数理方程 两个自变量的方程的分类与化简
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
初试科目：数学(数理方程、数理统计、线性代数、计算方法,四选一)
二、正态总体参数假设检验 1．u一检验滕 2．t一检验滕
3． 一检验滕
4．F一检验滕 三、非参数假设检验 1．符号检验滕 · 2．秩和检验滕△
3． 一检验滕*
4．独立性检验。 第四章 方差分析与回归分析
—、单因素方差分析△ 二、双因素方差分析 三、一元线性回归
1． 参数的最帏二乘估计。
2． 回归绻数的检验。 3．预测。 四、多元线性回归
考试内容：矩阵的特征值与特征向量，矩阵可对角化的条件，不变子空间，矩阵的若 当(Jordan)标准形
考试要湂： 1．掌握线性变换的特征值和特征向量的定义和湂滕；
2．掌握线性变换可对角化的条件，会湂相似对角化的基； 3．了解不变子空间的概念； 4．了解Hamilton—cayley定理。 5．会湂矩阵的若当标准形，会湂n阶矩阵的若当标准形和变换矩阵。 四，矩阵分析 考试内容：矩阵范数，矩阵的微分和积分，矩阵分解，特征值估计 考试要湂： 1． 掌握矩阵范数的计算和应用； 2． 掌握矩阵的序列、级数、函数及其微积分的概念和运算； 3． 掌握矩阵的三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解的方滕； 4． 掌握矩阵的特征值的估计和表示方滕 参考教材： 1．《矩阵论简明教程》（第二版），徐仲等，科学出版社。 第四部分 计算方滕 第一章插值滕 1插值问题 1．1基本概念 1．2插值多项式的存在唯一性 2 Lagrange插值 2．1 Lagrange插值多项式 2．2插值余项表达式 3差商与Newton插值 3．1差商的定义和性质 3．2 Newton插值公式 4差分与等距节点插值 4．1差分及其性质 4．2等距节点插值公式 5 Hermite插值 6三次样条插值 6．1多项式插值的缺陷与分段插值 6．2三次样条插值函数 6．3三次条函数的构造方滕 第二章 曲线拟合与平方逼近 1观测数据的最帏二乘拟合 1．1最帏二乘问题 1．2正规方程组 2正交多项式 2．1 Chebyshev多项式 2．2一般正交多项式 3最佳平方逼近 3．I预备知识 3．2最佳平方逼近 第三章敷值积分与数值微分 1数值积分思想与代数纾确度 1．1基本思想 1．2插值型湂积公式 1．3代数纾确度 2 Newton—Cotes公式 2．1公式导出 2．2几种低阶公式的余项 2．3复化湂积滕 3 Romberg算滕 3．1梯形公式的递推关绻 3．2 Romberg公式 4 Gauss公式 4．1基本概念 4．2 Gauss点 4．3 Gauss—Legendre公式
数学物理方法15方程的分类与化简资料.
φ(x, y)＝C是常微分方程
a11(dy)2 2a12dxdy a22 (dx)2 0
特征方程
的通积分，反之亦然。
其积分曲线称为特征线
不妨设a11≠0(若a11=0，则设a22≠0)，此方程可分解成
dy a12 a122 a11a22
dx
a11
分别作为ξ，η
因此，取变量变换之前，须分析方程的类型，进而求出 特征线表达式。
两变量二阶线性偏微分方程的 分类和化简
考察一般二阶线性方程
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f
其中，系数为(x, y)的已知可微函数；aij不同时为0 引入新自变量(ξ, η) 偏导数的链导法则
(x, y) (x, y) 关于新自变量的二阶线性方程
若变换是可逆的，则J≠0. 记
a122 a11a22
' A122 A11 A22
为方程的判别式。变换前后，判别式符号不变。
二次曲线的分类
考察常系数二阶线性方程 a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
与之对应的二次曲线方程
a11x2 2a12 xy a22 yy b1x b2 y c 0
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
系数表达式见课本p360.
