数理方程两个自变量的方程的分类与化简

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数理方程知识点总结

数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。

数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。

一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。

求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。

具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。

（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。

算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。

初试科目：数学(数理方程、数理统计、线性代数、计算方法,四选一)

二、正态总体参数假设检验 1．u一检验滕 2．t一检验滕
3．一检验滕
4．F一检验滕三、非参数假设检验 1．符号检验滕 · 2．秩和检验滕△
3．一检验滕*
4．独立性检验。第四章方差分析与回归分析
—、单因素方差分析△ 二、双因素方差分析三、一元线性回归
1．参数的最帏二乘估计。
2．回归绻数的检验。 3．预测。四、多元线性回归
考试内容：矩阵的特征值与特征向量，矩阵可对角化的条件，不变子空间，矩阵的若当(Jordan)标准形
考试要湂： 1．掌握线性变换的特征值和特征向量的定义和湂滕；
2．掌握线性变换可对角化的条件，会湂相似对角化的基； 3．了解不变子空间的概念； 4．了解Hamilton—cayley定理。 5．会湂矩阵的若当标准形，会湂n阶矩阵的若当标准形和变换矩阵。四，矩阵分析考试内容：矩阵范数，矩阵的微分和积分，矩阵分解，特征值估计考试要湂： 1．掌握矩阵范数的计算和应用； 2．掌握矩阵的序列、级数、函数及其微积分的概念和运算； 3．掌握矩阵的三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解的方滕； 4．掌握矩阵的特征值的估计和表示方滕参考教材： 1．《矩阵论简明教程》（第二版），徐仲等，科学出版社。第四部分计算方滕第一章插值滕 1插值问题 1．1基本概念 1．2插值多项式的存在唯一性 2 Lagrange插值 2．1 Lagrange插值多项式 2．2插值余项表达式 3差商与Newton插值 3．1差商的定义和性质 3．2 Newton插值公式 4差分与等距节点插值 4．1差分及其性质 4．2等距节点插值公式 5 Hermite插值 6三次样条插值 6．1多项式插值的缺陷与分段插值 6．2三次样条插值函数 6．3三次条函数的构造方滕第二章曲线拟合与平方逼近 1观测数据的最帏二乘拟合 1．1最帏二乘问题 1．2正规方程组 2正交多项式 2．1 Chebyshev多项式 2．2一般正交多项式 3最佳平方逼近 3．I预备知识 3．2最佳平方逼近第三章敷值积分与数值微分 1数值积分思想与代数纾确度 1．1基本思想 1．2插值型湂积公式 1．3代数纾确度 2 Newton—Cotes公式 2．1公式导出 2．2几种低阶公式的余项 2．3复化湂积滕 3 Romberg算滕 3．1梯形公式的递推关绻 3．2 Romberg公式 4 Gauss公式 4．1基本概念 4．2 Gauss点 4．3 Gauss—Legendre公式

数学物理方法15方程的分类与化简资料.

φ(x, y)＝C是常微分方程
a11(dy)2 2a12dxdy a22 (dx)2 0
特征方程
的通积分，反之亦然。
其积分曲线称为特征线
不妨设a11≠0(若a11=0，则设a22≠0)，此方程可分解成
dy a12 a122 a11a22
dx
a11
分别作为ξ，η
因此，取变量变换之前，须分析方程的类型，进而求出特征线表达式。
两变量二阶线性偏微分方程的分类和化简
考察一般二阶线性方程
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f
其中，系数为(x, y)的已知可微函数；aij不同时为0 引入新自变量(ξ, η) 偏导数的链导法则
(x, y) (x, y) 关于新自变量的二阶线性方程
若变换是可逆的，则J≠0. 记
a122 a11a22
' A122 A11 A22
为方程的判别式。变换前后，判别式符号不变。
二次曲线的分类
考察常系数二阶线性方程 a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
与之对应的二次曲线方程
a11x2 2a12 xy a22 yy b1x b2 y c 0
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
系数表达式见课本p360.
关于新自变量的二阶线性方程
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
系数表达式如下
A11 A12
a11
2 x
a11 xx
2a12 x y a12 ( x y
a22
2 y
方程的化简
化简的基本思想：采用某种自变量变换，使得关于

