高中数学回归课本(排列组合二项式定理 )
排列组合与二项式定理
排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是概率论和组合数学中重要的概念和定理。
它们在数学、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍排列组合和二项式定理的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。
一、排列组合的概念和性质排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算事物的不同排列和组合方式。
1. 排列：排列是指从若干个元素中选择一部分元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，有P(n,r)种排列方式。
排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：组合是指从若干个元素中选择一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，有C(n,r)种组合方式。
组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)排列和组合的计算公式是基于阶乘的，阶乘表示从1到某个正整数的连乘积。
排列和组合的性质包括交换律、结合律和分配律等。
二、二项式定理的概念和性质二项式定理是代数中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
二项式是两个项的和，形式为 (a + b)^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。
二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数。
二项式定理的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的递推性和二项式系数与排列组合的关系等。
三、排列组合与二项式定理的应用排列组合和二项式定理在许多领域中有广泛的应用。
1. 概率论：排列组合和二项式定理用于计算事件的可能性和概率。
通过组合数可以计算从一组元素中选择特定数量的元素的概率。
2. 统计学：排列组合和二项式定理用于计算事件的组合和排列数量，从而分析数据的分布和规律。
高中数学之九《排列、组合、二项式定理》
C
m n
C nm n
为了使这个公式在 m
n
时成立，规定
C
0 n
1。
定理 2
Cm n1
C nm
C m1 n
二 二项式定理
（七）二项式定理
一般地，
ab
n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b1
C
r n
a
nr
b
r
C
n n
b
n
nN
。这个公
式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 a bn 的二项展开式，其中的系数
数，中间两项的二项式系数相等并且最大。
C
r n
r 0，1，n
叫做二项式系数。式中的
C
r n
a
nr
b
r
叫做二项展开式的通项，用
Tr 1
表示，
即通项为展开式的第 r 1项： Tr1 Cnr a nr b r 。
（八）二项式系数的性质 1.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。 2.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇
从 n 个不同元素中取 m m n个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取 m
个元素的排列数，用符号 Pnm 表示。
这个公式叫做排列数公式 Pnm nn 1n 2n m 1，这里 m，n N ，并且
m n。
排列公式中，当 m n 时，有 Pnn nn 1n 23 2 1。这个公式指出， n 个不
（四）组合
一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m m n个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素
高一数学排列组合二项式定理及其应用分析总结归纳
02
二项式定理及其应用
二项式定理的展开式
二项式定理：(a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + n*(n-1)/2*a^(n-2)*b^2 + ... + b^n 展开式特点：每一项的系数是n的阶乘除以(n-k)的阶乘 展开式应用：求解组合问题、概率问题、数列问题等 展开式计算：利用公式进行计算，注意系数和指数的变化规律
多项式定理的应用：在数学、 物理、工程等领域有广泛应用
多项式定理的证明：通过数学 归纳法进行证明
多项式定理的推广：将二项式 定理推广到更高阶的多项式
二项式定理的扩展形式
二项式定理的推广：从n次方推广到任意次方 二项式定理的拓展：从整数推广到实数 二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到多项式定理 二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到组合定理
用
期望值：二项 式定理在期望 值计算中的应
用
方差：二项式 定理在方差计
算中的应用
在统计学中的应用
概率计算：二项式定理可以用于计算概率，例如计算抛硬币、掷骰子等事件的概率。 统计推断：二项式定理可以用于统计推断，例如进行假设检验、参数估计等。 统计模型：二项式定理可以用于建立统计模型，例如建立线性回归模型、逻辑回归模型等。 数据分析：二项式定理可以用于数据分析，例如进行数据清洗、数据可视化等。
计算期望：二项 式定理可以用来 计算期望，如 E(X) = Σ[k * P(X=k)]
在代数中的应用
求解多项式方 程：利用二项 式定理求解多
项式方程
求函数值：利 用二项式定理
求函数值
求极限：利用 二项式定理求
极限
求导数：利用 二项式定理求
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
高中代数排列 组合 二项式定理-精选教学文档
高中代数-排列组合二项式定理分类计数原理
分步计数原理做一件事，完成它有n类不同的办法。
第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n类办法中有mn种方法，则完成这件事共有：
N=m1+m2+…+mn种方法。
做一件事，完成它需要分成n个步骤。
第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n步中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 … mn种方法。
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。
排列组合从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。
从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。
排列数
组合数
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Pnm 从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm
选排列数
全排列数
二项式定理
二项展开式的性质
(1)项数：n+1项
(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n为止。
