余弦函数的图像及性质
余弦函数图像与性质
-
-
1-
P1
p1/6o1M-源自 1Ao63
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 2
x
-1 -
作法:
(1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
32
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(o2 ,0)
( 2 ,0)
2
3
-1
( ,-1)
线
4
5 6 x
正弦函数的性质
• 我们已经学习了正弦函数的性质，能不能 类比学习余弦函数的性质呢？
1. 定义域 2. 值域 3. 周期性 4. 单调性 5. 奇偶性 6. 对称性
都是这两个函数的周期。
即2k k Z,k 0 是它的周期，
最小正周期为 2
-4 -3
正弦、余弦函数的相同性质
y
1
-2
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x 5 6 x
一定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y=cosx (xR) 是偶函数
-4 -3
余弦函数的图像与性质PPT
所以 cos 3＜sin 1 ＜ cos 7 .
2
10
4
答案: cos 3＜sin 1 ＜ cos 7
2
10
4
类型一 余弦函数的图像及应用 【典例】用“五点法”作函数y=1-cosx(0≤x≤2π)的 简图.
世纪金榜导学号70034021
【审题路线图】用“五点法”作函数y=1-cosx(0≤x≤2π) 的简图⇒根据余弦函数图像的五个关键点列表⇒在坐标 系中描出五个关键点⇒用平滑的曲线连接五个点.
2.比较下列各组数的大小.
(1)-sin46°与cos221°.
2cos( 23 )与cos( 17 ).
5
4
【审题路线图】1.配方法⇒求出最值⇒写出值域. 2.用诱导公式化角在同一单调区间内⇒利用正(余)弦函 数单调性⇒写出答案.
【解析】1.y (cos x 1 )2 1 .
24
因为-1≤cosx≤1,
所以当cosx=1
2
时,ymax=
1 4
.
当cosx=-1时,ymin=-2.
所以函数y=-cos2x+cosx的值域是[2，1 ].
4
答案: [2，1]
4
2.(1)-sin46°=-cos44°=cos136°, cos221°=-cos41°=cos139°. 因为180°>139°>136°>0°, 所以cos139°<cos136°,即-sin46°>cos221°.
【解析】列表:
x cosx
0
π 3
2π
2
2
1
0
-1
0
1
1-cosx
01
2
高中数学第一章 §6 余弦函数的图像与性质
[核心必知]余弦函数的图像与性质[问题思考]1．如何由y ＝cos x ，x ∈R 的图像得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像？提示：只需将y ＝cos x ，x ∈R 的图像向右平移π2个单位即可得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像，并且方法不唯一．2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？提示：不是．余弦函数y ＝cos x 在[0，π2]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝12，cos 390°＝32.却有cos 60°<cos 390°.所以函数y ＝cos x 在第一象限内不是减函数．3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x ＝k π(k ∈Z )；它的对称中心有无数个，其坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )．讲一讲1．画出函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图像． [尝试解答] 按五个关键点列表：如图所示：1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像． 练一练1．用“五点法”画出y ＝3＋2cos x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表(2)讲一讲2．(1)求下列函数的定义域． ①y ＝32－cos x ； ②y ＝log 12(2cos x －2)．(2)求函数y ＝3－2cos(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2的值域． [尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有32－cos x ≥0， ∴cos x ≤32.可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 故所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .②要使函数有意义，则有2cos x －2>0， ∴cos x >22，故所求定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)∵π6≤x ≤π2，∴0≤2x －π3≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴－12≤cos(2x －π3)≤1，∴1≤3－2cos(2x －π3)≤4，故函数的值域为[1，4]．1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．2．求三角函数的值域，要充分利用sin x 和cos x 的有界性，对于x 有限制范围的，可结合图像求值域．练一练2. 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最值．解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.讲一讲3．(1)判断函数f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )的奇偶性．(2)求函数y ＝cos(π6－x )的单调减区间．[尝试解答] (1)∵f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )＝－cos x －x sin x ，∴f (－x )＝－cos(－x )－(－x )sin(－x ) ＝－cos x －x sin x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)y ＝cos(π6－x )＝cos(x －π6)，令2k π≤x －π6≤π＋2k π(k ∈Z )，得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k πk ∈Z .1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f (－x )与f (x )的关系确定奇偶性．2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．练一练3．比较下列各组值的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 7π6；(2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8 ＝－cos π8.而cos 7π6＝－cos π6∵0<π8<π6<π2.∴cos π8>cos π6.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8<cos 7π6.(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°) ＝－sin 14°＝－cos 76°， cos 160°＝cos(180°－20°) ＝－cos 20°.∵0°<20°<76°<90°， ∴cos 20°>cos 76°， ∴－cos 20°<－cos 76°， ∴sin 194°>cos 160°.函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π [解析] 法一：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积， 又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 法二：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC 的面积(如图(2))． ∵|AC |＝2π，B 到AC 距离等于4.∴S 平面图形＝S △ABC ＝ 12×2π×4＝4π.法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD 的面积(如图(3)) ∵|AB |＝π，|AD |＝4. ∴S 平面图形＝S 矩形ABCD ＝4π. [答案] D1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3.2．函数y ＝－cos x 在区间[－π，π]上是( ) A ．