2.5状态估计-卡尔曼滤波解析
卡尔曼滤波器
Ak (xk1 xˆk1 H kCk Ak (xˆk1 xk1) k1 H kCk Akk1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) (I H kCk )k1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) k1 H kvk
(2.5.17)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
所以(xˆskuǒ1yǐ) 仅依赖于xk-1,vk-1，而与vk不相关，即 E[(xk1 xˆk1)vkT ] E[vk (xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.18)
E[(xk1 xˆk1)kT1] E[k1(xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.19)
(2.5.24)
令
U T (Pk'CkT )T Ck Pk'T Ck Pk'
(2.5.25)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
定义:设A∈Cn×n是Hermite矩阵,如果对任意0≠x∈Cn,都有 xHAx＞0,则A是Hermite正定阵; 若xHAx≥0,则A是Hermite半正定阵.
定理(dìnglǐ):设A∈ Cn×n 是Hermite矩阵,则下列条件等价 (1)A是Hermite矩阵,AH=A (2)A的特征值全为正实数 (3)存在矩阵P ∈Cn×n,使得A=PHP
(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.5.1 卡尔曼滤波的状态方程(fāngchéng)和量测方程(fāngchéng)
假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程(fāngchéng)和量 测方程(fāngchéng)（也称为输出方程(fāngchéng)）表示为
卡尔曼滤波
式中，N 1向量 (n)表示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
3.2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH (k)} 0,1 k n 1.......(7)
二.估计原理和卡尔曼滤波
1. 状态估计原理 2. 为什么要用状态估计理论 3. 经典控制理论与现代控制理论 3. 什么是卡尔曼滤波 5.卡尔曼滤波器的应用
2.1状态估计原理
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。 一般来说，根据观测数据对随机量进行定 量推断就是估计问题，特别是对动态行为 的状态估计，它能实现实时运行状态的估 计和预测功能。比如对汽车状态估计。
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ，而
是先计算状态向量的一步预测
def
x1 (n) x(n y(1),... y(n 1))........ (11)
然后再用到下式得到
y 1
(n)：
y (n) C(n) x1(n)...........(12)
1
3.2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：
卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波器 的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情况下给出系
统状态x的最优估算值xˆ ，它在统计意义下最接近 状态的真值x，从而实现最优控制u( xˆ )的目的。
2.4什么是卡尔曼滤波：
卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线 性最小方差估计的基础上，提出的在数学结 构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方 法，具有计算量小、存储量低，实时性高的 优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状 态，滤波效果非常好。
kalman滤波算法预测和状态估计的基本方程
kalman滤波算法预测和状态估计的基本方程一、简介Kalman滤波算法是一种广泛应用于估计和预测过程的统计方法，尤其在自动化控制领域具有广泛的应用。
本文将介绍Kalman滤波算法的基本方程，包括预测和状态估计的过程。
二、基本方程1.预测方程预测方程是Kalman滤波算法的基础，它基于当前状态和已知的信息，对未来的状态进行预测。
预测方程的形式如下：x[k+1]=x[k]+u[k]+w[k]其中，x[k+1]表示未来的状态，x[k]表示当前状态，u[k]表示输入，w[k]表示过程噪声。
2.状态估计方程状态估计方程是在观测数据与预测数据存在误差的情况下，对当前状态进行估计。
状态估计方程的形式如下：x[k]=(A*x[k]+B*z[k])/(C*z[k]+D*x[k])+e[k]其中，x[k]表示当前状态，z[k]表示观测数据，A、B、C、D分别为状态转移矩阵、观测矩阵、控制矩阵和噪声协方差矩阵，e[k]表示误差项。