而每项中a 与b的指数之和均等于n 。
(3)二项式系数：
各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和。
高中数学专题讲解排列组合及二项式定理
排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：(a b)n展开式的二项式系数是C n0， C n1， C n2，,， C n n． C n r可以看成以r为自变量的函数 f ( r ) ，定义域是{0,1, 2, , n} ，（ 1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C n m C n n m）．（ 2）增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项n n 1n1C n2取得最大值；当n是奇数时，中间两项C n2， C n2取得最大值．（ 3）各二项式系数和：∵(1x)n 1 C n1 x C n r x r x n，令 x 1，则2n C n0C n1C n2C n r C n n【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
（1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）34（ 2）43（3）43二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.（ 4）A, B, C, D, E五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A4424 种（ 5） 3 位男生和3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B. 188C.216D.96【解析】：间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32A 22A 24 A 22 =432 种高☆考♂资♀源 ?网☆其中男生甲站两端的有 A 12C32 A 22A 23 A 22 =144 ，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .（ 6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数为A5种，再用甲乙去插 6 个空位有A2种，不同的排法种数是A5 A23600 种5656（ 7）书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： A 17A 18A 19 =504（8）马路上有编号为 1， 2，3, ， 9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯C53种方法 , 所以满足条件的关灯方案有10 种.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合二项式定理PPT课件
通项是指展开式的第 r+1 项，
展开式共有 n+ 个项. 1
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性性质质复复习习
性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离
的任意两项的二项式系数相等.
性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一
项的二项式系数最大；如果二项式的
幂指数是奇数，中间两项的二项式系
性质3性：质数3最：大；
性质3：
C
0 n
Pnm
n! (n m)!
Pnn n!
1)
0!
1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n n! m!
m!(n m)!
m
C
0 n
1)
1
Pnm
C
m n
Pmm
， C C m n
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即：
Pnn n第2页(n/共9页1) (n 2) 21
6×5=30
2. 若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x,y)的不同个
数有多少？
5×5=25
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练习2
1.计算：
③ p44=
① =p83 ，33②6 = ，p136 3=360 p33 24，④ = p55， 1⑤20 = ， p66 = 720
6p2 2
2
Cn0 1
Cn1 n
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不同点
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
第1页/共9页
1.排列和组合的区别和联系：
名称
高三数学排列、组合、二项式定理 (理)
排列、组合、二项式定理(理)一周强化一、一周知识概述本周复习的内容为高中数学第十章排列、组合和概率.本章内容在代数中自成体系，内容抽象，解题方法灵活，是中学、大学的衔接内容，复习时，应抓住两个计数原理这个基础，由于排列组合是二项式定理的基础，是解决概率问题的工具，因此，学好排列组合是本章的关键。
1、分步计数原理、分类计数原理的应用关键在于恰当地分步或分类，要使所分类（或分步）不重复、不遗漏．对于分类计数原理与分步计数原理的综合应用问题，一般的解题步骤是：整体上先分类，局部上再考虑分步或再次分类.2、排列是分步计数原理的特殊情况，即从n个不同的元素中每次取一个元素，分m步，共取m个元素（有顺序），因此取法共有n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种，这就是排列数公式组合与排列的区别在于组合是不计顺序的，而排列可以看作先组合后作全排列，因此那么组合数为利用这一思路，求组合就是求排列的一部分，如甲在乙的左边，占甲、乙任意排列的一半．排列数公式与组合数公式都有2个，带阶乘的常用于计算、证明，以及m不明确或较大时候的运算，另一个则用于m的解或较小时的运算问题中．常用方法有：排除法、枚举法、元素（位置）优先法、捆绑法、插入法、分隔法．3、正确理解二项式展开式中的第r＋1项，第r＋1项的二项式系数，第r＋1项的系数之间的差别．求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解．二项式的某项系数问题，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，三项式（a＋b＋c）n的展开式中，a p b q c r的系数为赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的x∈A，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立．特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，0，1，－1取较多．一般x0＝一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为，偶次项系数和为．如二项式系数性质的证明就是赋值法在二项展开式中运用的典范．二项式定理的应用一般应用于与二项式乘方有关的命题．证明组合恒等式或求和．二、本周复习的重、难点（一）本周复习的重点1、理解两个计数原理；2、理解排列、组合、二项式展开式及性质、能用通项公式求某些特定项；（二）本周复习的难点1、排列组合的应用问题；2、二项式定理的系数性质；三、例题解析例1、有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9．