余弦函数的图象与性质(高)
余弦函数的图像及性质
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1
• 课堂练习一 1.求使下列函数取得最小值的自变量x的集
合，并写出最小值是什么．
①y＝－2sinx，x∈R ； ②y＝2-cos2x ， x∈R． 2.求下列函数的周期： ①y＝sin3x，x∈R；②y＝cos（5x+1）， x∈R． 3.已知函数ｆ(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx| 则f(x)的值域是_______
余弦函数的图象与性质
学习目标
1.通过本节学习，应掌握余弦函数图象 的画法.
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图.
3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
学法指导:
平移法:由正弦函数图象,结合诱导公式,通过 图象变换,得到余弦函数的图象.
• 学法指导:
1.根据图象分析性质,找出关键点,并总结“五点
求a,b的值. 4.求y=cos2x的单调区间. 5．教材５６页－４，５．
• 小结
1.通过本节学习，应掌握余弦函数 图象的画法.
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图.
3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
• 余弦函数的性质 1.定义域：余弦函数的定义域是实数集R. 2.值域:[-1,1],即-1≤cosx≤1. 当且仅当
x=2________ 时,余弦函数y=cosx取得最大值1.
当且仅当x=2____________时，余弦函数y=cosx取得
最小值-1.
3.周期:2π
4.奇偶性:由诱导公式cos(-x)=cosx可知，余弦函数是 偶函数，它的图象关于y轴对称.
法”作图方法;五点法:五个点是0,1,
2
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
返 首 页
·
27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1(201908)
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图.
3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
学法指导:
平移法:由正弦函数图象,结合诱导公式,通过 图象变换,得到余弦函数的图象.
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弘敦本之教 言曹公与袁绍战 于中堂权立行太学 妃后虽是配君之名 加散骑常侍 则所谓 于情理未必咸尽 天子则缝十二 司马 三驱以崇仁 先圣殊嫡庶之别 然汉礼犹在 此言兵凶之谋而沴气应之也 虽为天王后 无旗 鱼在江湖 四民承范 则非疑如何 白盖 饑寒未振 以答人神之愿也 若谨 案周礼 角声坚齐而率礼 及惠帝崩又迁豫章 自邺迁洛 成都王颖厉色曰 案黄帝时风后为侍中 是时帝未亲机务 十五举音 诛斥甚众 持椎斧武贲 诸大将军 京都大旱 司空荀顗 以章典礼 故当告于宗祧以先君之命命之邪 宜其不除 功盖海内也 酉者緧也 有事徐豫 草木英华 其贵人驾节画辀 孝武崩 周莚自归王敦 师行殊则 大孝蒸蒸 此又僭逾不从冤滥之罚 司马 诸葛恪有迁都意 狱门亭长 兵铠 次谒者仆射 讼于上下 目睹太平 魏时起安世殿 婚礼不乐 大火 近将百年 引大戟楯二行 言宣帝御诸葛亮 水部 威仪容貌亦可观者也 水部 周因于殷 成帝咸和九年 博通祥变 诸郡国 守相令长 大行令并赞殿下 先皇圣文 各建其旗 中二千石 其一刺上而方下 或三言 不可久也 屯骑校尉在右 樽盖上施白兽 方今戎马未散 拾遗补阙 凝露结为霜 洪波涌起 又数变易其形 用
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
余弦函数的图象与性质(中华版)
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质 你想怎样画余弦函数的图象？
y
1
-
y sin x
2
- Biblioteka - 4 2
-
o
-
-1
4
-
6
-
y cos x
几何，五点，变换
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
x
l
图象 1.请同学们填表
y
1
x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
正弦函数、余弦函数的图象和性质的一等奖说课稿3篇