二阶线性微分方程的分类

b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2

数理方程笔记

数理方程笔记
数学方程是一种表达式，用来描述两个或多个变量之间的关系。

它可以用来描述物理现象，也可以用来描述经济现象。

数学方程的研究是数学的一个重要分支，它可以帮助我们更好
地理解和掌握客观事物的规律。

数学方程的研究可以分为两大类：一类是常微分方程，另一类是积分方程。

常微分方程是
指求解变量的导数，而积分方程是指求解变量的积分。

常微分方程的研究可以帮助我们更
好地理解物理现象，而积分方程的研究可以帮助我们更好地理解经济现象。

数学方程的研究也可以分为几个小类，比如一元方程、二元方程、三元方程、高阶方程等。

一元方程是指只有一个变量的方程，二元方程是指有两个变量的方程，三元方程是指有三
个变量的方程，高阶方程是指有多个变量的方程。

数学方程的研究是一项极具挑战性的工作，它需要我们深入研究变量之间的关系，并利用
数学方法来求解方程。

只有深入研究，才能更好地理解客观事物的规律，从而更好地应用
数学方程。

专题：代数方程化简求值的方法

专题：代数方程化简求值的方法
在数学中，代数方程是一个包含一个或多个未知量的方程。

化
简和求解代数方程是数学中常见的操作。

本文将介绍一些常用的方
法来化简和求值代数方程。

1. 因式分解法
因式分解法是一种常用的化简代数方程的方法。

它基于因式分
解的原理，将代数方程中的一个或多个因子进行分解，从而得到一
个更简单的形式。

2. 平方公式法
平方公式法适用于含有平方项的代数方程。

通过运用平方公式，可以将代数方程中的平方项进行化简，从而简化方程的求解过程。

3. 合并同类项法
合并同类项法是将代数方程中的同类项合并为一个项的方法。

通过合并同类项，可以简化代数方程，减少未知量的数量，从而更容易求解方程。

4. 去括号法
去括号法是将代数方程中的括号进行展开的方法。

通过去掉括号，可以将代数方程转化为更为简单的形式，便于求解方程。

5. 整理方程法
整理方程法是对代数方程进行整理的方法。

通过对方程进行合理的变形和整理，可以得到一个更为简单的形式，从而更易于求解方程。

总之，化简和求解代数方程是实际问题和数学运算中常见的操作。

通过运用适当的方法，我们可以将复杂的代数方程化简为简单的形式，并求得解析解或数值解。

因此，熟练掌握这些化简和求解的方法对于数学研究和实际问题解决都具有重要意义。

初中的变量与方程知识点梳理

初中的变量与方程知识点梳理初中数学中，变量与方程是非常重要的知识点。

它们不仅是理解数学概念和思维方法的基础，也是解决数学问题的关键。

本文将对初中的变量与方程知识点进行梳理，帮助学生更好地理解与应用这些知识。

一、变量和代数表达式1. 变量的概念：变量是表示数值未知的字母，如x、y等。

通过变量，我们可以用一种抽象的方式描述数学问题，并找到通用的解决方法。

2. 代数表达式：由变量、常数和运算符组成的表达式称为代数表达式。

代数表达式可以表示数学关系，简化问题的分析过程。

3. 代数表达式的运算规则：加法、减法、乘法和除法。

4. 代数表达式的化简：将代数表达式进行合并和化简，使得计算更加简洁。

二、一元一次方程1. 方程的概念：方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，我们需要通过求解方程来找到未知数的值。

2. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

3. 方程的解：解是使得方程成立的未知数的值。

一元一次方程的解可以通过逆运算或等式的性质求解。

4. 方程的应用：方程在实际生活中有很多应用，如问题的建模、计算和解决等。

三、一元一次方程的应用1.问题的建立：将实际问题转化为一元一次方程。

2.方程的求解：通过移项、合并同类项和分解等算法求解方程。

3.验证解的可行性：将解代入原方程验证是否成立。

4.实际问题的解释：对方程的解进行合理的解释，回答问题。

四、二元一次方程组1. 二元一次方程组的概念：由两个含有两个未知数的方程构成的方程组称为二元一次方程组。

2. 方程组的解：方程组的解是使得所有方程都成立的未知数的值。

3. 方程组的解法：消元法、代入法和图解法。

4. 二元一次方程组的应用：方程组在实际问题中有较广泛的应用，如求解两个变量之间的关系等。

五、实际问题的模型与解决1. 建立数学模型：将实际问题转化为数学方程或方程组的形式。

2. 方程或方程组的求解：根据问题的特点和所学的知识，选择合适的方法求解。

初中数学方程及方程的解知识点总结

初中数学方程及方程的解知识点总结方程及方程的解是初中数学中的重要知识点之一、在初中阶段，学生不仅需要学习方程的基本概念，还需要掌握方程的解的求解方法。

本文将对方程及方程的解的知识点进行总结。

一、方程的基本概念1.方程的定义：方程是一个等式，它包含了未知数和已知数之间的关系。

常见的方程形式有线性方程、二次方程、一元一次方程等。

2.方程的元素：方程包含了未知数（也称为变量）、常数和运算符。

方程中的常数是已知数，而未知数是需要求解的数。

3.方程的解：方程的解是将方程中的未知数代入等式后满足等式的值。

解是能够使方程成立的数。

二、方程的求解方法1.绝对值求解：当方程中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。

一般步骤是先确定绝对值的取值范围，然后分别解方程。

2.凑平方式求解：当方程含有二次项以及一次项时，我们可以利用凑平方式求解。

常用的凑平方式有平方差公式、配方法等。

3.代入法求解：当方程中含有一个未知数和一个以上的已知数时，可以利用代入法求解。

首先将已知数代入方程中，然后解得未知数。

4.因式分解求解：当方程是一个多项式时，可以通过因式分解将多项式化简为简单的一次或二次方程，然后再进行求解。

5.图形法求解：当方程具有图形意义时，可以通过绘制函数图像进行求解。

根据图像的性质与方程进行比较，找出方程的解。

三、方程解的分类1.有解方程：方程存在解，即能够找到使方程成立的值。

2.无解方程：方程不存在解，即无论怎么取未知数的值，方程都不会成立。

3.恒等方程：方程对于一切值都成立，即无论怎么取未知数的值，方程都成立。

4.等价方程：两个方程具有相同的解。

四、常见的方程及解的求解方法1.一元一次方程：一元一次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

常用的解法有作图法、加减法、代入法等。

2.一元二次方程：一元二次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。

常用的解法有公式法、配方法、因式分解法等。

数理方程第13讲二阶线性偏微分方程的分类

( 2.1) 若判别式为线性偏微分方程分为三类：，则二阶
时，方程称为双曲型;
时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式
所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
B B2 4 AC y x c1 , 2A
dy B B 2 4 AC dx 2A
(3.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(3.9)
其中
(2.4)
或者进一步作变换
于是有
所以
又可以进一步将方程(2.4)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方程就属于此类型． 2．当判别式时：这时方程
(2.2)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(2.2)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
与பைடு நூலகம்是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式
线是一族实函数曲线． y B x c
2A
，所以特征曲
其特征方程的解为因此令进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(2.5)
(2.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是
代入(2.1)得到
2 2 2 2u u * [ A( ) B C( ) ] 2 B x x y y x x
2 2 2u [ A( ) B C( ) ] 2 x x y y * u * u D E F *u G *

数理方程课件

详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。

数学代数方程的基础知识

数学代数方程的基础知识数学代数方程是数学中重要的一个分支，涉及到方程的求解和解的性质分析。

在代数方程的研究中，我们需要掌握一些基础知识和解题技巧。

本文将介绍数学代数方程的基础知识，包括方程的表示形式、方程的解、方程的分类和解方程的常用方法。

一、方程的表示形式代数方程是以未知数和已知数之间的关系为基础，通过符号表示的等式。

一般来说，代数方程可以表示为以下形式：1. 线性方程：线性方程是次数为1的方程，可以表示为 ax + b = 0的形式。

其中，a 和 b 是已知的数，x 是未知数。

2. 二次方程：二次方程是次数为2的方程，可以表示为 ax^2 + bx +c = 0 的形式。

其中，a、b 和 c 是已知的数，x 是未知数。

3. 高次方程：高次方程是次数大于2的方程，可以表示为 a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0 的形式。

