1.3.1柱体、锥体、台体、球体体积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
1.3.1柱体、锥体、台体、球体体积
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
圆锥体积
圆锥的体积公式：
1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ． 3
4 50 3 7.9 ( ) 517054 ( g ) 3 2
街心花园中钢球的质 量为145000g，而 145000<517054，所以钢 球是空心的．
球的表面积
例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于 50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还 是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内 径（π取3.14，结果精确到1cm）． 解： 设球的内径是2xcm，那么球的质量为： 4 50 3 4 3 7.9 [ ( ) x ] 145000 3 2 3
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
知识小结
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
柱、锥、台表面积体积公式
乌海市滨河中学 贾宽
学习目标： 1．知道棱柱、棱锥及棱台的表面积的求法。 2．了解圆柱、圆锥及圆台的表面积公式， 了解柱体、锥体及台体的体积公式。 3．能够利用上述几何体的表面积与体积公 式解决问题。
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r 'O’
l
O
l
l
r
O
r
O
S柱 2r (r l )
S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r (r l )
柱体体积
一般柱体的体积是：
V Sh
其中S是什么？h是什么？
锥体体积
1 V Sh（其中S是什么？h是什么？） 3
台体体积
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别是什么? h是什么?
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
1 V ( S S S S )h V Sh 3 S为底面面积，S分别为上、下底面 h为锥体高 面积，h 为台体高
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
圆台的表面积
2r '
r 'O’
2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r rl rl )
1 V Sh 3 S为底面面积， h为柱体高
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
高中数学1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的
用1.3.1柱体_锥体_台体的表面积和体积
2
15cm
2 2
2 2
999 (cm2 )
15cm
答：花盆的表面积约是999 ．
cm2
练习2：圆台的上、下底面半径分别为
2和4，高为 2 3，求其侧面展开图扇
环所对的圆心角。
分析：抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键 答：1800
小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好 相应的计算公式，注意逆向用公式； 2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解 决圆台问题，注意相似比.
2r ` 2r
O`
O
典型例题
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔 直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取3.14，结 果精确到1 ）？
cm2
20cm
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
S
15
2
15
15
20
15
1.5
S'
x
S
h
V台
1 3
S（h
x)
1 3
S
'x
1 Sh 1 (S S ' ) 33
h s' s s'
1 Sh 1 ( s s' )h s' 1 h(s ss' s' )
33
3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V
Sh
S'
S
V
1 (S'
S'S S)h S' 0
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积是
高中数学必修二教案-柱体、锥体、台体的表面积与体积
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
柱体、锥体、台体的表面积和体积
柱体的体积公式
柱体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h 是高度。
锥体的定义和特征
• 锥体由一个圆锥面和一个尖顶组成。 • 锥体的高度是尖顶到底面的垂直距离。
锥体的表面积公式
柱体、锥体、台体的表面 积和体积
通过学习柱体、锥体和台体的表面积和体积公式，你将能够理解它们的定义、 特征以及在日常生活和建筑中的应用。
柱体的定义和特征
• 柱体由两个平行的圆面以及它们之间的侧面组成。 • 柱体的高度是两个平行圆面之间的垂直距离。
柱体的表面积公式
柱体的表面积可以通过以下公式计算：
锥体的表面积可以通过以下公式计算： 总表面积 = πr² + πrl 其中，r 是底面半径，l 是斜高。
锥体的体积公式
锥体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 1/3 × 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。 • 底面和顶面是平行的，而侧面是梯形形状。
人教版高中数学必修2：1.3.1柱体,椎体,台体的表面积与体积课件
