空间立体几何几何证明题模板
高中数学立体几何证明题汇总
高中数学立体几何证明题汇总立体几何常考证明题1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。
1）证明EFGH是平行四边形。
2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。
1）证明AB垂直于平面CDE。
2）证明平面CDE垂直于平面ABC。
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
证明A1C平行于平面BDE。
4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。
证明AD垂直于面SBC。
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。
1）证明C1O平行于面AB1D1.2）证明AC1垂直于面AB1D1.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明AC垂直于平面B1D1D。
2）证明BD1垂直于平面ACB1.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。
2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面EB1D1平行于平面FBD。
8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。
证明BD垂直于平面ACD。
9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。
1）证明XXX垂直于AB。
2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。
证明平面D1EF平行于平面BDG。
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
1）证明A1C平行于平面BDE。
2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。
12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。
高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP .►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF .[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG .►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H .【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH .3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE .►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离.【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC.[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a ⊂α,b ⊂α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥αD.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D.当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝34,求A到平面PBC 的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π2, AB =BC =12AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′ABCFE 的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD , ∠BAD =∠ABC =90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.。
立体几何证明题精选
立体几何证明题精选1.在多面体中，矩形ABB1A1和ACC1A1，AC垂直于BC。
证明BC垂直于平面ACC1A1，同时在线XXX上存在一点M，使得DE与平面A1MC平行。
2.在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PC，AC，AB 的中点。
已知PA垂直于AC，PA=6，BC=8，DF=5.证明PA 平行于平面DEF，同时平面BDE垂直于平面ABC。
3.在四棱锥P-ABCD中，AP垂直于平面PCD，AD平行于BC，AB和BC分别为线段AD和PC的中点。
证明AP平行于平面BEF，同时BE垂直于平面PAC。
4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BA=BD=BC=1，AD=2，PA=PD=√5，E和F分别是棱AD和PC的中点。
证明EF平行于平面PAB，同时平面PBC垂直于平面ABCD。
5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB垂直于BC，AA1=AC=2，BC=1，E和F分别是A1C1和BC的中点。
证明平面ABE垂直于平面B1BCC1，C1F平行于平面ABE，同时求三棱锥E-ABC的体积。
6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA垂直于平面ABCD，E为PD的中点。
证明PB平行于平面AEC，同时若AP=1，AD=3，则三棱锥P-ABD的体积为2/3，求A到平面PBC的距离。
7.在四棱锥中，平面ACD和平面ABD的交线为直线L，平面ABC和平面ACD的交线为直线M，平面ABC和平面ABD的交线为直线N，P为直线L上一点，Q为直线M上一点，R为直线N上一点，且PQR平行于平面ABCD，证明PR 平行于直线BD，同时求四面体PQRD的体积。
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1为正方形，O为BD的中点，E为棱AA1上任意一点。
证明BD垂直于EC1，同时若AB=2，AE=2，OE垂直于EC1，则AA1的长度为2√2.。
第一讲-立体几何证明题
ABCDP EF 第一讲：立体几何证明题1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．(I) 证明： PA ∥平面EDB ；(II) 证明：PB ⊥平面EFD ；(III) 求三棱锥DEF P -的体积．2、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
3、如图，矩形A B C D 中，A B E AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且A C EBF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.4、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;ABCDHPABCDEFABCDEFG5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD A D ==.(Ⅰ) 求证：平面PDC EFG 平面⊥;(Ⅱ)求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --.6、如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ；（3）求三棱锥C-BGF 的体积。
7、在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。
高中立体几何证明题
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
最新题型空间向量证明立体几何问题
C
B
0 AB ' • A'C 3 1 h2, h2 2.
A
AB ' • BC ' 0 2 h2 0. BC ' AB '
题型四：线面平行
例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1E
证明：如图建立坐标系D xyz,
A1
D1 z
F
C1 设AD 2.则
A1(2,0,2), C1(0,2,2), E(0,0,1)
|
即所求二面角的余弦值是 6 。
6, 3
3
题型七：面面平行
例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD∥面CB1D1
证明: 如图分别以D1 A1、D1C1、D1D 三边所在的直线为x, y, z轴建立空间
直角坐标系.设正方体的棱长为1,则
Z
A1(1, 0, 0), B1(1,1, 0), C(0, 0,1), D(0, 0,1)
或先求平面BDE的法向量 n 再证明 A' F n
题型六：面面角
例、已知，ABCD是一直角梯形，ABC 900, SA 平面ABCD,
SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。
2 解：建立直角坐系A - xyz如所示,
z
A (0,0,0),C (- 1,1,0),D(0, 1 ,0), S(0,0,1) S
n
2、根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
x1x x2 x
y1 y2
y y
z1z z2 z
0 0
ab
3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标.
