幂等矩阵的质
幂等矩阵的研究现状与意义
幂等矩阵的研究现状与意义
研究现状
幂等矩阵是一类具有良好性质的矩阵，在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛.先前已经有许多学者对幂等矩阵的一些性质和结论进行了归纳总结并对相关性质进行了推广，优化解题和证明问题的过程，使思维更简洁.四川师范大学陈明俭对幂等矩阵的若干等价条件进行了循环证明;雁北师范学院肖润梅介绍了幂等矩阵、对合矩阵的概念，讨论了幂等矩阵的充要条件;连云港师范学院王秀芳探讨了幂等矩阵的性质;内蒙古民族师院满良讨论了关于幂等矩阵秩的一类性质;大庆师范学院的董庆华、王成伟对幂等矩阵的相似标准型与分解形式进行了研究.学者们都在各自的研究课题上深入探讨，但目前能涵盖幂等矩阵完整性质的文献并不多，对于幂等矩阵分类问题的研究文献也很少.
意义
本文主要对幂等矩阵的若干等价命题、幂等矩阵的特征性质进行了概括并加以证明，以及对幂等矩阵的分类问题进行了研究.如本文首先对幂等矩阵下定义和刻划，接着对幂等矩阵的一些性质(包括幂等矩阵的特征值、幂等矩阵的秩的性质、幂等矩阵的和的性质等)进行了归纳总结，通过这部分内容来加深我们对幂等矩阵这一概念的理解，最后重点研究了幂等矩阵的分类问题.首先从
A'=A这类比较简单的幂等矩阵的分类问题入手，进而推广至k次幂等矩阵，
并对这类幂等矩阵分别在复数域和实数域上的分类问题进行讨论．这对我们理解幂等矩阵的本质，灵活运用幂等矩阵分析解决相关问题有一定的意义和作用.
在这次的研究中我学到了很多东西，不仅加深了我对幂等矩阵的理解，也让我积累了一些解决相关问题的经验.但是在这方面的知识我还有很多需要学习，今后我仍然会继续学习这方面的知识，不断完善自己.。
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间，即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域，即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域dim V 线性空间V 的维数 1T - 线性变换T 的逆变换TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r =均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,由200001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭ ,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ～0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫⎪⎝⎭02若A ～1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ～1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由2n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠. 因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：12000000n r J λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式***[2]()AB B A=.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是，*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）从而A 可对角化,且其若尔当标准型为000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000rr r E E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000rr E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌ 性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有：222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======. ▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2()()0()0E A Aa A A a -=⇒-=.由a 的任意性得 2A A =.1)⇔8)必要性: 由2A A =知 ()()N A R E A =-.于是有 dim ()dim ()N A R E A =-即有 rank rank()n A E A -=-亦即 rank rank()A E A n +-=.充分性: 由rank rank()A E A n +-= 易知:dim ()dim ()N A R E A =- (*) 又对()a N A ∀∈,有0Aa =则有()E A a a Aa a -=-=.由()()E A a R E A -∈-知()a R E A ∈-即有 ()()N A R E A ⊂-.据(*)式知()()N A R E A =-.再由6)得2A A =.8)⇔9)必要性: 由rank rank()A E A n +-=.即知:dim ()dim ()R A R E A n +-=.又对n a R ∀∈,有()a Aa E A a =+-,而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+---n =.故有dim[()()]0R A R E A -=. 于是, {}()()0R A R E A -=.充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+=.其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+==.即221212O ΛΛ+ΛΛ=. 因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有rank()rank()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=---.证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=---以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换. 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==.2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知, 对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =. 据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s =.定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈，AB BA =，{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,ic u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件，则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u =且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-.将它们相加得212AB B B u-=--.又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u =-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=- 121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v =-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-.又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u-=-. 结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v =--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v vλ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3ieπε=满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--.从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u =-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v =-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v=-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑴⇒⑵对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑴⇐⑵对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵，1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1 rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数, 所以111,0r r n λλλλ+======,故结论成立. ▌推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了. 定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A E ==∑.则 11rank rank()mmi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级 A0411指导教师王侃民二零零八年五月摘要幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合AbstractThe idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusionof idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、 the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表实数域实数域n维列向量空间实数域上的n×n阶矩阵复数域复数域n维列向量空间复数域上的n×n阶矩阵矩阵A的转置矩阵A的伴随矩阵A的逆矩阵A的行列式矩阵A的秩矩阵A的核空间，即矩阵A的值域，即线性空间V的维数线性变换的逆变换的值域,即=的核,即目录第一章预备知识 11.1 幂等矩阵的概念及刻划 11.2 幂等矩阵的一些简单性质 3第二章相关的重要结论 72.1 幂等矩阵的等价条件 72.2 幂等变换 142.3 幂等矩阵线性组合的幂等性 172.4 幂等矩阵线性组合的可逆性 232.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质 26结束语 29参考文献 30第一章预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1.对n阶方阵,若,则称为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若是幂等矩阵,则与相似的任意矩阵是幂等矩阵.证明：若相似于(记作),则有同阶可逆矩阵,使,从而=·===. ▌命题2.若是对角分块矩阵，设=则是幂等矩阵均是幂等矩阵.由于每个n级复数域矩阵都与一个若尔当矩阵相似，据命题1和命题2知，我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若是一个2阶复数域矩阵,则的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种:,但它不是幂等矩阵.否则有=,有.矛盾.第二种:,由,有,从而有或1,或1.于是该情况有四种可能的形式:,,,据命题1,于是得到:定理1.是二阶幂等矩阵,则是零矩阵或单位矩阵或形如.证明: 由以上讨论知相似于(1)式中的四个矩阵之一若～,显然有=若～,显然有=若～,则有可逆矩阵=，使=则有.即.对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设，由，有这是不可能的.于是有:命题3.当时,阶若尔当块不具有幂等性.即.因此,若是幂等矩阵，则的若尔当标准型如下：据命题1即有.于是或1.于是我们得到如下定理:定理2.是阶幂等矩阵，当且仅当存在阶可逆矩阵，使得.其中是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵.性质2.方阵是幂等矩阵，且可逆，则.因为,则. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即(如果存在的话)是幂等矩阵.因为.性质3.若是实幂等矩阵，则都是幂等矩阵.证明: 对,.对,有.对,先证明对任意两个幂等矩阵,有关系式.由公式有:===于是，. ▌性质4.若是复数域上的幂等矩阵,则也是幂等矩阵.证明:.. ▌性质5.若是幂等矩阵,则的特征值只能是1或0.即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由知(). ▌由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若是幂等矩阵,设是的最小多项式,则=从而可对角化,且其若尔当标准型为.其中是阶单位矩阵,是的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知=.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7.若是幂等矩阵，则，其中.证明：由有，立即知的阶列向量都是的解故有又对,有由的任意性知.于是有. ▌同样地,有结论.性质8.若是幂等矩阵,对任意实数是可逆矩阵.证明:由有.又由有故可逆,且. ▌性质9.任一秩为的幂等矩阵可分解成,其中是秩为矩阵,且.(其中是阶单位矩阵)证明:由性质6知,存在阶可逆矩阵使.