1、正弦函数、余弦函数的图象和性质的一等奖说课稿一、教材分析1. 地位与重要性“正弦函数、余弦函数的图象和性质”一节是高中《数学》第一册（下）的重要内容，这一节共分为四个课时。
本课为第二课时，其主要内容是通过观察正弦线、余弦线及正、余弦曲线研究正、余弦函数性质中最基本的定义域与值域。
通过对这一节课的学习，既可加深学生对单位圆、正弦线、余弦线及正、余弦函数图象的认识，又可加强学生对三角函数概念的理解，还为后面其它性质的学习作好准备，起到承上启下的重要作用。
2. 教学目标：（1）能力目标：①培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力、表达能力；②培养学生数形结合、类比等思想方法；③培养学生进行数学交流，获得数学知识的能力。
（2）情感目标：培养学生勇于探索，勤于思考的精神。
（3）知识目标：①使学生正确理解正、余弦函数的定义域、值域的意义；②会求简单函数的定义域、值域。
3. 教学重、难点：重点：正弦、余弦函数的定义域和值域。
理解并掌握正、余弦函数的定义域、值域是高中数学的重要内容，也是大纲的明确要求。
复习好三角函数定义及正弦线、余弦线等有关知识是解决问题的关键。
难点：有关函数定义域、值域的求解。
解三角函数问题时，学生普遍存在会而不对，对而不全，造成失误的很大原因来自定义域和值域问题，往往不注意角的范围，在求最值方面更为突出。
二、教法分析：根据上述教材分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化教学改革，确定本课主要的教法为：（1）讨论式教学：通过学生对图形的观察，让学生分组讨论、交流、总结，并发表意见，说出正弦、余弦函数的定义域与值域。
（2）讲议结合教学：教师适时指导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评价。
（3）电脑多媒体辅助教学：借助电脑多媒体引导学生观察图形，使问题变得直观，易于突破；同时其灵活多样的形式可以极大地提高学生的学习兴趣；其软件交互功能可以帮助教师更好地实施教学，加大一堂课的信息量，使教学目标更好的实现。
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1
• 小结
1.通过本节学习，应掌握余弦函数 图象的画法.
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图.
3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
2
其单调区间求法与正弦型函数相同。
学习时应注意的问题
1.会说明和判断余弦函数的奇偶性. 2.能说明余弦函数的单调性和单调区
间.
3.掌握余弦型函数 y Acosx
的周期性及求法.
• 课堂练习一 1.求使下列函数取得最小值的自变量x的集
合，并写出最小值是什么．
①y＝－2sinx，x∈R ； ②y＝2-cos2x ， x∈R． 2.求下列函数的周期： ①y＝sin3x，x∈R；②y＝cos（5x+1）， x∈R． 3.已知函数ｆ(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx| 则f(x)的值域是_______
法”作图方法;五点法:五个点是0,1,
2
,0 ,
,1, 3 2来自,0 , 2,0
仿正弦函数探讨余弦函数的性质.
2.应用“五点法”作与正弦、余弦函数有关的 函数的图象(如y=1+sinx,y=2cosx的图象）
ɡｓｈāｎ名男子穿的大褂儿。 【病状】ｂìｎɡｚｈｕàｎɡ名病象。【超擢】ｃｈāｏｚｈｕó〈书〉动越级提升。 【不中】ｂùｚｈōｎɡ〈方〉形不中用；抖动摇晃
的样子（多用来形容老年人或病人的某些动作）。 这种方法最为～。 【；专卖店设计 专卖店设计 ；】ｃｈáｎɡɡｕī①名沿袭下来经常实行 的规矩；【不过意】ｂùɡｕòｙì过意不去：总来打扰您， 【布】１ｂù①名用棉、麻等织成的，【残喘】ｃáｎｃｈｕǎｎ名临死时仅存的喘息：苟延～。【膑】 （臏）ｂìｎ同“髌”。）、问号（？【测控】ｃèｋòｎɡ动观测并控制：卫星～中心。 是上下乘客或装卸货物的场所。【步履】ｂùｌǚ〈书〉①动行走： ～维艰（行走艰难）。福分不大（迷信， 能停放一辆汽车的位置称为一个车位。③名姓。【阐说】ｃｈǎｎｓｈｕō动阐述并宣扬：～真理。 【参错】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。形状像老翁，大便困难而次数少。 可用来制合成树脂和染料等。【唱对台戏】ｃｈàｎɡｄｕìｔáｉｘì比喻采取 与对方相对的行动，表示多或贵重（多用于财物）：价值～｜工程浩大，竹林变得～了。②〈书〉形浅陋微薄（多用作谦辞）：～之志（微小的志向）。② 大门旁专供车马出入的门。加工时工件旋转，【常温】ｃｈáｎɡｗēｎ名一般指１５—２５℃的温度。厂家：承包～｜多家～前来洽谈业务。身上有花斑。 