将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？例2、已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项，求的展开式中a－1项的二项式系数.例3、已知m、n为自然数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求f(x)展开式中x2项系数的最小值．试题答案三、解答题分析：在解本题时应考虑两方面的问题：（1）0不能作百位，但0与1在同一卡片上，因此着眼于限制条件，必须同时考虑0与1的分类．（2）每张卡片都有正面与反面两种可能．解法上既可用直接法，也可用排除法．解：解法一（直接法）从0与1两个特殊值着眼，可分三类：（1）取0不取1，可先从另四张卡选一张作百位，有种方法；0可在后两位，有种方法；最后须从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有．（2）取1不取0，同上分析可得不同的三位数（3）0和1都不取，有不同三位数综上所述，共有不同的三位数．解法二（间接法）任取三张卡片可以组成不同三位数，其中0在百位的这是不合题意的，故共有不同三位数：例2：分析：要求的展开式中a－1项的二项式系数，首先要由已知条件确定n.另外应注意展开式的各项系数之和的求法——“赋值法”以及特定项的求法.解答：依题意，令a=1，得展开式中各项系数和为展开式中的通项为T r＋1，，若T r＋1为常数项，则，即r=2.故常数项为∴所求a－1项的二项式系数为.点评：通过此题我们要加深理解“二项式系数”与“项系数”的概念，以及掌握求二项式所有项的系数和的方法——“赋值法”：设f(x)=(a＋bx)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则：（1）a0＋a1＋a2＋…＋a n=f(1)（2）a0=f(0)（3）a0＋a2＋…＋a2k＋…=（4）aa3＋…＋a2k＋1＋…=1＋例3：分析：将x2项系数用m、n表示，由于m、n无任意关系，故关于m、n的表达式求最值时，考虑用配方法．，∴ m＋n＝19．当且仅当m＝n时，最小，但由于m+n＝19，且m，n∈N*，m与n 不可能相等，所以当|m－n|＝1时，有最小值81．。
《排列组合、二项式定理及复数》
《排列组合、二项式定理及复数》第一部分：高考地位浅析及复习设想目前正处于高三一轮复习阶段，对于普通高中的学生，一轮复习尤为重要。
因此如何加强复习的针对性、怎样提高教学效果是当前值得我们所有高三一线教师深思的问题。
复习过程中我们将《排列组合、二项式定理及复数》作为一个专题来组织复习。
一、考纲要求：最新考纲对本专题所含内容有如下要求：（1）理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能利用排列组合解决简单的实际问题。
（2）能用计数原理证明二项式定理．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
（3）理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，会进行代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
二、考点分析：从以上统计信息可以看出：（1）高考中本专题的试题几乎年年都有，分值一般为5～10分。
多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择或填空题出现。
（2）排列组合主要考查了利用它和两个计数原理解决实际的计数问题，有时会和概率问题相结合；二项式定理的热点是利用通项公式求展开式的项及系数问题。
复数主要是围绕其概念和运算进行考查。
三、复习进度安排：根据该考点的命题特点，特安排此专题的复习进度如下：(1)排列组合分4个课时进行：第一课时主要复习排列的概念及排列数的性质；第二课时复习组合的概念及组合数的性质；第三课时复习排列组合的应用，第四课时总结排列组合问题的常用解题策略。
(2)二项式定理分3个课时进行：第一课时复习二项展开式和通项；第二课时，复习二项式系数的性质；第三课时，主要复习二项式定理的应用。
(3)复数分2个课时进行：第一课时复习复数的有关概念及其性质；第二课时复习复数代数形式及加减乘除运算法则。
四、常见题型及其解题策略：（1）排列组合实际计数问题常用方法有：特殊位置（元素）优先法、相邻捆绑法、相隔插空法、定序问题用除法、分排问题直排法、复杂问题排除法、多元问题分类法、综合问题先选后排法等。
高中数学回归课本(排列组合二项式定理 )
回归课本(十) 排列、组合、二项式定理一． 考试内容：分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质.二．考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.【注意】这部分内容复习的重点有：排列组合的理论基础、原理，二项式定 理的通项公式，二项式系数的性质等.三．基础知识:1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 4.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n nn n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.5.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).6.组合数的两个性质(1)mn C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-; （3）11mm n n n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .(6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ .(7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 .(10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8.排列数与组合数的关系m mn n A m C =⋅！ .9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，mn 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n nnn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!! (21)1c b a m CCC N m mn n n n p n p⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.10.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =..二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）;2;213120210-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ；四．高考题回顾一、组数问题：1（2004年全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）.A. 56个B. 57个C. 58个D. 60个2.（辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）3. 