福建省泉州市台商投资区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)
2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级（上）期末数学试卷一．选择题（只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cos A的值等于（）A．B．C．D．2．（4分）若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．53．（4分）下列说法中不正确的是（）A．想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件C．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件D．一组数据6，7，8，9，10 的方差是34．（4分）函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k≤1D．k≤1且k≠0 5．（4分）如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（）A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm26．（4分）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（）A．只有平均数B．只有中位数C．只有众数D．中位数和众数7．（4分）如图，⊙O的半径为10，若OP＝8，则经过点P的弦长可能是（）A．10B．6C．19D．228．（4分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．129．（4分）已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y＝ax2+4ax+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（）A．2B．0C．﹣6D．﹣910．（4分）如图：已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣x+2上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣3图象的顶点坐标为．12．（4分）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是．13．（4分）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为_______米．14．（4分）如图，直角坐标系中一条圆弧经过A（0，4），B（4，4），C（6，2）三个网格点，已知点D为x轴正半轴上的一点，若直线CD与该圆弧相切，则点D的坐标为．15．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（4，0）．已知：抛物线y＝x2﹣2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取（写出所有正确结论的序号）．①n＝1；②n＝2；③n≤﹣8；④﹣8≤n＜﹣3；⑤﹣8≤n≤﹣316．（4分）如图：⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，（1）求∠C的度数是．（2）求△ABC的最大面积是．三．解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x﹣3与x轴交于A、B两点，点B 的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一点，直线BP与y轴交于点C．（1）求a的值．（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标．（3）连接AP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积为S．当1＜m＜时，直接写出S 的取值范围．19．（8分）如图：现有一架长4m的梯子AB斜靠在墙面上，要想使人安全地攀上梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．（1）当梯子与地面夹角为60°时，求这架梯子底端A与墙角C的距离；（2）若将梯子底端沿CA方向滑动1m到点A′处，此时能否安全使用这架梯子？如果能，请说明理由．如果不能，也请说明理由．20．（8分）作图题：如图：在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝6，（1）用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求△CDE内切圆半径r的值．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连接AE、BE，BE交AC于点F，且∠AFE＝∠EAB．（1）试说明E为的中点；（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C＝，求AD的值．22．（10分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料平均价格（元/瓶）0234（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．23．（10分）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，求证BD＝AD；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．24．（12分）已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE ＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．25．（14分）已知抛物线的顶点为A，点M（m，n）为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），MC 交y轴于D点，连接BC．（1）当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值；（2）当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E 点，求证：M为BE的中点；（3）若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x 轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式．2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．【分析】根据余弦的定义，角的邻边与斜边的比值，就可以求出．【解答】解：cos A＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查对三角函数的定义的记忆．2．【分析】根据正多边形的中心角＝，求出n即可．【解答】解：由题意，＝72°，∴n＝5，故选：D．【点评】本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．【分析】根据事件发生的可能性大小、方差公式判断即可．