解： V Sh r2h
O
=
3 4
122
6
10
3.14
10 2
2
10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
练习：课本P283,4
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积
圆锥的体积公式：
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的．1 3
柱体的体积计算公式： V柱体=sh
锥体的体积计算公式:
V锥体=
1 sh 3
（其中S为底面积,h为高）
P
练习：三棱锥P-ABC的
O`
O
圆锥的侧面展开图是一个扇形：
如果圆锥的底面半径为，r 母线为，l
那么圆锥的底面积为，r侧2 面积为。 rl
因此圆锥的表面积为 S r 2 rl r(r l)
S
2r
O
练习：圆锥母线长为5厘米，底面 半径为3厘米，求圆锥的表面积。
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于 上、下两个底面和加上侧面的面积，即
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？ 如何计算它们的表面积？
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体， 它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就 是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
S表=S侧+S底
h
侧面展开图是矩形
高中数学公式大全球体圆柱体和锥体的体积公式
高中数学公式大全球体圆柱体和锥体的体积公式高中数学公式大全——球体、圆柱体和锥体的体积公式在高中数学中，学生需要了解和掌握一系列的几何公式，其中包括球体、圆柱体和锥体的体积公式。
本文将全面介绍这三种几何体的体积计算公式，并附上相应的推导过程。
一、球体的体积公式球体是一个完整的、封闭的几何形状，它的体积公式如下：体积V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，r表示球体的半径，π是一个常数，约等于3.14159。
推导过程：我们可以通过立体几何中的切割与拼接方法，将球体切割成无数个极薄的圆环。
设每个圆环的半径为r，厚度为Δh。
则每个圆环的体积可以近似表示为ΔV = πr²Δh。
将所有圆环的体积相加并取极限，即可得到球体的体积公式。
二、圆柱体的体积公式圆柱体是由两个平行圆面和连接两个圆面的侧面组成的几何体。
圆柱体的体积公式如下：体积V = πr²h其中，V表示圆柱体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高。
推导过程：我们可以将圆柱体切割成无数个极薄的圆盘。
设每个圆盘的半径为r，厚度为Δh。
则每个圆盘的体积可以近似表示为ΔV = πr²Δh。
将所有圆盘的体积相加并取极限，即可得到圆柱体的体积公式。
三、锥体的体积公式锥体是由一个底面圆和连接底面圆与一个顶点的侧面组成的几何体。
锥体的体积公式如下：体积V = (1/3)πr²h其中，V表示锥体的体积，r表示底面圆的半径，h表示锥体的高。
推导过程：我们可以将锥体切割成无数个极薄的圆锥。
设每个圆锥的底面半径为r，高度为Δh。
则每个圆锥的体积可以近似表示为ΔV = (1/3)πr²Δh。
将所有圆锥的体积相加并取极限，即可得到锥体的体积公式。
总结：本文分别介绍了球体、圆柱体和锥体的体积计算公式和推导过程。
高中数学中，学生需要牢记这些公式，并在实际问题中灵活运用。
几何体的体积计算是数学中的基础知识，掌握这些公式对于进一步学习和理解其他数学概念具有重要意义。
柱体台体锥体的面积与体积公式
柱体台体锥体的面积与体积公式柱体、台体和锥体是几何学中的常见立体图形，它们具有不同的形状和特点。
在几何学中，我们经常需要计算柱体、台体和锥体的面积和体积，以便解决各种实际问题。
下面将分别介绍柱体、台体和锥体的面积和体积公式。
一、柱体的面积和体积公式柱体是一种由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成的立体图形。
柱体的底面是一个圆，侧面是一个矩形，顶面也是一个圆。
柱体的面积包括底面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以柱体的高。
1. 柱体的底面积公式柱体的底面积公式很简单，即底面的面积公式，也就是圆的面积公式。
设柱体的底面半径为r，则柱体的底面积为πr²，其中π是一个常数，约等于3.14。
2. 柱体的侧面积公式柱体的侧面积是一个矩形的面积，可以通过计算矩形的周长乘以柱体的高得到。
设柱体的底面半径为r，柱体的高为h，则柱体的侧面积为2πrh。
柱体的全面积包括底面积和侧面积，可以通过将底面积和侧面积相加得到。
柱体的全面积公式为2πr² + 2πrh。
4. 柱体的体积公式柱体的体积是底面积乘以柱体的高，可以通过将底面积乘以柱体的高得到。
柱体的体积公式为πr²h。
二、台体的面积和体积公式台体是一种由两个平行且相等的椭圆面、一个矩形面和两个梯形面组成的立体图形。
台体的底面和顶面都是椭圆，侧面是一个矩形，而底面和顶面之间的面是两个梯形。
台体的面积包括底面积、顶面积、侧面积和全面积，而体积则是底面积乘以台体的高。
1. 台体的底面积公式台体的底面积是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。
设台体的底面长轴为a，短轴为b，则台体的底面积为πab。
2. 台体的顶面积公式台体的顶面积也是一个椭圆的面积，可以通过计算椭圆的面积公式得到。
设台体的顶面长轴为A，短轴为B，则台体的顶面积为πAB。
台体的侧面积是一个矩形和两个梯形的面积之和，可以通过计算矩形和梯形的面积公式得到。
设台体的底面长轴为a，顶面长轴为A，底面短轴为b，顶面短轴为B，台体的高为h，则台体的侧面积为2(a+b)h。
高一数学必修二 1.3.1.2 柱体、锥体、台体的体积
于是有 x=
������'ℎ ������- ������'
,
代入①式,得
V
台体
=
1 3
ℎ
������ + (������-������')
������' ������- ������'
1 = 3 ℎ(������ +
������������'+ ������′).