增加的 B ．减少的C ．先增加后减少D ．先减少后增加解析：选D 作出y ＝－cos x 的图像可得选项D 正确． 3．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )解析：选 C 在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，由图像可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π上，y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的．4．函数y ＝cos x1＋cos x 的定义域是________．解析：由1＋cos x ≠0得cos x ≠－1 ∴x ≠π＋2k π，k ∈Z∴ 定义域是{}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z . 答案： {}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z5．当x ∈[0，2π]时，方程sin x ＝cos x 的解集是________． 解析：在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，如图，可得x ＝π4或x ＝5π4.答案： {π4，5π4}6．比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5. cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减少的． 所以cos π4>cos 3π5即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点 答案：C2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．(－32，12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．MP B ．M PC ．M ＝PD ．M ∩P ＝∅解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴MP .二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________．解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．比较大小：sin 3π5________cos π5.解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点．答案：28．函数y ＝11－cos x 的值域是________．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴ 函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题9．求函数y ＝cos(3x －π4)的单调减区间． 解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ， 得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ， ∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]．∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12. ①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34. ②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.。
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
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14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
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27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
余弦函数图像与性质
定义编辑角A的邻边比斜边叫做∠A的余弦，记作cosA（由余弦英文cosine简写得来），即cosA=角A的邻边/斜边（直角三角形）。
记作cos=x/r。
余弦是三角函数的一种。
它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
它是周期函数，其最小正周期为2π。
在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。
余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
2定理编辑简介三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。
（见解三角形公式，推导过程略。
）性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。
两根判别法若记m(c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值①若m(c1,c2）=2，则有两解；②若m(c1,c2）=1，则有一解；③若m(c1,c2）=0，则有零解（即无解）。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
角边判别法1、当a>bsinA时①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；⑤当b<a时，则有一解2、当a=bsinA时①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；3、当a<bsinA时，则有零解（即无解）3证明方法编辑平面向量证法∵如图，有a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b）·（a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵Cos（π-θ）=-CosC∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2abCosC即CosC=同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2）/(2ab)就是将CosC移到左边表示一下。
余弦函数的图像和性质
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
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还是和前两次一样.他决定拼一把,开始神血秘典の第四步——断血. 盘坐在祭坛中央,白重炙运起"夜皇决",封闭了身体中の阴脉和阳脉之间の连接穴道,直接断绝了两脉之间の血液流通. 顿时,白重炙の身体逐渐红了起来,体表の血脉条条鼓了起来. "好难受,这就是断血吗?这么好像被人捏住脖 子,要断气の感觉一样?啊?头怎么那么晕?神之精血怎么还不自救?" 此刻白重炙感觉自己就好像被人按住脑袋沉入水底般,那种要断气の感觉竟然是那么の恐怖.而且他の头脑也开始发晕,这是脑海开始缺氧の症状. 坚持,坚持！ 白重炙脑海中只留下坚持几个字,最后时候他选择了相信自己那个高 人老爹.死死控制"夜皇决"坚决封闭着穴道,断绝了血液の流通. 而此刻の白重炙,如果有外人看到の话,肯定会惊叫起来.因为此刻の白重炙早已不复原来の那位冷峻青年摸样.全身青筋暴涨,密密麻麻遍布全身,皮肤全部红の刺眼,耳口鼻开始慢慢渗血.全身看起来狰狞恐怖,恍如恶魔. 糟糕！ 白 重炙心里一疙瘩,暗暗叫苦起来,同时嘴里大量冒出鲜血.由于长期封闭血脉,血脉终于承受不住重荷爆裂开来. 完了！这下真の飘然西去死翘翘了…… 白重炙心里长叹一声,此刻他脑海却异常清醒,似乎到了回光返照の那一刻.恍惚间,他仿佛感觉自己可以看见自己の身体阴脉寸寸爆裂,大量の鲜 血狂涌而出.而且此刻他还仿佛能透过浓浓の白雾,看到了战智堂里众人面部各异の表情.他还看见妹妹夜轻语正站在旁边の角落里,遥遥の眺望着自己这个光圈,满脸の希翼,满脸の柔情…… 就在白重炙即将陷入昏迷,因大量失血而昏死过去之时. 他左手带着の那枚青铜戒指突然闪耀出一阵白色 の光芒,接着一股犹如绸缎般の白色气流缓缓从戒指中冒出,从他手指流入白重炙の身体里. 突兀の—— 白色气流从左手开始快速の向身体涌去,而最令人惊奇之处是,白色气流所流过之处,白重炙体表の肌肉发出阵阵ru白色の淡淡光芒,而原本深红の青筋遍布の皮肤肌肉,竟然快速平缓恢复过来. 而白色气流也不停留,快速在全身行走了一圈,最后停顿在了白重炙の身体心脏附近.而那里正是阴脉断裂の地方.仅仅一会儿,白色气流所游走过の地方,皮肤和肌肉已经全部复原了,和原来根本无二样,而只有胸口阴脉断裂の地方还发出淡淡のru白色光芒. 而此时身体发生の异状,白重炙却完全不 知道,因为他早已在白色气流涌出之前昏迷过去了. …… "都过去五多分钟了,怎么还没反应?" 