概率论与数理统计1.1随机事件

若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 { 0 , 1, 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如
只包含两个样本点的样本空间
{H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
统计推断、预测或者决策。
2.《概率论与数理统计》的地位
《概率论与数理统计》是高校理、工、农、 医科、经济类、管理类等本科专业必修的一门 重要的基础课，也是这些硕士研究生入学考试
的一门必考科目。
3.《概率论与数理统计》与其它学科 的联系及其应用
●《概率与数理统计》是一门应用性很强又 颇具特色的数学学科，它在工程技术、科学研 究、经济管理、企业管理、经济预测等众多领 域都有广泛的应用；
0 1 100 n 答案：（ 1） { , , , } n n n ( 2 ) { 3 , 4 , ,10 }, ( 3 ) { 3 , 4 , } ( 4 ) {10 ,11 , }, ( 5 ) { AB , AC , AD , AE , BA , BC , BD , BE , CA , CB , CD , CE , DA , DB , DC , DE , EA , EB , EC , ED }, ( 6 ) {甲胜乙负，甲负乙胜， 平局 }
例如 可设 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等 等.
随机事件与样本空间的关系
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
编，高等教育出版社
• 《概率论与数理统计教程》 魏宗舒 等编，高等教育出版社
统计软件包
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第一章 随机事件及其概率
1.1 随机事件
1.1
随机事件
一、随机试验 二、样本空间
三、随机事件及其发生 四、事件之间的关系和运算
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝． 反过来， Ω的每个子集都对应了该试验的一个随 机事件．
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间Ω 的子集 称为 E 的随机事件, 简称事件. 当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时， 称事件Ａ发生．
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 特别地：
基本事件
实例
由一个样本点组成的单点集
“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
必然事件 随机试验中必然发生的事件．
实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.
不可能事件 随机试验中不可能发生的事件.
实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
几点说明
1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件
版）》龙永红 ，高等教育出版社
• 《概率论与数理统计》（第三版）龙永红 ，高等教育出版社 • 《概率论与数理统计》茆诗松 、成依明等编，高等教育出版社 • 《概率论与数理统计》陈希孺，中国科学技术大学出版社
• 《概率论与数理统计》第四版 (中山大学 邓集贤 杨维权 司徒荣 邓
永录） 编，高等教育出版社 • 《概率论与数理统计》第四版 (浙江大学 盛骤，谢式千，潘承毅 ）
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯.
实例6
出生的婴儿可
能是男,也可能是女. 实例7 明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云
或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶
概率论与数理统计
Probability & Mathematical Statistics
电子邮箱:gltj2012@163.co 密码：gailvtongji
•曾经有一个学统计的学生，他开车的时候， 总是在十字路口加速，呼啸而过，然后再减 速。一天，他带着一个旅客，那个旅客被他 的驾驶方式弄得心惊胆战，问为什么要这么 开车。那个学生回答，“是这样的，从统计学 角度讲，十字路口是事故高发段，所以我要 尽可能的少花时间。”
同理可知下列试验都为随机试验.
(1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. (3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.
(4) 考察某地区 10 月
份的平均气温. (5) 从一批灯泡中任 取一只,测试其寿命.
二、样本空间 现代集合论为表述随机试验提供了一 个方便的工具 . 我们把随机试验的每个基本结果称为 样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为 样本空间. 样本空间用Ω表示. Ω
说明 (1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. (2) 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面、反面出现的情况”. 分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面、反面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
(1) 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例
“太阳不会从西边升起”,
“水从高处流向低处”,
“同性电荷必然互斥”,
确定性现象的特征
条件完全决定结果
(2) 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
四 随机事件间的关系与运算
事件是一个集合，其关系与运算可按照集合论中
集合的关系和运算来处理；
事件的关系
包含关系： A B,
A 发生必然导致 B 发生.
相等关系: A = B A B 而且 B A.
互不相容： A 和 B不可能同时发生，或互斥的.
事件的关系
和事件： A B， A 与 B 至少有一发生.
积事件:
生
A B ＝ AB， A 与 B 同时发 A B， A发生但 B不发生
，A 不发生
差事件：
A
对立事件：
事件运算的图示法
AB
AB
AB
德摩根公式(对偶律)
A B A B A B A B
n n
A B A B;
n i Βιβλιοθήκη A A; n集合论
空间 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
事件域
设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合
类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域
1. 2. ΩF ;
若 AF ，则 A F ; A