重点例题
题型一
题型二 题型三
题型一
418,
所以剩下的几何体的体积
V=13-8×
1 48
=
5 6
,
故选D.
答案:D
因为
重点例题
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 与三视图有关的体积计算
【例2】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ()
A.8−
π 4
B.
8
−
π 2
C.8-π
D.8-2π
题型一 题型二 题型三 题型四
解析:由几何体的三视图可知原几何体是棱长为 2 的正方体挖
V
棱锥=
1 3
������ℎ
V
圆锥=
1 3
π������2ℎ
V
棱台;
SS'+ ������)ℎ
V 圆台=
1 πℎ(������′2 + ������2 +
3
������������′)
12
剖析:
2.推导台体的体积公式
因为台体是由锥体截得的,所以可采用“还台为锥”的方法来研究 台体的体积,即将台体的体积转化为两个锥体的体积之差.对于棱 台,由于截面与底面相似,所以其面积比等于其对应边的比的平方, 同时也等于截去的棱锥的高与原棱锥高的比的平方.如图所示,设 台体(棱台或圆台)的上、下底面面积分别是S',S,高是h,截得台体时 去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的原锥体的高是h+x,则
1.3.2柱体、锥体、台体的体积
第二课时柱体、锥体、台体的体积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.（二）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算.难点：简单组合体的体积计算.（三）教学方法讲练结合于两个锥体体积的差.师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式V =1() 3S SS s h''++其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？生：令S′=0，得到锥体体积公式.令S′=S，得到柱体体积公式. 学生了解公式及公式的推导思路.培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.典例分析例1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(π取 3.14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即2231012610 3.14()1042V=⨯⨯⨯-⨯⨯≈2956 (mm3) = 2.956(cm3)所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个)答：这堆螺帽大约有252个.师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.学生分析，教师板书过程.师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.典例分析例 2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.教师投影例2并读题师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助旋转体类组合体体积计算关键在于找好截【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r ，则高h = 2r ，∵S = S侧+ 2S底= 2rh π +2226r r ππ=，∴6Sr π=. ∴内接正四棱柱的底面边长a =2r sin45°=2r .∴V = S 底·h =23(2)24r r r ⋅== 4·326()69S SSπππ=⋅， 即圆柱的内接正四棱柱的体积为269SS ππ. 我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r ，根据已知条件可以用S 表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.生：取内接正四棱柱的对角面.师：有什么好处？ 生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量. 学生分析，教师板书过程.师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.随堂练习1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.答案：2325 cm 2.2．正方体中，学生独立完成培养学生理解能力，空间想象能力.H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？答案：1 48.归纳总结1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.2．简单组合体体积的计算.3．等积变换学生归纳，教师补充完善.巩固所学，提高自我整合知识能力.课后作业 1.3 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1：三棱柱ABC–A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2 = 7:5 .【分析】不妨设V1对应的几何体AEF–A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的14；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V = V1 + V2 = Sh.∵E、F分别为AB、AC的中点∴14AEFSS =.∴V 1:V 2 = 7:5.【评析】本题求不规则的几何体C 1B 1—EBCF 的体积时，是通过计算棱柱ABC —A 1B 1C 1和棱台AEF —A 1B 1C 1的体积的差来求得的.例2：一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3.14) 【解析】因为圆锥形铅锤的体积为216()206032ππ⋅⨯=(cm 3)设水面下降的高底为x ，则小圆柱的体积为π(20÷2)2x = 100πx (cm 3)所以有60π=100πx ，解此方程得x = 0.6 (cm). 答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课后篇巩固提升基础巩固1.