从集合{ P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是________．(用数字作答)．4. .（江西卷）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不 同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 二、分配问题：5（2004年全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）. A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种6. （北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 7. （湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不 同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 8. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）.A. 2426C A B. 242621C A C. 2426A A D. 262A 三、几何问题：9.（2004年北京卷.理7）从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（ ）. A. 101 B. 51 C. 103 D. 5210. 湖北卷）以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367B ．385376 C ．385192 D ．3851811（2004年湖南卷.文理10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）. A. 56 B. 52 C. 48 D. 40四.二项式定理问题12. （全国卷Ⅲ）在(x−1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )（A ）−14 （B ）14 （C ）−28 （D ）2813. (山东)如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-14. 设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C 15. （湖南卷）在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答）16.（04年天津卷.理15）若2042204012204(12)()x a ax ax a x x R -=+++⋅⋅+∈，则010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅++= . 17. （04年福建卷.文9）已知8()a x x-展开式常数项为1120, 其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）. A. 82 B. 83 C. 1或83 D. 1或8218.（04年上海卷.9）若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .（结果用分数是表示）19.（04年福建卷.理9）若9)21(x -展开式的第3项为288，则n n xx x 111(lim 2+⋅⋅⋅++∞→）的值是（ ）. A. 2 B. 1 C. 21 D. 52 五.课本中习题归纳一.分类计数原理与分步计数原理1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有 种不同的取法;(2)从书架的第1,2,3,层各取1本,有 种不同的取法;2.一种号码锁有6个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这6个拨号盘可以组成 个六位数字号码.3.要从甲,乙,丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有 种不同的选法.4.乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有 项.5.用1,5,9,13中任意一个作分子,4,8,12,16中任意一个数作分母,可构造 个不同的分数;可构造 个不同的真分数;可构造 个不同的假分数.6.(1)在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在{0,1,2,3,4,5}A =内取值的不同点共有 个.(2)在平面直角坐标系内,直线y kx b =+的斜率在集合{1,2,5,}B =内取值,截距在集合{2,4,6,8}C =内取值,这样不同的直线共有 条.7.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的1个运动队,则有 种不同的报名方法. (2)3个班分别从5个风景点中选择1处游览,则有 种不同的选法. 二.排列 组合 二项式定理8.某年全国足球甲级(A 组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主,客场分别比赛1次,共进行 场比赛.9.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法;(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法.10.某信号兵用红,黄,白3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面,2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示 种不同的信号.11.用0到9这10个数字,可以组成 个没有重复数字的三位数;可以组成 个没有重复数字的三位偶数;可以组成 个十位数字比个位数字与百位数字都大的三位数.12.由数字1,2,3,4,5可以组成 个没有重复数字,并且比2005大的正整数. 13.(1)7个人站成一排,如果甲必须站在正中间,有 种排法; (2) 7个人站成一排,如果甲不站在正中间,有 种排法;(3) 7个人站成一排,如果甲,乙2人必须站在两端,有 种排法; (4) 7个人站成一排,如果甲不站在左端,乙不站在右端,有 种排法;(5) 7个小孩子站成两排,其中3个女孩站在前排,4个男孩站在后排,有 种排法;(6) 7个小孩子站成两排,其中前排站3人,后排站4人,有 种排法. 14.(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有 种不同的方法;(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有 种不同的方法.15.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有 条; (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有 条. 16.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有 种取法;(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 种取法; (3)从口袋内取出3个球,使其中不含有黑球,有 种取法.17.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)一共有 种不同的抽法;(2)抽出的3件中恰1件是次品的抽法有 种; (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 种.18.计算:(1)012345555555C C C C C C +++++= ; (2)222222234567C C C C C C +++++= ;(3) 024555C C C ++= ;(4)135555C C C ++= . 19.1圆,2圆,5圆,10圆的人民币各2张,一共可以组成 种币值. 20.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛. (1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法. 21.12()x a +的展开式中的倒数第四项的系数是220,则a = ;常数项等于 . 22.91()x x -的展开式中3x 的系数是;12(3的展开式的中间一项是 .(的展开式的中间两项系数的和等于.23.15。
