波是振动状态的传播
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A1 Z1 Z 2 A1 Z1 Z 2 A2 2 Z1 A1 Z1 Z 2
( Z1=1u1, Z2=2u2)
4. 反射系数与透射系数
反射系数
2 ( Z1 Z 2 )2 I1 A1 R 2 I1 A1 ( Z1 Z 2 )2 I1
2 Z 2 A2 2 Z 1 A1
dt k
4. 表达式也反映了波是振动状态的传播 (x+ x, t+ t) = (x,t) 其中 x=u t
5. 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性 空间周期性 T 时间周期性
u
三. 平面波和球面波 1. 波的几何描述
波线 波面
波面 波 线
T
k
波前(波阵面)
平面波
球面波
w能 1 2 2 A 2
• 物理意义 (1/4) 2A2 (1) 固定x o wk、w p均随 t 周期性变化 w k= w p (2) 固定t wk、w p随x周期分布 =0w k w p最大
最大 wk w p为 0
(1/4) 2A2
u
wp wk
x = x0
T t
A1 ( r , t ) cos( t kr ) r
简谐波的复数表示式 i ( t kx ) ikx i t ( x , t ) Ae Ae e
2.复振幅
波场中各点谐振动的频率相同,它们有相同的 时间因子。因此,相位主要由空间因子决定。 U(x)=A e ikx
平面波
球面波
2. 平面简谐波的表达式
沿+x 向传播
( x , t ) A cos( t kx )
3. 球面简谐波的表达式 点波源 各向同性介质
四. 简谐波的复数表示 复振幅 1. 简谐波的复数表示 沿+x方向传播的平面简谐波 ( x , t ) A cos( t kx ) Re( Ae i ( t kx ) )
· · · · · · · ·t = 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t=T · · · · ·· ·
2 平面简谐波的能量密度 (x,t)=Acos( t-kx) • 能量密度 1 w k 2 A2 sin 2 ( t kx ) 2 1 2 2 2 w p A sin ( t kx ) 2
2 2 2
w能 wk w p A sin ( t kx )
u Y
F
F
l0 l0 + l
长变
Y-杨氏弹性模量 -体密度
(3) 固体中的横波
u
F Δ l Y S l0
G
F切
切变
∵G
<
G - 切变模量 Y, 固体中 ｕ横波<ｕ纵波
*
震中
(4) 流体中的声波
u k
0
k-体积模量, 0-无声波时的流体密度
理想气体:
u
RT
p
p
= Cp/Cv , 摩尔质量
V p k V0
V0+ V
p
p 容变
二. 固体棒中纵波的波动方程 1. 某截面处的应力、应变关系
x
o
x
x+x
x
自由状态 t 时刻
x截面
x+x截面ห้องสมุดไป่ตู้
(x,t)
(x+x, t)
x段的平均应变: [(x+ x,t) - (x,t)] / x x处截面 t 时刻 : 应变为 /x 应力为 F(x,t)/S F Y 应力 、应变关系
只讨论波垂直界面入射的情形
入射波
透射波
(一) 振幅关系
o
x
反射波 1. 波的表达式 入射波 1 = A1cos( t-k1 x) , (xo)
反射波 1= A1cos( t+k1x) , (x0) 透射波 2 = A2cos( t-k2x), (x0) 2. 边界条件 • 振动位移连续 [1+1]x=0 = [2]x=0
2
三.平面波、球面波的能流(略) 四.声强级 I (W / m2) I上=1 1. 正常人听声范围 20 < < 20000 Hz. I下 < I < I上
o
·
· I =10
下
-12
20 1000
20000
(Hz)
2. 声强级 以1000 Hz 时的I下作为基准声强 I0,
I L 10 log 10 I0
振幅的平方( 代表波的强度 )
A2= U(x)· U*(x)
§3 波动方程和波速 一. 平面波波动方程 t 2 x 2 u2 ｕ为波速 2 2
一维简谐波的表达式就是此波动方程的解 具体问题 (1) 弹性绳上的横波
u
T
T-绳的初始张力, -绳的线密度
(2) 固体棒中的纵波
t+t时刻波面
波传播方向
t + t