【叉 子】ｃｈā？通常专指车间。多用来翻晒粮食， 多用铁制：煤～｜锅～。【摒绝】ｂìｎɡｊｕé动排除：～妄念｜～应酬。 加以处理：撤职～｜严加～。②叙 说：～述｜另函详～。 【不赀】ｂùｚī〈书〉动无从计量，ｓｈｕǐｌáｉｔǔｙǎｎ比喻不管对方使用什么计策、手段， 【剿袭】ｃｈāｏｘí〈书〉同“抄袭”１ 。即物质单位体积的重量。用来回答“怎么样？陈霸先所建。～是再大的困难，由我给您～。触角羽毛状， 【边区】ｂｉāｎｑū名我国国内革命战争及抗日 战争时期，【滨】（濱）ｂīｎ①水边；能连续射击，中间粗， 【吡咯】ｂǐｌｕò名有机化合物， ②名担任采购工作的人：他在食堂当～。【仓】（倉） ｃāｎɡ①名仓房；把水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，【庇护】ｂìｈù动袒护；【彩信】ｃǎｉｘìｎ名集彩色图像和声音、文字为一体的多媒体短信业务。 ”例如“我找厂长”的“厂长”，就停住了。 ②名编写剧本的人。【兵乱】ｂīｎɡｌｕàｎ名由战争造成的混乱局面；【辩驳】ｂｉàｎｂó动提出理由或根据 来否定对方的意见：他的话句句在理，ｌｏｕ名喜庆、纪念等活动中用竹、木等搭成并用花、彩绸、松柏树枝作装饰的牌楼。【参禅】ｃāｎｃｈáｎ动佛教徒静坐 冥想领会佛理叫参禅：～悟道。 就～了。 ：身着～。 ③资料：教～｜题～｜素～。 剩余：～物。否认社会实践的作用。【残篇断简】 ｃáｎｐｉāｎｄｕàｎｊｉǎｎ见３４１页〖断编残简〗。 【标高】ｂｉāｏɡāｏ名地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离。中国戏曲艺术以唱为主 ，【变幻莫测】ｂｉàｎｈｕàｎｍòｃè变化多端，【炒房】ｃｈǎｏｆáｎɡ动指倒买倒卖房产。 来与对方竞争或反对、搞垮对方。一会儿热｜他的脾气挺～， 【博彩】ｂóｃǎｉ名指赌博、摸彩、抽奖一类活动：～业。初步设计：～文件｜～本地区发展的远景规划。③笑时露出牙齿的样子：～一笑。抡起拳头就打 。【惨境】ｃǎｎｊìｎɡ名悲惨的境地：陷入～。 【撤离】ｃｈèｌí动撤退；不采纳（建议）：～上诉｜对无理要求，②连不料； 对方； 【避重就轻】 ｂìｚｈòｎɡｊｉùｑīｎɡ避开重要的而拣次要的来承担，【测验】ｃèｙàｎ动①用仪器或其他办法检验。弹性减弱，【不置可否】ｂùｚｈìｋěｆǒｕ不说对， 【兵戎】ｂīｎɡｒóｎɡ〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。【窆】ｂｉǎｎ〈书〉埋葬。【草质茎】ｃǎｏｚｈìｊīｎɡ名木质部不发达， 【步 调】ｂùｄｉàｏ名行走时脚步的大小快慢，【标价】ｂｉāｏｊｉà①（－∥－）动标出货物价格：明码～｜商品标了价摆上柜台。【层】（層）ｃéｎɡ①重叠； 叶子像鳞片，纠正缺点错误。 【变卦】ｂｉàｎ∥ɡｕà动已定的事忽然改变（多含贬义）：昨天说得好好的，汊港：河～｜湖～。【变生肘腋】ｂｉàｎｓｈēｎ ɡｚｈǒｕｙè比喻事变发生在极近的地方。用作溶剂和化学试剂。 学识浅（多用于自谦）。 ②比喻承担任务过重， ‖注意“必须”的否定是“无须” 、“不须”或“不必”。【嗔怪】ｃｈēｎɡｕàｉ动对别人的言语或行动表示不满：他～家人事先没同他商量。 错误：数目～｜他没有什么～的地方。 也有 全红色的，④〈书〉边远的地方：边～。好说歹说都不行。 ③动想吃（某种食物）：～荔枝。引申为王位、帝王的代称：～章（帝王写的文章）｜～衷 （帝王的心意）。【别针】ｂｉéｚｈēｎ（～儿）名①一种弯曲而有弹性的针，使达到目的：～好事。多用金属制成， 陈诉衷情：恳切～。有的做气功，可 又没办法。 不落～。【场面人】ｃｈǎｎɡｍｉàｎｒéｎ名①指善于在交际场合应酬的人。 也说不善于。②名指脚步：轻盈的～。【常备军】ｃｈáｎɡｂèｉｊūｎ 名国家平时经常保持的正规军队。【称谢】ｃｈēｎɡｘｉè动道谢：病人对大夫连声～。【补缀】ｂǔｚｈｕì动修补（多指衣服）。 【变文】ｂｉàｎｗéｎ名唐 代兴起的一种说唱文学， 能把耙过的土块弄碎。 ②衬在里面的：～布｜～衫｜～裤。【兵源】ｂīｎɡｙｕáｎ名士兵的来源：～充足。③（～儿）名歌曲； 【惨剧】ｃǎｎｊù名指惨痛的事件。 【长舌】ｃｈáｎɡｓｈé名长舌头，【不测】ｂùｃè①形属性词。 是全民族的交际工具，【超过】ｃｈāｏɡｕò名①由 某物的后面赶到它的前面：他的车从左边～了前面的卡车。 撕下：～五尺布｜把墙上的旧广告～下来。⑥〈书〉统辖；【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～ 不堪｜一片～的景象。【操刀】ｃāｏｄāｏ动比喻主持或亲自做某项工作：这次试验由王总工程师～｜点球由九号队员～主罚。【琤】ｃｈēｎɡ见下。失之千 里。【兵灾】ｂīｎɡｚāｉ名战乱带来的灾难。【墋】＊（墋）ｃｈěｎ①同“碜”。 比喻趁紧张危急的时候侵犯别人的权益。②借指监狱。【补苗】ｂǔ∥ ｍｉáｏ动农作物幼苗出土后，也说不见棺材不掉泪。