必修二立体几何经典证明题
必修二立体几何经典证明题1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。
Ⅰ）证明：平面BDC ⊥平面BDC1Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥ CC1，BC ⊥ AC，CC1 ∩AC=C，∴BC ⊥面ACC1，又∵DC1 ⊂面ACC1，∴DC1⊥BC，由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1 ⊥DC，又∵DC ∩ BC=C，∴DC1 ⊥面BDC，∵DC1 ⊂面BDC1，∴面BDC ⊥面BDC1；Ⅱ）设棱锥B-DA1CC1的体积为V1，AC=1，由题意得，V1=1/3*1*1*1=1/3，由三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，∴(V-V1):V1=1:1，∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，AB ⊥平面PAD，AB//CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且DF=1/2AB，PH为△PAD中AD边上的高。
1）证明：PH ⊥平面ABCD；2）若PH=1，AD=2，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；3）证明：EF ⊥平面PAB。
解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD，所以PH ⊥AB。
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH ⊥AD。
因为ABAD=A，所以PH ⊥平面ABCD。
2）连结BH，取BH中点G，连结EG。
因为E是PB的中点，所以EG//PH。
因为PH ⊥平面ABCD，所以EG ⊥平面ABCD。
则EG=1/2PH=1/2，V(E-BCF)=S△BCF*EG=1/2*1*2*1/2=1.3）证明：取PA中点M，连结MD，ME。
因为E是PB的中点，所以___。
因为DF//AB，所以四边形MEDF是平行四边形，所以EF//MD。
因为PD=AD，所以MD ⊥___。
空间向量立体几何(绝对经典)
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图)A BCD A 1B 1C 1D 1G1)1(AA AD AB ++1111)1(AC CC AC AA AC AA AD AB =+=+=++解M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向量.ll aaOABP a若P为A,B中点,则()12=+ OP OA OB2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使, a b yx , p ,a b OM a b A B A 'Pp p xa yb =+ 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有=+MP xMA yMB =++ OP OM xMA yMB 注意：空间四点P 、M 、A 、B 共面⇔存在唯一实数对,,x y MP xMA yMB =+ （）使得(1)OP xOM yOA zOB x y z ⇔=++++= 其中，例1：已知m,n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α。
n mg g m n αl l 证明：在α内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g ，因m与n相交，得向量m、n 不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g =x m +y n ,l ·g =x l ·m +y l ·n∵ l ·m =0,l ·n =0∴ l ·g =0∴ l⊥g∴ l⊥g这就证明了直线l垂直于平面α内的任一条直线，所以l⊥α巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理αa A O P ().,0,,,,0,0,PA a PA a a OA a PO a PA OAy PO x PA y x OA PO OA PO a OA a OA a PO a PO PO aa ⊥⊥∴=⋅+⋅=⋅∴+==⋅∴⊥=⋅∴⊥∴⊥即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在αPA a OAa a PA OA PA PO ⊥⊥⊂求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,ααα复习:2. 向量的夹角:a bO ABabθ0a b π≤≤ ，a b ，向量 的夹角记作:a b 与a b = ||||cos ,a b a b 1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)a x y z b x y z == 设121212x x y y z z =++cos ||||a ba b a b =，121212222222111222++=++⋅++x x y y z z x y z x y z 5.向量的模长:2222||a a x y z ==++ (,,)a x y z = 设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,,),(,,)a x y zb x y z == 1212120x x y y z z ++=0a b a b ⊥⇔=⇔ (2)||||||a b a b ≤ ||||,a b a b a b =⇒ 同方向||||,a b a b a b =-⇒ 反方向注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
高中空间立体几何典型例题
1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ,F ，且B 1E =C 1F 。
求证：EF ∥平面ABCD 。
证明 方法一 分别过E ,F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN 。
∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN .又∵B 1E =C 1F ,∴EM =FN ，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN 。
又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD 。
方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G , 连接GF ，则BB G B AB E B 1111=，∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ， ∴BB G B BC E C 1111=,∴FG ∥B 1C 1∥BC ,又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心。
（1）求证:平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △321G G G ∶S △ABC .(1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ,连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3， PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内，∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC 。
又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC 。
（2)解 由（1）知PE PG PD PG 21 =32，∴G 1G 2=32DE 。
(完整版)必修二立体几何11道经典证明题
1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．B 1C BADC 1A 14. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.ABDPMFGE6. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥。