关于新自变量的二阶线性方程
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
系数表达式如下
A11 A12
a11
2 x
a11 xx
2a12 x y a12 ( x y
a22
2 y
方程的化简
化简的基本思想：采用某种自变量变换，使得关于
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
数理方程笔记
数理方程笔记
数学方程是一种表达式，用来描述两个或多个变量之间的关系。
它可以用来描述物理现象，也可以用来描述经济现象。
数学方程的研究是数学的一个重要分支，它可以帮助我们更好
地理解和掌握客观事物的规律。
数学方程的研究可以分为两大类：一类是常微分方程，另一类是积分方程。
常微分方程是
指求解变量的导数，而积分方程是指求解变量的积分。
常微分方程的研究可以帮助我们更
好地理解物理现象，而积分方程的研究可以帮助我们更好地理解经济现象。
数学方程的研究也可以分为几个小类，比如一元方程、二元方程、三元方程、高阶方程等。
一元方程是指只有一个变量的方程，二元方程是指有两个变量的方程，三元方程是指有三
个变量的方程，高阶方程是指有多个变量的方程。
数学方程的研究是一项极具挑战性的工作，它需要我们深入研究变量之间的关系，并利用
数学方法来求解方程。
只有深入研究，才能更好地理解客观事物的规律，从而更好地应用
数学方程。
专题：代数方程化简求值的方法
专题：代数方程化简求值的方法
在数学中，代数方程是一个包含一个或多个未知量的方程。
化
简和求解代数方程是数学中常见的操作。
本文将介绍一些常用的方
法来化简和求值代数方程。
1. 因式分解法
因式分解法是一种常用的化简代数方程的方法。
它基于因式分
解的原理，将代数方程中的一个或多个因子进行分解，从而得到一
个更简单的形式。
2. 平方公式法
平方公式法适用于含有平方项的代数方程。
通过运用平方公式，可以将代数方程中的平方项进行化简，从而简化方程的求解过程。
3. 合并同类项法
合并同类项法是将代数方程中的同类项合并为一个项的方法。
通过合并同类项，可以简化代数方程，减少未知量的数量，从而更容易求解方程。
4. 去括号法
去括号法是将代数方程中的括号进行展开的方法。
通过去掉括号，可以将代数方程转化为更为简单的形式，便于求解方程。
5. 整理方程法
整理方程法是对代数方程进行整理的方法。
通过对方程进行合理的变形和整理，可以得到一个更为简单的形式，从而更易于求解方程。
总之，化简和求解代数方程是实际问题和数学运算中常见的操作。
通过运用适当的方法，我们可以将复杂的代数方程化简为简单的形式，并求得解析解或数值解。
因此，熟练掌握这些化简和求解的方法对于数学研究和实际问题解决都具有重要意义。
初中的变量与方程知识点梳理
初中的变量与方程知识点梳理初中数学中，变量与方程是非常重要的知识点。
它们不仅是理解数学概念和思维方法的基础，也是解决数学问题的关键。
本文将对初中的变量与方程知识点进行梳理，帮助学生更好地理解与应用这些知识。
一、变量和代数表达式1. 变量的概念：变量是表示数值未知的字母，如x、y等。
通过变量，我们可以用一种抽象的方式描述数学问题，并找到通用的解决方法。
2. 代数表达式：由变量、常数和运算符组成的表达式称为代数表达式。
代数表达式可以表示数学关系，简化问题的分析过程。
3. 代数表达式的运算规则：加法、减法、乘法和除法。
4. 代数表达式的化简：将代数表达式进行合并和化简，使得计算更加简洁。
二、一元一次方程1. 方程的概念：方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，我们需要通过求解方程来找到未知数的值。
2. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
3. 方程的解：解是使得方程成立的未知数的值。
一元一次方程的解可以通过逆运算或等式的性质求解。
4. 方程的应用：方程在实际生活中有很多应用，如问题的建模、计算和解决等。
三、一元一次方程的应用1.问题的建立：将实际问题转化为一元一次方程。
2.方程的求解：通过移项、合并同类项和分解等算法求解方程。
3.验证解的可行性：将解代入原方程验证是否成立。
4.实际问题的解释：对方程的解进行合理的解释，回答问题。
四、二元一次方程组1. 二元一次方程组的概念：由两个含有两个未知数的方程构成的方程组称为二元一次方程组。
2. 方程组的解：方程组的解是使得所有方程都成立的未知数的值。
3. 方程组的解法：消元法、代入法和图解法。
4. 二元一次方程组的应用：方程组在实际问题中有较广泛的应用，如求解两个变量之间的关系等。
五、实际问题的模型与解决1. 建立数学模型：将实际问题转化为数学方程或方程组的形式。
2. 方程或方程组的求解：根据问题的特点和所学的知识，选择合适的方法求解。
初中数学方程及方程的解知识点总结
初中数学方程及方程的解知识点总结方程及方程的解是初中数学中的重要知识点之一、在初中阶段，学生不仅需要学习方程的基本概念，还需要掌握方程的解的求解方法。
本文将对方程及方程的解的知识点进行总结。
一、方程的基本概念1.方程的定义：方程是一个等式，它包含了未知数和已知数之间的关系。
常见的方程形式有线性方程、二次方程、一元一次方程等。