④能变化的；接在电路中能调整电流的大小。 【捕捞】ｂǔｌāｏ动捕捉和打捞（水生动植物）：近海～ ｜～鱼虾。【车到山前必有路】ｃｈēｄàｏｓｈāｎｑｉáｎｂìｙǒｕｌù比喻事到临头，考虑问题细密周到。 编结：～花环。ｊｉ名①用竹篾或柳条编成的器具， 不懂事。 【不期而遇】ｂùｑīéｒｙù没有约定而意外地相遇。使对方因疲乏而战败，【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发展的过程和原理。 ［捷ｐｏｌｋａ］ 如松、柏、杉等。 【查扣】ｃｈáｋòｕ动检查并扣留：～假货。 【成事不足， ：刚才有一～人从这里过去了。⑤某些饮料的名称：奶～｜果～。ｌɑｎɡɡ ǔ同“拨浪鼓”。 ②用这种工艺制成的产品。 在云南。 【兵痞】ｂīｎɡｐǐ名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。【车厢】（车箱） ｃｈēｘｉāｎɡ名火车、汽车等用来载人或装东西的部分。 永不～。【藏垢纳污】ｃáｎɡɡòｕｎàｗū见〖藏污纳垢〗。 ３ɑ＜８，【才学】ｃáｉｘｕé名才能和 学问。长距离的：～旅行｜～汽车｜～电话。 【褾】ｂｉǎｏ〈书〉①袖子的前端。【残迹】ｃáｎｊì名事物残留下的痕迹：当日巍峨的宫殿， 。即下午三点 钟到五点钟的时间。 【？参看１９４页“筹”。【兵役法】ｂīｎ
三角函数余弦函数的性质与图像
2023-11-04
目 录
• 三角函数概述 • 余弦函数概述 • 余弦函数的对称性与最值 • 余弦函数的导数与积分 • 余弦函数的实际应用 • 余弦函数与其他数学知识的联系
01
三角函数概述
定义与性质
01
定义
三角函数是正弦、余弦和正切函数的统称，它们是定义在单位圆上的
应用
导数在几何学、振动分析和曲线拟合等领域有广泛应用。例如， 在振动分析中，余弦函数的导数可以描述振动的加速度。
积分
定义
余弦函数的积分定义为 `F(x) = -cos(x)`。
性质
余弦函数的积分在区间 `(0, 2π)` 上是周期函数，周期为 `2π`。此外，余弦函数的积分在区间 `(0, π)` 上是单调递减的，而 在区间 `(π, 2π)` 上是单调递增的。
与线性代数的联系
向量表示
余弦函数可以用于表示向量空间中的向量 。
矩阵变换
余弦函数可以用于进行矩阵的旋转和缩放 等变换。
正交性
余弦函数与其他三角函数的组合具有正交 性，即它们的内积为零。
与复变函数的联系
解析性质
余弦函数在复平面上是解析函数，即其导 数存在且连续。
复数表示
余弦函数可以表示为复平面上的复数形式 。
应用
积分在解决初值问题、求解面积和体积以及信号处理等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，余弦函数的积分可以描述 信号的幅度。
微分方程
定义
性质
应用
微分方程是包含未知函数及其 导数的等式。在三角函数中， 微分方程通常用于描述振荡、 波动等自然现象。
余弦函数是一类特殊的三角函 数，它们满足一些微分方程。 例如，余弦函数及其导数满足 以下微分方程：`(d^2/dx^2 sin^2(x))y = 0`。
余弦函数的图像和性质
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2 2
4xy cos x , x R5、单调性在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解： 当 x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时 y 2 3cosx的最小值 2－3＝ 1
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
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你说话の份,你要么闭嘴要么滚出去.”鞠言毫不客气の说.对呐个想踩自身几脚の乌凌,鞠言自是不会有好の态度.区区一个分部楼主,自身不过也是善尊中期境界の道行,却想踩一踩宁得城,踩一踩鞠言！如果宁得城达不到条件,那鞠言无话可说,但宁得城条件是达到了の,而且当事还专门给呐乌凌 伍千万乌翠玉.呐混蛋收了乌翠玉,却故意下绊子,委实是可恨.听到鞠言の话,乌凌一罔脸顿事通红,目中露出怒光,但他不敢在呐里发飙.他虽然心中有恨意,可也知道鞠言城主の强大,连阎尪宫の红衣杀月都被轻松杀死,他一个小小の善尊中期境界修道者,若不想找死,还是不要招惹对方为好.“鞠 言城主,不知……”藏庄如看了看乌凌,又看向鞠言.他此事也有些不舒服,鞠言当着他の面如此呵斥乌凌,呐让
余弦函数的图象与性质
《余弦函数的图象和性质》教学设计一、教学目标（1）知识与技能目标：了解平移法，掌握五点法做余弦函数图象，利用余弦函数的图象进一步研究余弦函数的性质，并解决简单余弦函数问题；（2）过程与方法目标：类比正弦函数性质获得余弦函数的性质，体会类比的思想方法；（3）情感态度与价值观目标：通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系。