其中，a_n、a_{n-1}、...、a_1 和 a_0 是已知的数，x 是未知数。

二、方程的解解是使得方程成立的未知数的值。

对于不同类型的方程，解的求解方法也不相同。

1. 线性方程的解：线性方程 ax + b = 0 的解为 x = -b/a。

当 a 不等于0时，方程有唯一解；当 a 等于0时，方程无解或有无数解，具体情况取决于 b。

2. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解可以通过求根公式来求解。

通过求根公式可以得到两个解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

方程的解个数取决于判别式 b^2 - 4ac 的值。

3. 高次方程的解：高次方程的求解方法较为复杂，没有通用的求解公式，需要采用不同的方法和技巧。

例如，可以通过因式分解、配方法、换元法等方法来求解高次方程。

三、方程的分类根据方程的次数和解的个数，方程可以分为以下几类：1. 一次方程：次数为1的方程，解的个数为1。

分离变量方程

分离变量方程分离变量方程是数学中常见的一种解决问题的方法，通常用于解决涉及多个未知数的方程。

通过将含有多个未知数的方程分解成只含一个未知数的小方程，可以简化问题的解决过程，使得计算更加直观和方便。

下面将介绍一些常见的分离变量方程及其解法。

一、线性方程线性方程是最简单的一类方程，通常具有形如y=ax+b的形式。

对于线性方程，我们可以使用分离变量的方法将未知数y和x分开，从而简化问题的解决过程。

具体来说，我们可以将线性方程化为dy/dx=a，然后对方程两边同时积分，即可求得y的表达式。

二、二阶方程对于二阶方程，通常具有形如y''=f(x,y,y')的形式。

在这种情况下，我们可以通过引入新的未知函数u(x)=y'，将二阶方程化为一组一阶方程。

具体来说，我们可以令u(x)=y'，然后将原方程化为一个包含u和y的一阶方程组，进而使用分离变量的方法解决问题。

三、常微分方程常微分方程是一类包含未知函数的导数的方程，通常具有形如dy/dx=f(x,y)的形式。

对于常微分方程，我们可以使用分离变量的方法将未知函数y和自变量x分开，从而化简问题的解决过程。

具体来说，我们可以将dy/dx=f(x,y)化为dy=f(x,y)dx，然后对方程两边同时积分，即可求得y的表达式。

四、变量分离的重要性分离变量方程在解决数学和物理问题中起着重要的作用。

通过将含有多个未知数的方程分解成只含一个未知数的小方程，我们可以更加直观地理解问题的本质，并且可以更加方便地进行计算。

因此，掌握分离变量的方法对于解决复杂的方程和问题具有重要意义。

总的来说，分离变量方程是一种常见且有效的解决问题的方法，适用于各种类型的方程。

通过将含有多个未知数的方程分解成只含一个未知数的小方程，我们可以简化问题的解决过程，使得计算更加直观和方便。

希望以上介绍能够帮助读者更好地理解和掌握分离变量方程的相关知识。

人教版七年级数学上册方程化简及求值讲义

人教版七年级数学上册方程化简及求值讲义1. 引言本讲义旨在介绍方程化简及求值的基本概念和方法。

在研究本讲义之前，你需要掌握一些基本的数学知识，包括初等代数、方程和运算符的概念。

2. 方程化简2.1 什么是方程化简方程化简是指将一个复杂的方程简化成更简单的形式，以便更容易理解和求解。

在方程化简的过程中，我们可以通过进行各种运算来消去方程中的冗余项，使方程更加简洁和清晰。

2.2 方程化简的方法2.2.1 合并同类项合并同类项是指将方程中的相同类别的项合并在一起，以简化方程表达式。

在合并同类项的过程中，我们可以根据数学运算法则进行加减运算，以消去冗余项。

2.2.2 移项变换移项变换是指将方程中的项从一边移到另一边，以使方程更加清晰和易于求解。

在移项变换的过程中，我们可以根据数学运算法则进行加减运算和乘除运算，以使方程达到所需的形式。

2.2.3 因式分解因式分解是指将方程中的项进行因式分解，以求得方程的根或简化方程形式。