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于( )A.72B.42πC.67πD.72π圆台表=S 圆台侧+S 上底+S 下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为( ) A.1B.12C.√32D.34R ,圆锥底面半径为r ,高都为h ,由已知得2Rh=rh ,∴r=2R ,V 柱∶V 锥=πR 2h ∶13πr 2h=3∶4,故选D .3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.83 B.163C.203D.88,高为2的四棱锥,如图所示:∴该几何体的体积V=13×8×2=163.4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36√5B.54+18√5C.90D.81,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为3√5,所以所求表面积为(3×3+3×6+3×3√5)×2=54+18√5,故选B .5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A .1+4π2πB .1+2π4πC .1+2ππD .1+2π2πa ,圆柱的底面圆的半径为r ,则2πr=a ,r=a 2π,所以圆柱的底面积为a 24π,侧面积为a 2,表面积与侧面积的比是2×a 24π+a 22=1+2π.6.若半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 .,如图,设圆锥底面半径为r ,高为h ,则{2πr =2π,ℎ2+r 2=4. 解得{r =1,ℎ=√3.故它的体积为1×π×12×√3=√3π.7.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积为.,底面是侧视图的三角形,底边为6、腰为5,一个底面的面积是12,三棱柱高是4,则侧面积为(5+5+6)×4=64,所以表面积为24+64=88.8.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,则圆柱被截后剩下部分的体积是.a+b的圆柱,则拼接成的圆柱的体积V=πr2(a+b),所以所求几何体的体积为πr 2(a+b).9.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点P ,Q 在正视图中所示位置,P 为所在线段中点,Q 为顶点,求在几何体表面上,从P 到Q 点的最短路径的长.由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧=12×2πa×√2a=√2πa 2, S 圆柱侧=2πa×2a=4πa 2, S 圆柱底=πa 2,所以S 表=√2πa 2+4πa 2+πa 2=(√2+5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ=√AP 2+AQ 2=√a 2+(πa )2=a √1+π2,所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a √1+π2.10.已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.,正四棱锥的高PO ,斜高PE ,底面边心距OE 组成Rt △POE.∵OE=2,∠OPE=30°, ∴PE=2OE=4.因此S 侧=4×12PE×BC=4×12×4×4=32,S 表面=S 侧+S 底=32+16=48.能力提升1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.1B.2C.3D.6解析依题意,题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对),其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形,侧棱长为3,因此其体积为12×1×2×3=3.2.某几何体的三视图如图所示(单位: cm),则该几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C .323 cm 3D .403 cm 3,该几何体是由一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2,高为2的正四棱锥组合而成,故其体积为V=23+13×22×2=8+83=323(cm 3),故选C .3.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2√2,AD=2,则四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积为( ) A.(60+4√2)π B.(60+8√2)π C.(56+8√2)πD.(56+4√2)πABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=πr 22+π(r 1+r 2)l 2+πr 1l 1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2√2=(60+4√2)π.故选A .4.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为()A.4-π2B.8-4π3C.8-πD.8-2π,该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等.根据题设所给的三视图,可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去半个圆柱,正方体的体积为23=8,半圆柱的体积为12×(π×12)×2=π,因此该不规则几何体的体积为8-π.5.如图,圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为.r,则下底面半径为4r,高为4r.由母线长为10可知10=√(3r)2+(4r)2=5r,解得r=2.则圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.故圆台的侧面积为π×(2+8)×10=100π.π6.一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为.E ,F ,F 1,E 1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E 1F 1C 1B 1的体积V=S EFCB ×3=34S △ABC ×3=94S △ABC ,设图甲中水面的高度为h ,则S △ABC ×h=94S △ABC ,所以h=94,故答案为94.7.