则.记.显然满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为.故结论成立▌性质11.若均为阶幂等矩阵,且,则与均为幂等矩阵.证明:据题意有：.. ▌第二章相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设是的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)是幂等矩阵.2)是幂等矩阵.3)是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵.5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵)6).7).8).9).10).11).12)以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设是的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)是幂等矩阵.2)是幂等矩阵.3)是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵.5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵)6).7).8).9).10).11).12)证明:1)2) 由知.反过来,.1)3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:.1)4)由知.反过来,.1)5)由,有==.反过来,.1)6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对有，故于是有.由的任意性得.1)7)必要性: 由知,有.又,有.于是故有.充分性: 对,有于是有.由的任意性得.1)8)必要性: 由知.于是有即有亦即.充分性: 由易知:(*)又对,有则有由知即有.据(*)式知.再由6)得.8)9)必要性: 由.即知:.又对,有,而.故.又.故有.于是,.充分性: 由有.即有.9)10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)11) 这是显然的.10)12) 这是显然的. ▌定理3.设是秩为的矩阵.则是幂等矩阵存在阶可逆矩阵,使.证明:必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由,有.则. ▌以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设是三次幂等矩阵,即,且满足,,记.则.证明:由矩阵是幂等可交换的，于是可同时对角化. 即存在可逆矩阵,使得均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是的特征值.从而有进而.于是可以等价为.其中分别是的对角元.又由知的特征值只有0,-1,1.即于是等价为.即.因此等价为. ▌注:当,立即有,同样地,对,(为正整数)即任意的二次幂等矩阵均为次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设是二次幂等矩阵,且满足,,记.则. ▌引理1.对任意两个同阶矩阵,有.引理2.设为矩阵,满足,则有.定理5.设矩阵满足且可逆.则且.证明: 由可逆,有.于是据引理2有(1)又据引理1有. (2)有(1)式和(2)式有.由于可逆知.因此有. ▌定理6.设矩阵满足.则都是此幂等矩阵.证明:对,.对.对. ▌定理7. 设矩阵满足.则的特征值为0和.证明: 由,有,其中是矩阵的特征值.解方程可得. ▌2.2 幂等变换数域上维线性空间的全部线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上的一个线性空间，与数域上阶方阵构成的线性空间同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设是线性空间的一个线性变换,若,则称是幂等变换.由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩阵”一致. ▌性质2.若是幂等变换,则也是幂等变换.(其中是恒等变换)性质3.是幂等变换为对合变换.其中线性变换满足,则称是对合变换.性质4.是线性空间上的幂等变换,则.▌我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然,但未必有.这样的例子很多.例如:在线性空间中令.则微分变换是一线性变换,其值域为,其核是子空间.它们的维数分别是.但显然+.性质5.设和是维线性空间上的线性变换,且.如果,则.证明:由,可得……………………………………①对①式左乘得…………………………………②对①式右乘得……………………………………③比较②和③得.代入到①式得到.于是就有. ▌性质6.设,是维线性空间上的线性变换,且.则 1).2).证明:1)对有.故使.从而.因此有.同样可证得.据可知,对,有,故.同样可证得.于是.2)对,作向量.据,有.故.从而有同理有.对,有.据,有.即有.同理可得.故有. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合仍是幂等矩阵的一些充分条件.引理1.设,的整数,且.则存在,使为幂等矩阵的充要条件是:.证明:(令).▌据引理1,下面将给出是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令,,.定理1.设，，若及满足下列任意一个条件，则必为幂等矩阵.(Ⅰ).①.且.证明:由易知,又由和知.满足引理1.故此时为幂等矩阵.②.且.证明: 由易知.将它们相加得.又由,可得.满足引理1.故此时为幂等矩阵.③.且.证明: 由条件易知.将它们相加后,再乘以可得。
幂等矩阵的性质及其应用
0引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵,不仅在高等代数中有着重要的应用,在其它课程中,如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中,线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质,同时给出了一些相关的应用。
1主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1:若n阶方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1:幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。
证明:设A为任意一个幂等矩阵。
由A2=A,可得λ2=λ其中λ为A的特征值。
于是有λ=1或0,命题得证。
推论:可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明:设A为一可逆的幂等矩阵。
由A2=A可得A2A-1=AA-1即A=E。
此时有λE-E=0即λ=1其中,λ为A的特征值。
命题得证。
定理2:任意的幂等矩阵A都相似于对角阵,即存在可逆阵P,使得:P-1AP=Er0 00 (),其中r=R(A)。
证明:A为任意幂等矩阵,J为其Jordan标准型,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=J=J10⋱0J s (),其中J i=λi1…0⋱┋⋱1 0λi ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟。
由此可得J2=J。
于是有,J i2=J i。
此时,J i只能为数量矩阵λi E。
又因为A2=A,所以λi=0或1,且r=R(A)。
命题得证。
定理3:幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域,特征值为0的特征子空间为其零(核)空间。
证明:(i)A为一n阶幂等矩阵。
α为其特征值1对应的特征向量。
则有,Aα=α。
由此可得α属于A的值域。
反之,对于任意一个A的值域中的向量α,总能找到一个向量β,使得Aβ=α,于是有Aα=A2β=β,即α=β。
综上可知,幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
(ii)A为一n阶幂等矩阵。
幂等变换
摘要幂等变换是一类特殊的线性变换，它不是孤立存在的，而是与其它线性变换紧密相连，在物理、化学等学科中也有着广泛的应用，极大地推动和丰富了它们的发展，许多新的理论、技巧和方法的诞生与发展都是幂等变换理论的应用与推广.本文首先简要叙述了一般线性变换的基本理论，在此基础上给出幂等变换的定义，并指出几类特殊的幂等变换；其次，归纳总结了幂等变换的性质，如幂等矩阵的形式、幂等变换的特征值与特征向量、特征多项式、秩与迹及幂等变换的对角化问题，讨论过程由浅入深，层层推进，对幂等变换的相关知识形成了较为完整的知识体系，对幂等变换的一些特殊的性质理解深刻；最后，结合幂等变换的概念与性质，给出常见的习题及解题技巧，并举例说明幂等变换与其它线性变换的联系与转化.关键词：幂等变换；幂等矩阵；性质；应用AbstractIdempotent transformations are a special type of linear transformation.It's not isolated，but closely connected with other linear transformation.In physics，chemistry，and other disciplines also has a wide range of applications，greatly promote and enrich their development.Birth of many new theories，techniques and methods are idempotent transformations and development application and popularization of the theory.This paper begins with a brief description of the basic theory of linear transformations，on this basis for idempotent transformation defined，the idempotent transformation and pointed out that some kinds of special.Second，discussed the nature of power transform，idempotent matrix of the form，idempotent transformation characteristic value and characteristic vector，characteristic polynomial，diagonalization of rank and track and idempotent transformation problems，discussion easy-to-digest，layers of promoting.For idempotent transformation knowledge formed a relatively complete system of knowledge，some special properties for idempotent transformation understand deep.Finally，with idempotent transformation and the concept of nature，out common problems and problem-solving skills，descriptions and examples of power-link，and other linear transforms and transformation.Key words: Idempotent transformation; Idempotent matrix; Nature; Application目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章幂等变换的基本概念 (2)第2章幂等变换的性质 (3)2.1 幂等变换的运算性质 (3)2.2 幂等变换与幂等矩阵的关系 (4)2.2.1 幂等变换的特征值与特征向量 (10)2.2.2 幂等变换的特征多项式、秩与迹 (15)2.2.3 幂等变换的对角化 (20)第3章幂等变换的应用 (23)3.1 幂等变换性质的应用 (23)3.2 幂等变换与其它线性变换 (25)结论 (32)参考文献 (33)致谢........................................................................................................... 错误!未定义书签。
矩阵代数简单介绍
线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
数量幂等矩阵的秩等式的进一步研究
ｒ＋ ＝Ｐ１＝ｏ ］（ ＝三 ］（， ｌ１，（ （ １ ｒ一 ｒ Ｐ ｒ）ｒ ＰＱ ｒ 当 ≠时 ９ Ｐ７ （ ２ ［Ｑ 一 ［ １ 一Ｐ ｌ ） ） Ｄ Ｑ — ）砉 ２ ）
ｒｅ （ ＋Ｑ ）＝ｒ Ｐ ＋１） ＝ｒ ｅ —Ｑ） ＝ｒ Ｐ （ ２ （ （ 一Ｑ ） 当 ∈ ７ ，Ｌ ≠ １ ， ７ ＿ 时． （０ １）
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＋Ｂ 为矩 阵环上 的 Ａ 与 Ｂ 的 Ｊｒａ Ａ ｏｄｎ积．
兰兰塑 旦 签型芏 ２
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ｐｏ ｕｔ． Ｒ是环 的时候 ， ｒｄ ｃ） 当 文献 ［ ］ ２ 称 。 Ｙ＝ｘ ｙ＋ｙ （ Ｙ∈Ｒ） Ｒ上 的 Ｊｒａ 积 ， ｘ ， 为 ｏｄ ｎ 因此 ， 文献 ［ ］ ＡＢ ３ 称 定 义 １ 见 ［ ， １０ ） 设 Ｐ ∈ Ｆ ， （ １ Ｐ １ ］ 如果 有 Ａ ≠ ０ （ ）∈ Ｆ使 Ｐ ＝Ａ 则称 Ｐ是 数量 幂等 矩 阵． Ｐ， 在 定 义 １中当 Ａ ＝１ ， 是通 常 的幂 等矩 阵． 量幂 等矩 阵 的使 用 已引起 重视 （ 时 Ｐ就 数 见文 献 ［－］等 ） ３５ ． 在 已有 的幂 等矩 阵 的秩 等式 的基础 上文献 ［ ］给 出 ： １ 命 题 １ 见 ［ ，１０］ 设 Ｐ， ∈ Ｆ 满 足 Ｐ （ １Ｐ １ ） Ｑ ＝Ａ Ｑ Ｑ， ≠ ０则 Ｐ， ＝ Ａ ，
ｒＱＱ）ｒＱ＋Ｑ 一（ 一Ｐ＋［ ］ （ ＋Ｐ＝Ｐ ｒＰ ２ ）ｒ）ｒ ＝ Ｐ （） （ ） ｒ （ Ｑ
ｒＱ＋Ｑ 一（ 一Ｑ＋［ ］ （）ｒＰ ２ ）ｒ）ｒ ． Ｐ （） ｒ （ Ｐ