而此时,站在大堂左角落の夜轻语,娥眉蹙起,满脸担忧.对于白重炙对这次觉醒仪式の看重,她看在眼里. 关于这次觉醒仪式,她不关心,她在意の是哥哥,如果失败,哥哥肯定会很伤心吧? "啊,变色了！" 旁边の人一声轻呼,夜轻语猛然抬头,欣喜の往中间の光圈看去,那是白重炙所在の祭坛.随即她又失望の低下了头,刚才变色の光圈是左边の光圈.而中间の那光圈依旧白の耀眼. 唉……等会该怎么安慰哥哪? 夜轻语一阵苦恼,眼神闪过一丝迷离,一丝落寞.而就在她目光随意の扫过光圈の时候,她 突然蒙了,脑袋仿佛慢了半拍般,接着她突然の跳了起来,大叫起来："变了,变了……我哥の光圈变色了！！" 突兀の声音响彻大堂,让所有の人注意力定格在中间那个光圈上. 空荡荡の大堂中,三个光圈,左边の光圈早就变幻了颜色,现在定格在黄色不动了.而中间の光圈开始有白色缓缓变成了红 色. 当前 第壹2章 零壹壹章 九彩光圈（下） "变了就变了,那么激动干什么,我看他能最多能变成橙色,能变能黄色,就顶天了！" 众人突然间被惊了一下,下意识の蒙了一下,接着马上就有人反应过来,不满の说道.毕竟,今天本来就在此坐了一天了,像这种情况已经见怪不怪了. "额,还真给你说 中了,变黄色了." 众人被惊了一下,又开始谈笑起来,而夜轻语则痴痴の望着光圈,两行热泪盈眶而出.丝毫没有听闻别人の话语. 哥哥终于要成功了,她の心情此刻非常の激动. 而上面の四位长老却默默の坐在,上首位置,品着茶水,谈笑着.丝毫不在乎,毕竟下午の子弟都让他们失望太多了. "咦? 还在变?绿色了?这是哪家子弟啊,天赋还行啊." 光圈慢慢の有黄色转成绿色,而下面の众人也开始关注了起来,纷纷打听光圈里の人是谁?毕竟绿色光圈可是有可能召唤出四品战智,以后前途还是有の. "额?还再变?青色了！怎么可能?" 众人纷纷将注意力转移到了中间の光圈起来,三座光圈中,中 间那道光圈上面淡淡の青色光芒静静の在那里闪耀着.而上首の几位长老也停止了品茶,开始关注了起来. "我看看中间祭坛是谁?天赋不错啊……额,叫白重炙?咦,都十五岁了,还能出现青色光圈?难道是大器晚成?"天青长老翻开手册,点头微笑说道.一下午了终于再次出了个像样点の,他看起来很 是欣慰. 而就在天青长老满意の端起茶水,准备喝の时候,突然,大堂居然沸腾了起来. "啊,大家快看,又变了……" "天哪！变蓝色！又变紫了！和风公子一样の紫色光圈啊." "大喜事啊,今晚肯定要摆宴席庆祝了……" 天青长老再也坐不住了,哗の一声将茶水一丢,站了起来.旁边の三位长老早已 站了起来,三人眼冒精光,锁定了中间の那座祭坛. 中间の祭坛上,绿色慢慢褪去,一道紫色の光圈慢慢成形.如同一颗立起の紫蛋般.独立矗立在大堂中央. "天！还在变……" 而就在众人高兴不已,为白家再出一天才高兴万分激动不已の时候,一道声音如同见鬼般响起.紧接着一道声音突兀响在众 人の心头,众人连忙屏息闭嘴,大气不敢冒出. "全部给我安静,谁再出声,族法伺候！" 传音入密！ 中间の祭坛旁边凭空出现四道身影.天青长老眼冒寒光冷冷扫了众人一眼,显然刚才是这位天青长老用极高の功法直接传音到众人の耳边. 四位长老面色慎重,分开围住中间の祭坛. 中间の祭坛,紫 色の光圈竟然慢慢开始转换成黑色.最后完全转化成黑色光圈.犹如黑色水流一般在光圈上流转. 黑色光圈！这可是有希望召唤出和现代族长一样の八品战智啊. 然而！ 让众人更加疯狂の还在后面,光圈变化还没有停！ 黑色光圈居然快速转变,居然变幻成金色.而后炫目の金色一闪而逝,光圈居 然出现了九种颜色.犹如鸡蛋般の光圈上,红、橙、黄、绿、青、蓝、紫、黑、金九种颜色,相互交集,绽放出炫目の光彩. 九彩光圈！ 什么情况? 众人面面相觑,犹如傻子般互相对视,仿佛想在对方の眼睛里找到答案,然而,相互之间看到の除了迷茫,还是迷茫！ 而四位长老眼中也是迷茫之色.这 种情况别说他们主持觉醒仪式那么多年,没有遇到过,就是世家历史上也没有出现过啊. 陡然间,白须天青长老却似乎想到了什么,眼冒刺眼光芒,全身激动得颤抖了起来,转头对旁边の一位长老急切说道： "老二,你速速前去,把族长太上长老和众长老全部请来,如果我估计の没错,可能要出大事了 ……" 不到两三分钟,战智堂就集结了包括家主夜剑,战堂副长老夜枪在内の共十多名世家高层.而族长夜天龙和两名太上长老则在闭关,封闭了后山,直接被告知不是世家生死存亡大事,不得打扰. 众人围绕着这座九彩光圈,面色严肃の站着. "诸位,今日贸然请大家来,就是因为这座特殊の祭坛所 散发出の特殊光芒.这是世家没有经历过の事情,众所周知,世家历史上最奇特の光芒是夜若水先祖,觉醒时所产生の金色光芒,而那时他召唤出了世家历史上の第一只也是唯一一只九品圣智白虎,而现在这九彩光圈明显比紫色光圈还要高一级！所以……" 白须天青长老首先发话,神情很是激动,说 话间神采飞扬,兴奋不已. "难道?" "这…不会吧?" "传说竟然是真の?" 众长老听闻,仿佛白日见鬼般,全部面容失色,惊喜异常,不复以往の从容冷静.因为他们都想到了世家一位先祖所留下の一段留言.那位先祖就是世家唯一召唤
余弦函数图像及性质
在信号处理领域，余弦函数可以作为基函数用于信号的分解与合成， 如傅里叶变换中的余弦级数展开。
经济学
在经济学中，余弦函数可以用于描述经济周期波动、季节性变化等 现象，为经济政策制定提供理论依据。
05 拓展：复合余弦函数及其 图像性质
复合余弦函数形式
一般形式
y = A·cos(ωx + φ) + k，其中 A、ω、φ、 k 均为常数，且 A ≠ 0，ω > 0。
与正弦函数图像比较
余弦函数与正弦函数的图像形状相似，但相位相差π/2。这意味着余弦函 数的图像相对于正弦函数图像向左或向右移动了π/2个单位。
在同一周期内，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷位置互换。具体来说， 正弦函数在π/2处达到波峰，在3π/2处达到波谷；而余弦函数在0处达到 波峰，在π处达到波谷。
有界性
复合余弦函数的值域为 [k - A, k + A]。
单调性
在每个周期内，复合余弦函数 在特定区间内单调递增或单调
递减。
06 总结回顾与思考题
关键知识点总结
余弦函数定义
$y = cos x$，其中$x$为自变量， $y$为因变量，表示单位圆上与 $x$轴正方向夹角为$x$的点的 $y$坐标。
正弦函数和余弦函数的周期性相同，均为2π。因此，它们的图像在长度 上相等，只是相位上有所差异。
03 余弦函数性质分析
值域与定义域
值域
余弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的 所有取值都落在这个区间内。
定义域
余弦函数的定义域为全体实数，即R。
单调性
余弦函数在整个定义域上不具备 单调性。
在[π, 2π]区间内，余弦函数是单 调递增的。
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
余弦函数的性质与图像
唯一确定的余弦 cosx
与之对应，所以 y cos x, xR
是一个函数，一般称为余弦
函数．
x
P(cosx,sinx)
如何研究余弦函数？
回顾：我们是如何研究正弦函数的？
方案
正弦函数
列表、描点、连线
正弦函数
的图像
的解析式
正弦函数的性质
单位圆
发现
诱导公式等
理解
如何研究余弦函数？
2
4
4
当 t 2x 0 ，即 x 时，f x max 2 ．
8
4
所以函数 f x 在 ,0 上的最小值为 1，
2
最大值为 2 ．
3
y 2cost ， t , ．
4 4
π
4
O
3π
4
y sin x
2
2
y cos x 0 ．
y
y=sinx
y=cosx
x
以上性质也可以通过定义，从单位圆看出
x
P(cosx,sinx)
2.余弦函数y=cosx的性质
(3)周期性：最小正周期是
因为 cos 2k x cos x k Z
所以余弦函数的周期是 2k kZ 且 k0
3 4
3 4
即 cos(1 x+6 ) cos(1 x ) ，即 f x 6 f x
3
4
3 4
所以函数的最小正周期为 6 ．
1
余弦函数的图像和性质
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
(课件2)1.5余弦函数的图像与性质
y
例1：比较大小
（1）cos 和 cos( )
1－
10
18
解：cos( ) cos
18
18
－1
o
－－
6 32
2 5
36
7 6
4 3
3 2
5 3
11 2
6
－1 －
x
0
18 10
且y cos x在0, 上是单调递减的；
cos > cos
f (x)是偶函数
余弦函数 y=cosx的单调性
y
1
－4 －3 －2
－
0
－1
2
3
4
5 6x
y cos x的 增 区 间 ：[ 2k，2k ]（ k Z） y cos x的 减 区 间 ：[2k， 2k ]（ k Z）
余弦函数 y=cosx的对称性
y
－4
1
5 2
3 2
2
－3 －2
－
0
3
5 7
2
2
2
2
2
3
4
－1
对称轴方程 x= k ( k∈Z)
对称中心为 (k , 0 ) (k Z)
2
5 x
余弦函数的性质
y
1
y cos x
－3 5 －2 3 －
2
2
2
o
2
( ,1)
余弦函数 y=cosx的图像
y 1
0
2
－1
终边相同角的三角函数值相等
3
2
x
余弦函数的图像和性质
练习：求下列函数的最值和周期：
（1）y=2cos8x
例2
5 7 2 , 且函数y cos x在 4 5 区间 [， 2 ]上是增函数， 解：（ 1 ） cos 5 7 cos 4 5 23 23 3 ( 2) co s( ) co s co s , 5 5 5 1 7 1 7 co s( ) co s co s , y 4 4 4
4
3 , 且函数y cos x在[0, ]上是减函数， 5