立体几何证明大题
立体几何证明大题一1．如图，四面体ABCD 中，BCD AD 平面⊥，E 、F 分别为AD 、AC 的中点，CD BC ⊥． 求证：（1）BCD EF 平面// （2）ACD BC 平面⊥．2、如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， （1）求证：AC ⊥平面B 1D 1DB;（2）求证：BD 1⊥平面ACB 1 （3）求三棱锥B-ACB 1体积．3、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（１） C 1O ∥面11AB D （2 ）1AC ⊥面11AB D ．D 1ODB AC 1B 1A 1CD 1C 1B 1ACDBA4. P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥PA 平面ABC ，︒=∠90ABC ，PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F 求证：（1）⊥BC 平面PAB ；（2）⊥AE 平面PBC ；（3）⊥PC 平面AEF ．5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
求证：（1）PA ∥平面BDE （2）平面PAC ⊥平面BDE （3）若棱锥的棱长都为2，求棱锥的体积。
6、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2EF AC =， 90BDC ∠= ，求证：BD ⊥平面ACDF E P C BA7、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．8、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．9、如图1,在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．10、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC11、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°， 求证：平面ABC ⊥平面BSC ．12、如图，在四棱锥ABCD P 中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF // 平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD。
(完整)立体几何证明基础题
立体几何证明基础题一．解答题（共28小题)1．如图,在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC,点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证:PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．（1)求证DE∥PA(2）求证：DE∥平面PAC;（3)求证：AB⊥PB．3．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE且CE=AC=2BD,试在AE上确定一点M，使得DM∥平面ABC．4．如图:在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD,点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；(Ⅱ)求三棱锥N﹣AMC的体积；(Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面ACE；若存在,求出PE的长；若不存在，说明理由．5．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2，E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；(2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．6．已知四棱锥A ﹣BCDE ，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2,CD ⊥面ABC,BE ∥CD,F 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； (Ⅱ)求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ)求四棱锥A ﹣BCDE 的体积．7．如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，且∠ABC=．（1）求证：BC ∥平面AB 1C 1；（2）求证:平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．8．如图，三角形ABC中,AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ)求证：GF∥底面ABC;（Ⅱ)求证：AC⊥平面EBC；(Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．9．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD|｜BC,PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点．（Ⅰ)证明：PA∥平面BMQ;(Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．10．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠C=90°，BC=，BB 1=2，O 是AB 1的中点，D是AC 的中点，M 是CC 1的中点， (1)证明：OD ∥平面BB 1C 1C ； （2)试证:BM ⊥AB 1．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点,求证：EF ∥面PAD ．12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，求证： （Ⅰ）A 1C ∥平面BDE ； （Ⅱ）平面A 1AC ⊥平面BDE ．13．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的中点． (1）求证：PB ∥平面AEC ；（2)若PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，求证：平面AEC ⊥平面PCD ．14．如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证： （1）PA ∥平面BDE ； （2）BD ⊥平面PAC ．15．如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面边长AB=1,侧棱长AA 1=2． （Ⅰ）求正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面积; （Ⅱ）证明：AC ⊥平面BDD 1B 1．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．求证： (1)C 1O ∥面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥面AB 1D 1．17．如图所示,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，E,F,N 分别为A 1B 1,B 1C 1,C 1D 1，D 1A 1的中点，求证： （1）E ，F ，D ，B 四点共面； (2）面AMN ∥平面EFDB ．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,AA 1=2,点P 是DD 1的中点． 求证：（1）直线BD 1∥平面PAC(2）①求异面直线PC 与AA 1所成的角． ②平面PAC ⊥平面BDD 1．19．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点．求证：平面D1EF∥平面BDG．21．（文科）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°,N是PB的中点,过A、D、N三点的平面交PC于M,E为AD的中点,求证：（1）EN∥平面PDC；（2）BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN．23．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D,E分别是AB，BC的中点．（1）求证:DE∥平面PAC；（2）求证：AB⊥PC．24．如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD=1，PA=PC=．(1)求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．25．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC,D 为AC 的中点，A 1A=AB=2． （1）求证：AB 1∥平面BC 1D ；（2)过点B 作BE ⊥AC 于点E,求证：直线BE ⊥平面AA 1C 1C (3）若四棱锥B ﹣AA 1C 1D 的体积为3，求BC 的长度．26．如图,已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面BDF ； (2）求证:PC ⊥BD ．27．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E 是CC 1的中点． （1）求证：AC 1⊥BD ． (2）求证：AC 1∥平面BDE ．28．已知空间四边形ABCD （如图所示），E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的(完整)立体几何证明基础题点，且CG=BC，CH=DC．求证：①E、F、G、H四点共面；②三直线FH、EG、AC共点．立体几何证明基础题参考答案与试题解析一．解答题（共28小题）1．如图,在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点(1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【分析】（1）推导出GF∥PB,由此能证明PB∥平面EFG．（2）推导出EF⊥BC,GF⊥BC，从而BC⊥平面EFG，由此能证明BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB,∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．(2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E,F，G分别为AB,BC，PC，的中点,∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC,∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC,AB⊥BC，D，E分别是AB,PB的中点．(1)求证DE∥PA（2)求证：DE∥平面PAC；(3）求证：AB⊥PB．【分析】（1）由D，E分别是AB，PB的中点，能证明DE∥PA．(2）由PA⊂平面PAC，DE∥PA，且DE⊄平面PAC，能证明DE∥平面PAC．(3）推导出AB⊥PC，AB⊥BC，得AB⊥平面PBC,由此能证明AB⊥PB．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA．（2）因为PA⊂平面PAC，DE∥PA，且DE⊄平面PAC，所以DE∥平面PAC．(3）因为PC⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC=C．所以AB⊥平面PBC．又因为PB⊂平面PBC，所以AB⊥PB．【点评】本题考查线线平行、线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．3．如图所示，△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC，BD∥CE且CE=AC=2BD,试在AE上确定一点M，使得DM∥平面ABC．【分析】AE中点为M，取AC中点为N,通过证明四边形MNBD是平行四边形得出DM∥BN，从而可得DM∥平面ABC．【解答】解:取AE中点为M，取AC中点为N，连结MD，MN，NB，在△ABC中，∵M，N分别是边AC，AE的中点,∴CE=2MN且MN∥CE，又∵CE=2BD且BD∥CE，∴MN∥BD且MN=BD,∴四边形BDMN是平行四边形．∴DM∥BN，又∵BN⊂平面ABC，DM⊄平面ABC,∴DM∥平面ABC．故M为AE的中点时，DM∥平面ABC．【点评】本题考查了线面平行的判定，属于基础题．4．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ)证明:BC⊥平面AMN;（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．【分析】(I）要证线与面垂直，只要证明线与面上的两条相交线垂直，找面上的两条线，根据四边形是一个菱形,从菱形出发找到一条,再从PA⊥平面ABCD，得到结论．(II）要求三棱锥的体积，首先根据所给的体积确定用哪一个面做底面，会使得计算简单一些，选择三角形AMC,做出底面面积，利用体积公式得到结果．（III）对于这种是否存在的问题，首先要观察出结论，再进行证明,根据线面平行的判定定理,利用中位线确定线与线平行，得到结论．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，∴AB=BC又∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，又M为BC中点，∴BC⊥AM而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC 又PA∩AM=A,∴BC⊥平面AMN（II）∵又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1•AN∴三棱锥N﹣AMC的体积S△AMC=（III）存在点E，取PD中点E，连接NE，EC，AE，∵N，E分别为PA，PD中点，∴又在菱形ABCD中,∴，即MCEN是平行四边形∴NM∥EC，又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE∴MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE，此时．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是一个非常适合作为高考题目出现的问题，题目包含的知识点比较全面，重点突出,是一个好题．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2,E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；(2）如果E是PA的中点,求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE？证明你的结论．【分析】（1)利用四棱锥的体积计算公式即可；(2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明;（3)利用线面垂直的判定和性质即可证明．【解答】解:（1）∵PA⊥底面ABCD,∴PA为此四棱锥底面上的高．∴V==．四棱锥P﹣ABCD（2）连接AC交BD于O,连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC,又∵AE=EP，∴OE∥PC．又∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE．∴PC∥平面BDE．（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．证明：∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD．又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵CE⊂平面PAC．∴BD⊥CE．【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键．6．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD,F为AD的中点．(Ⅰ）求证:EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ)求四棱锥A﹣BCDE的体积．