【解答】解：A、想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；C、“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；D、数据6，7，8，9，10 的平均数＝（6+7+8+9+10）＝6，方差S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，本选项说法不正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】分为两种情况：①当k≠0时，求出Δ＝b2﹣4ac＝﹣16k+16≥0的解集即可；②当k＝0时，得到一次函数y＝﹣4x+4，与x轴有交点；即可得到答案【解答】解：①当k≠0时，kx2﹣4x+4＝0，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k×4＝﹣16k+16≥0，k≤1；②当k＝0时，y＝﹣4x+4，与x轴有交点．综上所述，k的取值范围是k≤1．故选：C．【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．5．【分析】由于D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE 和△ABC相似，且相似比为1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ADE的面积．【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，即＝＝＝，∴△ADE∽△ABC，相似比为，故S△ADE：S△ABC＝1：4，即四边形BCED的面积＝S△ABC＝3cm2，∴S△ABC＝4cm2，∴△ADE的面积＝1cm2．故选：A．【点评】本题主要考查对相似三角形性质及三角形的中位线定理的理解．6．【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，追加后5个数据的中位数是5，众数为5，∵数据追加后平均数会变大，∴集中趋势相同的只有中位数和众数，故选：D．【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．7．【分析】过点P作弦CE⊥OP，连接OC，根据勾股定理求出CP，根据垂径定理求出CE，判断即可．【解答】解：过点P作弦CE⊥OP，连接OC，由勾股定理得，CP＝＝6，则CE＝2CP＝12，∴过点P的最短的弦长为12，∵⊙O的半径为10，∴⊙O的直径为20，即过点P的最长的弦长为20，∴12＜点P的弦长＜20，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．8．【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，∴CM＝＝＝4，∴BC＝2CM＝8．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．9．【分析】求得抛物线的对称轴，开口向下，在对称轴左边函数y随x的增大而减小，在对称轴的右边函数y随x的增大而增大，即可判断．【解答】解：∵y＝ax2+4ax+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣＝﹣2，开口向下，∴在对称轴的右边函数y随x的增大而减小，∵3＞﹣2，∴﹣2＜m＜3，∵A（3，n）关于对称轴的对称点为（﹣7，n），在对称轴的左边函数y随x的增大而增大，∴﹣7＜m＜﹣2，故m不可能为﹣9，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断函数的增减性；利用抛物线上点的横坐标大小比较纵坐标的大小．10．【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．【解答】解：如图，①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣6，4），②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，），③若∠C为直角，则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心、5为半径的圆与直线的交点上．在直线中，当x＝0时y＝2，即Q（0，2），当y＝0时x＝6，即点P（6，0），则PQ＝＝4，过AB中点E（﹣3，0），作EF⊥直线l于点F，则∠EFP＝∠QOP＝90°，∵∠EPF＝∠QPO，∴△EFP∽△QOP，∴＝，即，解得：EF＝4.5，∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线恰好有两个交点．所以直线上有一点C满足∠ACB＝90°．综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为4，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．【分析】根据二次函数顶点式求解．【解答】解：∵二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．12．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．13．【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设上升的高度为x米，∵上山直道的坡度为1：7，∴水平距离为7x米，由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．14．【分析】由A、B、C三点坐标可先确定出圆弧所在圆的圆心M的坐标，设D（x，0），则可表示出MC、DC和MD的长，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得D点坐标．【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为M，作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心M（2，0），设D（x，0），由题意可知MD2＝（x﹣2）2，MC2＝（6﹣2）2+（2﹣0）2＝20，CD2＝（x﹣6）2+22＝x2﹣12x+40，∵CD与圆相切，∴MC⊥CD，∴MC2+DC2＝MD2，即20+x2﹣12x+40＝（x﹣2）2，解得x＝7，∴D（7，0），故答案为：（7，0）．【点评】本题主要考查垂径定理和切线的性质，利用点的坐标确定出圆心坐标是解题的关键．15．【分析】当该抛物线与线段AB有公共点时，与x轴的交点分别介于A，B之间，于是得到结论．【解答】解：二次函数关于直线x＝1对称，x轴上的（﹣1，0）和（3，0）关于对称轴对称．要满足一个交点的话，这个交点的横坐标只能3＜x≤4．由题意：，解得﹣8≤n＜﹣3．若二次函数的顶点在AB上时，Δ＝4﹣4n＝0，∴n＝1，故答案为：①④．【点评】本题考查了函数图象与系数的关系，利用图象与x轴的交点在线段AB上得出不等式组是解题关键．16．【分析】（1）连接OA、OB，如图1，由OA＝OB＝AB＝1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB＝60°，根据圆周角定理得∠APB＝∠AOB＝30°，由于AC⊥AP，所以∠C ＝60°；（2）因为AB＝1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB＝60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB＝120°，如图2，于是当点C优弧AB 的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．