2
3
4
5
6
x
不查表，比较下列各对余弦值的大小
（1） cos 125 和 cos 156
15 14 和 cos （2）cos 8 9
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余弦函数的图象和性质
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲 线
-4
-3
-2
-
-1
2
3
4
5
6
x
y
当x取哪些值，函 数有最大值、最 小值？
壹卷 第317章 就范“姐姐，假如您和锦茵都不嫌弃の话，前年妹妹出嫁の时候，宫里准备の两套衣裳，妹妹只用咯壹套，另外壹套壹点 儿都没有用，就收起来咯。虽然妹妹和锦茵の品级不壹样，但是鞋子の颜色和绣花几乎没啥啊差别，要不，先拿妹妹の去救救急？”无可 奈何之下，这各下下策の救急法子，总好过穿着壹双裂着口子の鞋子拜天地，也好过在王府大门口众目睽睽之下拆嫁妆箱子，这两各法子， 既丢咯王府の脸面，更是对不起锦茵格格。排字琦早就从前面赶咯过来，她当得知发生咯这么大の变故，只觉得天都要塌咯下来。当水清 说完救急の法子，虽然是下下策，可总归也是各法子。但是淑清半天都没有回答，她也知道淑清万分为难。借用别人の衣饰，她当然很不 甘心；可是不借用の话，再也找不出来更好の法子，再不甘心好歹也能勉强算是壹各法子。淑清为难，可是吉时良辰不等人，排字琦真の 急咯，直接吩咐吟雪道：“你赶快去把鞋子取来，看看格格穿着是不是合脚。”排字琦是何等精明之人，她当然希望这场婚事能顺顺当当 地举行下去，可是依着淑清那心高气傲、不依不饶の性子，怎么可能朝水清妹妹低头？虽然那鞋子肯定是没有上过脚，但总归不是自己の 物件，那心里肯定是别扭。排字琦当然倾向于这天仙妹妹の法子，但是淑清是锦茵格格の亲额娘，万壹她替淑清做咯主，日后再落埋怨可 就是吃不着狐狸再惹壹身臊。另外淑清若再是去爷那里告她排字琦壹状，说她偏袒年妹妹，平白无故地趟咯她们俩人の浑水，还不冤死 咯？可是时间不等人！于是她特意点明咯“看看格格穿着是否合脚”。假如淑清不同意，完全可以“格格穿着不合脚”为理由，也算是给 咯淑清壹各拒绝の理由，下台阶の借口。因此她这番吩咐真可谓是两全齐美。壹听福晋姐姐发咯话，水清赶快对吟雪说：“福晋都发话咯， 你还不赶快去把鞋子取来，让李侧福晋看看合适不合适。”福晋精明，水清当然更是聪明！她早就听明白咯那各借口，于是直接咯当地说 “让李侧福晋看着合适不合适”。吟雪强忍着委屈，飞快地取来咯鞋子。当然是再合适不过咯！其实就算是不合适，只要是能凑合将就， 淑清都得点头同意，谁敢误咯吉时？换上新鞋の锦茵被众人当作易碎物品般地小心保护起来，直到坐上咯大花轿，整各王府里の人，不管 是主子还是奴才，全都长长地出咯壹口气。经历咯刚刚那壹番风波，众人因为注意力都集中在格格身上，没有时间理会水清主仆两人。现 在随着锦茵の出嫁，松咯壹口长气の人们，时不时地将眼睛瞟向咯李侧福晋。这可是壹各从来都不吃壹点儿亏の主子，又有爷の专宠在身， 这回可是有好戏看咯。第壹卷 第318章 犯难论“老谋深算”，淑清比不过排字琦，那是因为排字琦后天の积极努力。自从嫁入王府以来， 空有嫡福晋の身份，甚少得到王爷の恩宠，她要想在这各“侯门壹入似海深”の王府中如鱼得水地生存下来，只能是凭借自己の艰苦努力， 付出格外多の心血。她要为自己の下半辈子“争”出壹方天地。论“诡计多端”，她也比不上水清，那是因为水清先天の天资聪颖。此外， 从娘家の掌上明珠到王府里受气小媳妇の巨大落差，形势逼迫水清不得不将她先天の这份聪明才智发挥得淋漓尽致。人不犯我，我不犯人， 小心谨慎、明哲保身是她の信条。她要为自己の下半辈子“保”得自身平安。淑清却不壹样咯。虽然先天不够聪颖，后天也不够努力，但 是自从嫁入王府立即就得到咯王爷の专房独宠，因此从来就不需要她花壹丁点儿精力去挖空心思、争宠献媚。权利与义务从来都是对等の。 在她得到咯王爷专房独宠の同时，也让她丧失咯在水深火热の王府中自身得到历练、成长、提高の过程。因为她所有の壹切都不用费吹灰 之力，就能唾手可得。壹帆风顺の经历，专房独宠の待遇，壹女三子の成绩，让她确实拥有足够の资本可以傲视群芳。再加上她直来直去 の脾气，使得她の心中所想，几乎都是跃然脸上。此时此刻，果然与排字琦所预料得壹模壹样，李淑清第壹时间就找王爷讨公道去咯。听 完淑清对水清主仆两人连哭带怨の声声“控诉”，看着她梨花带雨、受尽委屈の脸庞，王爷这才是真真の犯咯难。正所谓清官难断家务案， 偏偏是他最受宠の诸人和最受冷落の诸人之间の家务案。这件事情假如发生在壹年以前，他可能都来不及犯难就会毫不犹豫地偏听偏信咯 淑清の壹面之词，但是经历咯他冤枉水清向八小格私自串通情报，以及水清在极为被动の条件下，凭借自己の聪明才智实现咯反败为胜の 骄人战绩之后，他の内心受到咯极大の震撼。在那各星光灿烂、微风拂面の夏夜草原，在他主动地、深刻地进行咯自我反省之余，他更是 急切地想知道，这各深藏不露の侧福晋是如何使那木泰那各骄傲の常胜将军成为她の手下败将。于是第二天趁晚膳の那么壹点点の紧张时 间，他问起咯玉盈：“听秦顺儿禀报，昨天八福晋和二十三小福晋来过咯？”“回爷，是の。”“她们来干啥啊？”“她们说是要跟凝儿 闲聊阵子。”“她们都聊啥啊咯？”“没聊啥啊，因为玉盈认得八福晋，可当时玉盈和凝儿都在帐子里，没处躲没处藏……”听完玉盈原 原本本の叙述，虽然他已经知道咯结果，但是当亲耳听到这各惊心动魄の过程，对于水清の沉着冷静、临危不惧、镇定自若の表现，仍是 惊诧不已。最主要の原因是，她才只是壹各二十三岁の孩
1.3.2余弦函数的图象及性质
形状完全一样 只是位置不同
正弦曲 线
2 ,1) ((2 ,1)
2 3 4
余弦曲 线
5
6
(( ,-1) ,-1)
x
2. 余弦函数的性质：
(1) 定义域： y=cosx的定义域为R
(2) 值域： ① 由单位圆中的三角函数线，得结论： |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论： 所以y=cosx的值域为[－1，1]；
a 1 解 1 得 b 2
1 当cosx=1或cosx=－1时，ymin= 2
例2、判断下列函数的奇偶性：
（1）y=cosx+2；
（2）y=cosxsinx. 解：（1）f(－x)=cos(－x)+2
=cosx+2=f(x),
∴ 函数y=cosx+2是偶函数. (2) f(－x)=cos(－x)sin(－x) =－cosxsinx=－f(x). ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.
y
6
4
2
1 o -1 R [-1,1]
-
2
4
6
定义域 值 域 周 期 奇偶性
2
偶函数
单调性
单调递减区间： k , 2k ] [2
(k Z ) (k Z )
单调递增区间： k , 2k 2 ] [2
x k (k Z )
对称轴 对称中心
②对于y=cosx
当且仅当x=2k kZ时 ymax=1， 当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=－1， ③观察R上的y=cosx的图象可知
当2k－ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx>0 2 2 3 当2k+ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx<0 2 2
第13节 余弦型函数的图像和性质
【解答】解：函数 f（x）=Acos（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）为奇函数， 所以 φ= ；f（x）=﹣Asinωx，函数图象向右平移 个单位得到的图象关于 y
轴对称，f（x）=﹣Asin[ω（x﹣ ）]=）=﹣Asin（ωx﹣ ω]，
∴=
= ，∴ω=6 故选：B．
二.最值
例 2：已知函数
，
的最大值为 4，则正实数 a 的
值为
．
解：在区间[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，cos（2x+ ）∈[﹣1， ]，
函数
，
故答案为：2．
的最大值为 a+3=4，则正实数 a=2，
练习：已知 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期为 π，f（0）
A．x=
B．x=
C．x=π D．x=
【解答】解：将函数 y=cos（x﹣ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变）， 得到函数 y=cos（ x﹣ ）的图象，再向左平移 个单位， 得到 y=cos[ （x+ ）﹣ ）]即 y=cos（ x﹣ ）的图象， 令 x﹣ =kπ 可解得 x=2kπ+ ，故函数的对称轴为 x=2kπ+ ，k∈Z， 结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线 x= ， 故选：D．
cos（ +φ）=0，令 +φ= ，可得 φ= ，∴f（x）=cos（πx+ ），
由
，单点递减（k∈Z），解得：2k﹣ ≤x≤2k+ ，k∈
Z．故选 D
A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k∈Z C．（k﹣ ，k﹣ ），k∈Z
7.3.3 余弦函数的性质与图像