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
ut 平面波
球面波
3. 不足 二. 波的衍射 1. 现象 波传播过程中当遇到障碍物时,能 绕过障碍物的边缘而传播的现象。
2. 作图 比较两图
可用惠更斯原理作图
· a · ·
·
★ 如你家在大山后 ,听广播 和看电视哪个更容易? (若广播台、电视台都在山前侧) 三.波的反射和折射 1. 波的反射 (略)
S x
2. 波动方程
o F1
x1
x
x2
x
x F2 x2截面
· ·
(x,t)
截面S
2
( Sx ) 2 F2 F1 t
x1截面
,
F2 F1 2 x S S t
2
将应力、应变关系代入 2 ( / x ) 2 ( / x )1 2 Y
第二章
波动 (Wave)
振动在空间的传播过程叫做波动 常见的波有: 机械波 , 电磁波 , …
§1
机械波的产生和传播
一. 机械波的产生 1. 产生条件: 波源 媒质 2. 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播 • 横波 • 纵波 3. 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
• 应力连续
F1 F1 F2 S x0 S x0 S
1 1 2 Y1 Y2 x x x x0 x0
3. 振幅关系 将各表达式代入上式, 并用Y=u2可得
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
u a ·
传播方向
b ·
x
x
图中b点比a点的相位落后 2 x 三. 波形曲线(波形图)
o u
t
x
• 不同时刻对应有不同的波形曲线
• 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况
四. 波的特征量
1.波长 : 两相邻同相点间的距离 2. 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数
单位:分贝(db)
§5
惠更斯原理
一. 惠更斯原理 1. 原理 : • 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射 子波的子波源 (点波源)。
• 在以后的任一时刻 , 这些子波面的包络 面就是实际的波在该时刻的波前 。
2. 应用 : t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
t 时刻波面
· · · · ·
t = t0 wp
wk o
x
二. 能流(能通量)、波的强度 1. 能流(能通量) w 能uS 能流 : 能流密度 : w能u 平面简谐波 w 能u=u 2A2sin2( t-kx)
u
S x u
2. 波的强度 能流密度的时间平均值 1 2 2 平面简谐波 I w能 u u A 2 1 特性阻抗: Z = u I Z 2 A 2
A 1 反射波 A 1 = -(1/3)A 1, R = 1/9 媒质1 (Z 1大,Z 1= 2Z 2)
入射波
A1
A 1
A2
A 1 = (1/3)A 1, R = 1/9
反射波 A 2 = (4/3)A 1 T = 8/9
§6
多普勒效应
当波源S和接收器R有相对运动时, 接收器所测 得的频率 R不等于波源振动频率 S的现象
3. 波速u : 单位时间波所传过的距离
u
T
波速ｕ又称相速度(相位传播速度)
§2 一维简谐波的表达式
一. 一维简谐波的表达式(波函数) 讨论: 沿+ｘ方向传播的一维简谐波(u , ) 假设: 媒质无吸收(质元振幅均为A)
波速ｕ
参考点ａ
o d
·
任一点ｐ
·
x
x
已知: 参考点a 的振动表达式为 a(t)=Acos( ta)
0
4
8
12
16
20
结论：
(1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播 (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传 播 同相点----质元的振动状态相同 (4) 相邻 波长 相位差2 二. 波是相位的传播
2
1 Fl 1 F l 势能密度 w p 2 Sl 2 S l 2 1 棒中有纵波时 w p Y
2 x
2 2 能量密度 1 1 w能 w k w p Y 2 t 2 x
p: A, 均与a 点的相同, 但相位落后
振动表达式
