON ∠=︒.10BOC ∠=︒.求AOD ∠的小．NMAB C DOAD E图1F【解题思路】22501090∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒；AOD MON BOC【题目答案】90︒.。

人教版初一(上)数学第12讲：相交线与平行线

相交线与平行线姓名：年级：任课老师：日期：一、知识梳理1.相交线（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有_________和________。

（2）相交：在同一平面内，有__________的两条直线称为相交线。

（3）邻补角：①定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。

②性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）（4）对顶角：①定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有_____________；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2.垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做_______。

符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为OC垂线性质1：过一点_______________一条直线与已知直线垂直。

垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：_______________。

3.垂线的画法：（1）过直线上一点画已知直线的垂线；（2）过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

初中数学人教新课标版七年级上七年级上《几何直线》课件

初中数学人教新课标版七年级上七年级上《几何——直线》课件七年级几何七年级几何直线直线一段笔直的铁轨给请同学们举出一些直线形象的实例。

我们直线的形象代数里的数轴就是一条直线。

-2 -1 0 1 2目录同学们回答得很好。

但在几何中,直线有它特殊的性质1 、直线的性质 :直线是向两边无限延伸着的。

伸展方向伸展方向直线没有长度,我们不能够度量它的长度。

我们可以把直线看着是由无数个点组成的几何图形。

那么我们怎样来表示它呢? 点的记法我们常用一个大写字母表示一个点。

如点A 、点B 等。

A B2 、直线的记法(1 )我们用直线上的两个点来表示这条直线。

如下列直线记作直线AB 。

A B经过点A 和B 的直线记作直线AB(2 )我们还可以用一个小写字母来表示一条直线。

如下列直线记作直线 ll用小写字母记作直线 l1 、经过平面上的一点可以作出几条直线 ?2 、植树时 , 怎么样才能使所种的树在同一条直线上 ?3 、射击运动员所使用的瞄准方法有科学依据吗 ?4 、经过平面上的两点可以作出几条直线 ?请同学们记住这个性质 ?3. 直线的性质经过两点有一条直线, 并且只有一条直线“有”是说明它的存在性,“只有”是说明它的唯一性.或者说: 两点确定一条直线 4. 直线性质的应用( 1 )植树时,只要定出两个树坑的位置就能确定同一行的树坑所在的直线。

4 、性质的应用 :(2 )建筑工人在砌墙时会在墙的两头分别固定两枚钉子,然后在钉子之间拉一条绳子,定出一条直的参照线,这样砌出的墙就是直的。

问题: 比较下列两组直线的位置有什么不同aabb1 25 、直线的相交 : 当两条不同的直线有一个公共点时 , 我们称这两条直线相交。

这个公共点叫做它们的交点aOb直线a 和b 相交 ,点O 是它们的交点请任选一题请任选一题12345目录(1)只用直线上的一个点A 来表示(1)只用直线上的一个点A 来表示请选择正确答案这条直线,可不可以?这条直线,可不可以?A 可以,记作直线A ;不可以,要用直线B上的两个点来表示。

人教版初一(上)数学第12讲：相交线与平行线(教师版)——房山-

相交线与平行线____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握对顶角和邻补角的概念；2.掌握垂线段的定义及其画法；3.掌握三线八角的定义和找法；4.掌握平行线的性质与判定.1.相交线（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有_________和________。