第七章 三角函数7．3.3 余弦函数的性质与图像1.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值及图像变换．2.借助图像理解余弦函数在[0, 2π]上的性质．3．通过学习，提高学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空 1．余弦函数对于任意一个角x ，都有唯一确定的余弦cos x 与之对应，所以y ＝cos x 是一个函数，一般称为余弦函数．2．余弦函数的性质性质 内容 定义域 R 值域 [－1,_1]周期性 T ＝2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π奇偶性 偶函数单调区间在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增，在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 最值x ＝2k π(k ∈Z )时，取得最大值1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取得最小值－1对称性对称轴为x ＝ k π，对称中心为⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0，其中k ∈Z3．余弦函数的图像把正弦函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位就得到余弦函数y ＝cos x 的图像，该图像称为余弦曲线．(二)基本知能小试 1．判断正误(1)余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的图像是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (3)在区间[0,3π]上，函数y ＝cos x 仅在x ＝0时取得最大值1.( ) (4)函数y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．使cos x ＝1－m 有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．0≤m ≤2 C ．－1<m <1D ．m <－1或m >1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤1－m ≤1，解得0≤m ≤2.故选B. 3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 答案：5题型一 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图像[学透用活][典例1] (1)要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，可以将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的图像沿x 轴( ) A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π个单位(2)用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． [解析] (1)选C ∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π4， ∴将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4图像上所有点向左平移π4个单位，便可得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，故选C.(2)列表：[方法技巧]“五点法”画函数图像的三个步骤作形如y＝A cos(ωx＋φ)＋b，x∈[0,2π]的图像时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．[对点练清]1．已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ)的图像如图所示，f⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f⎝⎛⎭⎫－π6＝()A．－23B．－12C.23 D.12解析：选A由题图知，T＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，∴f⎝⎛⎭⎫－π6＝f⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f⎝⎛⎭⎫π2＝－23.2．画出函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图． 解：按五个关键点列表，描点画出图像(如图).题型二 余弦函数的最值、值域问题[学透用活][典例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2； (2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2可得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6， 2π3， ∵函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6， 2π3上单调递减， ∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5，令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， 当t ＝－1时，函数取得最大值10； 当t ＝1时，函数取得最小值2. 所以函数的值域为[2,10]． [方法技巧]求余弦函数最值或值域问题的关注点(1)求形如y ＝a cos x 的函数最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值．[对点练清]1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数， ∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 2．求y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最值． 解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴原函数在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14. 题型三 余弦函数的性质及应用[学透用活][典例3] (1)f (x )＝x ·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x 的奇偶性为________． (2)函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为________． (3)比较下列各组数的大小． ①cos ⎝⎛⎭⎫－π18，cos π10； ②cos ⎝⎛⎭⎫cos 3π8，cos ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. [解析] (1)此函数的定义域R 关于原点对称，且f (x )＝x ⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝x ·(－cos x ) ＝－x cos x ，∴f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4. 令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z )． 所以y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．(3)①cos ⎝⎛⎭⎫－π18＝cos π18. ∵0＜π18＜π10＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos π18＞cos π10，即cos ⎝⎛⎭⎫－π18＞cos π10. ②cos 3π8＝sin π8.∵0＜π8＜3π8＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增， ∴sin π8＜sin 3π8，即0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝cos x 在(0,1)上单调递减， ∴cos ⎝⎛⎭⎫cos 3π8＞cos ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. [答案] (1)奇函数(2)⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z ) [方法技巧]1．求三角函数周期的三种方法 (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. (3)观察法(图像法)． 2．有关函数奇偶性的结论(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形； 偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0. 对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． 3．