( x , t ) A cos[ t a
2
2
(x d)
( x d )]
一维简谐波的波的表达式 选: 原点为参考点 初相 a为零 则 2 ( x , t ) A cos( t x) 或 ( x , t ) A cos( t kx ) 2 k 称作角波数 u
t
x0
x 2 2 Y 2 x2 t
§4
波的能量
一. 弹性波的能量 能量密度 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 1 弹性波的能量密度 (以细长棒为例) 动能 动能密度
1 1 2 Wk mV Sx 2 2 t 2 W k 1 wk S x 2 t
透射系数 T I 2 讨论
4 Z1 Z 2 ( Z1 Z 2 )
• R+T=1 ( 能量守恒 ) • Z1 、 Z2互换, R、T 不变 • 如Z1 >> Z2, 或Z2 >> Z1 则 R1 , T0 • 如Z1 Z2, 则R 0 (无反射) T 1
空气--水 T=0.1 空气--钢 T=0.004 % 水 --钢 T=12 % (二)相位关系 1. 反射波 (1)若Z1>Z2 则 A1和 A1同号
二. 一维简谐波表达式的物理意义 由(x,t) cos( t-kx)从几方面讨论 1. 固定 x, (x= x0) ( x0 , t ) A cos( t kx0 ) 2. 固定 t, (t = t0 ) ( x , t 0 ) A cos( t 0 kx )
3. 如 看定某一相位 , 即令 ( t-kx)=常数 dx u 相速度为
2. 波的折射
用作图法求出折射波的传播方向 BC=u1(t2-t1) AE=u2(t2-t1)
sin i1 u1 sin i2 u2
媒质1
B t1 i1 A· i2 E
·
媒质2
·
C
t2
由图有 波的折射定律
折射波传播方向
i1--入射角, i2--折射角
*
四. 入射波、反射波、透射波的振幅关系 界面 和相位关系 媒质1 媒质2
☆
反射波和入射波同相 (2) 若Z1 < Z2 则A1和A1反号 反射波有相位突变 2. 透射波 A2总与A1同号, 无相位突变。
3. 形象说明
界面
媒质1 (Z 1小) 入射波 A1
媒质2 (Z 2大, Z 2 = 2Z 1) 透射波 A2 A 2 = (2/3)A 1 T = 8/9 界面 媒质2 (Z 2小) 透射波
( Z1=1u1, Z2=2u2)
4. 反射系数与透射系数
反射系数
2 ( Z1 Z 2 )2 I1 A1 R 2 I1 A1 ( Z1 Z 2 )2 I1
2 Z 2 A2 2 Z 1 A1
dt k
4. 表达式也反映了波是振动状态的传播 (x+ x, t+ t) = (x,t) 其中 x=u t
5. 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性 空间周期性 T 时间周期性
u
三. 平面波和球面波 1. 波的几何描述
波线 波面
波面 波 线
T
k
波前(波阵面)
平面波
球面波
w能 1 2 2 A 2
• 物理意义 (1/4) 2A2 (1) 固定x o wk、w p均随 t 周期性变化 w k= w p (2) 固定t wk、w p随x周期分布 =0w k w p最大
最大 wk w p为 0
(1/4) 2A2
u
wp wk
x = x0
T t
A1 ( r , t ) cos( t kr ) r
简谐波的复数表示式 i ( t kx ) ikx i t ( x , t ) Ae Ae e
2.复振幅
波场中各点谐振动的频率相同,它们有相同的 时间因子。因此,相位主要由空间因子决定。 U(x)=A e ikx
平面波
球面波
2. 平面简谐波的表达式
沿+x 向传播
( x , t ) A cos( t kx )
3. 球面简谐波的表达式 点波源 各向同性介质
四. 简谐波的复数表示 复振幅 1. 简谐波的复数表示 沿+x方向传播的平面简谐波 ( x , t ) A cos( t kx ) Re( Ae i ( t kx ) )
· · · · · · · ·t = 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t=T · · · · ·· ·
2 平面简谐波的能量密度 (x,t)=Acos( t-kx) • 能量密度 1 w k 2 A2 sin 2 ( t kx ) 2 1 2 2 2 w p A sin ( t kx ) 2
2 2 2