【分析】（Ⅰ)取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；(Ⅱ)根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG,根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；(Ⅲ）方法一：四棱锥四棱锥A﹣BCDE分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC，分别求出三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC的体积，即可得到四棱锥A﹣BCDE的体积．的高,求出底面面积和方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE,即AO为VA﹣BCDE高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ)取AC中点G,连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD,且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（4分）(Ⅱ)∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC ⊥面ABC ，BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …(6分) ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …(8分) 解：(Ⅲ)方法一:连接EC ，该四棱锥分为两个三棱锥E ﹣ABC 和E ﹣ADC ．．…（12分）方法二：取BC 的中点为O ，连接AO,则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AO ，BC ∩CD=C ，∴AO ⊥平面BCDE ， ∴AO 为V A ﹣BCDE 的高，，∴．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．7．如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,平面A 1ABB 1⊥平面ABCD,且∠ABC=．（1）求证：BC ∥平面AB 1C 1;（2)求证：平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．【分析】（1）根据BC ∥B 1C 1，且B 1C 1⊂平面AB 1C 1，BC ⊄平面AB 1C 1，依据线面平行的判定定理推断出BC ∥平面AB 1C 1．（2）平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，推断出平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1B 1，A 1B 1⊥C 1B 1，C 1B 1⊂平面AB 1C 1，根据面面垂直的性质推断出平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．【解答】证明：（1）∵BC ∥B 1C 1，且B 1C 1⊂平面AB 1C 1，BC ⊄平面AB 1C 1， ∴BC ∥平面AB 1C 1．（2）∵平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1, ∴平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∵平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1B 1,A 1B 1⊥C 1B 1, ∴C 1B 1⊂平面AB 1C 1，∴平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．【点评】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定定理．注重了对基础知识的考查．8．如图，三角形ABC 中，AC=BC=，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点． （Ⅰ)求证:GF ∥底面ABC ；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．【分析】（1）证法一:证明一条直线与一个平面平行,除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外,通常还可以通过平面与平面平行进行转化,比如取BE的中点H，连接HF、GH，根据中位线定理易证得：平面HGF∥平面ABC，进一步可得:GF∥平面ABC．证法二：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可．因为G、F分别是EC、BD的中点，故平移是可以通过构造特殊的四边形、三角形来实现．证法三:根据直线与平面平行的判定定理可知:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可．因为G、F分别是EC、BD的中点，所以构造中位线是常用的找到平行直线的方法．（2）证明直线与平面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直或者平面与平面垂直去转化一下．由第一问可知：GF∥平面ABC，而平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC；又由勾股定理可以证明：AC⊥BC．（3）解决棱锥、棱柱求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，切忌不审图形，盲目求解;根据平面与平面垂直的性质定理可知:CN⊥平面ABED，而ABED是边长为1的正方形,进一步即可以求得体积．【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH,（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE,(2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC,HG∥平面ABC,HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二:取BC的中点M,AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC(5分）（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB,∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC(7分)∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ)连接CN，因为AC=BC,∴CN⊥AB，(10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形,∴,（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，==（14分）∴VC﹣ABED【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°,AD=2BC,Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离．【分析】（1)连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA,利用线面平行的判定定理可证；（2)由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC交BQ于N,连结MN,因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分)（2）由（1)可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP﹣BMQ =VA﹣BMQ=VM﹣ABQ,取CD的中点K,连结MK，所以MK∥PD，，…(7分）又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，,…（10分）所以VP﹣BMQ =VA﹣BMQ=VM﹣ABQ=.,…(11分）则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．10．