如图,一圆锥形封闭容器高为h ,圆锥内水面高为h 1,且h 1=13h ,若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为h 2,求h 2.因为V圆锥SOV圆锥SO '=(23ℎℎ)3=827,所以V 水V 圆锥SO '=1927. 倒置后的体积关系为V水V圆锥S 'O 1=ℎ23ℎ3=1927,所以h 2=√19ℎ3273=√1933h.8.已知正三棱锥V-ABC 的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2√3,求该三棱锥的表面积.,且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2√3. 取BC 的中点D ,连接VD ,则VD ⊥BC ,有 VD=√VB 2-BD 2=√42-(√3)2=√13,则S △VBC =12×VD×BC=12×√13×2√3=√39, S △ABC =12×(2√3)2×√32=3√3, 故三棱锥V-ABC 的表面积为3S △VBC +S △ABC =3√39+3√3=3(√39+√3).9.(选做题)如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱. (1)试用x 表示圆柱的高;(2)当x 为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?设所求的圆柱的底面半径为x ,它的轴截面如图,BO=1,PO=3,圆柱的高为h , 由图得x1=3-ℎ3,即h=3-3x (0<x<1). (2)∵S 圆柱侧=2πxh=2πx (3-3x )=6π(x-x 2), 当x=12时,圆柱的侧面积取得最大值为32π.∴当圆柱的底面半径为12时,它的侧面积最大为32π.。
柱体锥体台体的公式大全
柱体锥体台体的公式大全
一、柱体：
柱体是一个由两个平行的、相等的圆形底面和连接两个底面的侧面组成的几何体。
柱体的体积和表面积的公式如下：
1.柱体的体积公式：
V=πr²h
2.柱体的表面积公式：
S=2πr²+2πrh
其中，S代表柱体的表面积，r代表柱体的底面半径，h代表柱体的高度。
二、锥体：
锥体是一个由一个圆形底面和连接底面和顶点的侧面组成的几何体。
锥体的体积和表面积的公式如下：
1.锥体的体积公式：
V=(1/3)πr²h
2.锥体的表面积公式：
S=πr(r+l)
其中，S代表锥体的表面积，r代表锥体的底面半径，l代表锥体的斜高（从顶点到底边的距离）。
三、台体：
台体是一个由两个平行、相等的圆形底面和连接两个底面的侧面以及一个横截面为矩形的侧面组成的几何体。
1.台体的体积公式：
V=(1/3)π(r₁²+r₂²+r₁r₂)h
2.台体的表面积公式：
S=π(r₁+r₂)l+πr₁²+πr₂²
其中，S代表台体的表面积，r₁和r₂分别代表台体的上底半径和下底半径，l代表侧面的斜高。
需要注意的是，以上公式的单位应保持一致，如使用米，则体积的单位为立方米，表面积的单位为平方米。
柱体、锥体、台体体积计算
柱体、锥体、台体体积计算1. 引言在几何学中，我们经常遇到需要计算不同几何体的体积的情况。
柱体、锥体和台体都是常见的几何体，其体积的计算可以通过简单的公式得出。
本文将介绍柱体、锥体和台体的定义以及如何计算它们的体积。
2. 柱体的体积计算柱体是由两个平行的并且具有相同形状的底面所包围的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = 底面积 × 高度其中，V表示柱体的体积，底面积指的是底面的面积，高度指的是柱体的高度。
通过测量底面的长度和宽度，我们可以得到底面积，并通过测量柱体的高度，我们也可以得到柱体的体积。
3. 锥体的体积计算锥体是由一个面为底面的三角形和以该面上的所有点为顶点的直线所围成的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = (底面积 × 高度) / 3其中，V表示锥体的体积，底面积指的是底面的面积，高度指的是锥体的高度。
与柱体类似，我们可以通过测量底面的长度和宽度得到底面积，并通过测量锥体的高度得到锥体的体积。
4. 台体的体积计算台体是由两个平行并且具有相同形状的底面以及连接两个底面的面组成的几何体。
其体积可以通过以下公式计算：V = (上底面积 + 下底面积 + 根号(上底面积 × 下底面积)) × 高度 / 3其中，V表示台体的体积，上底面积指的是上底面的面积，下底面积指的是下底面的面积，高度指的是台体的高度。
与柱体和锥体类似，我们可以通过测量底面的长度和宽度得到底面积，并通过测量台体的高度得到台体的体积。
5. 示例假设我们有一个柱体，其底面的长度为4cm，宽度为2cm，高度为6cm。
根据柱体的体积计算公式，我们可以计算出柱体的体积：V = 4cm × 2cm × 6cm = 48cm^3同样地，如果我们有一个锥体，其底面的长度为4cm，宽度为2cm，高度为6cm，根据锥体的体积计算公式，我们可以计算出锥体的体积：V = (4cm × 2cm × 6cm) / 3 = 16cm^3最后，如果我们有一个台体，其上底面的长度为4cm，宽度为2cm，下底面的长度为6cm，宽度为3cm，高度为8cm，根据台体的体积计算公式，我们可以计算出台体的体积：V = (4cm × 2cm + 6cm × 3cm + √(4cm × 2cm × 6cm × 3cm)) × 8cm / 3 = 64cm^36. 结论通过本文我们了解了柱体、锥体和台体的定义，并掌握了计算它们体积的公式。
《柱体_锥体_台体的表面积与体积》学案
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、知识点（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积= 侧面积+ ______________；（2）圆柱：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆锥：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆台：'r、r分别为上、下底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.（3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）台体体积公式：________________________；（S’、S分别为上、下底面面积，h为高）二、例题讲解题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面积是______________；体积是______________。