w能 wk w p A sin ( t kx )
u Y
F
F
l0 l0 + l
长变
Y-杨氏弹性模量 -体密度
(3) 固体中的横波
u
F Δ l Y S l0
G
F切
切变
∵G
<
G - 切变模量 Y, 固体中 ｕ横波<ｕ纵波
*
震中
(4) 流体中的声波
u k
0
k-体积模量, 0-无声波时的流体密度
理想气体:
u
RT
p
p
= Cp/Cv , 摩尔质量
V p k V0
V0+ V
p
p 容变
二. 固体棒中纵波的波动方程 1. 某截面处的应力、应变关系
x
o
x
x+x
x
自由状态 t 时刻
x截面
x+x截面ห้องสมุดไป่ตู้
(x,t)
(x+x, t)
x段的平均应变: [(x+ x,t) - (x,t)] / x x处截面 t 时刻 : 应变为 /x 应力为 F(x,t)/S F Y 应力 、应变关系
只讨论波垂直界面入射的情形
入射波
透射波
(一) 振幅关系
o
x
反射波 1. 波的表达式 入射波 1 = A1cos( t-k1 x) , (xo)
反射波 1= A1cos( t+k1x) , (x0) 透射波 2 = A2cos( t-k2x), (x0) 2. 边界条件 • 振动位移连续 [1+1]x=0 = [2]x=0
2
三.平面波、球面波的能流(略) 四.声强级 I (W / m2) I上=1 1. 正常人听声范围 20 < < 20000 Hz. I下 < I < I上
o
·
· I =10
下
-12
20 1000
20000
(Hz)
2. 声强级 以1000 Hz 时的I下作为基准声强 I0,
I L 10 log 10 I0
振幅的平方( 代表波的强度 )
A2= U(x)· U*(x)
§3 波动方程和波速 一. 平面波波动方程 t 2 x 2 u2 ｕ为波速 2 2
一维简谐波的表达式就是此波动方程的解 具体问题 (1) 弹性绳上的横波
u
T
T-绳的初始张力, -绳的线密度
(2) 固体棒中的纵波
t+t时刻波面
波传播方向
t + t
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
ut 平面波
球面波
3. 不足 二. 波的衍射 1. 现象 波传播过程中当遇到障碍物时,能 绕过障碍物的边缘而传播的现象。
2. 作图 比较两图
可用惠更斯原理作图
· a · ·
·
★ 如你家在大山后 ,听广播 和看电视哪个更容易? (若广播台、电视台都在山前侧) 三.波的反射和折射 1. 波的反射 (略)
S x
2. 波动方程
o F1
x1
x
x2
x
x F2 x2截面
· ·
(x,t)
截面S
2
( Sx ) 2 F2 F1 t
x1截面
,
F2 F1 2 x S S t
2
将应力、应变关系代入 2 ( / x ) 2 ( / x )1 2 Y
第二章
波动 (Wave)
振动在空间的传播过程叫做波动 常见的波有: 机械波 , 电磁波 , …
§1
机械波的产生和传播
一. 机械波的产生 1. 产生条件: 波源 媒质 2. 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播 • 横波 • 纵波 3. 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
• 应力连续
F1 F1 F2 S x0 S x0 S
1 1 2 Y1 Y2 x x x x0 x0
3. 振幅关系 将各表达式代入上式, 并用Y=u2可得
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
u a ·
传播方向
b ·
x
x
图中b点比a点的相位落后 2 x 三. 波形曲线(波形图)
o u
t
x
• 不同时刻对应有不同的波形曲线
• 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况
四. 波的特征量
1.波长 : 两相邻同相点间的距离 2. 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数
单位:分贝(db)
§5
惠更斯原理
一. 惠更斯原理 1. 原理 : • 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射 子波的子波源 (点波源)。
• 在以后的任一时刻 , 这些子波面的包络 面就是实际的波在该时刻的波前 。