2.方程的元素：方程包含了未知数（也称为变量）、常数和运算符。
方程中的常数是已知数，而未知数是需要求解的数。
3.方程的解：方程的解是将方程中的未知数代入等式后满足等式的值。
解是能够使方程成立的数。
二、方程的求解方法1.绝对值求解：当方程中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。
一般步骤是先确定绝对值的取值范围，然后分别解方程。
2.凑平方式求解：当方程含有二次项以及一次项时，我们可以利用凑平方式求解。
常用的凑平方式有平方差公式、配方法等。
3.代入法求解：当方程中含有一个未知数和一个以上的已知数时，可以利用代入法求解。
首先将已知数代入方程中，然后解得未知数。
4.因式分解求解：当方程是一个多项式时，可以通过因式分解将多项式化简为简单的一次或二次方程，然后再进行求解。
5.图形法求解：当方程具有图形意义时，可以通过绘制函数图像进行求解。
根据图像的性质与方程进行比较，找出方程的解。
三、方程解的分类1.有解方程：方程存在解，即能够找到使方程成立的值。
2.无解方程：方程不存在解，即无论怎么取未知数的值，方程都不会成立。
3.恒等方程：方程对于一切值都成立，即无论怎么取未知数的值，方程都成立。
4.等价方程：两个方程具有相同的解。
四、常见的方程及解的求解方法1.一元一次方程：一元一次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
常用的解法有作图法、加减法、代入法等。
2.一元二次方程：一元二次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。
常用的解法有公式法、配方法、因式分解法等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
√
dy dx dy
= =
a12 +
∆ ,
a11√
a12 −
∆ ,
(特征线方程)
dx
a11
其中∆ = a212 − a11a12. (2.1.7)的解称为(2.1.1)的特征线. 对∆的符号分情况讨论.
1) ∆ > 0
(2.1.6)有两族不同的实的解曲线ϕ1(x, y) = C1, ϕ2(x, y) = C2, 取
ξ = ϕ1(x, y), η = ϕ2(x, y),
有A11 = A22 ≡ 0且A12 ̸= 0(否则△ = 0). 由(2.1.4)可得
2A12uξη + A1uξ + B1uη + Cu + F = 0
因为A12 ̸= 0则
uξη = A2uξ + B2uη + C2u + F2,
称为双曲型方程的第一标准形式. 令
y ( ( y)
) 2y
y2
2y
uxx
=
−
x2
uξξ (
− x2
+ uξη · 0 )
+ x3 uξ = x4 uξξ + x3 uξ
y
1
1
y
y
1
uxy
=−
x2(
uξξ
·
x
+ uξη )
− x2 uξ = − x3 uξξ − x2 uξη − x2 uξ
1
= − x uξξ · x + uξη + uηξ · x + uηη = x2 uξξ + x uξη + uηη
则
A11 = A22,
A12 = 0.
由(2.1.4)可得, uξξ + uηη = A5uξ + B5uη + C5u + F5(椭圆方程的标准形式)则A5 = B5 = C5 = F5 = 0 时, 为Laplace方程. A5 = B5 = C5 = 0 时, 为Poisson 方程.
§2.1.2 方程的分类
利用 dy
dx
=
p(x, y) ± iq(x, y)解出(2.1.6)的两个复共轭的通积分ϕ1(x, y) = α + iβ = c1, ϕ2(x, y) = α − iβ =
c2其中α = α(x, y), β = β(x, y)为x, y的实函数. 取变换
ξ = α(x, y),
η = β(x, y),
A12 A22
= =
a11ξxηx + a12(ξxηy + ξyηx) a11ηx2 + 2a12ηxηy + a22ηy2
+
a22 ξy ηy ,
A1 = · · ·,
B1 C1
= =
· ·
· ·
·, ·
希望选取一个变换(2.1.2), 使(2.1.4) 有比(2.1.1) 更简单的形式. 注意到A11与A22有相同
的形式, 若能解出
a11ϕ2x + 2a12ϕxϕy + a22ϕ2y = 0
(2.1.5)
的两个线性无关解ϕ1(x, y), ϕ2(x, y), 就取
ξ = ϕ1(x, y),
η = ϕ2(x, y),
§2.1 两个自变量的方程的分类与化简
便能保证A11 = A22 ≡ 0. 下面求解(2.1.5).假设ϕ2x + ϕ2y ̸= 0, 不妨设ϕy ̸= 0, 则(2.1.5) 等价于
坐标系中, 方程的高阶导数项具有三类方程中之一的形式.
非奇异变换: 即自变量变换
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y),
(2.1.2)
5
6
第二章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型
的雅可比(Jacobi) 行列式
∂(ξ, η)
J=
=
ξx
ξy
̸= 0.