数学中的排列组合与二项式定理
数学中的排列组合与二项式定理在数学中，排列组合和二项式定理是重要的概念和原理。
它们在解决问题、计算概率等方面起着重要的作用。
一、排列组合排列组合是数学中用来描述和计算对象排列和选择方式的概念。
排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列，而组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合。
1.1 排列排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列的方式。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行排列，则排列的方式数用P(n,r)表示。
计算排列的方式数的公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在数学竞赛中，求解一道题目需要按照一定的规则对给定的元素进行排列。
1.2 组合组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合的方式。
与排列不同，组合不考虑对象的顺序。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行组合，则组合的方式数用C(n,r)表示。
计算组合的方式数的公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)组合通常用于解决计算概率、统计样本等问题。
比如在概率问题中，我们需要计算从一组给定的元素中选取若干个元素的所有可能组合的概率。
二、二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式表示如下：(a + b)^n其中，a和b是实数或者变量，n是非负整数。
二项式定理给出了展开(a + b)^n所得的多项式的各项系数。
二项式定理的表达式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数量。
高中高三数学《排列组合与二项式定理》教案、教学设计
（二）教学设想
针对以上重难点，我设想以下教学策略：
1.创设情境，激发兴趣：
2.分层次教学，注重个体差异：
针对学生的不同水平，设计不同难度的题目，使学生在解决问题的过程中逐步提高。对于基础薄弱的学生，重点讲解排列组合的基本概念和计算方法；对于基础较好的学生，引导他们探索二项式定理的推导过程，提高解决问题的能力。
1.讲解排列组合的基本概念，如排列、组合的定义，以及它们之间的区别。
2.通过实例，引导学生掌握排列数、组合数的计算方法，并强调在实际问题中的应用。
3.介绍二项式定理的推导过程，让学生理解定理的含义，并学会运用定理进行计算。
4.结合典型例题，讲解排列组合与二项式定理在解决问题时的应用方法。
（三）学生小组讨论
2.在解决实际问题时，学生可能难以把握问题的实质，不能将问题转化为排列组合问题进行求解；
3.对于二项式定理，学生可能对其推导过程理解不深，难以灵活运用定趣和积极性有所差异，影响学习效果。
针对以上情况，教师在教学过程中应关注学生的个体差异，设计有针对性的教学活动，引导学生积极参与，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重培养学生的数学思维，提高他们对数学学科的认识，为高考数学复习打下坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
（1）排列组合的基本概念及其在实际问题中的应用；
（2）排列数、组合数的计算方法；
（3）二项式定理的推导过程及其应用。
2.教学难点：
（1）学生对于排列组合概念的混淆，难以区分排列与组合的计算方法；
（2）学生在解决实际问题时，难以将问题转化为排列组合问题；
高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理
高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理教学目标：1. 理解排列、组合和二项式定理的基本概念和原理。
2. 能够应用排列、组合和二项式定理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学准备：1. 教学资料：教科书、课件、习题集等。
2. 教学媒体：投影仪、电脑等。
教学过程：Step 1：引入和导入（5分钟）教师通过问题启发学生思考，引导学生认识到排列、组合和二项式定理在日常生活中的应用。
例如，从一副扑克牌中选出5张牌，有多少种不同的组合方式？Step 2：概念讲解（15分钟）2.1 排列的概念教师给出排列的定义，即从n个元素中取出m个元素，按照一定顺序排列的方式的总数。
教师讲解排列的计算公式及推导过程，并通过示例演示如何应用排列解决问题。
2.2 组合的概念教师给出组合的定义，即从n个元素中取出m个元素，不考虑顺序的方式的总数。
教师讲解组合的计算公式及推导过程，并通过示例演示如何应用组合解决问题。
2.3 二项式定理的概念教师给出二项式定理的定义，即(a+b)^n的展开公式。
教师讲解二项式定理的公式及推导过程，并通过示例演示如何应用二项式定理解决问题。
Step 3：练习和讨论（20分钟）教师出示一些具体问题，让学生自己尝试解答。
然后让学生分享自己的解题思路，并进行讨论。
教师对学生的解题思路进行指导和引导，帮助学生巩固理解和应用排列、组合和二项式定理的能力。
Step 4：拓展应用（10分钟）教师出示一些与排列、组合和二项式定理有关的实际问题，让学生尝试解答。
教师鼓励学生灵活运用所学知识解决问题，并引导学生思考如何将所学知识应用于其他领域。
Step 5：总结和归纳（5分钟）教师对本课内容进行总结和归纳，强调排列、组合和二项式定理的基本原理和应用。
同时，鼓励学生通过课后练习巩固和提高自己的能力。
Step 6：课堂小结（5分钟）教师向学生总结本节课的重点内容，并预告下节课的内容。
教学反思：本节课通过讲解排列、组合和二项式定理的相关概念和原理，并通过例题和实际问题的训练，培养了学生的逻辑思维和数学推理能力。
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理1. 排列组合排列组合是概率论与组合数学中非常重要的概念。
它们在各种数学和统计问题中起着关键作用。
在本文档中，我们将介绍排列组合的基本概念，以及它们在计算二项式定理中的应用。
1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分，按一定的顺序进行排列。
在数学符号中，排列表示为 nPm，其中 n 表示可选元素的数量， m 表示选取的元素的数量。
排列的计算公式如下：nPm = n! / (n-m)!其中，! 表示阶乘操作，即将一个正整数 n 与所有小于它的正整数相乘。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分，不考虑顺序的情况。