命题 ５（ ［ ， 见 ８ 定理 ２和 ３ ） 设 尸， ∈Ｆ 是 由数量 Ａ， 确定 的数量 幂等矩 阵 ， ］ １ ２ 则
由定 义 １ 数量 Ａ， 对 满足 Ｐ 知 ｔ ｘ ＝ Ａ １ Ｑ 的数量幂 等矩 阵 Ｐ， Ｐ， ＝ ２ Ｑ起 到 了基本 的确定 作用 ， 因此 ， 文献 ［ ］以命题 １ 式 给出 的与数量 Ａ， １ 形 有关 的数 量幂等 矩 阵的秩 等式是 合理 的． 命题 １中取 Ａ ＝ ＝ 在 １就可 得到 已有 文献 的关 于幂 等矩 阵 Ｐ， ， Ｑ的秩 等式． 设 Ｐ ∈Ｆ ， 如果 Ｐ ＝一Ｐ， 文献 ［—］ Ｐ是 斜幂 等矩 阵． ６７ 称 显然 斜幂 等矩 阵是 定义 １中 Ａ ＝一１的特 例． 命题 ２ 见［ ， （ ６ 定理 １３和 ６ ） 设 Ｐ， ∈Ｆ 都 是斜 幂等矩 阵 ， ， ］ Ｑ 则
幂等变换和幂等矩阵的性质
幂等变换和幂等矩阵的性质中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。
关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质正文:（一）定义及说明定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。
定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。
因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。
所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =.（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有（1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。
对于满足n σσ=的线性变换有类似性质定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有（1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--=证明：已知n σσ=（1）：(),()0Ker ασσα∀∈=即122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒===1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈反之，1()n ασα-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈， 由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-=⇒1()n ασα--∈()Ker σ因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ从而()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得（）11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴====α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈反之，{}11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈，有 2(())Im()n ασσασ-=∈因此{}1()|n V ξσξξ-=∈⊆Im()σ从而Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）：由（1），,V ααασασα∀∈∈n-1n-1有=(-())+()()Ker σ+Im()σV ∴⊆()Ker σ+Im()σ从而V =()Ker σ+Im()σ又设β∀∈()Ker σIm()σ由β∈()Ker σ()0σβ⇒=又由β∈Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈122()(())(0)0n n n βσβσσβσ---⇒====即()Ker σIm()σ={}0∴()Im()V Ker σσ=⊕（3）：""⇒假设()Ker σ，Im()σ都在τ之下不变V α∀∈，由（2），存在唯一的β∈()Ker σ，唯一的γ∈Im()σ，使得αβγ=+ 则由假设，()τβ∈()Ker σ，()τγ∈Im()σ122()((()))(0)0n n n στβσστβσ---∴===，11()(())()n n στγστγτγ--==（由（1）） 111()()()0()()n n n σταστβστγτγτγ---⇒=+=+=又122()(())(0)0n n n σβσσβσ---===，1()n σγγ-=（由（1））1111()()(())(())n n n n τσατσβγτσβτσγ----⇒=+=+(0)()()ττγτγ=+=11()()n n στατσα--∴=由α的任意性，11n n σττσ--=""⇐若11n n σττσ--=，α∀∈()Ker σ即()0σα=，且由（1），V β∃∈使得1()n αβσβ-=- 1(())(())n σταστβσβ-⇒=- =11()()()()()()n n n στβστσβστβσστβστβστβ---=-=-=()()στβστβ-=0 ∴()τα∈()Ker σ即()Ker σ在τ之下保持不变Im()ασ∀∈，由（1），1()n ασα-= 11(())(())()n n στατσατα--∴==即1(())()n στατα-=由（1），Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ ∴()τα∈Im()σ即Im()σ也在τ之下保持不变 证毕定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。
幂等矩阵的性质及其推广
㊀[收稿日期]２０１９Ｇ０５Ｇ２１;㊀[修改日期]２０１９Ｇ１０Ｇ１５㊀[基金项目]国家自然科学基金项目(１１７０１３０６);宁夏高等学校科学技术研究项目(N G Y ２０１８Ｇ１０９);宁夏师范学院本科教学项目(N J ２０１９３９)㊀[作者简介]冯福存(１９７７－),女,硕士,副教授,从事矩阵理论及其应用研究．E m a i l :n x f f c ＠１６３．c o m第３６卷第１期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３６,ɴ．１２０２０年２月C O L L E G E MA T H E MA T I C S F e b ．２０２０幂等矩阵的性质及其推广冯福存,㊀常莉红(宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)㊀㊀[摘㊀要]首先对幂等矩阵的简单性质进行了归纳总结,接着论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系㊁幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质．最后讨论了幂等矩阵的两种分解形式．[关键词]幂等矩阵;特征值;实对称矩阵;矩阵分解[中图分类号]O １５１．２１㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０２０)０１Ｇ００９０Ｇ０５１㊀引㊀㊀言幂等矩阵是一类常见的比较特殊的矩阵,在矩阵理论中具有重要的地位和作用,它的很多优良的性质,对解决矩阵问题大有益处．幂等矩阵及其相关性质具有鲜明的背景㊁丰富的理论,在概率统计㊁模糊数学及信息与计算科学等领域都有重要应用．由于幂等矩阵自身的特殊性,其相关性质和内容的讨论至今仍然是一个热点．但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的,因此,在前人已有的研究基础[１－３]上对幂等矩阵的性质做了一些有益的补充和推广．２㊀基本性质定义１[１]㊀设A 是n 阶矩阵,如果A ２＝A ,则称A 为幂等矩阵．由定义１和文献[４]可知λ２－λ＝０为幂等矩阵的一个零化多项式,从而幂等矩阵的最小多项式m λ＝λ或m λ＝λ－１或m λ＝λ(λ－１),由最小多项式和特征值的关系可得:性质１[３]㊀幂等矩阵的特征值只能为０或１．由幂等矩阵的定义简单验证可得:性质２[３]㊀如果A 是幂等矩阵,则A T ,A k ,E －A 均为幂等矩阵．性质３㊀如果A 为可逆的幂等矩阵,则A －１也为可逆的幂等矩阵．证㊀由A 可逆,可得A ʂ０,A －１＝１Aʂ０,即A －１也可逆．由幂等矩阵的定义得(A －１)２＝(A２)－１＝A －１．其实,不妨设A 的逆矩阵为A －１,对A ２＝A 的两边同时左乘A －１,可得A ＝E ．即可逆的幂等矩阵是单位矩阵．性质４㊀A 和B 是幂等矩阵的充要条件是T ＝A O O B æèççöø÷÷是幂等矩阵．证T ２＝A O O B æèççöø÷÷A O O B æèççöø÷÷＝A ２O O B ２æèççöø÷÷．则T ２＝T 当且仅当A ２＝A ,B ２＝B ．性质２和性质３从矩阵的运算出发推出幂等矩阵的一些简单性质．可以类似的推理,易证如果A ,B 是幂等矩阵,但λA (λʂ０,１),A ＋B ,A B 一般不再是幂等矩阵．幂等矩阵还具有那些重要性质和特征呢?幂等矩阵A 的伴随矩阵A ∗是否也是幂等矩阵?下文做一些推导．３㊀幂等矩阵性质的拓广幂等矩阵的特征值只能是０或１,不能由此认为特征值皆是０或１的矩阵是幂等矩阵,可见下例．例１A ＝１１１０１１０００æèççççöø÷÷÷÷,求A 的特征值,并判断A 是否为幂等矩阵．解㊀λE －A ＝(λ－１)２λ,得A 的特征值为λ１＝１,λ２＝０,但是A ２＝１２２０１１０００æèççççöø÷÷÷÷ʂA ．为了让特征值皆为０或１的矩阵是幂等矩阵,需加强条件,可得如下结论:定理１㊀特征值皆为０或１的矩阵A 是幂等矩阵的充分必要条件是A 可对角化．证㊀充分性．A 可对角化,则存在可逆矩阵P ,使得P －１A P ＝B ,其中B 为主对角线元素皆为０或１的对角阵,故B ２＝B ,且A ２＝(P B P －１)２＝P B ２P －１＝P B P －１＝A ．即A 是幂等矩阵．必要性．A 是幂等矩阵,则A 的特征多项式为f (λ)＝λ(λ－１),又m λf (λ),说明A 的初等因子都是一次的,所以A 的J o r d a n 标准形为对角矩阵,从而A 可对角化．由定理１的证明可知幂等矩阵相似于对角矩阵,而相似矩阵有相同的秩和迹,又幂等矩阵特征值只能为０或１,则对角阵中１的个数就等于所有１的和．另外实对称矩阵一定能对角化,从而可进一步得如下结论:推论１㊀若A 是n 阶幂等矩阵,则r (A )＝t r (A )．推论２㊀特征值皆为０或１的实对称矩阵是幂等矩阵．推论３㊀n 阶幂等矩阵按相似关系分类只需按其特征值１的个数r (０ɤr ɤn )分类．共有n ＋１类．注㊀由定理１及其推论,需要注意的是幂等矩阵不一定是对称矩阵．例如,不妨设a ＝a １,a ２, ,a n ()T ,b ＝b １,b ２, ,b n ()T ,则当b T a ＝１时,A ＝a b T 是幂等矩阵,这是因为A ２＝(a b T )(a b T )＝a (b T a )b T ＝a b T ＝A ,但是A T ＝(a b T )T ＝b a T ʂa b T ＝A ．只有当a ＝b 时或a ,b 中有一个是零向量时A T ＝A 才成立．定理２㊀n 阶矩阵A 是幂等矩阵的充要条件是r (A )＋r (E －A )＝n ．证㊀必要性．如果A 是幂等矩阵,则E －A 也是幂等矩阵,由推论１可知r (A )＋r (E －A )＝t r (A )＋t r (E －A )＝t r (A ＋E －A )＝t r (E )＝n ．充分性．设A 有r 个非零特征值,由A 的J o r d a n 矩阵知r (A )ȡr ．因为E －A 有n －r 个特征值为１和r 个其它特征值,故E －A 至少有n －r 个非零特征值,所以r (E －A )ȡn －r ．又因为r (A )＋r (E －A )＝n ,１９第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广故有r (A )＝r ,r (E －A )＝n －r ．设A 的J o r d a n 矩阵为T －１A T ＝J １O O J ０æèççöø÷÷(１)其中J １的主对角线元素恰好是A 的r 个非零特征值,J ０有n －r 个特征值为０．因为r (J １)＝r ,r (J １)＋r (J ０)＝r (A )＝r ,所以r (J ０)＝０,因此J ０＝O ．由(１)式可得E －A 的J o r d a n 矩阵为T －１(E －A )T ＝E r －J １O O E n －r －J ０æèççöø÷÷＝E r －J １O O E n －r æèççöø÷÷．因为r (E －A )＝n －r ,所以r (E r －J １)＝０,因此J １＝E r ．于是A (E －A )＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１T O O O E n －r æèççöø÷÷T －１＝O ．即A ２＝A ．定理３㊀设A 为n 阶幂等矩阵,则其伴随矩阵A ∗也是幂等矩阵．证㊀因为A ∗依据A 的秩,分３种情况讨论．(i )A 为n 阶可逆矩阵．由性质２可知A ∗＝E ,显然为幂等矩阵．(i i )r (A )＝n －１．此时A ＝０,㊀A A ∗＝A ∗A ＝A E ＝O ,将A 按列分块,不妨设A ＝(α１,α２, ,αn ),则α１,α２, ,αn 是矩阵方程A ∗X ＝O 的解,不妨设αi １,αi ２, ,αi n －１是α１,α２, ,αn 的极大线性无关组,则A ∗αi k ＝０αi k (k ＝１,２, ．n －１),说明０是A ∗的n －１重特征根．又r (A ∗)＝１,则A ∗存在一个非零特征值,不妨设为λ,设该特征值所对应的特征向量为β,即A ∗(β)＝λβ,(２)又A ∗２(β)＝A ∗(λβ)＝λ２β,(３)(３)式减去(２)式,可得(A ∗２－A ∗)(β)＝λ(λ－１)β,(４)将(４)式两边左乘A 得A (A ∗２－A ∗)(β)＝０＝０β．可知A ∗的特征值只能为０或１,故λ＝１．则αi １,αi ２, ,αi n －１,β线性无关,且是对应于特征值０和１的特征向量,令P ＝(αi １,αi ２, ,αi n －１,β),则P －１A ∗P ＝O n －１００１æèççöø÷÷．得A ∗＝P O n －１００１æèççöø÷÷P －１,易得A ∗２＝A ∗,故A ∗是幂等矩阵．(Ⅲ)r (A )ɤn －２．由文献[５]可知此时A ∗＝O ,显然为幂等矩阵．在定理３第(i i )部分证明的过程中,(２)式两边左乘A 可得λA β＝０,因为λʂ０,所以A β＝０＝０β,说明β是A 的属于特征值０的特征向量．