【解答】解：（1）连接OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°；（2）∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质；记住等边三角形的面积公式．三．解答题（本大题共9小题，共86分）17．【分析】分别进行绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值，最后合并即可．【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+＝﹣1．【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．18．【分析】（1）把B（3，0）代入y＝ax2+4x﹣3，列方程求a的值；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥CO，由平行线分线段成比例定理求出点D的坐标，即得到点P的横坐标，再由二次函数的关系式求出点P的纵坐标；（3）过点P作PD⊥x轴于点D，用含m的代数式表示点P的坐标，由二次函数的关系式可以求出点A、B的坐标及线段AB的长，将△ABP的面积即S用含m的代数表示即得到S关于m的二次函数，再由二次函数的性质求出S的取值范围．【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得9a+12﹣3＝0，解得a＝﹣1．（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，∵CO⊥OB，∴PD∥CO．∴．∵P是BC的中点，∴＝1，∴＝1，∴OD＝BD＝OB＝．∴D（，0），∴点P的横坐标为；由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，当x＝时，，∴点P的坐标为（）．（3）如图2，作PD⊥x轴于点D，则P（m，﹣m2+4m﹣3），当y＝0时，由﹣x2+4x﹣3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴AB＝3﹣1＝2；∵点P在第一象限的抛物线上，PD＝﹣m2+4m﹣3，∵S＝S△ABP＝AB•PD，∴S＝×2（﹣m2+4m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3，∵S＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，且1＜m＜，∴当m＝2时，S最大＝1，若m＝1，则S＝0，∴S的取值范围是0＜S≤1．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行线分线段成比例定理、解一元二次方程等知识与方法，解第（3）题的关键是过点P作x轴的垂线，将点P的纵坐标用二次函数的关系式来表示，从而得出S关于m的函数关系式，再由二次函数的性质求出S的取值范围．19．【分析】（1）根据锐角三角函数关系求出AC的长即可；（2）利用锐角三角函数关系得出α的余弦值，进而得出α度数，即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，∠C＝90°，AB＝4m，∴cos∠BAC＝，∴AC＝AB•cos60°＝4×＝2（m），即这架梯子底端A与墙角C的距离为2m；（2）不能够安全地使用这个梯子，理由：根据题意得：A'C＝1m+2m＝3m，即梯子的底端距离墙面3m，∴cosα＝＝0.75，∴∠α≈41°，∵梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．∴此时不能够安全地使用这个梯子．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．20．【分析】（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；（2）根据勾股定理求出AE，CE的长，然后利用三角形内切圆的性质列式计算即可．【解答】解：（1）如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，点E即为所求；（2）由（1）可得：BC＝BE＝AD＝10，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝8，∴DE＝10﹣8＝2，在△CDE中，∠D＝90°，CD＝AB＝6，DE＝2，∴CE＝＝2，∵△CDE内切圆半径为r，∴2﹣r+6﹣r＝2，∴r＝4﹣．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．21．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到∠ABE＝∠EAD，＝，证明结论；（2）连接OE交AD于H，根据垂径定理得到AH＝DH＝AD，根据余弦的定义求出OA、OH，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∠AFE+∠EAD＝90°，∵∠AFE＝∠EAB，∴∠ABE＝∠EAD，∴＝，∴点E是的中点；（2）解：如图，连接OE交AD于H，∵点E是的中点，∴OH⊥AD，∴AH＝DH＝AD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠AOH＝∠C，∴cos∠AOH＝＝，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣1，∴＝，解得：x＝，∴OH＝﹣1＝，∴AH＝＝＝2，∴AD＝2AH＝4．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22．【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；（2）根据加权平均数的定义计算可得；（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）这个班级的学生人数为15÷30%＝50（人），选择C饮品的人数为50﹣（10+15+5）＝20（人），补全图形如下：（2）＝2.2（元），答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；（3）画树状图如下：由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，所以恰好抽到2名班长的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°，如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD＝DT即可解决问题；（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT （AAS）可得结论．【解答】解：（1）∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB，如图1中，过点D作DT⊥BC于点T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD；（2）如图2中，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于点T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24．