求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间的技巧(1)求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．(2)具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时，同样的方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．[对点练清]1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数f (x )为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 2．函数f (x )＝cos 2x 的最小正周期为________．解析：令z ＝2x ，∴f (x )＝cos 2x ＝cos z ＝cos(z ＋2π)＝cos(2x ＋2π)＝cos [2(x ＋π)]，即f (x ＋π)＝f (x )， ∴T ＝π. 答案：π3．比较大小：cos 15π8________cos 14π9.解析：cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.答案：＞[课堂一刻钟巩固训练] 一、基础经典题1．x 轴与函数y ＝cos x 的图像的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析：选D 函数y ＝cos x 的图像与x 轴有无数个交点． 2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2， π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数D ．先增后减函数解析：选C 结合函数在⎣⎡⎦⎤－π2， π2上的图像可知C 正确． 3．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝________. 解析：∵4π＝2π|－ω|，∴ω＝±12.答案：±124．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－12的交点有________个．解析：作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像及直线y ＝－12(图略)，可知两函数图像有2个交点．答案：2 二、创新应用题5．求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4，由2k π－π≤x －π4≤2k π，k ∈Z ，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .即该函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－3π4， 2k π＋π4，k ∈Z . [课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图像( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称解析：选C 作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(略)，易知它们关于x 轴对称，故选C. 2．使函数y ＝3－2cos x 取得最小值时的x 的集合为( ) A ．{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π，k ∈Z } C ．{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z }解析：选B 使函数y ＝3－2cos x 取得最小值时的x 的集合，就是使函数y ＝cos x 取得最大值时的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }．3．已知函数y ＝cos x 在(a ，b )上是增函数，则y ＝cos x 在(－b ，－a )上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．增函数或减函数D ．以上都不对解析：选B ∵函数y ＝cos x 为偶函数，∴在关于y 轴对称的区间上单调性相反．故选B. 4．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：选A ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x 的最小值为－1，最大值为3.5．(多选题)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 解析：选ABD f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，故B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图像可知，C 错误，D 正确．6．利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0,2π]的x 的区间是____________________． 解析：画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像如图所示．cos x >0的区间为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，2π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，2π 7．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件， 故a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]8．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)解析：由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 答案：cos 1>cos 2>cos 3 9．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间(k ∈Z )；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值(k ∈Z )． 解：(1)令－π＋2k π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z)，可得－5π12＋23k π≤x ≤－π12＋23k π(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋23k π，－π12＋23k π(k ∈Z )．(2)当3x ＋π4＝－π＋2k π，即x ＝－5π12＋23k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，最小值为－2.10．求作函数y ＝－2cos x ＋3在一个周期内的图像，并求函数的最大值及取得最大值时x 的值．解：列表如下：描点、连线得出函数y ＝－2cos x ＋3在一个周期内的图像：由图可得，当x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，函数取得最大值，y max ＝5.B 级——高考水平高分练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像(如图)．故选D.2．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 由题意，知x ＝π4为函数f (x )的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2. 3．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫k πx ＋π3的周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数k ＝________. 解析：∵T ＝2πk π＝2k (k ∈N *)，∴1<2k <3(k ∈N *)． ∴23<k <2(k ∈N *)．∴k ＝1. 答案：14．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积． 解：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图像的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π，∴S 阴影＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.5．求函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x 为何值时，y 取最大值或最小值．解：由于y ＝cos x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z )． 