由此可得:推论４㊀若n 阶幂等矩阵A 的秩为n －１,则A 的属于特征值０的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值１的特征向量;A 的属于特征值１的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值０的特征向量．定义２[６]㊀设A ɪℂn ˑn ,若存在矩阵X ɪℂn ˑn ,使得A X A ＝A ,㊀X A X ＝X ,㊀A X ＝X A 成立,则称A 群可逆,X 为A 的群逆,记为A g ．定理４[７]㊀方阵A 是群逆阵的充分必要条件是r (A ２)＝r (A )．２９大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷定理５㊀幂等矩阵的群逆是存在的,并且等于它本身．证㊀设幂等矩阵为A ,则A ２＝A ,由定理４可知A 的群逆存在．利用群逆定义A X ＝X A 和A X A ＝A 可得A X ＝A ,又X A X ＝X ,可得X A ＝X ,故X ＝A ．４㊀幂等矩阵的分解矩阵的分解是矩阵理论中的一个重要课题,文[８]中总结了在向量组的正交化过程中,可得任意可逆的n 阶实矩阵M 都可以分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R 的乘积:M ＝Q R ．文[９]中得出任意n 阶矩阵A 都可以分解成一个可逆阵与一个幂等矩阵的乘积．受此启发,给出了幂等矩阵的两种分解形式,进一步加强了幂等矩阵与实对称矩阵及满秩矩阵的联系,增强了幂等矩阵的应用背景．定理６㊀设A 是实幂等矩阵,则A 可分解为两个实对称矩阵的乘积．证㊀由性质１和定理１可知,存在可逆矩阵T ,使得T －１A T ＝E r O O O æèççöø÷÷,故A ＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１＝T E r O O O æèççöø÷÷T T (T T )－１T －１＝S １S ２,(５)其中S １＝T E r O O O æèççöø÷÷T T ,㊀S ２＝(T T )－１T －１＝(T －１)T T －１．显然,S １和S ２都是实对称矩阵．如果将(５)式如下分解A ＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１＝T E r O æèççöø÷÷E r O ()T －１＝B C ．其中B ＝T E r O æèççöø÷÷,㊀C ＝E r O ()T －１．则可得幂等矩阵的满秩分解的结论:定理７㊀任一秩为r 的n 阶幂等矩阵A 可分解成A ＝B C ,其中B 为秩为r 的列满秩矩阵,C 为秩为r 的行满秩矩阵,且C B ＝E r ．一般的,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A ＝H L ,可得L H 是满秩矩阵,当r 较小时,利用特征多项式的降阶公式[１０]能给计算带来很大的方便．定理７告诉我们对与低秩的幂等矩阵A 进行满秩分解A ＝B C ,则C B ＝E r ,由降阶公式可得幂等矩阵的特征值只能为０或１．另外,结合定理１的推论２可得,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A ＝H L ,若L H ＝E r ,且A 为对称矩阵,则A 为幂等矩阵．５结㊀㊀论主要论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系,得到了秩为n －１的n 阶幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质．最后给出了将幂等矩阵分解为两个对称矩阵的乘积及将幂等矩阵进行满秩分解的方法．[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀龚和林,舒情．关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广[J ]．大学数学,２００９,２５(６):１２６－１２９．３９第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广４９大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷[２]㊀左可正．每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和[J]．湖北师范学院学报(自然科学版),２００８,２８(４):１９－２１．[３]㊀张慧．对幂等矩阵的研究[J]．陕西科技大学学报,２０１２,３０(６):１３９－１４２．[４]㊀冯福存．矩阵的最小多项式的求解及其应用[J]．宁夏师范学院学报,２０１７,３８(６):２８－３２．[５]㊀北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．３版．北京:高等教育出版社,２００５:１７３－２０３．[６]㊀武玲玲．幂等矩阵线性组合群逆的研究[D]．南宁:广西民族大学,２０１１:２－３．[７]㊀M e y e rC D．M a t r i xa n a l y s i sa n da p p l i e dl i n e a ra l g e b r a[M]．P h i l a d e l p h i a:S o c i e t y f o rI n d u s t r i a la n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s(S I AM)２０００．[８]㊀董庆华,王成伟．幂等矩阵的相似标准型与分解形式[J]．大庆师范学院学报,２０１０,３０(６):４３－４５．[９]㊀刘小川,何美．幂等矩阵与秩幂等矩阵的充要条件[J]．山西大同大学学报,２０１１,２７(１):９－１１．[１０]㊀张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京:科学出版社,２０１１:８９－９３．P r o p e r t i e s a n dG e n e r a l i z a t i o no f I d e m p o t e n tM a t r i xF E N GF uＧc u n,㊀C HA N GL iＧh o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a nN i n g x i a７５６０００,C h i n a)A b s t r a c t:F i r s t l y,t h e s i m p l e p r o p e r t i e so f i d e m p o t e n tm a t r i c e sa r es u m m a r i z e d,t h e nt h ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o n so f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d t h e r a n g e o f t h e i r e i g e n v a l u e s a r e p r o v e d,a n d t h e r e l a t i o n s b e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d r e a l s y m m e t r i cm a t r i c e s,t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n sb e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n de i g e n v e c t o r so f t h e i r a d j o i n tm a t r i c e s, a n dt h e p r o p e r t i e s o fi d e m p o t e n t m a t r i c e si n g r o u p i n v e r s e s a r e d i s c u s s e d．F i n a l l y,t w o d e c o m p o s i t i o n f o r m s o f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a r e d i s c u s s e d．K e y w o r d s:i d e m p o t e n tm a t r i x;e i g e n v a l u e s;r e a l s y m m e t r i cm a t r i x;m a t r i xd e c o m p o s i t i o n。
关于广义幂等矩阵的性质的探讨正文
关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航（导师：谢涛）（湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002）1.引言在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。
我们把满足2A A =的矩阵A 叫做幂等矩阵，把满足2σσ=的线性变换σ叫做幂等变换。
文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。
本文试图通过引入k 次幂等矩阵和k 次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。
同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n 阶k 次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。
而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b ，其中的系数矩阵A 往往是一个幂等矩阵。
为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。
1.幂等矩阵定义1.1 任何一个满足幂等关系2A A =的矩阵A 称为幂等矩阵。
显然，n 阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。
关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下：1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值；1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵；1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即()()Rank P Tr P =；1.1.4若P 为幂等矩阵，则'P 也为幂等矩阵；1.1.5若P 为幂等矩阵，则I P -也为幂等矩阵()()Rank I P n Rank P -=-所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的；1.1.6令n ⨯n 幂等矩阵P 的秩为r,则P 有r 个特征1和n r -个特征值0；1.1.7所有的幂等矩阵P 都可对角化的：|000A r I U AU -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 1.1.8一个对称的幂等矩阵P 可以表示为T P LL =，其中L 满足T LL I =；1.1.9设有全矩阵()n n I I ⨯=，则1C I n=是一个幂等矩阵； 1.1.10若方阵B 是幂等矩阵，则T B 和B E -也是幂等矩阵；1.1.11若n 阶方阵A 为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n 。
对于幂零矩阵秩的特征的探讨
对于幂零矩阵秩的特征的探讨徐玉1，任灿（中国矿业大学理学院，江苏徐州221116）摘要：矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量。
本文主要是在文献[1]的有关结果的基础上，对文献[1]中的2次与3次的幂零矩阵进行推广，主要是反复利用了Frobenius不等式及矩阵秩的性质解决了k次幂零矩阵的秩的不等式问题。
首先在研究的过程中，先介绍矩阵秩的定义，接着介绍了后面要用到的矩阵秩的性质及矩阵秩的相关的不等式进行了总结和归纳。
然后是研究的重点，在这部分中，对文献[1]中的2次与3次的幂零矩阵的结果进行推广k次幂零矩阵；进一步,利用Frobenius不等式得到了幂零矩阵秩的一系列的结论。
关键词：矩阵的秩; 幂零矩阵; Frobenius不等式中图法分类号：O151.21Research on the Character of Rank ofNilpotent-matricesXU Yu，REN Can（College of Science, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116,Jiangsu）Abstract：Rank is an important constant of matrix. Based on the conclusions of paper [1], we prove the inequality of matrix rank of three times nilpotent matrix and try to give its proper promotion. And next, this paper repeat employs Frobenius inequality to find some results of inequation about k-degree nilpotent matrix. First, in the part, we summarize the nature of matrix rank and the inequalities of partitioned matrices rank. Then the part is the main content. In this part, similarity as the result of inequality of matrix rank of twice and three times nilpotent matrix in paper [1], we extend and prove them by Frobenius inequality. At last, we find several inequalities about k-degree nilpotent matrix by the illumination of the conclusions of paper [1]and prove them.Keywords：Matrix rank; Nilpotent matrix; Frobenius inequality1徐玉，1987，安徽省宿州市，在读硕士，计算数学，******************。