【分析】（1）根据圆周角定理，将2∠ADB+∠CDB转化为△ABC的内角和即可；（2）过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，利用ASA证明△CEN≌△CGN，从而证明结论；（3）连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，先证AQ⊥BC，再证EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，求得PE＝HE＝3，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，∴2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）证明：过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，∵∠DBC＝45°，∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，∴∠MCB＝∠DBC＝45°，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴∠ACM＝∠DBA，∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，在△CEN与△CGN中，，∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE＝CG；（3）解：如图，连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，∵AB＝AC，∴OE＝OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ＝BQ，点H在AQ上，∴CH＝BH，∵∠DBC＝45°，∴∠HCB＝∠DBC＝45°，∴∠CHB＝180°﹣∠HCB﹣∠DBC＝90°，∴CH⊥BD，∵CE＝CG，∴EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，∴AP∥CH，AP＝CH，∠APH＝90°，∵∠AHP＝∠BHQ＝45°，∴AP＝PH＝2PE＝2x，AH＝PH＝2x，∵AH2﹣PH2＝AE2﹣PE2，∴8x2﹣4x2＝（3）2﹣x2，解得：x＝3，∴PE＝HE＝3，∴AP＝PH＝CH＝BH＝6，BE＝9，在Rt△ABQ中，∵BQ＝3，AQ＝6+3＝9，∴AB＝6，∵弦AC与BD相交于E，∴△CDE∽△BAE，∴＝，∴CD＝＝＝10．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．【分析】（1）令得，再由△ABC为等腰直角三角形得．解出c即可；（2）设B点坐标为，由OC＝2OB得直线BC的解析式．再由得，，再由D为OA的中点得直线MC的解析式为，再和抛物线联立即可求得或，即可证得M为BE的中点；（3）过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，设，，由△MBC的内心在直线x＝m上可证△BMG ∽△CMH，．由此可得得x1+x2＝﹣2m，从而直线l1的解析式为x＝﹣m．再求直线MA的解析式，将x＝﹣m代入直线MA的解析式，得，即可证得证P点在一条新抛物线上．【解答】（1）解：令，解得．∴．∵△ABC为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝OA＝c，∴．解得c1＝0（舍去），c2＝2，∴c＝2；（2）证明：如图，设B点坐标为，∵OC＝2OB，∴，设直线BC的解析式为y＝kx，将点B代入，得，∴∴．将点代入，得，整理得，∴（正值已舍），∴，．∵D为OA的中点，∴D点坐标为，则直线MC的解析式可设为，将点代入，解得，∴直线MC的解析式为，由，得，解得或，∴，即M为BE的中点；（3）证明：如图，过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，设，，∵△MBC的内心在直线x＝m上，∴∠BMG＝∠CMH，∴△BMG∽△CMH．∴，则有，得x1+x2＝﹣2m，∴直线l1的解析式为x＝﹣m．设直线MA的解析式为y＝k2x﹣c，将代入，得，解得，∴直线MA的解析式为．将x＝﹣m代入直线MA的解析式，得，∴P点在新抛物线上．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法、求两函数交点坐标、内心的概念、相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是求得或以及过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，构造△BMG∽△CMH．。
2023-2024学年福建省泉州台商投资区初三年第一学期期中考数学试卷参考答案
泉州台商投资区2023－2024学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（答案）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.D3.D4.B5.A6.B7.D8.A9.B 10.B二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.x ≥412.-213.-114.16:2515.124x y x =--(0<x ≤2,范围没写不扣分）16.1.5三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（8分）()011-11=-+ (6)分2=-……………………………2分18.（8分）解：原式()()111a a a a a +-+=÷……………………………2分()()111a a a a a +=⋅+-……………………………2分11a =-……………………………2分当1a =+时，原式==……………………………2分19.（8分）解：22410x x +-=2241x x +=2122x x +=……………………………2分212112x x ++=+∴()2312x +=，……………………………2分∴612x +=±，……………………………2分解得：x 1=612-+或x 2=612--．……………………………2分20.（8分）解：（1）如图所示：△A 'B 'C '即为所求；……………………………5分（2）P '的坐标为：（，）．……………………………3分21.（8分）解：（1）点D 的位置如图所示：……………………………4分（2）∵11,22AD AB AB AC ===，且∠A=∠A，……………………………4分∴△ABD∽△ACB．22.（10分）（1）证明：()22(3)42(1)0m m m ∆=+-+=+≥ ，……………5分∴方程总有两个实数根．（2）2(3)20x m x m -+++= ，()()210x m x ∴---=，12x m ∴=+，21x =．……………………………2分方程两个根的绝对值相等，21m ∴+=±．……………………………2分3m ∴=-或1-．……………………………1分23.