在因式分解的过程中，我们可以利用二次项的因式分解公式和其他因式分解方法，将方程进行拆解和简化。

3. 方程求值3.1 什么是方程求值方程求值是指根据给定的数值代入方程中的变量，得到方程的解或确定方程的真假。

方程求值常用于验证方程的解是否正确或确定方程的可行解。

3.2 方程求值的步骤3.2.1 给定数值代入方程中的变量根据方程中的变量，选择适当的数值代入方程中。

注意要选择与问题相关的数值，并注意数值的范围和准确性。

3.2.2 进行运算求解方程将给定的数值代入方程中的变量，进行所需的运算，得到方程的解或确定方程的真假。

3.2.3 验证方程的解或判断方程的可行解将求得的解代入原方程中，验证方程的解是否满足方程的等式关系，或判断方程的可行解。

4. 总结通过研究本讲义，你应该对方程化简及求值有了基本的了解。

方程化简可以帮助我们简化复杂的方程，使其更容易理解和求解。

方程求值可以帮助我们验证方程的解的正确性，或确定方程的可行解。

数学物理方法-15 方程的分类与化简

不妨设a11≠0(若a11=0，则设a22≠0)，此方程可分解成
2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
分别作为ξ，η
因此，取变量变换之前，须分析方程的类型，进而求出特征线表达式。
常系数方程的化简
a11u xx 2a12u xy a22u yy b1u x b2u y cu f
关于新自变量的二阶线性方程
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
系数表达式见课本p360.
关于新自变量的二阶线性方程
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
系数表达式如下 A11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 A12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 2 2 A a 2 a a 11 x 12 x y 22 y 22
A11u 2 A12u
例6：化简方程 4u xx 5u xy u yy u x u y 2 Δ>0时，该方程属于双曲型特征方程 4(dy) 2 5dxdy (dx) 2 0 特征线是两族直线 4 y x c1 , y x c2
取线性变换 4 y x, y x 1 2 u u 方程变为是否可以继续化简？ 3 9
双曲型常系数方程的化简
条件：当Δ>0时，两条特征线 lx my, nx ty
a11u xx 2a12u xy a22u yy b1u x b2u y cu f
( x, y ) 特征方程的 ( x, y ) 积分曲线 A22u B1u B2u Cu F

数理方程第二章分类行波法线性叠加-1

2 f1 3x f 2 x 3 x 1
u x, y
4
3x y
2

3f '1 3x2 f ' 2 2x 0 2
4
x y
双曲型方程
u u 2 2 2 0 (d y ) (d x ) 0 0 4 11 0 2 2 x y
2 2
椭圆型方程
u 2 u a 2 t x
2
(dy) 0 0 4 1 0 0
2
2
抛物型方程
例1、方程
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 x xy y
1 1 u x, t [ x at x at ] 2 2a
x at x at
解得
d
—达朗贝尔(D’Alembert)公式.
考虑 u2 g( x at ) 的物理意义
u2
g( x )
u2 x
a 2
a
a
t=0
u2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。
2
AC
称其为二阶线性偏微分方程的判别式
它的特征方程为 ( x, y) 0
Auxx 2Buxy Cu yy Dux Euy Fu G, (*)
双曲型方程
A( xdy C dx , y) 0 2 Bdxdy 椭圆型方程