对称幂等矩阵
对称幂等矩阵
对称幂等矩阵是一类常见的矩阵，其具有对称性和幂等性。
在线性代数中，对称幂等矩阵被广泛研究，其应用领域涉及到统计学、物理学、工程学等多个领域。
一、什么是对称幂等矩阵
对称幂等矩阵最基本的定义是，它是一个方阵S，它满足S的自乘结果等于S自己：S^2=S。
此外，它还具有对称性，也就是说，矩阵的元素以主对角线为对称轴，左右对称。
二、对称幂等矩阵的性质
1. 对称幂等矩阵的秩等于它的迹；
2. 对称幂等矩阵的特征值只有0和1两个值；
3. 对称幂等矩阵的特征向量构成的空间与矩阵的像有相同的维数，而且是矩阵的不变子空间；
4. 对称幂等矩阵是正交投影算子，它将任意向量投影到它的像上。
三、对称幂等矩阵的应用
1. 在统计学中，对称幂等矩阵用于协方差矩阵的分解。
协方差矩阵是一个对称幂等矩阵，可以表示一个随机向量的方差和协方差的关系；
2. 在物理学中，对称幂等矩阵用于描述对称性问题。
对于具有对称性的物理问题，可以通过对称幂等矩阵来描述对称操作；
3. 在工程学中，对称幂等矩阵用于表示网络中的传递函数。
对称幂等矩阵表示一个从输入到输出的映射关系。
四、总结
通过对对称幂等矩阵的定义、性质以及应用领域的介绍，我们可以看到对称幂等矩阵是一类非常有用的矩阵，它在各个应用领域中都有非常广泛的应用。
同时，对称幂等矩阵也是线性代数重要的内容之
一。
通过学习对称幂等矩阵，我们可以更好地理解线性代数的知识体系，进一步提高自己的数学能力。
幂等矩阵的概念及性质
# # 幂等矩阵具有其广泛的应用背景， 但有关此方 面问题的讨论尚不多见， 本文就幂等矩阵的性质给 予系统的归纳、 分析和证明:
!! ! " !! % " … " !!) " & 即方程组 !+ " & 有 ) 组解： !! ， !% ， … !) ， 设秩 （ !） " ,， 则 !! ， …， 即秩 !% ， !) 可用 ) - , 个向量线性表出， （ $）’ ) - ,， 所以 DEFG （ !）( DEFG （ $）’ , (（ ) - , ） " )# 引理 ’# 方阵 !、 $ 的秩满足如下关系： DEFG （! ( $） （ !）( DEFG （$） ’ DEFG 证明： 设 "! ， "% ， …， ") 与 !! ， !% ， …， ! ) 分别是 !、 $ 的列向量组， 且 DEFG （ !） " , ， DEFG （ $） " . ， "! ， "% ， …， ", 与 !! ， !% ， …， !. 分别是 "! ， "% ， …， ") 与 !! ， !% ， …， ! ) 的极大线性无关组# 则 （ ! ( $）的列向量组可 用 "! ， …， …， 而 "% ， ", 与 !! ， !% ， ! . 线性表出， DEFG （ "! ， …， …， "% ， ",， !! ， !% ， ! . ）’ # DEFG （ "! ， "% ， …， ", ）( DEFG （ !! ， !% ， …， !. ） 所以 DEFG （! ( $） ’ DEFG （ !）( DEFG （$） # 引理 ?# 设 ! 是 ) 维线性空间 & 的线性变换， 则 ! 的秩 ( ! 的零度 " )# ! 证明： 设 ! 的零度为 ,， 在核 !（ &）中取一组基 …， 并把它扩充为 & 的 一组基 #! ， …， #! ， #% ， #, ， #% ， #, ， …， #) ， !& 是由基象组 !# ! ， !# % ， …， !#, ， …， !# ) 生成的， 但是 !#/ " & （/ " !， %， …, ） ， 所以 !& 由
幂等矩阵的性质及应用
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix 院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级 A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵 C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵 A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间，即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域，即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域 dim V 线性空间V 的维数1T - 线性变换T 的逆变换 TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r = 均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫⎪λ⎝⎭ ,由20001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ～0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫ ⎪⎝⎭02若A ～1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ～1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，由2n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠.因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：1200000n r J λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式 ***[2]()AB B A =.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是，*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）从而A 可对角化,且其若尔当标准型为 000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000r r rE E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000r r E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有：222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======.▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵)6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -= .10){}()()0N A N E A -= .11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵)6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -= .10){}()()0N A N E A -= .11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2-=⇒-=.E A Aa A A a()()0()0由a的任意性得2A A=.1)⇔8)必要性: 由2A A=知()()=-.N A R E A于是有dim()dim()=-N A R E A即有rank rank()n A E A-=-亦即rank rank()+-=.A E A n充分性: 由rank rank()+-=易知:A E A ndim()dim()=- (*)N A R E A又对()∀∈,有a N AAa=则有-=-=.E A a a Aa a()由()()a R E A∈--∈-知()E A a R E A即有()()⊂-.N A R E A据(*)式知=-.N A R E A()()=.再由6)得2A A8)⇔9)必要性: 由rank rank()+-=.即知:A E A n+-=.dim()dim()R A R E A n又对n∀∈,有a R=+-,()a Aa E A a而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+--- n =.故有dim[()()]0R A R E A -= .于是, {}()()0R A R E A -= .充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+= . 其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+== .即221212O ΛΛ+ΛΛ=.因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有r a n k ()r a n k ()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=--- . 证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=--- 以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换.由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==. 2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知,对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =.据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s = .定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈，AB BA =，{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,i c u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈ 若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件，则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u=且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-. 将它们相加得212AB B B u-=--. 又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u=-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=-121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v=-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-. 又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u -=-.结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v=--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v v λ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3i eπε= 满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--. 从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u=-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v=-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v =-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++ 112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑪ A B -可逆.⑫ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑪⇒⑫对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑪⇐⑫对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+ 220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑪ A B -可逆.⑫ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵，1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数,所以111,0r r n λλλλ+====== ,故结论成立. ▌ 推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了.定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又1m i i A E ==∑.则 11rank rank()m mi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
矩阵基础知识
矩阵基础知识贺国宏 编为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差基础〉，必须掌握以下所述矩阵的基础知识，同时，学习这些知识，对于学习测绘工程的其它课程，以及以后的深造，都是重要的。
1、矩阵的秩定义：矩阵A 的最大线性无关的行(列)向量的个数r ，称为矩阵A 的行(列)秩。
由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为R(A)。
对于矩阵的秩有性质：{})(),(m in )(B R A R AB R ≤(1)2、矩阵的迹定义：方阵A 的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为∑==ni ii a A tr 1)((2)对于矩阵的迹有下面的性质：(1) tr (A T )=tr (A)(3) (2) tr (A+B)=tr (A)+tr (B) (4) (3) tr (kA)=k tr (A) (5) (4) tr (AB)=tr (BA)(6)3、矩阵的特征值和特征向量定义：对于n 阶方阵A ，若存在非零向量χ，使得x x λ=A(7)则称常数λ为矩阵A 的特征值(或特征根)，而χ称为矩阵A 属于特征值λ的特征向量。