3.噪声模型Kalman滤波算法中，噪声模型是关键的一部分。
过程噪声和观测噪声通常被视为正态分布，其方差可以根据实际情况进行调整。
4.滤波增益矩阵滤波增益矩阵是Kalman滤波算法的核心，它用于在预测方程和状态估计方程之间进行转换。
滤波增益矩阵的形式如下：K[k]=P[k|k-1]C*T[C*P[k|k-1]*C*]+R[]/Q[]=H[k]*P[k|k-1]*H*T+R[]/Q[]P[k|k-1]=A*H[k]*P[k|k-1]*H*A*T+H*Q[k]*H*R[k]*H*Q*H+D*C*P[k]*D*C*T+D*Q*D*(A+C)为求得状态估计值及噪声协方差矩阵P及Q的值，必须知道噪声协方差矩阵R及Q的初值及噪声源特性参数（即过程的初值），但具体计算方式较复杂不便详述，读者可以查阅相关文献获取更详细的信息。
同时为了计算滤波增益矩阵K，也需要已知A、B、C、D的值。
三、总结Kalman滤波算法是一种广泛应用于估计和预测过程的统计方法，具有简单易实现、鲁棒性强等特点。
卡尔曼滤波器原理详解课件
VS
机器人避障
通过卡尔曼滤波器对机器人进行避障控制， 实现机器人在复杂环境中的安全导航。
06
卡尔曼滤词
详细描述
无迹卡尔曼滤波器
总结词 详细描述
自适应卡尔曼滤波器
缺点分析
假设限制
01
初值问题
02
计算复杂度
03
改进方向
扩展到非线性系统 优化算法 融合其他方法
05
卡尔曼滤波器的应用实例
无人机定位与控制
无人机定位
无人机控制
通过卡尔曼滤波器对无人机进行控制， 实现无人机的稳定飞行和精确控制。
航天器轨道确定
航天器轨道估计
航天器导航
机器人导航与避障
机器人路径规划
状态方程和观测方程
状态方程 观测方程
卡尔曼滤波器的递推算法
预测步骤
根据当前状态和输入预测下一个状态。
更新步骤
根据观测值和预测值更新状态估计。
递推算法
通过重复执行预测步骤和更新步骤，逐步更新状态估计。
卡尔曼滤波器的最优估计
最优估计
在给定观测数据和模型的情况下，使用某种准则（如最小方差）找到的最佳估计。
卡尔曼滤波器的基本原理
01
02
数学模型
递归估计
03 最优估计
02
卡尔曼滤波器的数学模型
线性动态系统
线性系统
如果系统的状态变量可以表示为输入和输出的 线性组合，则该系统是线性的。
动态系统
如果系统的状态随时间变化，则该系统是动态的。
线性动态系统
如果一个系统既是线性的又是动态的，则该系统被称为线性动态系统。
卡尔曼滤波原理详解及系统模型建立
卡尔曼滤波原理详解及系统模型建立卡尔曼滤波是一种常见的信号处理方法，它通过利用测量数据和预测模型，在存在不确定性的情况下对系统状态进行估计和修正。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理，并讨论系统模型的建立。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，其基本思想是通过利用当前时刻的测量值和上一时刻的状态估计值，结合系统的动力学模型，对当前时刻的状态进行估计和修正。
卡尔曼滤波的核心是在状态估计过程中考虑了测量误差和系统动态误差，从而有效地抑制了噪声的影响。
卡尔曼滤波的基本过程可以分为两个步骤：预测和修正。
首先，根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计值，通过状态方程对当前时刻的状态进行预测。
然后，根据当前时刻的测量值和预测的状态值，利用观测方程对状态进行修正。
通过不断地迭代这两个步骤，可以逐步逼近真实的系统状态。
在卡尔曼滤波中，状态估计值由两部分组成：先验估计和后验估计。
先验估计是在没有测量信息的情况下，根据系统的动力学模型对状态进行预测得到的估计值。
后验估计是在有测量信息的情况下，根据测量值对状态进行修正得到的估计值。
卡尔曼滤波通过融合这两个估计值，得到最优的状态估计。
二、系统模型建立在进行卡尔曼滤波之前，需要建立系统的数学模型。
系统模型包括状态方程和观测方程两部分。
1. 状态方程：描述系统状态的动态演化规律。
一般形式为：x(k) = A * x(k-1) + B * u(k) + w(k)其中，x(k)表示系统的状态向量，A表示状态转移矩阵，B表示输入控制矩阵，u(k)表示外部输入，w(k)表示系统的过程噪声。
2. 观测方程：描述系统状态与测量值之间的关系。
一般形式为：z(k) = H * x(k) + v(k)其中，z(k)表示测量向量，H表示观测矩阵，v(k)表示测量噪声。
在建立系统模型时，需要考虑系统的特性和实际应用场景。
对于线性系统，状态方程和观测方程可以直接通过物理方程或系统特性方程建立。
卡尔曼滤波算法
五:卡尔曼滤波的典型应用—多传感器数据融合处理
数据融合的模型: (a)集中式融合系统;
(b)无反馈式分布融合系统;
(c)有反馈式分布融合系统; (d)有反馈的全并行系统
(c)有反馈式分布融合系统
融合中心到各传感器有反 馈通道,提高各传感器状态 估计和预测精度。
2021/3/28
27
五:卡尔曼滤波的典型应用—多传感器数据融合处理
k时刻的状态预测x(k|k-1)
描述x(k|k-1)优劣程度的协方差P(k|k-1)
k-1
x(k|k)
k时刻2021/3/28
k+1
18
四:卡尔曼滤波算法数学推导
z(k)= H x(k|k-1)+v(k)
实测
x(k|k-1)
P(k|k-1)
测量值z(k)
k-1
x(k+1|k+1)
K时刻 2021/3/28
四:卡尔曼滤波算法数学推导
u
z
可见
隐藏
B
H
v
R
圆圈代表向量 方块代表矩阵
x
F
x
星号代表高斯噪声