（10分）（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，由题意得，()21001144x +=，……………………………3分解得20%x =或 2.2x =-（舍去），∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；……………………………1分（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m 元，由题意得()()30600104010000m m ---=⎡⎤⎣⎦，……………………………3分整理得213040000m m -+=，解得50m =或80m =，……………………………2分∵尽可能让顾客得到实惠，∴50m =，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．……………………………1分24.（12分）解：（1）BC=10；……………………………2分（2）如图②，过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点，则四边形ADGB 为平行四边形，∴BG=AD=3，∴GC=10−3=7，由题意得，当M 、N 运动t 秒后，CN=2t ，CM=10−3t ，∵AB ∥DG ，MN ∥AB ，∴DG ∥MN ，∴∠NMC=∠DGC ，又∵∠C=∠C ，∴△MNC~△GDC ，……………………………2分∴CN CM CD CG =,∴210357t t -=，解得t=5029；……………………………2分（3）第一种情况：当NC=MC 时，如图③，此时2t=10−3t ，∴t=2；……………………………2分第二种情况：当MN=NC 时，如图④，作NE ⊥MC 于E ，DH ⊥BC 于H ，∵∠C=∠C ，∠DHC=∠NEC=90°，∴△NEC~△DHC ，∴NC EC DC HC =，即：()31120325-t t =，解得：t=5027；……………………………2分第三种情况：当MN=MC 时，如图⑤，作DH ⊥BC 于H ，MF ⊥CN 于F ，则FC=12NC t =，∵∠C=∠C ，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC~△DHC ，∴FC MC HC DC =，即：10353t t -=，解得：t=157；……………………………2分综上所述，当t=2、t=5027或t=157时，△MNC 为等腰三角形．25.（12分）解：（1）①∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：∠APO=∠B=90°．……………………………2分∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC ．……………………………2分∵∠D=∠C ，∠APD=∠POC ．∴△OCP ∽△PDA ；②∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，△OCP ∽△PDA ；12∴====OC OP CP PD PA DA ……………………………1分∴PD=2OC ，PA=2OP ，DA=2CP ．∵AD=8，∴CP=4；∵BC=AD=8．设OP=x ，则OB=x ，CO=8-x ．在Rt △PCO 中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x ，CO=8-x ，∴x 2=（8-x ）2+42解得：x=5．……………………………2分∴AB=AP=2OP=10．∴边AB 的长为10．……………………………1分（2）结论：线段EF 的长度不发生变化，E F =……………………………1分理由：如图2中，作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，∵AP=AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB=∠ABP=∠MQP ．∴MP=MQ ，∵BN=PM ，∴BN=QM ．∵MP=MQ ，ME ⊥PQ ，∴EQ 12=PQ ……………………………2分∵MQ ∥AN ，∴∠QMF=∠BNF ，在△MFQ 和△NFB 中，QFM NFB QMF BNF MQ BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MFQ ≌△NFB （AAS ），∴QF=FB ，……………………………2分∴QF 12=QB ∴111,2EF 22=+=+=EQ QF PQ QB PB 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴B P ==∴12EF ==PB ……………………………1分∴当点M 、N 在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为。
福建省泉州市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题
福建省泉州市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题一、单选题1x 的取值范围是（ ）A ．2x ≥B ．2x >C ．2x ≤-D ．2x <- 2．若34b a =，则a b a b -+的值是（ ） A ．17- B ．17 C ．7- D ．73．下列说法正确的是（ ）A ．抛一枚质地均匀的硬币8次，其中正面朝上的有5次，所以正面朝上的概率为58B ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨D ．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等4）A B C D 5．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）．A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 6．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子AB 的长为10米，梯子与地面形成的夹角为41BAC ∠=︒，则墙的高度BC 为（ ）A ．10cos41︒米B ．10sin 41︒米C ．10cos 41︒米 D ．10sin 41︒米 7．如果把方程2650x x ++=变形为()2x a b +=的形式，那么以a b ，长为直角边的 Rt ABC △中cos B 的值是（ ）A ．45B ．35C ．43D ．348．已知m n 、为一元二次方程2290x x +-=的两个根，则2m m n +-的值为（ ） A ．7- B ．0 C ．7 D ．119．如图所示，ABC V 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．12BCD 10．如图，以点O 为位似中心，将ABC V 放大得到DEF V ．若A D O A =，则ABC V 与DEF V 的周长之比为（ ）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:2二、填空题11=．12．一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共20枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中.不断重复上述过程，一共取了300次，其中有120次取到黑棋子，由此估计盒子中有枚黑棋子.13．在ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:2:3AD AB =，4AE =，2CE =，3DE =，那么BC 的长是．