由此可得=-χ)(A E λ0(8)因此，该齐次线性方程有非零解的条件是0)(0111=++++=-=--a a a A E f n n n λλλλλΛ(9)称λE-A 为矩阵A 的特征矩阵，而f (λ)为矩阵A 的特征多项式。
显然，矩阵A 的特征根),,2,1(n i i Λ=λ为特征方程(9)的根。
应该指出，对于一般的实矩阵A ，特征根可能是复数，从而特征向量也是复数。
以后将会看到，对于实对称矩阵，其特征根和特征向量都是实的。
这一点是很重要的。
特征值和特征向量具有下列性质：(1) 设n λλλ,,,21Λ为n 阶方阵A 的n 个特征值，则：A K 的特征值为kn k k λλλ,,,21Λ A -1的特征值为11211,,,---n λλλΛ(2) tr (A)=n λλλ+++Λ21 =A n λλλΛ21⋅(3) 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
浅谈幂等矩阵的性质
! " Er
T- 1AT= 0
上式中，对角线元素中，1 的个数为 A 的特征值的 1 个数，0 的个 数为 A的特征值 0 的个数。
综上所述，幂等矩阵的种常规的正定性，虽然在几何学，物理学 以及概率论等学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩 阵的其他学科的发展，越来越不能满足人们的需要，现代经济数学等众 多学科中的重要作用，使矩阵的次正定性研究不仅在理论上，而且在应 用上都是有意义的。
（E- P） 2= （E- P） （E- P） =E2- EP- PE+P2=E- 2P+P2=E- P
故 E- P 为幂等矩阵
（E- P）T 2= （E- P）T （E- P）T = E2- EPT- PTE+ （P）T 2= E- PT
故 E- PT为幂等矩阵
（E- P）H 2= （E- P）H （E- P）H = E2- EPH- PHE+ （P）H 2= E- PH
在高等代数的研究中，矩阵占有重要的地位，线性变换中的许多
问题都是通过矩阵来解决的。幂等矩阵是一类特殊的矩阵，本篇文章探
讨的就是幂等矩阵的性质，研究过程中运用的特殊符号说明如下：AT
矩阵 A 的转置，AH矩阵 A 的共轭转置 R （A） 矩阵 A 的值域，N （A）
矩阵 A的核空间。
幂等矩阵
定义[1]设 A∈Cn×n，若 A2=A 则称 A 是幂等矩阵。
六、 种植设计 植物景观设计在整个环境规划设计中处于极其重要的地位，是整 个环境设计的核心内容之一。要形成“以人为本”的休闲、娱乐、交流 运动的环境空间与场所，最重要的就是植物生态景观群落的适当构成， 它是自然化景观再现的基础。因而，在滨河花园的植物景观设计上注入 “户户倚林”的设计理念，并本着“适地适树”，“三季有花，四季常 青”的原则，模拟自然的生态群落，按照上、中、下三层进行设计。上 层乔木：以落叶乔木和常绿树为主，形成上层界面空间，其中落叶乔木 与常绿树的比例为 6∶4 最宜，以保证夏景的浓荫与冬季有景可观。中
数量幂等矩阵的一些秩等式
数量幂等矩阵的一些秩等式黄少武;杨忠鹏;晏瑜敏【摘要】如果有非零数λ与μ使P2=λP,Q2=μQ,则称P,Q都是数量幂等矩阵.应用分块矩阵初等变换的方法,得到了数量幂等矩阵P与Q的和,差,换位子和Jordan 积的与数量λ,μ无关的秩等式.证明了当|λμ|≠1时,数量幂等矩阵P,Q的k方幂的和、差的秩是相等的且为与正整数k,数量λ,μ的大小都无关的常数.【期刊名称】《广西民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(016)003【总页数】7页(P60-66)【关键词】数量幂等矩阵;矩阵秩;初等变换;秩等式【作者】黄少武;杨忠鹏;晏瑜敏【作者单位】广西民族大学,数学与计算机科学学院,广西,南宁,530006;莆田学院,数学系,福建,莆田,351100;莆田学院,数学系,福建,莆田,351100【正文语种】中文【中图分类】O151.210 引言设Cm×m为复数域C上所有m×m矩阵集合，GLm(C)为C上m×m可逆矩阵集合.r(A)为矩阵A的秩,用I表示适当阶数的单位矩阵,Z+为正整数集合.|λ表示复数λ(∈C)的模.当P2=P∈Cm×m时，称P为幂等矩阵.文献[1],[2]得到了很多幂等矩阵的秩等式. 幂等矩阵P与Q的换位子PQ-QP的秩等式是由文献[1]引入讨论的(文献[3]也称PQ-QP为Lee product).当R是环的时候，称(x○y=xy+yx(x,y∈R)为R上的Jordan积[3]引言,因此文献[4]称AB+BA为矩阵A与B的Jordan积.文献[1],[2]等都得到了幂等矩阵P与Q的Jordan积的秩等式.定义1[1] 设P∈Cm×m，如果有复数λ≠0使P2=λP,则称P是数量幂等矩阵.在定义1中当λ=1时，P就是通常的幂等矩阵；当λ=-1时，P是文献[5]和[6]中所说的斜幂等矩阵.应用这类矩阵与通常的幂等矩阵的密切关系，文献[1]110给出命题1[1] 设数量幂等矩阵P,Q∈Cm×m满足P2=λP，Q2=μQ，λ≠0,μ≠0,则r(μP-λQ)[P,Q]-r(P)-r(Q)(1)r(μP+λQ)(2)r(PQ-QP)=r(μP-λQ)+r(λμIm-μP-λQ)-m(3)r(PQ+QP)=r(μP+λQ)+r(λμIm-μP-λQ)-m(4)由定义1知数量幂等矩阵P,Q与满足P2=λP,Q2=μQ的数量λ,μ有重要的联系,文献[1]以命题1形式给出的与数量λ,μ有关的秩等式是合理的.在命题1中取λ=μ=1,就可得到文献[1],[2]关于幂等矩阵的P,Q和,差, 换位子和Jordan积的秩等式(可分别见[1]定理2.1的(2.1)和[2](2.22),[1]定理2.4的(2.8)和[2]定理2.1的(2.1),[1]定理2.7,定理1.11). 由定义1知数量λ,μ不同的选取，一般的说，确定的是不同的数量幂等矩阵P,Q.本文将在文献[1],[2]的基础上,给出与数量幂等矩阵P,Q的数量λ,μ无关的和、差、Jordan积和换位子的秩等式.本文证明了当≠1时，数量幂等矩阵P,Q的和与差的秩是相等的，进而得到结论：此时数量幂等矩阵P,Q的k次方幂的和、差的秩是相等的且为与正整数k，数量λ,μ的大小都无关的常数.1 预备知识引理1[1]110 设数量幂等矩阵P,Q∈Cm×m满足P2=λP,Q2=μQ，λ≠0,μ≠0，则r(λμI-μP-λQ)=r(PQ)+r(QP)-r(P)-r(Q)+m.引理2[2]定理2.2 设P,Q∈Cm×m是幂等矩阵,a1与a2是非零复数；则r(a1P+a2Q)=r(P+Q),a1+a2≠0,a1a2≠0.引理3 设数量幂等矩阵P∈Cm×m满足P2=λP,λ(≠0)∈C，则是幂等矩阵且Pm=λm-1P，m∈Z+,P2=λP(5)证明由文[1]110页知是幂等的,从定义1得Pm=Pm-2P2=λPm-1 ,逐步归纳可得到(5).引理4 设数量幂等矩阵P,Q∈Cm×m满足P2=λP,Q2=μQ，λ≠0,μ≠0，则(6)(7)证明:设,显然，,,I)∈GL3m(C)且因为分块的初等变换不改变矩阵的秩，所以r(H)=r(P)+r(Q)+r(P-Q)(8)从,,,∈GL3m(C)和因此,(9)这样从(7)和(9)可得(6)的左边秩等式,进而可得,这说明(6)的秩等式成立设，显然，,，∈GL3m(C)，此时即有 r(G)=r(P)+r(Q)+r(P+Q)(10)由,,M10=diag(I,I,-I),,N6=diag(I,-I,I)∈GL3m(C)和即有(11)有(10)和(11)可得到(7)的左边秩等式,进而对称性有,这就证明了(7).引理5 设数量幂等矩阵P,Q∈Cm×m满足P2=λP,Q2=μQ，λμ≠0;如果≠1，则分块矩阵与都可逆.证明:从P2=λP知x2-λx是P的化零多项式,这表明P的特征值为0或λ,进而知μI±P 的特征值为μ±0=μ或μ±λ;因此当≠1即μ±λ≠0时,μI±P的每个特征值都是非零的,即μI±P∈GLm(C),进而与都可逆.2 主要结果定理1 设数量幂等矩阵P,Q∈Cm×m满足P2=λP,Q2=μQ，λ≠0,μ ≠0，则(12)(13)[P,Q]-2r(P)-2r(Q)+r(PQ)+r(QP)(14)r(PQ+QP)(15)证明:从,,∈GL2m(C)和,这样由引理4的(6)得，P2=λP,Q2=μQ，λμ≠0(16)从(16)，P2=λP，Q2=μQ,λμ≠0(17)因为r(P-Q)=r(Q-P)，所以由(16)和(17)知(12)成立.又因为,∈GL2m(C)和这样由引理4的(7)得，P2=λP,Q2=μQ，λμ≠0(18)从(18)，P2=λP，Q2=μQ,λμ≠0(19)进而由(18)和(19)知(13)成立.从文献[1]所给出命题1中的(3),(1), (2)和引理1可得r(PQ-QP)=r(μP-λQ)+r(λμI-μP-λQ)-m[P,Q]-r(P)-r(Q)+r(PQ)+r(QP)-r(P)-r(Q)+m-m,r(PQ+QP)=r(μP+λQ)+r(λμIm-μP-λQ)-m这就证明了秩等式(14)和(15).与文献[1]所得命题1相比，定理1给出了与数量λ,μ无关的数量幂等矩阵的和、差、Jordan积和换位子的秩等式.定理2 设数量幂等矩阵P,Q∈Cm×m满足P2=λP,Q2=μQ，λ≠0,μ≠0;则, 当≠1时.(20)证明:当≠1时，必有λ±μ≠0,进而应用引理5知,,∈GL2m(C),由定义1知(μ-λ)P=μP-λP=μP-P2=P(μI-P)，进而,进而应用引理4的(6)得,P2=λP,Q2=μQ,当≠1时(21)由引理5知,,,∈GL2m(C) ,注意到从定义1可得(μ+λ)P=μP+λP=μP+P2=P(μI+P)，进而这样由引理5和引理4的(7)得,P2=λP,Q2=μQ,当≠1时(22)(21)和(22)说明秩等式(20)是正确的.定理3 设数量幂等矩阵P,Q∈Cm×m满足P2=λP,Q2=μQ,λ≠0,μ≠0;则r(Pk+Qk)=r(P+Q)=r(P-Q)=r(Pk-Qk),k∈Z+ ,当≠1时(23)证明:当≠1时，就意味着λ±μ≠0,λk±μk≠0,k∈Z+，当≠1时(24)从引理3知此时与都是幂等矩阵,这样从引理2和(24)可得的λ+μ≠0,r(P+Q)=r[λμ,当≠1时(25)注意到从(24)得到的λk+μk≠0,由引理3的(5), 引理2这样从(25)r(Pk+Qk)=r(P+Q),k∈Z+,当≠1时(26)注意到从(24)可得λ-μ=λ+(-μ)≠0，由定理2的(20)和(25)r(P-Q)=r[λμ，当≠1时(27)这样由引理3的(5), 引理2和(24)再应用(27)可得r(Pk-Qk)=r(P-Q),k∈Z+,当≠1时(28)(26)和(28)说明秩等式(23)成立.定理3表明当≠1时，数量幂等矩阵P,Q的k(∈Z+)方幂的和、差的秩等式是相等的且为一个与正整数k，数量λ,μ的大小都无关的常数.[参考文献]【相关文献】[1]Yongge Tian.Rank equalities for idempotent and involutory matrices[J].Linear Algebra and Applications. 2001，335:101-117.[2]Yongge Tian.Rank equalities for idempotent and involutory matrices withapplicatinns[J].Journal of Computational and Applied Mathematics. 2006，191:77-97. [3]Mikhail A. Chebotar, Wen-Fong Ke,Pjek-Hwee Lee, and Ruibin Zhang. On Maps Preserving Zero Jordan Products[J]. Monatsh. Math. 2006，149:91-101.[4]Hwa-Long Gau, Chih-Jen Wang and Ngai-Ching Wong. Invertibility and Fredholmness of linear combinations of quadratic, k-potent and nilpotent operators[J].Operators and Matrices. 2008，2(2)：193-199.[5]陈孝娟,张锦,郭文彬,等.关于斜幂等矩阵的一些秩的等式[J].聊城大学学报，2007，20(4)：21-25.[6]陈孝娟,张伟,郭文彬.用广义逆刻画斜幂等阵的性质[J].商丘师范学院学报, 2008，24(9):25-27.。
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幂等矩阵的质目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)1 引言 (1)2 幂等矩阵的概念 (3)3 幂等矩阵的性质 (4)3. 1 幂等矩阵的主要性质 (4)3. 2 幂等矩阵的等价性命题 (7)3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质 (11)4 幂等矩阵与其他矩阵的关系 (14)4. 1 幂等矩阵与对合矩阵 (14)4. 1. 1 对合矩阵 (14)4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系 (15)4. 2 幂等矩阵与投影矩阵 (16)4. 2. 1 投影矩阵 (16)4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系 (17)结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)英文原文 (22)英文译文 (29)数学与应用数学专业2009级王素云摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系.关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics andApplied MathematicsAbstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed.Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix1 引言幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。
幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。
近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域。
幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的地位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础。
广义逆的思想可追溯到1903年(E.)i.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。