w
k-1
Q
k
k+1
卡尔曼滤波器的模型
2021/3/28
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四:卡尔曼滤波算法数学推导
x(k-1)
z(k) u(k) x(k|k)
k-1时刻
k时刻
2021/3/28
k+1时刻
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四:卡尔曼滤波算法数学推导
高通、低通、带通、带阻滤波器。
现代滤波:利用信号和噪声的随机统计特性。
维纳滤波,Kalman滤波,自适应滤波,小波变换等
卡尔曼滤波 详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用于估计和预测系统状态的优秀滤波算法。
它于1960年代由R.E.卡尔曼提出，被广泛应用于飞机、导弹、航天器等领域，并逐渐在其他科学领域中得到应用。
卡尔曼滤波的基本思想是通过融合测量数据和系统模型的信息，对系统状态进行更准确的估计。
其核心原理是基于贝叶斯定理，将先验知识与观测数据相结合来更新系统状态的概率分布。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：更新和预测。
在更新步骤中，算法通过观测值来计算系统的状态估计。
在预测步骤中，算法使用系统的模型对下一个时间步长的状态进行预测。
通过反复进行这两个步骤，可以得到不断更新的状态估计结果。
卡尔曼滤波算法的关键是系统模型和观测模型的建立。
系统模型描述了系统状态的演化规律，通常用线性动态方程表示。
观测模型描述了观测值与系统状态之间的关系，也通常用线性方程表示。
当系统模型和观测模型都是线性的，并且系统噪声和观测噪声都是高斯分布时，卡尔曼滤波算法能够得到最优的状态估计。
卡尔曼滤波的优点在于，在给定模型和测量信息的情况下，它能够最小化误差，并提供最佳的状态估计。
此外，卡尔曼滤波算法还具有递归、高效、低存储等特点，使其在实时应用中具有广泛的应用前景。
然而，卡尔曼滤波算法也有一些限制。
首先，它要求系统模型和观测模型能够准确地描述系统的动态特性。
如果模型存在误差或不完全符合实际情况，滤波结果可能会产生偏差。
其次，卡尔曼滤波算法适用于线性系统，对于非线性系统需要进行扩展，例如使用扩展卡尔曼滤波或无迹卡尔曼滤波。
另外，卡尔曼滤波算法还会受到噪声的影响。
如果系统的噪声比较大，滤波结果可能会失真。
此外，卡尔曼滤波算法对初始状态的选择也敏感，不同的初始状态可能会导致不同的滤波结果。
综上所述，卡尔曼滤波是一种高效、优秀的滤波算法，能够在给定模型和测量信息的情况下提供最优的状态估计。
然而，它也有一些局限性，需要充分考虑系统模型和观测模型的准确性、噪声的影响以及初始状态的选择。
卡尔曼滤波详细推导
卡尔曼滤波详细推导《卡尔曼滤波详细推导》引言卡尔曼滤波是一种用于估计动态系统状态的强大方法。
它基于贝叶斯定理和最小均方差原则，能够精确估计系统的状态，并优化其预测性能。
本文将详细推导卡尔曼滤波的过程和数学原理。
一、基本假设在卡尔曼滤波中，我们做出以下假设：1. 系统是线性的：状态转移方程和观测方程都是线性的。
2. 噪声是高斯且互相独立的：过程噪声和观测噪声都是高斯分布的，并且彼此之间互相独立。
二、状态空间模型状态空间模型是卡尔曼滤波的基本框架，它由状态转移方程和观测方程组成。
假设我们的系统有n个状态变量和m个观测变量，则状态转移方程和观测方程可以分别表示为：状态转移方程：x_k = A_k-1 * x_k-1 + B_k-1 * u_k-1 + w_k-1观测方程：z_k = H_k * x_k + v_k其中，x_k表示系统在时刻k的状态向量，A_k-1是状态转移矩阵，B_k-1是输入矩阵，u_k-1是外部输入向量，w_k-1是过程噪声向量。
z_k表示时刻k的观测向量，H_k是观测矩阵，v_k是观测噪声向量。
三、卡尔曼滤波的递推步骤卡尔曼滤波主要包含两个步骤：预测步骤和更新步骤。
预测步骤：1. 预测状态：根据上一时刻的状态估计和状态转移方程，计算当前时刻的状态的预测值：x_k|k-1 = A_k-1 * x_k-1|k-1 + B_k-1 * u_k-12. 预测误差协方差：根据上一时刻的状态估计的误差协方差和系统噪声，计算当前时刻状态的预测误差协方差：P_k|k-1 = A_k-1 * P_k-1|k-1 * A_k-1^T + Q_k-1更新步骤：1. 计算观测残差：根据观测方程和当前时刻的观测值，计算观测向量的预测值与观测向量之间的残差：y_k = z_k - H_k * x_k|k-12. 计算预测残差协方差：根据预测误差协方差和观测噪声，计算预测残差的协方差矩阵：S_k = H_k * P_k|k-1 * H_k^T + R_k3. 计算卡尔曼增益：根据预测残差协方差和观测残差，计算卡尔曼增益的矩阵形式：K_k = P_k|k-1 * H_k^T * S_k^-14. 更新状态估计：根据预测状态和卡尔曼增益，计算更新的状态估计：x_k|k = x_k|k-1 + K_k * y_k5. 更新误差协方差：根据卡尔曼增益，计算更新的误差协方差矩阵：P_k|k = (I - K_k * H_k) * P_k|k-1四、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波广泛应用于各种需要状态估计的领域。
卡尔曼滤波器原理详解
卡尔曼滤波器原理详解卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的滤波算法，其原理基于状态空间模型和观测模型，并结合最小均方误差准则。