图（1）解题反思：题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示，求这个正三棱柱的表面积与体积图（2）解题反思：题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE∆，BCF∆均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．32B．33C．34D．23EA BDCF侧视图俯视图主视图8题4： 圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为 ． 三、 巩固训练（课后作业）1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为____________________2、如图(4)，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为2，E 为11B A 的中点，则三棱锥11D AB E -的体积是____________.图（4）3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正 视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为xcm 的内接圆柱。
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(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1 : 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 :
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
16
知识小结
3
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 ．即棱锥的体积： 的 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 ． 3
4
台体体积
1.3.1 柱体、锥体、台体，球体的体积
1
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
2
圆锥体积
圆锥的体积公式：
1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ． 3
4 50 3 4 3 7.9 [ ( ) x ] 145000 3 2 3
x 3 1123942 .
x 22 .4
2 x 44.8
答：钢球是空心的．其内径约为45cm．
14
球的表面积
例6 如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面 是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个 半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装 饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1)？
4 50 3 7.9 ( ) 517054 ( g ) 3 2
街心花园中钢球的质 量为145000g，而 145000<517054，所以钢 球是空心的．
13
球的表面积
例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于 50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还 是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内 径（π取3.14，结果精确到1cm）． 解： 设球的内径是2xcm，那么球的质量为：
7
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 mm3 ) (
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S ' 0
1 锥体V Sh 3
球的体积
4 3 V R 3
2
17
球的表面积 S 4R
作业
P32 习题1.3A组 3，4 B组 1
18
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略)．
A
P
D
S
B
C
h
A
D
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
S
C
B
5
台体体积
解：圆柱形物体的侧面面积
S1 3.11 3 9.3(m2 )
半球形物体的表面积为 1 2 S 2 2 3.1 ( ) 1.6(m 2 ) 2
S1 S2 10.9(m2 )
10.9 150 1635 朵) (
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
15
随堂练习
2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
8
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？
9
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
6
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S
S为底面面积， h为锥体高
S 0 1 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
10
球的体积
4 3 定理：半径是 的球的体积为： R R V 3
球的表面积
定理：半径是R的球的表面积为：S 4R 2
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例4：圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：
2 （1）球的体积等于圆柱体积的 . 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. Nhomakorabea12
球的体积
例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于 50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还 是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内 径（π取3.14，结果精确到1cm）． 解：由于外径为50cm 的钢球的质量为：