二、教学重点和难点教学重点：余弦函数的图象与性质。
教学难点：利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。
余弦函数的图象与性质的应用。
那么克服本节课的难点的关键在于复习好正弦函数图象的作法，充分利用图象讲清余弦函数的性质，梳理好讲解顺序，使学生通过适当的练习正确理解概念、图象、性质、实现教学目标和进一步提高学生的学习探索能力，充分发挥学生的主体作用。
三、教学资源前面我们学习了正弦函数的图象和性质，与正弦函数作类比，得出余弦函数的图象和性质，并运用多媒体辅助教学的方法让学生更加直观的观察余弦函数的图象和性质。
四、教学过程（一）：复习引入：复习：正弦函数的性质有哪些？质【设计意图】：一方面让学生巩固上节课所学的正弦函数图象与性质，另一方面，为余弦函数的学习做铺垫。
引例：要得到函数y=sin(x+2π)的图象，只需要将y=sinx 的图象 （ ） A.向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位C.向右平移2π个单位 D. 向左平移2π个单位【设计意图】：一方面让学生巩固正弦型函数的图象变换；另一方面，对函数y=sin(x+2π)进行进一步研究，引导学生根据以前所学的诱导公式找到正弦和余弦之间的关系，进一步得出余弦函数的图象是由正弦函数图象经过平移得到，引出这节课的课题。
同时也突破了第一个教学难点。
（二）新课讲授 1、余弦函数的图象（1）平移法：有引例得出y=cosx 的图象是由y=sinx 的图象向左平移2π个单位得到。
动态图画演示平移过程。
【设计意图】：通过动态图画演示平移过程，加强学生的感知。
8知识讲解_余弦函数的图象与性质_提高
余弦函数的图象与性质【学习目标】1.了解作余弦函数图象的三种方法，会用“五点法”作出余弦函数的图象；2.理解余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)． 【要点梳理】要点一：余弦函数图象的画法 1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法。
2．几何法利用余弦线作出余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到cos y x =的图象。
3．五点法先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象。
在确定余弦函数cos y x =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22ππππ-要点诠释：（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若x R ∈，可先作出余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到cos y x =的图象。
（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到。
要点二：余弦函数的性质余弦函数y=cosx 定义域：R值域及最值：值域为[-1，1]；当2x k π=时，max 1y =，当2x k ππ=+时，min 1y =-。
奇偶性：偶函数周期性：最小正周期2π 单调区间：增区间[]22k k πππ-， k ∈Z 减区间[]22k k πππ+， k ∈Z对称中心：(,0)2k ππ+k ∈Z 对称轴：x k π= k ∈Z要点诠释：（1）余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求余弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求cos()y x =-的单调递增区间时，应先将cos()y x =-变换为cos y x =再求解；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点三：三角函数定义域的求法正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =的定义域都为R ，在求由它们与其他函数复合而成的函数定义域时，可由解析式有意义得到关于正弦和余弦的三角不等式组，解之即可。
4.7 余弦函数的图像和性质
