第七讲信息融合状态估计卡尔曼滤波

当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0，有

最后得：
ij
m
P
13
2 n
m
结论
①估计值 是用m X个采样值的平均值作为被 估参量x的近似值； ②估值器的均方误差随着m的增加而减少；
^
③该估值器是一个无偏估值器。
m 1 ˆ E ( X ) E ( x ni ) E ( x) x0 m i 1
3
状态估计的主要方法
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波 3、卡尔曼滤波 这些方法针对匀速或匀加速目标提出，如目标 真实运动与采用的目标模型不一致，滤波器发散。
4
算法的改进及适应性
状态估计难点：机动目标的跟踪
1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善 对机动目标的跟踪能力。 2、扩展Kalman滤波针对卡尔曼滤波在笛卡儿坐 标系中才能使用的局限而提出。
5
卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域；
航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自 动控制等。
6
卡尔曼滤波器的应用特点
对机动目标跟踪中具有良好的性能；
为最佳估计并能够进行递推计算；
只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测 值就能进行状态估计。
7
卡尔曼滤波器的局限性
22
1 2 P (k 1) n (k 1) b
由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有
hi (k ) hi (k 1)
1 a 2 2 ˆ P E [( X k x ) ] n 1 a
2 2 k 2 n
而一次取样的均方误差
P 1 E[( x nk x) ] E(n )
故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
18
二、线性均方估计
1、最优非递归估计（标量维纳滤波） 2、递归估计
第七讲 状态估计—卡尔曼滤波
状态估计的主要内容
应用： 通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态 向量。 1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
2
状态估计主要内容：位置与速度估计。
位置估计：距离、方位和高度或仰角的估计； 速度估计：速度、加速度估计。
14
2、递归估值器
一阶递归估值器：
yk zk ＋ ∑ z－ 1 1－a ˆ X k
＋
a
a为滤波器的加权系数，a<1。
15
递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器，它有无限的脉
冲响应，有阶数少的优点， 但其暂态过程较长。关于信号和噪
声的基本假设与非递归情况相同。上图给出的一阶递归滤波器 输入输出信号关系如下：
2
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
条件与前面相同。对k+1次取样，相应的估计量
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
相应的估计误差
i 1 i 1
k 1
k 1
பைடு நூலகம்
1 2 P (k ) n k b
由于 │ a│ ＜ 1 ，故随着 k 值的增加， yk 趋近于 x/(1-a) 。这样，如 果以(1-a)yk作为x的估计值，
ˆ k (1 a) yk X
则
17
ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
i 1
k
此时信号x和估值之间只差一个噪声项。当k值较大时， 估值的均方误差
m
ˆ hi zi X
i 1
当h1=h2=…=hm=1/m时，
m 1 ˆ z X i m i 1
ˆ 是用m个采样值的平均值作为被估参量x的 该式表明，估计 X
近似值的，故称其为采样平均估值器。
12
估计的均方误差以Pε表示，有
m m 1 1 2 2 2 ˆ P E ( ) E ( X x ) E 2 n j ni 2 n ji m j 1 i 1 m j i
19
1.
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1 2 2 ˆ P E[( X x ) ] E[( hi zi x ) ] i 1 m
m
20
对 m 个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
ˆ x )2 ] P E [( X
yk ay k 1 zk z k x nk
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
16
式中， zk与非递归情况相同； a是一个小于 1的滤波器加权系数，
k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出 k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
10
根据数字信号处理我们知道，所谓非递归数字滤波器是一
种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的，
在许多领域有着广泛的应用。
假定用zk表示观测值，
zk=x+nk
式中： x — nk —观测噪声采样 假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。
11
h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的 加权系数。滤波器的输出
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问 题时，动态方程和测量方程均为线性。
8
一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器 2、递归估值器
9
1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z－ 1 z2 h2 z－ 1 z3 h3 ∑
ˆ X
…
z－ 1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中 估计信号x。
m 1 ˆ X zi m b i 1
1 2 n mb
其中，b=σ2n/σ2x，在 b<<m时，这种估计近似于采样平均。在噪
声方差σ2n较大时，其性能明显优于非最佳情况。这种最小均方 误差准则下的线性滤波，通常称作标量维纳滤波。
hj与非最优情况的不同，这里的滤波器的加权系数为
21
1 h1 h2 hm mb