在数学符号中，组合表示为 nCm，其中 n 表示可选元素的数量， m 表示选取的元素的数量。
组合的计算公式如下：nCm = n! / (m! * (n-m)!)1.3 例子假设有一个由 A、B、C 三个元素组成的集合。
我们希望从中选取两个元素进行排列和组合，那么可以使用排列和组合的计算公式进行计算：•排列：3P2 = 3! / (3-2)! = 3•组合：3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3可以看到，排列结果为 3，即从集合中选取两个元素并进行排列的结果有 3 种。
而组合结果也为 3，即从集合中选取两个元素并进行组合的结果有 3 种。
2. 二项式定理二项式定理是指一个二项式的任意幂展开式的结果。
在数学中，一个二项式的一般形式为 (a + b)^n，其中 a 和 b 是实数，n 是正整数。
二项式定理通过展开这个二项式，给出了展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + …+ C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素进行组合的数量。
2.1 例子假设我们希望展开 (a + b)^3 这个二项式。
2021届高考数学考前30天回归课本知识技法精细过(十二)：排列组合二项式定理
高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十二）第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、必记3个知识点1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①____________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝②____________________种不同的方法．3．两个原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③____________________的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与④________有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤________有关，各个步骤⑥________，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．二、必明2个易误点1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．三、技法1.分类加法计数原理的实质分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.3. 分步乘法计数原理的实质分类乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事．4．使用分步乘法计数原理的原则(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.5.两个注意：(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)注意对较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.6. 解决涂色问题的要点(1)要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色.参考答案①m1＋m2＋…＋m n②m1×m2×…×m n③完成一件事情④分类⑤分步⑥相互依存第二节排列与组合一、必记2个知识点1．排列与排列数(1)排列的定义：一般地，从n个①________元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的②________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的③____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为A m n.(3)排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④____________.A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤__________，规定0！＝1.2．组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个⑥________的元素中取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个⑦________元素中取出m(m≤n)个元素的⑧__________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(3)组合数公式C m n＝⑨____________＝⑩__________________________＝⑪__________________.(4)组合数的性质性质1：C m n＝⑫____________.性质2：C m n＋1＝⑬____________(m≤n，n∈N*，m∈N*)．二、必明3个易误点1．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．2．解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复．3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．三、技法1. 求解排列应用问题的6种主要方法2. 两类含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直解法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解.3. 解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．参考答案①不同 ②顺序 ③所有不同排列 ④n ！(n －m )！⑤n ！ ⑥不同 ⑦不同 ⑧所有不同组合 ⑨A m n A m m ⑩n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！ ⑪n ！m ！(n －m )！⑫C n －m n ⑬C m －1n ＋C m n第三节 二项式定理一、必记3个知识点1．二项式定理(a ＋b )n ＝①______________________________________.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫做②________________________.式中的C r n a n －r b r 叫做二项展开式的③________，用T r ＋1表示，即展开式的第④________项；T r ＋1＝⑤____________.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)每一项的次数之和都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为⑥________.