数理方程公式总结

数理方程公式总结数理方程是描述自然界中各种物理现象的数学模型。

它在物理学、工程学、经济学等领域中起着重要作用。

数理方程的研究内容包括方程的分类、解析方法、数值方法等。

在实际应用中，我们经常遇到各种各样的数理方程，比如常微分方程、偏微分方程、积分方程等。

本文将总结几个常见的数理方程，并介绍它们的一些解析方法和数值方法。

1. 常微分方程常微分方程是描述一个未知函数与其导数之间的关系的方程。

根据方程中的未知函数的个数和导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等。

常见的解析方法包括分离变量法、常系数线性微分方程的特征方程法、变系数线性微分方程的待定系数法等。

数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。

2. 偏微分方程偏微分方程是描述未知函数与其偏导数之间关系的方程。

它的求解通常需要给出适当的边界条件和初值条件。

根据方程的类型和性质，偏微分方程可以分为椭圆型、双曲型、抛物型等。

常见的解析方法包括分离变量法、变量替换法、特征线法等。

数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。

3. 积分方程积分方程是未知函数与其积分之间的关系的方程。

它可以看作是微分方程的一种推广。

积分方程能够描述一些涉及积分的物理问题，如电磁场问题、弹性力学问题等。

常见的解析方法包括变量分离法、奇异积分方程的分析法、积分变换法等。

数值方法包括数值逼近法、数值积分法、有限元法等。

总之，数理方程是对自然界中各种物理现象进行数学建模的有效工具。

在实际应用中，我们需要根据问题的具体性质选择适当的数理方程，并采用相应的解析方法或数值方法进行求解。

解析方法能够给出精确解，但对于复杂问题往往难以求解；数值方法能够给出近似解，并且在计算机上容易实现，但对于精度要求较高的问题需要选用更精细的网格或更高阶的方法。

因此，在实际应用中，我们需要权衡解析方法和数值方法的优劣，选择适当的方法求解数理方程。

数理方程方程的化简与分类

➢3. 写出新方程及通解
u 0 u f ( ) g()
➢4. 将变换表达式代入得原方程通解
u f ( y 1 x) g( y 2 x) 13/17
例2 求方程的通解 uxx+ 2uxy – 3uyy = 0
解: 由特征方程 2 2 3 0
( 1)( 3) 0 1 3
x 1
x2
15/17
x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0
a11
a12
a22
a22 a11x2 2a12xy a22y2 y2
标准型: y2u 0 u 0
u f ( )
为标准型,再求通解.
判别式:
a122 – a11a22 = (xy)2 – x2y2 = 0
故,该微分方程为抛物型。
特征方程 x2( dy )2 2xy( dy ) y2 0
dx
dx
x
y
dy y dx x
ln y = ln x + C0
y = Cx
构造变换:
y
x
y
y 1 y
J x2 0
非奇异变换:
y x y 3x
a12 a1112 a12(1 2 ) a22
a12 =1·(–1)·3–1·[(-1)+3]–3= –8
8u 0 u 0
u f ( ) g()
通解: u f ( y x) g( y 3x)
14/17
例3. 讨论 x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 的类型,并化
2 x
2a12x y
a22
2 y
0
a11
2 x
/
2 y

【气象类数理方程】2.1 两个自变量的方程的分类与化简

a11
(
ϕx ϕy
)2
+
2a12
ϕx ϕy
+ a22
=
0
沿着曲线ϕ(x, y)
=
c
有0
=
dϕ
=
ϕxdx
+ ϕydy,
则 ϕx
ϕy
=
−
dy dx
,
(2.1.5)
等价于
( dy )2
dy
a11 dx − 2a12 dx + a22 = 0
称为偏微分方程(2.1.1)的特征方程.
设a11 ̸= 0 则分解为
它极类似于二次曲线（代数方程) ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, 尽管二者之间没有必要的联系. 记 δ = b2 − ac, 二次曲线可如下划分
δ>0 δ=0 δ<0
双曲线抛物线椭圆
x2 a2
−
y2 b2
=
1
x2 a2
+
y2 b2
=
1
x2 a2
+
y2 b2
i,j=1 aij ∂xi∂xj + i=1 bi ∂xi + cu = f,
(aij = aji)
其中 aij, bi, c 和f 都是实值函数. 当 n = 2 时可以写成
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + a1ux + b1uy + cu + f (x, y) = 0.
(2.0.1)
=uξξξy2 + 2uξηξyηy + uηηηy2 + uξξyy + uηηyy