又由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )；由2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋5π12，3(k ∈Z)，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 因为当θ＝2k π(k ∈Z )时，y ＝3－2cos θ取得最小值， 所以当2x －π3＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值1. 同理可得当x ＝k π＋2π3(k ∈Z )时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最大值5.6．已知函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)，且函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )的周期T ＝π，故2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎭⎫2⎝⎛⎦⎤x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减，因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．。
余弦函数的图像和性质
余弦函数的图像和性质课题名称 5.6(1)余弦函数的图像和性质课时 1 课型新授一教学目标知识与技能：1.会用“五点法”作余弦函数在一个周期内的图像.2.借助余弦函数的图像，理解余弦函数的性质（单调性，最大值；最小值，图像与x 轴的交点），理解余弦函数的周期性，奇偶性.3.运用余弦函数的性质解决一些简单的问题.过程与方法：通过主动思考，主动发现，在作余弦函数的图像中亲历知识的形成过程，使学生对余弦函数的性质有一定的理解，培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法.情感态度与价值观：1.在学习余弦函数的图像时要培养学生类比的能力.2.渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点.二教学重点与难点教学重点：1.“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的余弦函数图像.2. 余弦函数的性质.教学难点：余弦函数性质的理解与应用.三教学方法比较学习的方法与启发式教学. 四教学手段利用多媒体课件sj09、黑板等. 五教学过程【新课导入】任意一个实数x ，有唯一确定的值sin x 与之相对应.由这个对应法则所确定的函数sin y x =叫做正弦函数.学习了正弦函数的图像和性质以后，采用类比的方法，很容易掌握余弦函数图像的画法和性质.【双基讲解】先用“五点法”画出余弦函数cos y x =在[]0,2π上的图像.第一步：列表第二步：描点，并用光滑的曲线连接.因为()cos 2cos k x x π+=，k ∈，所以cos y x =是周期函数.将cos y x =在 []0,2π上的图像向左、向右平移，即得cos y x =()x ∈的图像.余弦函数的图像叫做余弦曲线.1. 余弦函数的性质：(1)定义域和值域见下表：(2)奇偶性定义域：x ∈. ()()cos cos f x x x -=-=.所以cos y x=()x ∈是偶函数. 如图：图像关于y 轴对称(3)单调性当[]()2,2x k k k πππ∈-∈时，函数cos y x =单调递增； 当[]()2,2x k k k πππ∈+∈时，函数cos y x =单调递减.如图：(4)周期性由()()cos 2cos x k x k π+=∈知：函数cos y x =是周期函数，()20k k k π∈≠且都是它的周期，最小正周期是2π.【示范例题】例1求下列函数的周期、最大值和最小值.(1) cos2y x =-； (2) 2cos 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解 (1) 因为()()()()cos2cos 22cos2f x x x x f x πππ=-=-+=-+=+，所以函数cos2y x =-的周期T π=.因为1cos21x -≤-≤，所以函数cos2y x =-的最大值max 1y =，最小值min 1y =-.(2) 因为()()()12cos 2cos 22cos 44242424x x f x x f x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+=++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以函数2cos 24x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期4T π=. 因为22cos 224x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数2cos 24x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最大值max 2y =， 最小值min 2y =-.求函数()()cos 0f x x ωω=≠的周期，可运用公式2T πω=.【巩固练习】1. 已知函数1cos y x =-.(1)用“五点法”画出这个函数在[]0,2π上的图像；(2) 求出这个函数的最大值和最小值；(3) 判断这个函数的奇偶性；(4)讨论这个函数在[]0,2π上的单调性.2. 求下列函数的周期、最大值和最小值.(1) 1cos 2y x =； (2) 2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.六课堂小结1.余弦函数的定义；2. 余弦函数的图像；3. 余弦函数的性质；4.会画余弦函数的图像，并根据余弦函数的性质求解相关问题.七布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：。
余弦函数图像与性质
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
1
y=cosx (xR)
y
-4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
3.正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
4.正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx (xR)
2
π (kπ+2
x = kπ
,0)
例子
例 画出函数y= cosx-1，x[0, 2]的简图，并讨论性质：
xHale Waihona Puke cosx cosx-1y
0 1 0
2
-1 -2
3 2
2 1 0
0 -1
0 -1
y=cosx，x[0, 2]
1
2
还有其他方法吗
o
-1
2
3 2
2
x
y= cosx-1，x[0, 2]
余弦函数的图像与性质
余弦函数的图像与性质考点解析余弦函数 y ＝cos x ，x ∈R1. 余弦函数的图象．根据角x + k·2π与角x 的余弦值相等，我们可以利用 (0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3 π2，0)，(2 π，1)这五个点作出余弦函数的简图.然后再沿x 轴向左、右分别平移2π，4π，… 就可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线.2. 余弦函数的性质．由单位圆中的余弦线或余弦函数图象,可得余弦函数的性质：（1）值域：［－1，1］当 x ＝2 k π，k ∈ Z 时， y max ＝1；当 x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，y min ＝－1．（2）周期性余弦函数是一个周期函数，2π，4 π，… ，－2π，－4π，…， 2 k π (k ∈Z 且k ≠0)，都是它的周期，2 π 是其最小正周期．（3）奇偶性由公式cos(－x )＝cos x 得知，余弦函数是偶函数，图象关于y 轴对称．（4）单调性余弦函数在闭区间［(2 k －1)π，2 k π］(k ∈Z)上，是增函数；在闭区间［2kπ，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上是减函数．基础知识训练()y 函数 A 2,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ B 5+2,2()66k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ()2+2,233k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦cos y x x =函数是（ ）1. 2.A. 奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数也是偶函数1π⎛⎫+ ⎪⎝⎭函数y=3cos x+的值域为（）3 A. [-4,4] B.[-4,2] C.[-2,4]D.⎡-⎣ 272cos ,63x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭函数的值域为（） A. [-1,1] B.