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠C=90°，BC=，BB 1=2，O 是AB 1的中点,D 是AC 的中点，M 是CC 1的中点， （1）证明：OD ∥平面BB 1C 1C ； （2)试证:BM ⊥AB 1．【分析】（1)连B 1C 利用中位线的性质推断出OD ∥B 1C ，进而根据线面平行的判定定理证明出OD ∥平面BB 1C 1C ．（2)先利用线面垂直的性质判断出CC 1⊥AC ，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面BB 1C 1C ，进而可知AC ⊥MB ．利用证明△BCD ∽△B 1BC,推断出∠CBM=∠BB 1C ，推断出BM ⊥B 1C ，最后利用线面垂直的判定定理证明出BM ⊥平面AB 1C ，进而可知BM ⊥AB 1． 【解答】证明：（1)连B 1C ，∵O 为AB 1中点，D 为AC 中点， ∴OD ∥B 1C ，又B 1C ⊂平面BB 1C 1C,OD ⊄平面BB 1C 1C,∴OD ∥平面BB 1C 1C ． （2)连接B 1C ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∴CC 1⊥平面ABC AC ⊂平面ABC, ∴CC 1⊥AC,又AC ⊥BC ，CC 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，BM ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥MB ．在Rt △BCM 与Rt △B 1BC 中，==，∴△BMC ∽△B 1BC, ∴∠CBM=∠BB 1C,∴∠BB 1C+∠B 1BM=∠CBM+∠B 1BM=90°， ∴BM ⊥B 1C ，AC ，B 1C ⊂平面AB 1C ， ∴BM ⊥AB 1C ， ∵AB 1⊂平面AB 1C ， ∴BM ⊥AB 1．【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．证明线线平行和线线垂直是解题的关键．11．如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证:EF ∥面PAD ．【分析】取PD的中点G,连接FG、AG，由PF=CF，PG=DG,所以FG∥CD,且FG=CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE∥CD，且AE=CD．证得四边形EFGA是平行四边形,所以EF∥AG，由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF=CF，PG=DG,所以FG∥CD,且FG=CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE∥CD，且AE=CD．所以FG∥AE，且FG=AE,所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF∥AG．又因为EF⊄平面PAD,AG⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题,仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，求证： （Ⅰ）A 1C ∥平面BDE ； （Ⅱ）平面A 1AC ⊥平面BDE ．【分析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于O,连接EO ，△A 1AC 中利用中位线，得EO ∥A 1C ．再结合线面平行的判定定理，可得A 1C ∥平面BDE;（II ）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义,得到AA 1⊥BD ．再结合正方形的对角线互相垂直，得到AC ⊥BD ，从而得到BD ⊥平面A 1AC,最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A 1AC ⊥平面BDE ．【解答】证明:（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为△A 1AC 的中位线 ∴EO ∥A 1C又∵EO ⊂平面BDE ，A 1C ⊄平面BDE ∴A 1C ∥平面BDE ；…(6分）（Ⅱ)∵AA 1⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD ∴AA 1⊥BD又∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC ⊥BD ，∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC∴BD⊥平面A1AC又∵BD⊂平面BDE∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）【点评】本题以正方体为例，要求我们证明线面平行和面面垂直,着重考查了空间直线与平面的位置关系和平面与平面位置关系等知识点,属于基础题．13．如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形，E为PD的中点．（1)求证：PB∥平面AEC；（2）若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC⊥平面PCD．【分析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC;（2）要证平面PDC⊥平面AEC，需要证明CD⊥AE,AE⊥PD，即垂直平面AEC内的两条相交直线．【解答】证明：(1）连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC,∴PB∥平面AEC．（2）∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD，又AD⊥CD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点,∴AE⊥PD．又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PDC,又AE⊂平面PAD，∴平面PDC⊥平面AEC．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定定理，属于基础题．14．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证:（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．【分析】（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PA∥EO,进而根据线面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE．（2）根据线面垂直的定义，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC【解答】证明(1)连接OE，在△CAP中，CO=OA，CE=EP,∴PA∥EO，又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PO又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键．15．如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面边长AB=1，侧棱长AA 1=2． (Ⅰ）求正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面积； (Ⅱ）证明：AC ⊥平面BDD 1B 1．【分析】（I)求出各面的面积即可得出表面积；（II ）根据BB 1⊥平面ABCD 可得AC ⊥BB 1，根据正方形ABCD 的性质可得AC ⊥BD ，从而有AC ⊥平面BDD 1B 1．【解答】解：(I)正四棱柱的表面积为1×1×2+1×2×4=10． （II ）连接AC,BD,B 1D 1,∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥BB 1，∵四边形ABCD 是正方形, ∴AC ⊥BD,又BD ⊂平面BDD 1B 1，BB 1⊂平面BDD 1B 1，BD ∩BB 1=B ， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1．【点评】本题考查了直棱柱的结构特征，线面垂直的判定，属于基础题．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．