它通过使用系统动态方程和观测值，对系统的状态进行估计和预测，实现对噪声和偏差的最优抑制，从而提高状态估计的精度和稳定性。
1.预测步骤：预测步骤是基于系统的动态方程，利用上一时刻的状态估计和控制输入，预测系统的状态。
预测步骤中，通过状态转移矩阵A将上一时刻的状态估计值x(k-1)预测到当前时刻的状态估计值的先验估计值x'(k)：x'(k)=A*x(k-1)+B*u(k-1)其中，x(k-1)为上一时刻的状态估计值，u(k-1)为控制输入。
预测步骤还要对状态估计值的协方差矩阵P(k-1)进行更新，通过状态转移矩阵A和系统的过程噪声协方差矩阵Q的关系：P'(k)=A*P(k-1)*A'+Q2.更新步骤：更新步骤是基于观测模型，利用当前时刻的观测值和预测的状态估计值，对状态进行校正和更新。
更新步骤中，首先计算观测残差z(k)：z(k)=y(k)-H*x'(k)其中，y(k)为当前时刻的观测值，H为观测模型矩阵。
然后基于观测模型矩阵H、预测的状态估计值x'(k)和状态估计值的协方差矩阵P'(k)，计算卡尔曼增益K(k)：K(k)=P'(k)*H'*(H*P'(k)*H'+R)^(-1)其中，R为观测噪声协方差矩阵。
最后，利用卡尔曼增益对状态估计值进行校正和更新：x(k)=x'(k)+K(k)*z(k)更新步骤还要对状态估计值的协方差矩阵P'(k)进行更新，通过卡尔曼增益K(k)和观测噪声协方差矩阵R的关系：P(k)=(I-K(k)*H)*P'(k)其中，I为单位矩阵。
卡尔曼滤波器的主要优点在于可以根据系统的动态方程和观测模型进行状态估计，对于动态系统和噪声的建模具有一定的灵活性。
卡尔曼滤波器讲解
1.绪论1.1 概述在滤波器的发展过程中，早期的维纳滤波器涉及到对不随时间变化的统计特性的处理，即静态处理。
在这种信号处理过程中，有用信号和无用噪声的统计特性可与它们的频率特性联系起来，因此与经典滤波器在概念上还有一定的联系。
由于军事上的需要，维纳滤波器在第二次世界大战期间得到了广泛的应用。
但是，维纳滤波器有如下不足之处：第一，必须利用全部的历史观测数据，存储量和计算量都很大；第二，当获得新的观测数据时，没有合适的递推算法，必须进行重新计算；第三，很难用于非平稳过程的滤波。
为了克服维纳滤波器的上述不足之处，卡尔曼等人在维纳滤波的基础上，与60年代初提出了一种递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。
与维纳滤波不同，卡尔曼滤波是对时变统计特性进行处理。
他不是从频域，而是从时域的角度出发来考虑问题。
30多年来。
卡尔曼已在各个领域得到了广泛的应用，包括机器人导航、控制、传感器数据融合甚至军事方面的雷达系统以及导弹追踪等。
近年来更被应用于计算机图象处理，例如头脸识别、图象分割、图象边缘检测等等。
1.2滤波器的发展滤波器最初是指某种具有选频特性的电子网络，一般由线圈、电容器和电阻器等元件组成。
滤波器将使它所容许通过的频率范围（即通带）内的电信号产生较小的衰减，而使它所阻止通过的频率范围（即阻带）内的电信号产生较大衰减。
划分通带和阻带的频率，称为滤波器的截止频率。
按组成电路的元件，滤波器可分为LC、RLC、RC、晶体和陶瓷滤波器等。
我们也可以用机械元件代替电子元件，制成机械式滤波器，或利用物质的铁磁共振原理制成可点电调谐的滤波器。
按容器通过的频率范围，滤波器可分为低通，高通，带阻和带通滤波器等。
具有选频特性的串联或并联谐振回路，是一种常用的滤波器。
收音机或其他差式接收机中的中频放大器，也是一中滤波器。
也是一种滤波器。
各级中频放大器中回路靠放大器和变压器来耦合，形成一定的通带和阻带。
信号在通过中放级时，通带内的成分将被放大，而阻带内的成分将大大衰减，而且对通带内的信号还有放大作用。
卡尔曼滤波 详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用于估计系统状态的算法，广泛应用于控制系统、信号处理、机器人导航等领域。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型和测量数据的信息来对系统状态进行估计，同时最小化估计误差的方差。
在实际应用中，卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并具有良好的鲁棒性和适应性。
卡尔曼滤波的核心思想可以简单概括为“测量并补偿”，即先通过传感器测量得到当前的状态信息，然后利用系统动态模型来预测下一时刻的状态，再将测量值与预测值进行比较，通过加权平均的方式得到最终的估计值。
要实现这个过程，需要建立卡尔曼滤波的基本模型，包括状态转移方程、观测方程、协方差矩阵和初始状态。
卡尔曼滤波的核心步骤包括预测阶段和更新阶段。
预测阶段主要利用系统动态模型对状态进行预测，以及计算预测误差的方差。
预测阶段包括以下几个步骤：1. 状态预测：根据系统动态模型和当前状态估计值，预测下一时刻的状态估计值。
2. 协方差预测：根据系统动态模型和当前状态协方差矩阵，预测下一时刻的协方差矩阵。
3. 估计误差的量化：计算预测值与真实值之间的估计误差，以及预测误差的方差。
更新阶段主要利用测量数据对状态进行修正，以及更新协方差矩阵。
更新阶段包括以下几个步骤：1. 估计增益：根据协方差矩阵和观测噪声方差，计算估计值与观测值之间的加权比例。
2. 状态修正：利用估计增益和测量值对状态进行修正。
3. 协方差修正：利用估计增益对协方差矩阵进行修正。