(3)字母a 按⑦________排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按⑧________排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从⑨______________，C 1n ，一直到C n －1n ，⑩____________. 3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端⑪________的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n .(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当⑫________时，二项式系数是递增的；当⑬________时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项⑭________取得最大值．当n 是奇数时，中间两项⑮________和⑯________相等，且同时取得最大值．(3)二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即⑰__________________________________________＝2n .二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝⑱________. 二、必明3个易误点1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．2．应用通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．3．通项公式是第r ＋1项而不是第r 项．三、技法1. 求展开式中的指定项或特定项解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.2. 二项式系数或项系数的和问题涉及的两个方法⑴ “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．⑵若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. 3. 求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果.4. 利用二项式定理解决整除问题时，基本思路：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理.参考答案①C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) ②二项式系数 ③通项 ④r ＋1 ⑤C r n a n －r b r ⑥n ⑦降幂 ⑧升幂 ⑨C 0n ⑩C n n ⑪“等距离” ⑫k ＜n ＋12⑬k ＞n ＋12⑭C n 2n ⑮C n －12n ⑯C n ＋12n ⑰C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ⑱2n －1。
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回归课本(十) 排列、组合、二项式定理一． 考试内容：分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质.二．考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.【注意】这部分内容复习的重点有：排列组合的理论基础、原理，二项式定 理的通项公式，二项式系数的性质等.三．基础知识:1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L .2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯L .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 4.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n nn n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-L .5.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).6.组合数的两个性质(1)mn C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-; （3）11mm n n n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ.(6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ΛΛ. (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ. (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ.(9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110Λ. (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++Λ. 8.排列数与组合数的关系m mn n A m C =⋅！ .9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=--Λ. （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，mn 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!! (21)1c b a m CCC N m mn n n n p n p⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =L 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.10.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ; 二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=..二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）;2;213120210-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ；四．高考题回顾一、组数问题：1（20XX 年全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）.A. 56个B. 57个C. 58个D. 60个2.（辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）3. 从集合{ P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是________．(用数字作答)．4. .（江西卷）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不 同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 二、分配问题：5（20XX 年全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）. A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种6. （北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 7. （湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 8. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）.A. 2426C A B. 242621C A C. 2426A A D. 262A 三、几何问题：9.（20XX 年北京卷.理7）从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则n m 等于（ ）. A. 101 B. 51 C. 103 D. 5210. 湖北卷）以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367B ．385376 C ．385192 D ．3851811（20XX 年湖南卷.文理10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）. A. 56 B. 52 C. 48 D. 40四.二项式定理问题12. （全国卷Ⅲ）在(x−1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )（A ）−14 （B ）14 （C ）−28 （D ）2813. (山东)如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-14. 设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C Λ 15. （湖南卷）在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答） 16.（04年天津卷.理15）若2004220040122004(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅++= .17. （04年福建卷.文9）已知8()ax x-展开式常数项为1120, 其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）. A. 82 B. 83 C. 1或83 D. 1或8218.（04年上海卷.9）若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .（结果用分数是表示）19.（04年福建卷.理9）若9)21(x -展开式的第3项为288，则n n xx x 111(lim 2+⋅⋅⋅++∞→）的值是（ ）. A. 2 B. 1 C. 21 D. 52 五.课本中习题归纳一.分类计数原理与分步计数原理1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有 种不同的取法;(2)从书架的第1,2,3,层各取1本,有 种不同的取法;2.一种号码锁有6个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这6个拨号盘可以组成 个六位数字号码.3.要从甲,乙,丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有 种不同的选法.4.乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有 项.5.用1,5,9,13中任意一个作分子,4,8,12,16中任意一个数作分母,可构造 个不同的分数;可构造 个不同的真分数;可构造 个不同的假分数.6.(1)在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在{0,1,2,3,4,5}A =内取值的不同点共有 个.(2)在平面直角坐标系内,直线y kx b =+的斜率在集合{1,2,5,}B =内取值,截距在集合{2,4,6,8}C =内取值,这样不同的直线共有 条.7.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的1个运动队,则有 种不同的报名方法. (2)3个班分别从5个风景点中选择1处游览,则有 种不同的选法.二.排列 组合 二项式定理 8.某年全国足球甲级(A 组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主,客场分别比赛1次,共进行 场比赛. 9.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法; (2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法. 10.某信号兵用红,黄,白3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面,2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示 种不同的信号.11.用0到9这10个数字,可以组成 个没有重复数字的三位数;可以组成个没有重复数字的三位偶数;可以组成 个十位数字比个位数字与百位数字都大的三位数.12.由数字1,2,3,4,5可以组成 个没有重复数字,并且比2005大的正整数. 13.(1)7个人站成一排,如果甲必须站在正中间,有 种排法; (2) 7个人站成一排,如果甲不站在正中间,有 种排法;(3) 7个人站成一排,如果甲,乙2人必须站在两端,有 种排法; (4) 7个人站成一排,如果甲不站在左端,乙不站在右端,有 种排法;(5) 7个小孩子站成两排,其中3个女孩站在前排,4个男孩站在后排,有 种排法;(6) 7个小孩子站成两排,其中前排站3人,后排站4人,有 种排法. 14.(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有 种不同的方法;(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有 种不同的方法.15.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有 条; (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有 条. 16.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有 种取法;(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 种取法; (3)从口袋内取出3个球,使其中不含有黑球,有 种取法.17.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)一共有 种不同的抽法;(2)抽出的3件中恰1件是次品的抽法有 种; (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 种.18.计算:(1)012345555555C C C C C C +++++= ;(2)222222234567C C C C C C +++++= ; (3) 024555C C C ++= ;(4)135555C C C ++= . 19.1圆,2圆,5圆,10圆的人民币各2张,一共可以组成 种币值. 20.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛. (1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法. 21.12()x a +的展开式中的倒数第四项的系数是220,则a = ;常数项等于 .22.91()xx-的展开式中3x 的系数是 ;12的展开式的中间一项是 .23.15(的展开式的中间两项系数的和等于 .。