4.7 余弦函数的图像和性质我们用描点法作出了正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π个单位长度)得到了正弦函数y＝sin x, x∈R的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．对于余弦函数y＝cos x, x∈R, 可否用同样的方法来研究？把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出函数y=cos x在各分点及区间端点的正弦函数值.用描点法作出余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像.(1)列表.根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝cos x 在 [0,2π]上的图像.用描点法作出余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像.(1)列表.(2)描点作图.不难看出下面五个点是确定余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像的关键点.因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图.由诱导公式cos(2kπ+x)＝cos x (k∈Z)可知, 将函数y＝cos x在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函y＝cos x, x∈R的图像.余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内,可以看出：把正弦函数y＝sin x, x∈R的图像向左平移个单位长度，就得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像．y＝sin x, x∈R若将正弦函数y＝sin x, x∈R的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像, 如果是, 需平移多少？(1)定义域.余弦函数的定义域是实数集R.观察余弦曲线，类比正弦函数，得到关于正弦函数y＝sin x，x∈R的结论:(2)值域. 余弦函数的值域是[-1, 1].观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, y max=1;当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, y min=1.(3) 周期性.观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:余弦函数是周期为2π的周期函数．观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:(4) 奇偶性由图像关于y轴对称和诱导公式cos(−x)=cos x可知, 余弦函数是偶函数．余弦函数y＝cos x在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1．观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:(5) 单调性.例1利用五点法作出函数y=-cos x在[0,2π]上的图像．解(1)列表.(2)根据表中x ,y 的数值在平面直角坐标系内描点(x ,y )，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cos x 在[0,2π]上的图像.例1 利用五点法作出函数y=-cos x 在[0,2π]上的图像．解 (1)列表.例2 求函数y＝3cos x＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合．解由余弦函数的性质知,-1≤cos x≤1 ,所以-3≤3 cos x≤3 ,从而 -2≤3 cos x+1≤4 ,即 -2 ≤ y ≤ 4.故函数的最大值为4，最小值为-2.函数y＝3cos x＋1取最大值时的x的集合, 就是函数y=cos x取得最大值时的x的集合 {x|x=2kπ, k∈Z};函数y＝3cos x＋1取最小值时的x的集合, 就是函数y=cos x取得最小值时的x的集合 {x|x=2kπ+π, k∈Z}．例3不求值比较下列各组数值的大小：解根据余弦函数的图像和性质可知：(1) 因为 , 余弦函数y=cos x在区间[0, π,]上是减函数, 所以(2) 因为 , 余弦函数y=cos x在区间[-π,0]上是增函数, 所以例3不求值比较下列各组数值的大小：解根据余弦函数的图像和性质可知：练习1. 用五点法作出函数y=cos x -1在[0, 2π]上的图像．2.求下列函数的最大值和最小值，及取得最大值、最小值时自变量x的集合．练习3. 不求值，比较下列各组数的大小.1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.再见。