求证： （1）C 1O ∥面AB 1D 1; (2)A 1C ⊥面AB 1D 1．【分析】(1)欲证C 1O ∥面AB 1D 1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C 1O 与面AB 1D 1内一直线平行，连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连接AO 1，易得C 1O ∥AO 1，AO 1⊂面AB 1D 1，C 1O ⊄面AB 1D 1，满足定理所需条件；（2）欲证A 1C ⊥面AB 1D 1,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A 1C 与面AB 1D 1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A 1C ⊥B 1D 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，又D 1B 1∩AB 1=B 1，满足定理所需条件．【解答】证明:（1)连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连接AO 1, ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体, ∴A 1ACC 1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO,∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1,AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1,∴C1O∥面AB1D1；(2)∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，∵A1B⊥AB1,BC⊥AB1，又A1B∩BC=B,AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC,∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D1【点评】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M,E,F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证:(1）E，F，D，B四点共面；（2）面AMN∥平面EFDB．【分析】（1)由E,E分别是B1C1,C1D1的中点，知EF∥B1D1，从而得到EF∥BD，由此能证明E，F，B，D，四点共面．（2）由题设条件推导出MN∥EF，AN∥CF，由此能够证明面MAN∥面EFDB．【解答】证明:（1）∵E，E分别是B1C1，C1D1的中点,∴EF∥B1D1 ,∵B1D1∥BD,∴EF∥BD，∴E，F，B，D，四点共面．（2）∵M,N分别是A1B1，D1A1的中点，∴MN∥B1D1，∵EF∥B1D1，∴MN∥EF，∵F，N分别是D1C1、A1B1的中点，∴NF A1D1，∵，∴NF AC,∴四边形NFCA是平行四边形，∴AN∥CF，∵MN∩AN=N，EF∩DF=F，∴面MAN∥面EFDB．【点评】本题考查四点共面的证明,考查两个平面平行的证明．解题时要认真审题，注意中位线定理和平行公理的合理运用．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1，AA 1=2，点P 是DD 1的中点． 求证:(1）直线BD 1∥平面PAC（2）①求异面直线PC 与AA 1所成的角． ②平面PAC ⊥平面BDD 1．【分析】(1)连接BD ，交AC 于O,连接PO ，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）①连接PC 1，AA 1∥CC 1，∠C 1CP 即为异面直线PC 与AA 1所成的角，分别求出△C 1CP 的三边，由解三角形即可得到所求角;②运用正方形的对角线垂直和线面垂直的性质定理，可得AC ⊥平面BDD 1B 1，再由面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】（1）证明:连接BD ，交AC 于O ，连接PO ， 在△BDD1中，OP 为中位线,可得OP∥BD1，又OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，则直线BD1∥平面PAC；（2）①连接PC1，AA1∥CC1，∠C1CP即为异面直线PC与AA1所成的角，在△C1CP中，C1C=2，PC===，PC1===,由PC2+PC12=CC12，可得△C1CP为等腰直角三角形，则异面直线PC与AA1所成的角为45°；②证明：在底面ABCD中，AB=AD，即有四边形ABCD为正方形，可得AC⊥BD，D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD,即有D1D⊥AC,D1D∩BD=D,可得AC⊥平面BDD1B1，AC⊂平面PAC，则平面PAC⊥平面BDD1．【点评】本题考查线面平行的判定，注意运用中位线定理和线面平行的判定定理,考查异面直线所成角的求法,注意运用平移法，考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． (Ⅰ)求证:AB 1⊥平面A 1CE ；（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，可知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，∠ACB=90°,AC⊥BC ．建立空间直角坐标系C ﹣xyz ．则A ，B 1，E ，A 1，可得，，，可知，根据，，推断出AB 1⊥CE ，AB 1⊥CA 1，根据线面垂直的判定定理可知AB 1⊥平面A 1CE ． (Ⅱ）由（Ⅰ)知是平面A 1CE 的法向量，，进而利用向量数量积求得直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥AC,CC 1⊥BC, 又∠ACB=90°， 即AC ⊥BC ．如图所示，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ．A （2，0,0)，B 1（0,2,2)，E(1，1，0），A 1(2，0，2）， ∴,,．又因为 ,，∴AB 1⊥CE ，AB 1⊥CA 1，AB 1⊥平面A 1CE ． （Ⅱ)解:由（Ⅰ)知，是平面A 1CE 的法向量，，∴｜cos ＜，＞｜==．设直线A 1C 1与平面A 1CE 所成的角为θ，则sinθ=｜cos ＜，＞｜=．所以直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，向量的数量积的运用，法向量的运用．综合考查了学生所学知识的灵活运用．20．如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C 1D 1的中点．求证：平面D 1EF ∥平面BDG ．【分析】欲证平面D 1EF ∥平面BDG,根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相交直线与另一平面平行，EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG 根据线面平行的性质可知EF ∥平面BDG ，同理可证D 1E ∥平面BDG ，EF ∩D 1E=E ，满足定理条件． 【解答】证明:∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵D 1G EB ∴四边形D 1GBE 为平行四边形，D 1E ∥GB 又D 1E ⊄平面BDG,GB ⊂平面BDG∴D 1E ∥平面BDG,EF ∩D 1E=E ， ∴平面D 1EF ∥平面BDG【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行的判定，考查识图能力和逻辑思维能力与推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．21．（文科)如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N,E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点, 求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【分析】连接B 1D 1，NE ，分别在△A 1B 1D 1中和△B 1C 1D 1中利用中位线定理，得到MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，从而MN ∥EF,然后用直线与平面平行的判定定理得到MN ∥面BDEF ．