14．如图，AB CD EF ∥∥，如果2AD =， 1.5DF =， 1.8CE =，那么BE 的长是．15．如图，在Rt ABC △中，90,3ACB BC ∠=︒=，点D 为斜边AB 上的一点，连接CD ，将BCD △沿CD 翻折，使点B 落在点E 处，点F 为直角边AC 上一点，连接DF ，将ADF △沿DF 翻折，点A 恰好与点E 重合．若52DC =，则AF =．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且11OB =，160ODB ∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323,A A B L ，按此规律进行下去，则点2024A 的横坐标是．三、解答题171+18．解方程：22580x --=（）． 19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，<AC BC ，8BC =，点O 为边AB 中点．(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：在BC 上作一点D ，使得BD AC CD =+；（不写作法，保留作图痕迹．）(2)在（1）的条件下，连接OD ，若OD =Rt ABC △的面积为．20．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？21．一个不透明的袋子里有4个小球，小球上各标有一个数字，分别是2，3，5，8．这些小球除标有的数字不同外其他都相同．(1)从这个袋子里随机摸出一个小球（摸出后不放回），摸出标有数字“3”的小球的概率是________；下一次在袋子中摸出的是标有数字“8”的小球的概率是________．(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字后，放回、摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，第一次记下的数放在十位，第二次记下的数放在个位组成两位数，请利用画树状图或列表的方法，求这个两位数是奇数的概率．22．如图1，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，连接DE ．将D C E△绕点C 逆时针旋转得到D CE ''△（如图2），连接BE '，AD '．(1)求证：AD C BE C ''∽V V ；(2)已知2AC =，4BC =，分别延长BE '，AD '交于点F ．①若3AF =，求BF 的长；②连接FC ，若65FC =，直接写出12AF BF -的值． 23．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD ，首先在斜坡CD 的底端C 测得高楼顶端A 的仰角是60︒，然后沿斜坡CD 向上走到D 处，再测得高楼顶端A 的仰角是37︒，已知斜坡CD 的坡比是1:6i =，斜坡CD 的底端C 到高楼AB 底端B 的距离是B C E 、、三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：(1)求高楼AB 的高度；(2)求点D 离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈ 1.73≈）24．已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得2212120x x x x --=成立?若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．25．如图1，在矩形ABCD 中，8,4AB AD ==，点P 是对角线BD 上任意一点，连接AP ，过A 点作AE AP ⊥，且12AP AE =，连接BE ．(1)证明：DAP BAE V V ∽．(2)四边形AEBP 可能为矩形吗？如果可能，求出此时四边形AEBP 的面积，如果不可能，请说朋理由；(3)如图2，作A Q P E ⊥，垂足为Q ，当点P 从点D 运动到点B 时，直接写出点Q 运动的距离．。
福建省泉州市台商投资区2021-2022年九年级上册数学期末测试卷(含答案解析)
（1）求作 ，使得 且点 在 上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长度．
22.为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
18.解方程：2x2-3x-1=0．
19.如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD 长．
20.如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
A. B. C. D.
7.某市2021年底有2万户5G用户，计划到2023年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均増长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A.2（1＋2x）＝8.72B.2＋2（1＋x）＋2（1＋2x）＝8.72
C.2（1＋x）2＝8.72D.2＋2（1＋x）＋2（1＋x）2＝8.72
A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定
4.与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
5.用配方法解方程x2＋4x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A （x＋4）2＝5B.（x＋2）2＝5C.（x＋4）2＝3D.（x＋2）2＝3
6.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）
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泉州台商投资区2022—2023学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.2x >B.2x ≥C.2x <D.2x =2.下列说法正确的是（ ）A.“翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件B.“太阳从西方升起”是必然事件C.“明天会下雨”描述的事件是随机事件D.“射击运动员射击一次，命中十环”是必然事件3.用求根公式解一元二次方程2514x x -=时a ，b ，c 的值是（ ） A.5a =，1b =-，4c =- B.5a =，4b =-，1c = C.5a =，4b =-，1c =- D.5a =，4b =，1c = 4.下列各组线段中，成比例线段的是（ ）A.1cm ，2cm ，4cm ，6cmB.2cm ，4cm ，0.4cm ，7cmC.3cm ，9cm ，18cm ，6cmD.3cm ，4cm ，5cm ，6cm5.如图，下列选项中不能判定ACD ABC ∽△△的是（ ）A.ACD B ∠=∠B.ADC ACB ∠=∠C.2AC AD AB =⋅D.2BC BD AB =⋅6.如图，在ABC △中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若4ADB S =△.则四边形BDEC 的面积为（ ）A.4B.8C.12D.167.