∂(x, y)
ηx ηy (x0,y0)
=uξξξy2 + 2uξηξyηy + uηηηy2 + uξξyy + uηηyy
将其代入(2.1.1), 有
A11uξξ + 2A12uξη + A22uηη + A1uξ + B1uη + C1u + F = 0,
(2.1.4)
其中 及
A11 = a11ξx2 + 2a12ξxξy + a22ξy2,
+
y2 b2
=
1
受此启发, 本章将证明 (记 ∆ = a212 − a11a22)
∆>0 ∆=0 ∆<0
双曲型方程 抛物型方程 椭圆型方程
如 utt = a2uxx + f 如 ut = a2uxx + f 如 uxx + uyy = f
§2.1 两个自变量的方程的分类与化简 考察两个自变量x, y 的二阶线性偏微分方程
a11
(
ϕx ϕy
)2
+
2a12
ϕx ϕy
+ a22
=
0
沿着曲线ϕ(x, y)
=
c
有0
=
dϕ
=
ϕxdx
+ ϕydy,
则 ϕx
ϕy
=
−
dy dx
,
(2.1.5)
等价于
( dy )2
dy
a11 dx − 2a12 dx + a22 = 0
称为偏微分方程(2.1.1)的特征方程.
设a11 ̸= 0 则分解为
dy = a12 = y dx a11 x
(
1 y
dy
=
1 x
dx
⇒
ln y
=
ln x + ln C)
特征线(即解曲线)
为y
x
=
C.
作自变量变换ξ
=
y x
,
η
=
y由(ξx
=
−
y x2
̸=
0),
则
y ux =uξξx + uηηx = − x2 uξ,
1
uy =uξξy + uηηy = x uξ + uη,
ξ = ϕ1(x, y), η = ϕ2(x, y),
则ξ满足(2.1.5), 故有A11 ≡ 0. 又∆ = 0, 故a212 = a11a12, 从而
A12 =a11ξxηx + a12(ξxηy + ξyηx) + a22ξyηy,
√
√
√
√
=( a11ξx + a22ξy)( a11ηx + a22ηy) = 0
= 1,
C4′
= 0,
F4′
=
−f
(ξ,
η))热传导方程
∂v ∂ξ
=
∂2v ∂η2
+ f (ξ, η)
注2.1.1. ϕ2(x, y)取法的特殊情况–取
y, 若 ξx ̸= 0, η = ϕ2(x, y) = x, 若 ξy ̸= 0.
3) ∆ < 0
与(2.1.6)对应的二次代数方程无实根,
但有两个共轭复根p(x, y) ± iq(x, y),
此时A22 ̸= 0 (否则, ϕ2也满足(2.1.5), 与(2.1.6)仅有一族解曲线矛盾!) 由(2.1.4)可得, uηη = A4uξ+B4uη+C4u+F4(抛物型方程的标准形式)
令v
=
ue−
1 2
∫η
η0
B4(ξ,τ )dτ 则
vηη = A′4vξ + C4′ v + F4′
(A′4
= − a12 √ a11
ξy
+
−∆ a11 ηy
ηy −
− a12 a11
ηy
+
−∆ a11 ξy
ξy
=
−∆ a11
(ξy2
+
ηy2)
̸=
0
(否则有ξy = 0, ηy = 0则ξx = 0, ηx = 0则ϕx = ϕy = 0则与ϕ2x + ϕ2y ̸= 0的假设不符) 所以ξ, η函 数无关. 因ξ + iη满足(2.1.5), 有
a11(ξx + iηx)2 + 2a12(ξx + iηx)(ξy + iηy) + a22(ξy + iηy)2 = 0
实虚分开则
a11ξx2 + 2a12ξxξy + a22ξy2 = a11ηx2 + 2a12ηxηy + a22ηy2, a11ξxηx + 2a12(ξxηy + ξyηx) + a22ηyξy = 0
定义2.1.1. 若在点(x0, y0)处∆ > 0(= 0, < 0),则称方程在点(x0, y0)为双曲(抛物, 椭圆) 型的. 如果(2.1.1)在Ω内每点均为双曲(抛物, 椭圆) 型的, 则称(2.1.1)在Ω内为双曲(抛物, 椭圆) 型 的.
注2.1.2. 除上述三种类型为, 有些方程在区域内Ω为变型方程. 例如, 特里科米(Tricomi) 方 程yuxx + uyy = 0, 其判别式∆ = −y, 故在上半平面y > 0内属于椭圆型, 在下半平面y < 0内 是双曲型. 当所考察的区域Ω包括x轴上一线段时, 方程在Ω内就是混合型的. 这种方程在 研究跨音速飞机设计中有所应用. (亚音速→音速→超音速)
代入原方程, 得