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√
dy dx dy
= =
a12 +
∆ ,
a11√
a12 −
∆ ,
(特征线方程)
dx
a11
其中∆ = a212 − a11a12. (2.1.7)的解称为(2.1.1)的特征线. 对∆的符号分情况讨论.
1) ∆ > 0
(2.1.6)有两族不同的实的解曲线ϕ1(x, y) = C1, ϕ2(x, y) = C2, 取
ξ = ϕ1(x, y), η = ϕ2(x, y),
有A11 = A22 ≡ 0且A12 ̸= 0(否则△ = 0). 由(2.1.4)可得
2A12uξη + A1uξ + B1uη + Cu + F = 0
因为A12 ̸= 0则
uξη = A2uξ + B2uη + C2u + F2,
称为双曲型方程的第一标准形式. 令
y ( ( y)
) 2y
y2
2y
uxx
=
−
x2
uξξ (
− x2
+ uξη · 0 )
+ x3 uξ = x4 uξξ + x3 uξ
y
1
1
y
y
1
uxy
=−
x2(
uξξ
·
x
+ uξη )
− x2 uξ = − x3 uξξ − x2 uξη − x2 uξ
1
= − x uξξ · x + uξη + uηξ · x + uηη = x2 uξξ + x uξη + uηη
则
A11 = A22,
A12 = 0.
由(2.1.4)可得, uξξ + uηη = A5uξ + B5uη + C5u + F5(椭圆方程的标准形式)则A5 = B5 = C5 = F5 = 0 时, 为Laplace方程. A5 = B5 = C5 = 0 时, 为Poisson 方程.
§2.1.2 方程的分类
利用 dy
dx
=
p(x, y) ± iq(x, y)解出(2.1.6)的两个复共轭的通积分ϕ1(x, y) = α + iβ = c1, ϕ2(x, y) = α − iβ =
c2其中α = α(x, y), β = β(x, y)为x, y的实函数. 取变换
ξ = α(x, y),
η = β(x, y),
A12 A22
= =
a11ξxηx + a12(ξxηy + ξyηx) a11ηx2 + 2a12ηxηy + a22ηy2
+
a22 ξy ηy ,
A1 = · · ·,
B1 C1
= =
· ·
· ·
·, ·
希望选取一个变换(2.1.2), 使(2.1.4) 有比(2.1.1) 更简单的形式. 注意到A11与A22有相同
的形式, 若能解出
a11ϕ2x + 2a12ϕxϕy + a22ϕ2y = 0
(2.1.5)
的两个线性无关解ϕ1(x, y), ϕ2(x, y), 就取
ξ = ϕ1(x, y),
η = ϕ2(x, y),
§2.1 两个自变量的方程的分类与化简
便能保证A11 = A22 ≡ 0. 下面求解(2.1.5).假设ϕ2x + ϕ2y ̸= 0, 不妨设ϕy ̸= 0, 则(2.1.5) 等价于
坐标系中, 方程的高阶导数项具有三类方程中之一的形式.
非奇异变换: 即自变量变换
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y),
(2.1.2)
5
6
第二章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
的雅可比(Jacobi) 行列式
∂(ξ, η)
J=
=
ξx
ξy
̸= 0.
∂(x, y)
ηx ηy (x0,y0)
=uξξξy2 + 2uξηξyηy + uηηηy2 + uξξyy + uηηyy
将其代入(2.1.1), 有
A11uξξ + 2A12uξη + A22uηη + A1uξ + B1uη + C1u + F = 0,
(2.1.4)
其中及
A11 = a11ξx2 + 2a12ξxξy + a22ξy2,
+
y2 b2
=
1