3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则 1 AAn F . n n
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2
用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为:
察出现的点数.
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
实例4
从一批含有正品
其结果可能为:
正品 、次品.
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
● 《概率与数理统计》与其他数学分支 有着紧密的联系（如微积分（高等数学）、线
性代数等），是近代数学的重要组成部分；
● 《概率与数理统计》的理论与方法向 各个基础学科、工程学科的渗透，是近代科学 技术发展的特征之一；
在[0，1]区间上随机取数，取到有理数的概率？
● 《概率与数理统计》与基础学科相结
i i 1 i 1
i 1
n
Ai Ai

n
A B A B
Ai
n i n i
i 1
A A
i 1 i 1

i 1
Ai
i 1
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
A
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
•三个统计学家去打猎，正好碰到挺大的一头鹿。 第一个统计学家开枪了，但是子弹偏左了大概1 米。第二个统计学家也跟着开枪了，同样没击中， 子弹偏右了1米。第三个统计学家放下枪，兴奋地 嚷道：“嗨，平均来讲，我们打中了！”
1.《概率论与数理统计》研究的内容
《概率论与数理统计》是研究和揭示随机 现象的统计规律性的一门数学学科。 概率论研究随机现象及统计规律性的数量 关系，而数理统计是以概率论为基础，研究如 何有效地收集、整理和分析随机数据，并做出
三、随机事件及其发生
随机事件：
通俗地讲
随机事件是指随机试验中可能发生也
可能不发生的结果。
根据这个说法不难发现
子集有一一对应关系！
随机事件和样本空间的
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. “点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件. 它们分别可以对应了样本空间Ω ={1,2,3,4,5,6}的
说明
1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间
为
{ HHH , HHT , HTH , THH ,
HTT , TTH , THT , TTT }.
合产生出了许多边缘学科，如生物统计、统计 物理、数学地质等；
● 《概率与数理统计》又是许多新兴的
重要学科的基础，如信息论、控制论、可靠性
理论、人工智能、信息编码理论和数据挖掘等。
●《概率与数理统计》在理论联 系实际方面是数学学科中最活跃的分 支之一。
4. 参考书（p269）
• 《概率论与数理统计中的典型例题分析与习题（第2
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的
模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
课堂练习：写出下列各随机事件的样本空间： （1）记录一个小班数学考试的平均分数； （2）10只产品有3只次品，每次从中取1只（不 放回抽样）直到把3只次品都取出，记录抽取的次 数； （3）10只产品有3只次品，每次从中取1只（有 放回抽样）直到把3只次品都取出，记录抽取的次 数； （4）生产产品直到10件正品，记录生产产品的 次数； （5）一个小组有A、B、C、D、E5人，要选正、 副组长各一人（一个人不能兼二职），观察选举结 果； （6）甲乙二人下棋一局，观察棋局结果；
则
3
{ NNN , NND , NDN , DNN , NDD , DDN , DND , DDD }.
实例4
从一批灯泡中任取
一只, 测试其寿命.
4 { t t 0 }.
其中 t 为灯 泡 的寿命 .
实例5
记录某城市120 急
救电话台一昼夜接
到的呼唤次数.
5 { 0 , 1, 2 , } .
.
样本点e
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
H 正面朝上
1 { H , T }.
实例2
T 反面朝上
抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
实例3
从一批产品中,依次任选三件,记录出
现正品与次品的情况.
记 N 正品 , D 次品 .
n 1

有限个或可列（数）个事件的和与积 设 有 n 个 事 件 1， 2， n， 则 称 “ 1， 2， n至 少 有 一 个 发 生 ” 这 一 事 件 为 事 件 1 ， 2， n的 并 ， 记 作 1 2 n 或 n .