在平面直角坐标系中，点()2,3A -关于y 轴对称的点的坐标（ ）A.()2,3B.()2,3-C.()2,3--D.()3,28.如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则AOB ∠的正弦值是（ ）A.10B.10C.13D.129.在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少，去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（ ） A.()2170%a x a -= B.()2170%a x a += C.()2130%a x a -=D.()230%1x a a +=10.如图1，若ABC △内一点P 满足PAC PBA PCB ∠=∠=∠，则点P 为ABC △的布洛卡点，三角形的布洛卡点（Brocardpoint ）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A .L .Crelle 1780—1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845—1922）重新发现，并用他的名字命名.问题：如图2，在等腰DEF △中，DF EF =，FG 是DEF △的中线，若点Q为DEF △的布洛卡点，9FQ =，FGDE=，则DQ EQ +=（ ）A.10B.92+C.6+D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.=______. 12.已知32a b =，那么a ab =-______.13.a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是______.14.在Rt ACB △中，若90C ∠=︒，sin A =，6b c +=，则b =______. 15.如图，直线113y x =+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，BOC △与B O C '''△是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为12:，则点B '的坐标为______.16.如图，抛物线221y x x m =-+++（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B .①抛物线221y x x m =-+++与直线2y m =+有且只有一个交点； ②若点()12,M y -、点21,2N y ⎛⎫⎪⎝⎭、点()32,P y 在该函数图象上，则123y y y <<； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为()21y x m =-++；④点A 关于直线1x =的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当1m =时，四边形BCDE 周长的最小值______.三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分8分）解方程：2210x x --=18.（本小题满分8分）计算：12sin 60-︒ 19.（本小题满分8分）如图，AB 、CD 相交于点Q ，已知3OA =，4OD =，2OB =， 1.5OC =. 求证：AOD COB ∽△△.20.（本小题满分8分）某区未成年人校外心理健康辅导站多年来一直致力于未成年人心理健康服务工作.2022年11月疫情期间，辅导站对全区135057名中小学生进行了心理普测，探索出“云端”守护学生心灵的服务模式，受到了社会的广泛赞誉.为了更好地服务未成年学生，该辅导站对全区学生是否要心理辅导进行随机问卷调查，得到以下统计表：（1）通过以上数据估计，任意调查一名该区学生，这名学生需要心理辅导的概率大的是______；（精确到0.001） （2）辅导站通常使用A （沙盘游戏）、B （绘画分析）、C （会谈技术）、D （音乐放松）四种方式对需要辅导的学生进行公益心理辅导，在某次心理辅导服务中，有2名学生选择A 方式，1名学生选择B 方式，2名学生选择C 方式，辅导站的马老师准备从这5名学生中选择2人进行辅导，请用列表法或树状图求选中的这两名学生恰好都是选择C 方式的概率.21.（本小题满分8分）如图，在Rt ABC △中，90BCA ∠=︒.（1）用尺规作AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接BD 若4AD =，2CD =，求DBC ∠的正弦值. 22.（本小题满分10分）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为1x ，2x ，则12a x x b +=-，21x x ca=. 材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值. 解：∵一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ， ∴1m n +=，1mn =-，()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2310x x --=的两个根为1x ，2x ，则12x x +=______，21x x =______.（2）类比应用：已知一元二次方程2310x x --=的两根分别为m ，n ，求n mm n+的值. （3）思维拓展：已知实数s 、t 满足2310s s --=，2310t t --=，且s t ≠，求11s t-的值.23.（本小题满分10分）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克. 根据他们的对话，设这种水果每千克降价x 元，解决下面所给问题：（1）设该水果超市销售该种水果一天的销量为y 千克，写出y 与x 之间的关系式：（2）该种水果每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果每千克应降价多少元？ （3）设该水果超市售该种水果一天可获利润w 元.求当该种水果每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值.24.（本小题满分12分）如图，在Rt ABC △中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，正方形BDEF 的边长为2，将正方形BDEF 绕点B 旋转一周，连接AE 、BE 、CD .（1）请找出图中与ABE △相似的三角形，并说明理由； （2）求当A 、E 、F 三点在一直线上时CD 的长；（3）设AE 的中点为M ，连接FM ，试求FM 长的取值范围. 25.（本小题满分14分）已知抛物线2111:12C y x x =-+.点()1,1F . （1）求抛物线1C 的顶点坐标；（2）①若抛物线1C 与y 轴的交点为A .连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF+=； ②抛物线1C 上任意一点()(),01p ppP x y x<<，连接PF ，并延长交抛物线1C 于点(),Q Q Q x y ，试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由； （3）将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线()2221:2C y x h =-，若2x m <≤时，2y x ≤恒成立，求m 的最大值。