卡尔曼滤波的应用非常广泛，包括导航系统、车辆控制、信号处理、自动驾驶、机器人导航等领域。
卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并且具有良好的鲁棒性和适应性，对噪声和误差具有较好的鲁棒性。
此外，卡尔曼滤波具有良好的数学基础和理论支撑，能够直接应用于许多复杂的系统中。
卡尔曼滤波器原理详解
卡尔曼滤波器原理详解卡尔曼滤波器将状态估计模型分为两个部分：状态预测和状态更新。
在状态预测阶段，滤波器根据上一时刻的状态估计值和状态转移模型预测当前时刻的状态。
在状态更新阶段，滤波器根据当前时刻的观测值和状态观测模型更新对当前时刻状态的估计。
状态预测模型可表示为：x(k)=F(k-1)*x(k-1)+B*u(k-1)+w(k-1)其中x(k)为k时刻的状态向量，F(k-1)为状态转移矩阵，u(k-1)为输入向量，B为输入矩阵，w(k-1)为过程噪声。
状态预测模型描述了下一个时刻状态如何由当前时刻的状态得到，并考虑了外部输入和过程噪声的影响。
状态观测模型可表示为：z(k)=H(k)*x(k)+v(k)其中z(k)为k时刻的观测向量，H(k)为观测矩阵，v(k)为观测噪声。
状态观测模型描述了观测向量与状态向量之间的关系，并考虑了观测噪声的影响。
卡尔曼滤波器的更新步骤分为两个步骤：预测和更新。
预测步骤根据上一时刻的状态估计值和预测模型得到当前时刻的预测状态和预测误差协方差矩阵。
更新步骤根据当前时刻的观测值和观测模型计算卡尔曼增益和更新后的状态估计值。
预测步骤中的预测状态和预测误差协方差矩阵可由以下公式计算：x^(k，k-1)=F(k)*x(k-1，k-1)+B*u(k)P(k，k-1)=F(k)*P(k-1，k-1)*F(k)^T+Q(k)其中x(k，k-1)为当前时刻的预测状态，P(k，k-1)为当前时刻的预测误差协方差矩阵，x(k-1，k-1)为上一时刻的状态估计值，P(k-1，k-1)为上一时刻的状态估计误差协方差矩阵，Q(k)为过程噪声的协方差矩阵。
更新步骤中的卡尔曼增益和更新后的状态估计值可由以下公式计算：K(k)=P(k，k-1)*H(k)^T*(H(k)*P(k，k-1)*H(k)^T+R(k))^-1x(k，k)=x(k，k-1)+K(k)*(z(k)-H(k)*x(k，k-1))P(k，k)=(I-K(k)*H(k))*P(k，k-1)其中K(k)为卡尔曼增益，x(k，k)为当前时刻的更新后的状态估计值，P(k，k)为当前时刻的更新后的状态估计误差协方差矩阵，R(k)为观测噪声的协方差矩阵。
卡尔曼滤波简介和实例讲解
卡尔曼，美国数学家和电气工程师。
1930年5月19日生于匈牙利首都布达佩斯。
1953年在美国麻省理工学院毕业获理学士学位,1954年获理学硕士学位,1957年在哥伦比亚大学获科学博士学位。
1957～1958年在国际商业机器公司(IBM)研究大系统计算机控制的数学问题。
1958～1964年在巴尔的摩高级研究院研究控制和数学问题。
1964～1971年到斯坦福大学任教授。
1971年任佛罗里达大学数学系统理论研究中心主任，并兼任苏黎世的瑞士联邦高等工业学校教授。
1960年卡尔曼因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世。
卡尔曼滤波器在随机序列估计、空间技术、工程系统辨识和经济系统建模等方面有许多重要应用。
1960年卡尔曼还提出能控性的概念。
能控性是控制系统的研究和实现的基本概念，在最优控制理论、稳定性理论和网络理论中起着重要作用。
卡尔曼还利用对偶原理导出能观测性概念，并在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。
为此获电气与电子工程师学会(IEEE)的最高奖──荣誉奖章。
卡尔曼著有《数学系统概论》(1968)等书。
什么是卡尔曼滤波最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。
从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。
为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波精彩文档理论。
卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。
它适合于实时处理和计算机运算。
卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。
它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。
卡尔曼滤波算法示例解析与公式推导
本文将对卡尔曼滤波算法进行示例解析与公式推导，帮助读者更好地理解该算法的原理和应用。
文章将从以下几个方面展开：一、卡尔曼滤波算法的概念卡尔曼滤波算法是一种用于估计动态系统状态的线性无偏最优滤波算法。
它利用系统的动态模型和观测数据，通过迭代更新状态估计值，实现对系统状态的精确估计。
卡尔曼滤波算法最初是由美国工程师鲁道夫·卡尔曼在20世纪60年代提出，随后得到了广泛的应用和研究。
二、卡尔曼滤波算法的原理1. 状态空间模型在卡尔曼滤波算法中，系统的动态模型通常用状态空间模型表示。
状态空间模型由状态方程和观测方程组成，其中状态方程描述系统的演化规律，观测方程描述观测数据与状态之间的关系。
通过状态空间模型，可以对系统的状态进行预测，并与观测数据进行融合，从而估计系统的状态。