1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。
而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。
当时人们对此似乎很少注意。
这一概念在以后30年中没有多大发展。
曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯·诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。
T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。
1955年，彭罗斯证明了存在唯一的+X满足前述性质①～④，并以此作为+A的定义。
1956年，=AR.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称+A为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。
幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文[1]中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文[2]研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。
本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明之。
然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。
再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。
然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质，再结合对合矩阵和投影矩阵及幂等矩阵分别于对合矩阵和投影矩阵的关系对幂等矩阵进行深入研究。
2 幂等矩阵的概念定义2.1]3[ 若n n C A ⨯∈有性质A A =2, 则称A 为幂等矩阵.为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题:命题2.1 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则与A 相似的任意n 阶方阵是幂等矩阵.证明 设A B ~(即矩阵B 与矩阵A 相似),则B AP P t s C P n n =∈∃-⨯1.,可逆,且 P A P AP P AP P B 21112---=⋅=, 又 A A =2,B AP P P A P B ===∴--1212. B ∴是幂等矩阵.命题2.1也可以表述为: 若A 是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵T , AT T 1-也为幂等矩阵.命题2.2 若n 阶方阵A 是幂等矩阵, 则A 的转置T A , A 的伴随矩阵*A 及A E -都是幂等矩阵.证明 ()()T TT A A A ==22, 即T A 为幂等矩阵;对*A , 先证明对任意两个幂等矩阵B A 、, 有关系式()***A B AB =.由binet Cauchy -公式有:()()=j i AB ,*矩阵AB 的第i 行第j 列的代数余子式所以, ()()()2*****2*A A A AA A A ====; 对A E -, 有 ()A E A A E A A E A E -=+-=+-=-22222. 命题2.3 若A 是幂等矩阵, A 的k 次幂仍是幂等矩阵.证明 可用数学归纳法证明. 当1=k 时, 显然成立.假设当n k =时, 命题成立, 现考虑1+n 情形:()1222221+++=⋅=⋅==n n n n n A A A A A A A .即当1+=n k 时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意N k ∈命题都成立.3 幂等矩阵的性质3.1 幂等矩阵的主要性质性质3.1.1 0矩阵和单位矩阵E 都是幂等矩阵.由0和E 的定义可知命题成立.性质3.1.2 幂等矩阵A 满足: ()()0=-=-A A E A E A .证明 ()02=-=-=-A A A A A E A .()02=-=-=-A A A A A A E .性质3.1.3 若矩阵B A ,均为幂等矩阵, 且BA AB =, 则AB 与T T B A 也是幂等矩阵.证明 ()AB B A B AB A B BA A AB AB AB ==⋅⋅=⋅⋅=⋅=222.同理, T T B A 也是幂等矩阵.性质3.1.4 若幂等矩阵A 可逆, 则E A =.证明 E A A A A A A A =⋅=⋅=∴=--1212, .性质3.1.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1.证明 设A 是幂等矩阵, 即A A =2, 再设A 的特征值为λ, 则λλ=2(由特征值的性质), 故10或=λ.由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵.性质3.1.6 幂等矩阵可对角化.证明 设A 是幂等矩阵, λm 为A 的最小多项式, 由性质3.1.5知: λλ=m 或1-λ或()1-λλ, 最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而A 可对角化.另]1[证明 当E A 或0=(即n r A 或0=)时, 显然成立.当n r A <<0时, A 的特征值全为0, 1. A 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=-x A E 的解空间的维数()A E r n --. 属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=--x A E 的解空间的维数A r n -.由幂等矩阵的性质有()[][]()n n n r r n r n r n A A E A A E =-=--=-+---22.故A 可对角化, 设t r A =, 则由幂等矩阵的性质得()r r n A E =--, 因此A 的相似标准型为⎥⎦⎤⎢⎣⎡000r E . 性质3.1.7 若A 是幂等矩阵, 则()1,0≠∈∀a R a , aE A +是可逆矩阵. 证明 A A =2 , ()()[]()()E a a E a a A A E a A aE A 1112+-=+--=+-+∴. 又1,0≠a , ()()()[]E E a A a a aE A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-+∴111. 故aE A +可逆, 且()()()[]E a A a a aE A 1111+-+-=+-. 性质3.1.8 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩, 即()()A rank A tr =. 证明 设()X r A rank ,,λ=分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: X AX X A AX X 22λλλ====, 从而有()01=-λλ. 由此可推得结果. 性质3.1.9 若A 满足()n r r E A A =+-, 则A 是幂等矩阵.证明 设0=Ax 的基础解系为r ξξξ,,,21 (其实它们都是特征值0的特征向量), 再设()0=-x E A 的基础解系为t r r r +++ξξξ,,,21 (它们都是特征值为1的特征向量), 且n t r =+, 设矩阵(可逆)()n r r T ξξξξξ,,,,,,121 +=满足B E AT T t =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001, 而B 是幂等矩阵, 故1-=TBT A 也是幂等矩阵. 例3.1.1 设B A 、都是幂等矩阵, 且BA AB =, 证明: AB B A -+是幂等矩阵.证明 由题意可知B B A A ==22,, 且BA AB =, 于是:()()2222AB ABB ABA BAB B BA AAB AB A AB B A +---++-+=-+ ABAB AB ABA BAB B BA AB AB A +---++-+= AB AB AB BA B BA A +---++=AB B A -+=.例3.1.2 设B A ，为n 阶幂等矩阵, 且BA AB =, ()0,≠∈∀ab R b a . 证明 (1) 若()E bB aA =+2则0==BA AB 或1±=+b a .(2) 若()E bB aA =-2则0==BA AB 或1±=-b a . 证明 (1) ()E bB aA =+2, 由题设知BA AB B B A A ===,,22, 则有()B b abAB A a B b abBA abAB A a bB aA 22222222++=+++=+. 对上式两边同乘于B A ，得: AB AB b abAB AB a =++222.移项得 ()()[]0112222=-+=-++AB b a AB b ab a . 从而有()012==+AB b a 或, 即0==BA AB 或1±=-b a . 同理可证( 2).例3.1.3 设A 是n 阶实对称阵, 且A A =2, 证明: ∃正交矩阵T ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-000.1rE AT T t s . 证明 设ξ是属于λ的特征向量, 那么λξξ=A ,()ξλξλλξξ22===A A A又A A =2,λξξ=2A , 从而()02=-ξλλ,但0≠λ, 10,2或故==∴λλλ.(由幂等矩阵的性质也可以得知), 故A 的特征值不是0就是1.故⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃-000.,1r E AT T t s T 正交矩阵(T 可由特征向量构造, 将A 转化为标准型即为所求).3.2 幂等矩阵的等价命题故A E -的列向量都满足0=Ax .从而()()A Ker A E Im ⊆-,又()A Ker α∈∀, 有:()()()A E Im A E A E A A -∈⇒-=-+⇒=ααααα0.由α的任意性可知()()A Ker A E Imf ⊇-.综上, ()()A Ker A E Im =-.“⇐” 对n R ∈∀α有()()()A Ker A E Im αA E =-∈-,即()()A Ker A E ∈-α.于是有()[]()002=-⇒=-ααA A A E A . 由α的任意性得A A A A ==-220，即.同理可证⇔=A A 2()()A E Ker A Im -=.(i)⇔(vi) 若()()A E Im A Im x -⋂∈, 即()z A E Ay x -==对某两个z y 、成立, 则()02=-==z A E A y A x , 故()(){}0A E Im A Im =-⋂.同理可证后面一个式子. 从而(iv)成立.反之, 若(vi)成立, 则对任一x , 有()x A E Ax x -+=是x 的唯一分解.但又有唯一分解()x A E x A x 22-+=,又()()()A E Im x A E ，A Im x A 22-∈-∈. 于是对任何x 成立着x A Ax 2=, 从而A A =2.(vi)⇔(vii) 注意到()x A E Ax x -+=对任何x 成立,故总有()()n R A E Im A Im =-⊕, 故(vi)与(vii)等价.(vii)⇔(viii)()()n R A E Im A Im =-⊕总是成立的. 由维数公式知()[]()[]()n A E A A E A A E A =-+=-⋂+-+dim dim dim dim .由性质3.1.8可知, 若A A =2, 则trA r A =.另外, 利用矩阵的满秩分解,我们可以具体的找出(ix)中的变换阵()0≠P P .设11Q P A =,22Q P A E =-均为满秩分解, 则有[]E Q Q P P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121,, 且[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121,Q Q P P ，均为方阵. 从而[]E Q Q P P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121,. 由此可知r E P Q =11, 021=P Q , 012=P Q , r n E P Q -=22.于是可证明[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡000,2121r E P P A Q Q . 从此式还可以看出, 1P 与2P 的列向量分别是A 的属于特征值1与0的特征向量. 最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性: 若21A A A =是满秩分解, 则A A =2当且仅当E A A =12. 另一方面, 常用此特殊性来构造幂等矩阵. 下面给出几个构造幂等矩阵的定理:定理3.2.2]4[ 设非零列向量()T n αααα，，， 21=, 则n 阶矩阵TE A αα-=为幂等矩阵⇔122221=+++=n T ααααα .证明 “⇒” A A =2 , ()()T T T E E E αααααα-=--∴, 即()T T T T E E αααααααα-=+-2, 从而()01=-T T αααα, 因为α, 0≠T α,因此, 122221=+++=n T ααααα .“⇐” 122221=+++=n T ααααα , ()A E E A T T T T =-=+-=∴αααααααα22.推论3.2.1 令T E A αα-=, 其中: ()T n αααα，，， 21=为非零列向量. 若122221=+++=n T ααααα , 则n 阶方阵A 不可逆.证明 设A 可逆, 则由幂等矩阵的性质可知E A =,当122221=+++n ααα 时, 由定理3.2.2可知A 为幂等矩阵, 即A A =2,但T E A αα-=, 所以T E E αα-=, 得0=T αα,与122221=+++n ααα 矛盾, 所以A 不可逆.定理3.2.3]5[ 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则B A +为幂等矩阵⇔0=+BA AB .证明 ()BA AB B A B BA AB A B A +++=+++=+222 ,0=+⇔+∴BA AB B A 为幂等矩阵.定理3.2.4 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 且BA AB =,则AB 为幂等矩阵.