泉州台商投资区2022—2023学年第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（答案）第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1.B2.C3.C4.C5.D6.C7.A8.B9.C10.A第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.12.313.814.215.()3,2或()9,2--16.①③④三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：法一：∵2210x x --=， ∴1a =，2b =-，1c =-，∵()()224241180b ac =-=--⨯⨯-=>△，则1x ==±则11x =，21x =；法二：原方程可化为：2212x x -+=，即()212x -=∴开平方得，1x -=则11x =，21x =； 18.解：原式12=1=19.证明：∵321.5OA OC ==，422OD OB ==， ∴OA ODOC OB=， 又∵AOD COB ∠=∠，∴AOD COB △△. 20.解：（1）由题意可知：这名学生需要心理辅导的概率大约是0.030； （2）列表如下：（或画树状图）可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相等，其中，选中的这两名学生恰好都是选择C 方式的结果有2种.则P （恰好都是选择C 方式）212010==. 21.解：（1）如图，直线MN 即为所求.（2）∵点D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴4BD AD ==，在Rt DCB △中，90BCA ∠=︒， ∴21sin 42CD DBC BD ∠===. 22.解：（1）∵一元二次方程2310x x --=的两个根为1x ，2x ，∴12331b a x x -+=-=-=，12111c a x x ⋅==-=-. 故答案为：3，1-；（2）∵一元二次方程2310x x --=的两根分别为m 、n ， ∴3b m n a +=-=，1cmn a==-， ∴22m n m m n mnn ++= ()22m n nmnm +-=()23211-⨯-=-11=-；（3）∵实数s 、t 满足2310s s --=，2310t t --=， ∴s 、t 可以看作方程2310x x --=的两个根， ∴3b s t a +=-=，1cst a==-， ∵()()224t s t s st -=+-()2341=-⨯-13=∴t s -=或t s -=，当t s -=时，111t s s t st --===-当t s -=111t s s t st --===-综上分析可知，11s t- 23.解：（1）由题意知，设一次函数y kx b =+过点()38,160，()35,280则3816035280k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得40160k b =⎧⎨=⎩，∴40160y x =+.（2）设降低x 元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，()382216012036403x x ⎛⎫⎪⎝⎭--+⨯=，整理得212270x x -+=， ∴3x =或9x =.∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴9x =，∴售价为38929-=（元），答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元；（3）设降低x 元，由题得()38221601203x y x --+⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()224048025604064000y x x x =-++=--+， 当6x =时，y 最大4000=. ∴售价为38632-=（元），答：水果的销售价为每千克32元时，超市每天一天获利最大为4000元. 24.解：（1）ABE CBD △△，∵在Rt ABC △中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒ ∴45ABC EBD ∠=∠=︒， ∴ABE CBD ∠=∠，∵AB BC =，BEBD = ∴AB BEBC BD=， ∴ABE CBD △△（2）∵ABE CBD △△，∴AE BECD BD==∴2CD AE =， ∵4AC BC ==，90ACB ∠=︒，∴AB ==，∵当A 、E 、F 三点在一直线上时， ∵90AFB ∠=︒，∴(222AF ==-=如图1，当AE 在AB 左上方时，2AE AF EF =-=，∴CD =；如图2，当AE 在AB 右下方时，同理，2AE AF EF =+=，∴CD =；综上所述，当A 、E 、F 三点在一直线上时，CD（3）如图3，延长EF 到G 使FG EF =，连接AG ，BG ，则BFG △是等腰直角三角形，∴BG ==M 为AE 的中点，连接MF ，∴MF 是AGE △的中位线， ∴2AG FM =，在ABG △中，∵AB BG AG AB BG -≤≤+，∴AG ≤≤FM ≤≤ 25. 解：∵()22111111222y x x x =-+=-+， ∴抛物线1C 的顶点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭； （2）①证明：根据题意得：点()0,1A ， ∵()1,1F ，∴AB x ∥轴，得1AF BF ==， ∴112AF BF+=； ②112PF QF+=成立. 理由如下：如图，过点(),p p p x y 作PM AB ⊥于点M ，则1p FM x =-，1p PM y =-，()01p x <<，∴Rt PMF △中，由勾股定理，得()()2222211p p PF FM PM x y =+=-+-， 又点(),p p p x y 在抛物线1C 上，得()211122p p y x -=+，即()2211p p x y =--， ∴()222211p p p PF y y y =-+-=，即p PF y =， 过点(),Q Q Q x y 作QN AB ⊥，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得：Q QF y =，∵90PMF QNF ∠=∠=︒，MFP NFQ ∠=∠， ∴PMF QNF △△， ∴PF PM QF QN=,这里11p PM y PF =-=-,11Q QN y QF =-=-, ∴11PF PF QF QF -=-，即112PF QF +=； （3）令3y x =，设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为0x ，0x '，且00x x '<，如图所示， ∵抛物线2C 可以看作是抛物线212y x =左右平移得到的， 观察图象，随若抛物线2C 向右不断平移，0x ，0x '的值不断增大， ∴当满足2x m <≤，2y x ≤恒成立时，m 的最大值在0x '处取得， 可得：当02x =时，所对应的0x '即为m 的最大值. 于是，将02x =代入()212x h x -=，有()21222h -=， 解得：4h =或0h =（舍去）， ∴()22142y x =-，此时，由23y y =，得()2142x x -=， 解得：02x =，08x '=，∴m 的最大值为8.。