2. 卡尔曼滤波的预测与更新卡尔曼滤波算法以预测-更新的方式进行状态估计。
在预测阶段，利用系统的动态模型和之前时刻的状态估计值，对当前时刻的状态进行预测；在更新阶段，将预测值与观测数据进行融合，得到最优的状态估计值。
通过迭代更新，可以不断优化对系统状态的估计，实现对系统状态的精确跟踪。
三、卡尔曼滤波算法的示例解析以下通过一个简单的例子，对卡尔曼滤波算法进行具体的示例解析，帮助读者更好地理解该算法的应用过程。
假设有一个匀速直线运动的物体，其位置由x和y坐标表示，观测到的位置数据带有高斯噪声。
我们希望利用卡尔曼滤波算法对该物体的位置进行估计。
1. 状态空间模型的建立我们建立物体位置的状态空间模型。
假设物体在x和y方向上的位置分别由状态变量x和y表示，动态模型可以用如下状态方程描述：x(k+1) = x(k) + vx(k) * dty(k+1) = y(k) + vy(k) * dt其中，vx和vy分别为x和y方向的速度，dt表示时间间隔。
观测方程可以用如下形式表示：z(k) = H * x(k) + w(k)其中，z(k)为观测到的位置数据，H为观测矩阵，w(k)为观测噪声。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波平滑时间序列-概述说明以及解释
卡尔曼滤波平滑时间序列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的最优滤波器，它基于对过去和当前观测数据的加权处理，能够有效地估计出系统的未知状态。
在时间序列分析中，卡尔曼滤波也被广泛应用于平滑时间序列数据。
本文将探讨卡尔曼滤波在平滑时间序列中的应用。
首先，我们将介绍卡尔曼滤波的基本原理，包括状态预测和更新步骤，并解释其在时间序列平滑中的作用。
随后，我们将详细探讨卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用。
通过对观测数据和系统模型的建立，卡尔曼滤波可以根据过去观测值和当前观测值，通过加权计算得出对未来状态的最优估计。
这种基于历史数据和当前数据的综合分析，使得卡尔曼滤波能够准确地平滑时间序列数据。
最后，我们将讨论卡尔曼滤波平滑时间序列的优势。
相比其他平滑方法，卡尔曼滤波具有许多优点，例如能够处理非线性和非高斯系统、能够自适应地更新参数以适应不同的观测环境等。
这些特点使得卡尔曼滤波成为平滑时间序列的一种重要工具。
综上所述，本文将详细介绍卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用，并探讨其优势。
通过对卡尔曼滤波原理和应用的深入了解，我们可以更好地利用卡尔曼滤波技术来处理平滑时间序列数据，提高数据分析的准确性和效率。
1.2文章结构文章结构的内容应该包括以下几个方面：1. 引言：介绍卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用，并解释为什么选择这个主题进行研究。
同时简述该篇文章的结构和内容。
2. 卡尔曼滤波的基本原理：对卡尔曼滤波算法的原理进行详细介绍，包括状态估计、观测模型、系统动力学方程等基本概念。
3. 卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用：具体说明卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用场景，例如股票市场、气象预测等，以及其在这些领域中的具体方法和实现。
4. 卡尔曼滤波平滑时间序列的优势：对比卡尔曼滤波与其他平滑方法，分析和阐述其优势所在，包括精度、计算效率等方面，同时讨论可能的改进空间。
5. 总结卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用：总结卡尔曼滤波在时间序列平滑中的应用情况，对其优缺点进行分析，以便读者能够更好地理解该方法的适用范围和局限性。
卡尔曼滤波(Kalman Filter)原理与公式推导
一、背景---卡尔曼滤波的意义随着传感技术、机器人、自动驾驶以及航空航天等技术的不断发展，对控制系统的精度及稳定性的要求也越来越高。
卡尔曼滤波作为一种状态最优估计的方法，其应用也越来越普遍，如在无人机、机器人等领域均得到了广泛应用。
对于Kalman Filter的理解，用过的都知道“黄金五条”公式，且通过“预测”与“更新”两个过程来对系统的状态进行最优估计，但完整的推导过程却不一定能写出来，希望通过此文能对卡尔曼滤波的原理及状态估计算法有更一步的理解。
二、卡尔曼滤波的基本模型假设一离散线性动态系统的模型如下所示：x_{k} = A*x_{k-1} + B*u_{k} + w_{k-1}-------(1)z_{k} = H*x_{k} + v_{k} --------------------(2)其中，各变量表征的意义为：———————————————————————————x_{k}\Rightarrow 系统状态矩阵，-------， z_{k}\Rightarrow 状态阵的观测量（实测）A\Rightarrow 状态转移矩阵，-------， B\Rightarrow 控制输入矩阵H\Rightarrow 状态观测矩阵w_{k-1}\Rightarrow 过程噪声，-------，v_{k}\Rightarrow 测量噪声———————————————————————————如果大家学过《现代控制理论》的话，对上述模型的描述形式一定不会陌生，只是多了变量 w_{k-1} 与 v_{k} 。