2. 应用 : t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
t 时刻波面
· · · · ·
t = t0 wp
wk o
x
二. 能流(能通量)、波的强度 1. 能流(能通量) w 能uS 能流 : 能流密度 : w能u 平面简谐波 w 能u=u 2A2sin2( t-kx)
u
S x u
2. 波的强度 能流密度的时间平均值 1 2 2 平面简谐波 I w能 u u A 2 1 特性阻抗: Z = u I Z 2 A 2
A 1 反射波 A 1 = -(1/3)A 1, R = 1/9 媒质1 (Z 1大,Z 1= 2Z 2)
入射波
A1
A 1
A2
A 1 = (1/3)A 1, R = 1/9
反射波 A 2 = (4/3)A 1 T = 8/9
§6
多普勒效应
当波源S和接收器R有相对运动时, 接收器所测 得的频率 R不等于波源振动频率 S的现象
3. 波速u : 单位时间波所传过的距离
u
T
波速ｕ又称相速度(相位传播速度)
§2 一维简谐波的表达式
一. 一维简谐波的表达式(波函数) 讨论: 沿+ｘ方向传播的一维简谐波(u , ) 假设: 媒质无吸收(质元振幅均为A)
波速ｕ
参考点ａ
o d
·
任一点ｐ
·
x
x
已知: 参考点a 的振动表达式为 a(t)=Acos( ta)
0
4
8
12
16
20
结论：
(1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播 (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传 播 同相点----质元的振动状态相同 (4) 相邻 波长 相位差2 二. 波是相位的传播
2
1 Fl 1 F l 势能密度 w p 2 Sl 2 S l 2 1 棒中有纵波时 w p Y
2 x
2 2 能量密度 1 1 w能 w k w p Y 2 t 2 x
p: A, 均与a 点的相同, 但相位落后
振动表达式
( x , t ) A cos[ t a
2
2
(x d)
( x d )]
一维简谐波的波的表达式 选: 原点为参考点 初相 a为零 则 2 ( x , t ) A cos( t x) 或 ( x , t ) A cos( t kx ) 2 k 称作角波数 u
t
x0
x 2 2 Y 2 x2 t
§4
波的能量
一. 弹性波的能量 能量密度 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 1 弹性波的能量密度 (以细长棒为例) 动能 动能密度
1 1 2 Wk mV Sx 2 2 t 2 W k 1 wk S x 2 t
透射系数 T I 2 讨论
4 Z1 Z 2 ( Z1 Z 2 )
• R+T=1 ( 能量守恒 ) • Z1 、 Z2互换, R、T 不变 • 如Z1 >> Z2, 或Z2 >> Z1 则 R1 , T0 • 如Z1 Z2, 则R 0 (无反射) T 1
空气--水 T=0.1 空气--钢 T=0.004 % 水 --钢 T=12 % (二)相位关系 1. 反射波 (1)若Z1>Z2 则 A1和 A1同号
二. 一维简谐波表达式的物理意义 由(x,t) cos( t-kx)从几方面讨论 1. 固定 x, (x= x0) ( x0 , t ) A cos( t kx0 ) 2. 固定 t, (t = t0 ) ( x , t 0 ) A cos( t 0 kx )
3. 如 看定某一相位 , 即令 ( t-kx)=常数 dx u 相速度为
2. 波的折射
用作图法求出折射波的传播方向 BC=u1(t2-t1) AE=u2(t2-t1)
sin i1 u1 sin i2 u2
媒质1
B t1 i1 A· i2 E
·
媒质2
·
C
t2
由图有 波的折射定律
折射波传播方向
i1--入射角, i2--折射角
*
四. 入射波、反射波、透射波的振幅关系 界面 和相位关系 媒质1 媒质2
☆
反射波和入射波同相 (2) 若Z1 < Z2 则A1和A1反号 反射波有相位突变 2. 透射波 A2总与A1同号, 无相位突变。
3. 形象说明
界面
媒质1 (Z 1小) 入射波 A1
媒质2 (Z 2大, Z 2 = 2Z 1) 透射波 A2 A 2 = (2/3)A 1 T = 8/9 界面 媒质2 (Z 2小) 透射波