[-2,2] C.[-1,2] D.[-3,3]2cos 2cos 3()y x x x R =-++∈函数的最大值和最小值分别是（） A.3,0 B.13-14， C.4,-1 D.4,0 cos (y x x R =∈关于函数），叙述正确的是（）（1）增函数 （2）减函数（3）奇函数 （4）偶函数 （5）周期函数 7.()42ππθ<<若，则下列不等式成立的是 A.sin cos tan θθθ<< B.cos sin tan θθθ<<C.tan cos sin θθθ<<D.sin tan cos θθθ<< 8.3cos 20,62y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭函数的值域是（）A.⎡-⎢⎢⎥⎣⎦B.3⎡-⎢⎢⎥⎣⎦C.3⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦D.⎡-⎣ 9.cos y x =函数的一个单调区间为（） A.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.函数 A.()5,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B.(),66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D.()2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 11.下列结论中，正确的是（） A.cos cos 32ππ< B.cos cos 36ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.25cos cos 36ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.25cos cos 36ππ< 12.cos 2y x =函数是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不对13.cos 02θθπθ≤<若且，则的值为（） A.4π B.34π C.544ππ或 D.744ππ或 14.1cos ,2arr θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若则的值为（）4. 1. 6.5. 3.A.3πB.23πC.-3πD.233ππ或综合知识训练 1.11cos y x =+函数的定义域为（）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,22ππ（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ（C ）{}Z k k x x ∈+≠,2ππ（D ）{}Z k k x x ∈≠,π2.已知函数()x f y =的定义域为[]1,1-，则()x f y cos 2=中x 的取值范围为（） （A ）)(32,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ（B ）)(3,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ（C ）)(232,23Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ（D ）)(23,23Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ3.若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πx y 的最大值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）324.函数x x y cos 4cos 2+=的值域是（ ）（A ）[]3,1- （B ）[]5,5- （C ）[]5,3- （D ）[]5,5- 5.下列关系式中，正确的是（ ）（A ）6cos 4cos ππ> （B ）⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos 3cos ππ。
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余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
(2)要使函数有意义，则有2cos x－ 2>0， 2 ∴cos x> 2 ，故所求定义域为
π π x2kπ－ <x<2kπ＋ ，k∈Z 4 4 .
【自主解答】
[再练一题] 2．求下列函数的定义域． (1)y＝ 3 1 － cos x ； (2) y ＝ log (2cos x－ 2)． 2 2
【解】
3 (1)要使函数有意义，则有 2 －cos x≥0，
3 π 11π ∴cos x≤ 2 ，可得2kπ＋6≤x≤2kπ＋ 6 ，k∈Z. 故所求函数的定义域为
如图所示：
求下列函数的定义域． (1)f(x)＝ 2cos x＋1； (2)f(x)＝log2(－1＋2cos x)＋ 9－x2.
【精彩点拨】 写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义
域，求若干个不等式的交集即可．
【自主解答】 (1)要使y＝ 2cos x＋1 有意义，则必须满足2cos x＋1≥0，即 1 cos x≥－2. 结合余弦函数的图像得y＝ 2cos x＋1的定义域为
1．利用图像变换作余弦函数的图像
π 余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x向 左 平移 2 个单位
长度得到．如图1－6－1是余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
图1－6－1
2．利用五点法作余弦函数的图像 画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cos x(x∈[0,2π])的图像上有 五个关键点，为 (0,1) ，
【解析】 (1)(3)正确；余弦函数y＝cos
π x＝sin 2＋x ，即可看作是y＝sin
x向
π 左平移 2 个单位得到的，因而(2)错；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，相同的 最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因 而(4)错．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
π ，0 2 ，
(π,－1) ，
3 π，0 2 ，
(2π，1) ，可利用此五
点画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图1－6－2)．
图1－6－2
3．余弦函数的性质 图像 定义域 R 值域 [－1,1] 最大值， 当 x＝2kπ(k∈Z) 时，ymax＝1； 最小值 当 x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝ 2π 在 [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上是增加的； 单调性 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 上是减少的 偶函数 ，图像关于 y轴 对称 奇偶性
[小组合作型]
用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
【精彩点拨】 利用“五点法”： 列表―→描点―→连线
【自主解答】 列表： x cos x 0 π 2 π 3π 2π 2 0 1 1 0
1 0 －1 2
1－cos x 0 1 描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
作函数y＝acos x＋b的图像的步骤 π 3π 1．列表：由x＝0，2，π， 2 ，2π时，cos x＝1,0，－1，0,1，求出y值． 2．描点：在同一坐标系中描五个关键点． 3．连线：用平滑曲线．
x2≤9的解集为{x|－3≤x≤3}，
π π 取交集得 x －3<x<3 .
π π ∴原函数的定义域为－3，3.
1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三 角函数的图像，关键有两点：(1)选取一个合适的周期；(2)确定边界值． 2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范 围，即取它们的交集． 3．当三角不等式与代数不等式在一起时，在取交集时，应注意对三角不等 式解集中的k进行讨论．
[再练一题] 1 1．作出函数y＝1－3cos x在[－2π，2π]上的图像． 【解】 ①列表：
x y＝cos x π 0 2 π 3π 2π 2 0 1 1 2 3
1 0 －1 4 3
1 2 1 y＝1－3cos x 3
1 ②作出y＝1－ 3 cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴 1 对称的图像，从而得出y＝1－3cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．