接下来利用正方形的性质和平行线的传递性，得到四边形ABEN 是平行四边形，得到AN ∥BE ，直线与平面平行的判定定理得到AN ∥面BDEF,最后可用平面与平面平行的判定定理，得到平面AMN ∥平面EFDB ，问题得到解决．【解答】证明:如图所示,连接B 1D 1，NE∵M,N ，E ，F 分别是棱A 1B 1,A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点 ∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1 ∴MN ∥EF又∵MN ⊄面BDEF ，EF ⊂面BDEF ∴MN ∥面BDEF∵在正方形A 1B 1C 1D 1中,M ，E ，分别是棱 A 1B 1，B 1C 1的中点∴NE∥A1B1且NE=A1B1又∵A1B1∥AB且A1B1=AB∴NE∥AB且NE=AB∴四边形ABEN是平行四边形∴AN∥BE又∵AN⊄面BDEF，BE⊂面BDEF∴AN∥面BDEF∵AN⊂面AMN，MN⊂面AMN，且AN∩MN=N∴平面AMN∥平面EFDB【点评】本题借助于正方体模型中的一个面面平行位置关系的证明，着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和面面平行的判定定理等知识点，属于基础题．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点，求证：（1)EN∥平面PDC;(2）BC⊥平面PEB；（3）平面PBC⊥平面ADMN．【分析】（1）先证明AD∥MN由N是PB的中点，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形得EN∥DM，DM⊂平面PDC，可得EN∥平面PDC；（2）由侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，得PE⊥AD，PE⊥EB,PE⊥BC，由∠BAD=60°，AB=2,AE=1,由余弦定理可得BE=,由正弦定理可得：BE⊥AD，有由AD∥BC可得BE⊥BC,可得BC⊥平面PEB；（3）由（2）知BC⊥平面PEB，EN⊂平面PEB可得PB⊥MN，由AP=AB=2,N是PB的中点，得PB ⊥AN，有MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，可证平面PBC⊥平面ADMN．【解答】解：（1）∵AD∥BC,AD⊂平面ADMN，BC⊄平面ADMN，∴BC∥平面ADMN，∵MN=平面ADMN∩平面PBC,BC⊂平面PBC，∴BC∥MN．又∵AD∥BC，∴AD∥MN．∴ED∥MN∵N是PB的中点，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，∴ED=MN=1∴四边形ADMN是平行四边形．∴EN∥DM，DM⊂平面PDC，∴EN∥平面PDC；（2）∵侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，∴PE⊥AD，PE⊥EB,PE⊥BC∵∠BAD=60°，AB=2，AE=1，由余弦定理可得BE=，由正弦定理可得：BE⊥AD∴由AD∥BC可得BE⊥BC，∵BE∩PE=E∴BC⊥平面PEB；（3）∵由(2)知BC⊥平面PEB,EN⊂平面PEB∴BC⊥EN∵PB⊥BC，PB⊥AD∴PB⊥MN∵AP=AB=2，N是PB的中点，∴PB⊥AN,∴MN∩AN=N．PB⊥平面ADMN，∵PB⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面ADMN．【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．23．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，D,E分别是AB,BC的中点．(1）求证:DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PC．【分析】（1）推导出DE∥AC，由此能证明DE∥平面PAC．（2）连结PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，从而AB⊥平面PDC,由此能证明AB⊥PC．【解答】证明：（1）∵在正三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是AB，BC的中点．∴DE∥AC，∵DE⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（2）连结PD,CD，∵正三棱锥P﹣ABC中，D是AB的中点,∴PD⊥AB，CD⊥AB,∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC,∴AB⊥PC．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养．24．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD=1,PA=PC=．(1)求证:PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．【分析】(1）由勾股定理逆定理可证明AD⊥PD,PD⊥CD即可得出PD⊥平面ABCD；(2）由（1）可得PD⊥AC，结合AC⊥BD,得出AC⊥平面PBD,从而平面PAC⊥平面PBD．。
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所以
由题可知
平面
平面
所以 平面 …………①
同理可得
平面 …………②
由题可知
交于点 且均在平面 内…………③
由①②③得
平面 平面 .
由①②③得
2.通过平面与平面垂直的性质定理证明:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
…………①（需要证明）
…………②（需要证明）
由题可知
交于直线 且 在 内③（不需要证明）
由①②③得
四、平面与平面垂直的证明
1.通过直线与平面垂直的判定定理证明:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
证明:因为 平面
平面
所以 …………①
因为四边形 是正方形
所以 …………②
由题可知
交于点 且均在平面 内…………③
由①②③得
平面
2.如图,三棱柱 中, 底面 分别是 的中点, .
求证:平面 平面 .
证明:连接 ,在三棱柱 中,有
且
因为 分别是 的中点,所以
且
所以四边形 是平行四边形
所以 且
因为 且
所以 且
…………①（需要证明）
由题可知
…………②（不需要证明的判定定理证明:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
…………①（需要证明）
由题可知
…………②（不需要证明）
由①②得
证明样例
1.如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是正方形, 分别是 中点.求证: 平面 .
…………①（需要证明）
…………②（需要证明）
由题可知
交于点 且均在 内
交于点 且均在 内
由①②③得
三、直线与平面垂直的证明
1.通过直线与平面垂直的判定定理证明:一条直线与一个平面内两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.
…………①（需要证明）
…………②（需要证明）
由题可知
交于点 且均在 内③（不需要证明）
空间立体几何平行垂直几何法证明模板
(模板制作:石廷有)
一、直线与平面平行的证明
1.通过直线与平面平行的判定定理证明:平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线平行于此平面.
…………①（需要证明）
由题可知
…………②（不需要证明）
…………③（不需要证明）
由①②③得
2.通过平面与平面平行的性质定理证明:若两个平面平行,则一个平面内的任意一条直接与另一个平面平行.
…………①（需要证明）
由题可知
…………②（不需要证明）
由①②得
二、平面与平面平行的证明
1.通过直线与平面平行的判定定理证明:一个平面的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
…………①（需要证明）
…………②（需要证明）
由题可知
交于点 且均在 内③（不需要证明）
由①②③得
2.通过平直线与平面平行的判定定理的推论证明:若一个平面的两条相交直线分别与另一个平面的两条相交直线平行,则这两个平面平行.