其中，随机变量w_{k-1} 代表过程噪声（process noise）， v_{k} 代表测量噪声（measurement noise），且为高斯白噪声，协方差分别为 Q 和 R ，即 p(w) \in N(0,Q) ， p(v) \in N(0,R) 。
为什么要引入这两个变量呢？对于大多数实际的控制系统（如倒立摆系统）而言，它并不是一个严格的线性时变系统(Linear Time System)，亦或系统结构参数的不确定性，导致估计的状态值x_{k} 存在偏差，而这个偏差值由过程噪声 w_{k} 来表征。
状态估计卡尔曼滤波
分别对a(k)和b(k)求导，并令其等于0，求其最佳估计，得出 a(k)与b(k)的关系：
a(k)=a［1-cb(k)］
最后有递归估值器：
Xˆ (k) aXˆ (k 1) b(k)[ z(k) acXˆ (k 1)]
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b(k)为滤波器增益
其中,
b(k
)
n jni
1 m2
j
n2 ji
i
当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0，有
ij m
最后得：
P
2 n
m
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结论
^
①估计值 是X用m个采样值的平均值作为被
估参量x的近似值；
②估值器的均方误差随着m的增加而减少；
③该估值器是一个无偏估值器。
E(Xˆ )
E
1 m
i 1
当h1=h2=…=hm=1/m时，
Xˆ
1 m
m i 1
zi
该式表明，估计Xˆ 是用m个采样值的平均值作为被估参量x的
近似值的，故称其为采样平均估值器。
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估计的均方误差以Pε表示，有
P
E( 2 ) E ( Xˆ x)2
E
1 m2
m j1
m i1
yk zk
ayk1 x nk
zk
式中，zk与非递归情况相同；a是一个小于1的滤波器加权系数，
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
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k时刻的输出： yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
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2、由最优非递归估计导出递归估计
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
1 2 P ( k ) n k b
k+1次取样
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
2 2
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结论
①估计值 X 是用m个采样值的平均值作为被 估参量x的近似值； ②估值器的均方误差随着m的增加而减少； ③该估值器是一个无偏估值器
^
m 1 ˆ E ( X ) E ( x ni ) E ( x ) x0 m i 1
是用m个采样值的 平均值作为被估参 量x的近似值的，故 称其为采样平均估
值器。
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均方误差估计
2 m m 2 1 ˆ ( n P E E( ( ) ) E E (X X x x) )2 ? ˆ P E n n 2 j i m j 1 i 1 m
3
2、扩展Kalman滤波应用于时间非线性的动态系统。 自动化学院
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卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域 航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自动控制等
对机动目标跟踪中具有良好的性能
：卡尔曼滤波器的应用特点
为最佳估计并能够进行递归计算 只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测值就能进行状态估计
而一次取样的均方误差
2 2 2 P E [( x n x ) ] E ( n ) 1 k k n
故这一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
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二、线性均方估计
1、最优非递归估计
2、递归估计
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估计值， 则
ˆ k (1 a) yk X
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ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
i 1
k
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当k值较大时， 估值的均方误差