证明 由题意可得 ()AB AABB ABAB AB ===2, 即AB 为幂等矩阵.定理3.2.5 若A 为幂等矩阵, 且E A ≠, 则A 不可逆.证明 设A A =2,则有()0=-E A A . 若A 可逆, 则1-∃A ,t s .E A A AA ==--11 在()0=-E A A 的两边同时乘以1-A , 得0=-E A ,即E A =. 矛盾, 故A 不可逆.定理3.2.6 若A 是幂等矩阵, 且E A ≠, 则矩阵方程0=Ax 有非零解. 证明 由定理3.2.5可知, A 不可逆, 即0=A .故矩阵方程0=Ax 有非零解.定理3.2.7 若A 和B 是同阶幂等矩阵, 则B A -是幂等矩阵⇔B BA AB ==.证明 “⇒” B A - 是幂等矩阵,()BA AB B A B BA AB A B A B A --+=+--=-=-∴222, 将BA AB B +=2两边分别左乘和右乘B 得:BBA BAB B +=22, 即BA BAB B +=2. (3.2.1) BAB AB B +=222, 即BAB AB B +=2. (3.2.2) 两式相减可得BA AB =, 从而B BA AB ==.“⇐” ()B A B B B A B BA AB A B A -=+--=+--=-222.3.3幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中, 我们讨论两幂等矩阵线性组合bB aA P +=的可逆性. 引理3.3.1]6[ 设矩阵A 是n n ⨯阶方阵, 则A 可逆(){}0=⇔A Ker .定理3.3.1 设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 即B B A A ==22,. 若存在两个非零复数b a ,, 且0≠+b a 使得bB aA +可逆, 则对所有的复数d c ,, 满足0≠+d c , 则线性组合dB cA +都是可逆的.证明 设0,0,0,≠+≠≠∈d c d c C d c 且，.对 ()dB cA Ker x +∈∀, 有()0=+x dB cA .于是 dBx cAx -=. (3.3.1) 将上式两边依次左乘B A ,, 可得:dBx cBAx dABx cAx -=-=,. (3.3.2) 由(3.3.1)、(3.3.2)可得BAx Ax ABx Bx ==,. (3.3.3)又()22222B b abBA abAB A a bB aA +++=+,()Bx b abBAx abABx Ax a x bB aA 222+++=+∴.将BAx Ax ABx Bx ==,代入上式可得()Bx b abBAx abABx Ax a x bB aA 222+++=+∴()()()()x bB aA b a Bx b a b Ax b a a ++=+++=.由于bB aA +可逆,将上式两边同时左乘()1-+bB aA 得 ()()bBx aAx x bB aA x b a +=+=+. (3.3.4) 再左乘A 得:bABx aAx bBx aAx +=+.即ABx Ax =. 代入dABx cAx -=可得()aABx Ax Ax d c ==⇒=+00.注意到(3.3.3)式有0=Bx , 因此由(3.3.4)式可得()00,0=⇒≠+=+x b a x b a 但.因此(){}0=+dB cA Ker . 由引理1知dB cA +是可逆的.在定理3.3.1中令1==d c , 立即可以得到:推论3.3.1设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 即B B A A ==22,. 若B A +可逆, 则C b a ∈∀,, 满足0≠+b a , 线性组合bB aA +都是可逆的.定理3.3.2设矩阵B A ,均是幂等矩阵, C b a ∈∀,, 下列命题等价: ⑴ B A -可逆.⑵bB aA +及AB E -是可逆的.证明 (1)⇒(2) 对()bB aA Ker x +∈∀由定理1的证明过程知BAx Ax ABx Bx ==,.从而()()022222=+--=+--=-x B BAx ABx x A x B BA AB A x B A又 B A -可逆, 所以0=x . 即(){}0=+bB aA Ker .由引理3.3.1知 bB aA +可逆. 同样地,对 ()bB aA Ker x +∈∀()ABx x x AB E =⇒=-⇒0.两边同时左乘A , 得Bx BAx x ABx Ax =⇒==.所以 ()02=+--=-Bx BAx ABx Ax x B A .又 B A -可逆, 所以0=x . 所以(){}0=-AB E Ker .由引理3.3.1知E AB -可逆.(2)⇒(1) 对()B A Ker x -∈∀, 有()Bx Ax x B A ==-即,0从而有 Bx BAx ABx Ax ==,.所以 ()()()x bBAB aAB bB aA x AB E bB aA +-+=-+0=-=bBAx bBx .0=⇒x .又bB aA +及AB E -是可逆的. 知(){}0=-B A Ker .由引理3.3.1知B A -可逆. 定理证毕.在定理3.3.2中令1==b a , 立即可以得到:推论3.3.2设矩阵B A ,均是幂等矩阵, 下列两个命题等价:⑴ B A -可逆.⑵ B A +及AB E -可逆.4 幂等矩阵与其他矩阵的关系4.1幂等矩阵与对合矩阵4.1.1对合矩阵定义4.1.1.1 若矩阵A 满足()为单位矩阵E E A =2, 则称A 为对合矩阵.对合矩阵和幂等矩阵是密切相关的, 它们的性质也非常相似, 这里就不在一一举出了, 先举出几个主要性质并进行证明:性质4.1.1.1 若A 是对合矩阵, 则()()n r r E A E A =+-+, 反之, 也成立. 证明 由A 是对合矩阵可知E A =2, 故()()002222=-+⇒=-⇒=E A E A E A E A .由秩的性质可知()()n r r E A E A ≤+-+.又()()E A E A E 2=-++, ()()n r r E A E A ≥+∴-+.综上 ()()n r r E A E A =+-+.反过来, 即可证明当()()n r r E A E A =+-+时, A 是对合矩阵.性质4.1.1.2 对合矩阵的特征值为1或-1.证明 类似于幂等矩阵, 设λ为对合矩阵A 的特征值,由于A 满足E A =2, 故λ满足1112-=⇒=或λλ.性质4.1.1.3 A 是对合矩阵, 则A 一定与对角矩阵相似.证明 当E A ±=时, A 本身已经是对角矩阵.当E A ±≠时,A 的特征值为1或-1. A 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=-x A E 的解空间的维数()A E r n --; A 的属于-1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组()0=--x A E 的解空间的维数()A E r n +-, 由性质4.1.1.1得()[]()[]()()[]n n n r r n r n r n A E A E A E A E =-=+-=-+-+-+-22.因此A 可以对角化. 设()A E r t +=, 由性质4.1.1得()r r n A E =--. 因此A 的相似标准型为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--r n rE E 00. 4.1.2 幂等矩阵与对合矩阵的关系命题4.1.2.1 设A 是n 阶矩阵, 则以下两个命题等价:（1）若()n r r E A A =+-, 则A 是幂等矩阵;（2）若()()n r r E A E A =+-+, 则A 是对合矩阵.证明 (1)⇒(2) ()()n r r E A E A =+-+,()()n r r E A E A =+∴-+2121可变形为()()()n r r E E A E A =+--+2121.由(1)有()E A B +=21是幂等矩阵, 而E A B B =⇒=22, 即A 是对合矩阵.同理可证 (2)⇒(1). 原命题得证.命题4.1.2.2 矩阵A 和B 都是对合矩阵, 则()()B E A E +-21,21幂等矩阵.证明 ()()()()A E E A E A A E A E -=+-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2124124121222. ()()()()B E E B E B B E B E +=++=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2124124121222. 即()()B E A E +-21,21都是幂等矩阵, 原命题得证.命题4.1.2.3 矩阵A 是幂等矩阵, 则E A -2都是对合矩阵.证明 ()E E A A E A A E A =+-=+-=-44442222.即E A -2都是对合矩阵, 原命题得证.命题4.1.2.4 矩阵E A -2是对合矩阵, 则A 是幂等矩阵.证明 E A -2 是对合矩阵, ()222442E A A E E A +-==-∴.A A =⇒2, 即A 是幂等矩阵.4.2 幂等矩阵与投影矩阵4.2.1 投影矩阵投影矩阵是研究广义逆矩阵和最小二乘问题的重要方法与手段. 定义4.2.1.1]5[ 设矩阵n m A ⨯, 任意m n ⨯矩阵X , 若满足:(1) A AXA =; (2) X XAX =;(3) ()AX AX =*; (4) ()XA XA =*中的一个或者几个条件, 都称为A 的广义逆矩阵. 上面四个方程称为Moore-Penrose 方程.向量空间n C 可以分解成子空间L 与M 的直和, 即M L C n ⊕=, 则n C 中任意的向量x 可以唯一的分解成z y x +=, 其中M z L y ∈∈,, 则称y 为向量x 沿着M 到L 的投影, 而称n C 中满足()y x P M L =,的变换M L P ,为沿着M 到L 的投影算子或投影变换. 投影算子M L P ,在n C 的基n e e e ,,,21 下的矩阵称为投影矩阵, 记为M L P ,. 投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的.投影矩阵的种类有很多, 在文[7]中有细致的讨论, 如斜投影矩阵, 正交投影矩阵, 加权正交投影矩阵等, 我们在这里只讨论特殊的正交投影矩阵与幂等矩阵的关系.4.2.2幂等矩阵与正交投影矩阵的关系引理4.2.2.1]5[ 对任意矩阵A 有:（1）()**A A A A -与广义逆矩阵()-A A *的选择无关; （2）()A A A A A A =-**, ()****A A A A A A =-. 证明 (1) 因为()()A A Im A Im **=, 故存在矩阵X , AX A A t s **.=,于是()()AX A X AX A A A A A X A A A A ********==--右端与()-A A *选择无关. (2) 记()A A A A A A D -=-**, 可直接证明0*=D D , 于是0=D . 类似的, 可以证明第二式.定理4.2.2.1]5[设A 为任一矩阵, 记A P 为向ImA 的正交投影阵, 则()*_*A A A A P A =. 证明 由以上引理4.2.2.1可知, A P 所含的广义逆()_*A A 的选择无关. 设B 为一满足()()⊥=A Im B Im 的矩阵, 则对任意向量n C x ∈, 有分解式21Bt At x +=这里21t t 和为两个适当维数的向量. 依A P 的定义我们有121At Bt P At P x P A A A =+=, 对一切21,t t 成立.这说明A P 满足矩阵方程⎩⎨⎧==)2.2.2.4(.0)1.2.2.4(.B P A A P A A由(4.2.2.2)知()()()A Im B Im P Im *A =⊂⊥.于是AX P t s X A =∃*.，矩阵. (4.2.2.3)代入(4.2.2.1)得A A A X =**,即()**A X A A =. (4.2.2.4) 显然, 此矩阵方程是相容的.再由相容性定理]5[可知(4.2.2.4)的解为()*_*A A A X =, 代入(4.2.2.3)即可得()*_*A A A A P A =, 定理得证. 定理4.2.2.2 设21P P 、为两个正交投影阵, 则（1）21P P P +=为正交投影阵02221==⇔P P P P ;（2）当01221==P P P P 时, 21P P P +=为向()()21P Im P Im ⊕上的正交投影.证明 (1) 充分性显然.现证必要性: 设P 是一个正交投影阵, 于是P P =2, 01221=+⇒P P P P . (4.2.2.5)用1P 分别左乘和右乘(4.2.2.5), 有:012121=+P P P P P . (4.2.2.6) 012112=+P P P P P . (4.2.2.7) (4.2.2.6)+(4.2.2.7)得: 0121=P P P .再由(4.2.2.6)和(4.2.2.7)可得 01221==P P P P . (2) 我们只需证()()()21P Im P Im P Im ⊕= 对()Px y t s C x P Im y n =∈∃∈∀.,,, 于是2121y y x P x P Px y +=+== ()()2,1,=∈=i P Im x P y i i i 从021=P P 可以推出21y y ⊥, 证毕. 定理4.2.2.3 设21P P 、为两个正交投影阵, 则 （1）21P P P =为正交投影阵1221P P P P =⇔;（2）当1221P P P P =时, 21P P P =为向()()21P Im P Im ⊕上的正交投影. 定理4.2.2.4 设21P P 、为两个正交投影阵, 则 （1）21P P P -=为正交投影阵21221P P P P P ==⇔;（2）当21P P P -=为正交投影阵时, P 为向()()⊥⊕21P Im P Im 上的正交投影.投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的, 这两个定理的证明类似于幂等矩阵的有关性质的证明, 此处略去.结束语本文采用了直接证明的方式证明了幂等矩阵的伴随矩阵是幂等的. 采用数学归纳法证明了若A 是幂等矩阵, 则A 的k 次幂仍是幂等矩阵. 但在本文中只讨论了实数域内的幂等矩阵的等价命题, 还可以推广到复数域; 且仅讨论了2次幂等矩阵, 推广到k次会有更多更好的结果.参考文献[1] 陈文华. 幂等矩阵与对合矩阵的对角化[J]. 临沧师范高等专科学校学报, 2009.6, 18(2): 82-83.[2] Jin Bai Kim, Hee Sik Kim, Seung Dong Kim. An adjoint matrix of real idempotent matrix [J]. of Math. Research & Exposition, 1997, 17(3): 335-339. 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