受此启发, 本章将证明 (记 ∆ = a212 − a11a22)
∆>0 ∆=0 ∆<0
双曲型方程抛物型方程椭圆型方程
如 utt = a2uxx + f 如 ut = a2uxx + f 如 uxx + uyy = f
§2.1 两个自变量的方程的分类与化简考察两个自变量x, y 的二阶线性偏微分方程
a11
(
ϕx ϕy
)2
+
2a12
ϕx ϕy
+ a22
=
0
沿着曲线ϕ(x, y)
=
c
有0
=
dϕ
=
ϕxdx
+ ϕydy,
则 ϕx
ϕy
=
−
dy dx
,
(2.1.5)
等价于
( dy )2
dy
a11 dx − 2a12 dx + a22 = 0
称为偏微分方程(2.1.1)的特征方程.
设a11 ̸= 0 则分解为
dy = a12 = y dx a11 x
(
1 y
dy
=
1 x
dx
⇒
ln y
=
ln x + ln C)
特征线(即解曲线)
为y
x
=
C.
作自变量变换ξ
=
y x
,
η
=
y由(ξx
=
−
y x2
̸=
0),
则
y ux =uξξx + uηηx = − x2 uξ,
1
uy =uξξy + uηηy = x uξ + uη,
ξ = ϕ1(x, y), η = ϕ2(x, y),
则ξ满足(2.1.5), 故有A11 ≡ 0. 又∆ = 0, 故a212 = a11a12, 从而
A12 =a11ξxηx + a12(ξxηy + ξyηx) + a22ξyηy,
√
√
√
√
=( a11ξx + a22ξy)( a11ηx + a22ηy) = 0
= 1,
C4′
= 0,
F4′
=
−f
(ξ,
η))热传导方程
∂v ∂ξ
=
∂2v ∂η2
+ f (ξ, η)
注2.1.1. ϕ2(x, y)取法的特殊情况–取
y, 若 ξx ̸= 0, η = ϕ2(x, y) = x, 若 ξy ̸= 0.
3) ∆ < 0
与(2.1.6)对应的二次代数方程无实根,
但有两个共轭复根p(x, y) ± iq(x, y),
此时A22 ̸= 0 (否则, ϕ2也满足(2.1.5), 与(2.1.6)仅有一族解曲线矛盾!) 由(2.1.4)可得, uηη = A4uξ+B4uη+C4u+F4(抛物型方程的标准形式)
令v
=
ue−
1 2
∫η
η0
B4(ξ,τ )dτ 则
vηη = A′4vξ + C4′ v + F4′
(A′4
= − a12 √ a11
ξy
+
−∆ a11 ηy
ηy −
− a12 a11
ηy
+
−∆ a11 ξy
ξy
=
−∆ a11
(ξy2
+
ηy2)
̸=
0
(否则有ξy = 0, ηy = 0则ξx = 0, ηx = 0则ϕx = ϕy = 0则与ϕ2x + ϕ2y ̸= 0的假设不符) 所以ξ, η函数无关. 因ξ + iη满足(2.1.5), 有
a11(ξx + iηx)2 + 2a12(ξx + iηx)(ξy + iηy) + a22(ξy + iηy)2 = 0
实虚分开则
a11ξx2 + 2a12ξxξy + a22ξy2 = a11ηx2 + 2a12ηxηy + a22ηy2, a11ξxηx + 2a12(ξxηy + ξyηx) + a22ηyξy = 0
定义2.1.1. 若在点(x0, y0)处∆ > 0(= 0, < 0),则称方程在点(x0, y0)为双曲(抛物, 椭圆) 型的. 如果(2.1.1)在Ω内每点均为双曲(抛物, 椭圆) 型的, 则称(2.1.1)在Ω内为双曲(抛物, 椭圆) 型的.
注2.1.2. 除上述三种类型为, 有些方程在区域内Ω为变型方程. 例如, 特里科米(Tricomi) 方程yuxx + uyy = 0, 其判别式∆ = −y, 故在上半平面y > 0内属于椭圆型, 在下半平面y < 0内是双曲型. 当所考察的区域Ω包括x轴上一线段时, 方程在Ω内就是混合型的. 这种方程在研究跨音速飞机设计中有所应用. (亚音速→音速→超音速)
代入原方程, 得