1 a 2 2 ˆ x) 2 P E [( X ] ? n k k 1 a
这种最小均方误 差准则下的线性 滤波，通常称作
m个参数逐一求导，令等于零
1 h ˆ i X ? zi m b i 1
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m
b=σ2n/σ2x
标量维纳滤波。
ˆ x )2 ] P E [( X
1 2 n mb
h1 h2 hm
1 mb
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k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出
k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
由于│a│＜1，故随着k值的增加，yk趋近于x/(1-a)。这样，如果以(1-a)yk作为x的
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第5讲 状态估计—卡尔曼滤波
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状态估计的主要内容
状态估计主要内容： 位置估计： 速度估计：
位置与速度估计
距离、方位和高度或仰角的估计 速度、加速度估计
应用：
通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态向量。
1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
i 1 i 1
k 1k 1Fra bibliotek1 2 P (k 1) n (k 1) b
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b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b）
hi (k ) hi (k 1)
x，
式中： x — nk —观测噪声采样
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h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的加权系数。滤 波器的输出
ˆ hi zi X
i 1
m
h1=h2=…=hm=1/m
m 1 ˆ z X i m i 1
ˆ 该式表明，估计 X
2
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状态估计的主要方法：
这些方法针对匀速或 匀加速目标提出，如 目标真实运动与采用 的目标 模型不致， 滤波器发散。
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波
3、卡尔曼滤波
：算法的改进及适应性
状态估计难点：
机动目标的跟踪
1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善对机动目标的跟踪能力。
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2、递归估值器
一阶递归估值器：
yk zk ＋ ∑ z－ 1 1－a ˆ X k
＋
yk ayk 1 zk zk x nk
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a
a为滤波器的加权系数，a<1。
式中，zk与非递归情况相同；a是一个小于1 的滤波器加权系数， 如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
卡尔曼滤波器的局限性：
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问题时，动态方程和测量方程均为线性。
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一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器
2、递归估值器
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1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z2 h2 z3 h3 ∑
ˆ X
1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1
m
在b<<m时
ˆ x )2 ] E[( h z x )2 ] P E[( X i i
i 1
m
最优非递归估计近似于采样平均
在噪声方差σ2n较大时
均值为零的白噪声
性能明显优于非最佳情况
z－ 1
z－ 1
…
z－ 1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中估计信号x。
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根据数字信号处理技术，所谓非递归数字滤波器是一种只有前馈而没有反馈 的滤波器。
假定用zk表示观测值
zk=x+nk
假定，E(x)=x0 E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。 ，D(x)=σ2