北京四中初二全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短

全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短

编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟

经典例题透析

类型一：由角平分线想到构造全等

不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的．

1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长．

图1 图 2 解析：由题意得

△BFE≌△DFE，∴BE=DE，

在△BDE中，ED=BE，∠DBE=45°，

∴∠BDE=∠DBE=45°，

∴∠DEB=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8，

过A作AG⊥BC，交BC于G，如图2，∴△EDG≌△AGD，∴GE=AD=2，

在Rt△ABG和Rt△DCE中，AB=DC，AG=DE，

∴Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=CE，∴，∴BE=5．2．如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求证：

图3图 4

解析：如图4，作∠B的平分线交AC于D，

则∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A=∠C

∴AD=BD=BC

作BM⊥AC于M，则CM=DM．

3．如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC，求证：AC＞BD

图5图6

解析：如图6，作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F，四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形．

∴DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF

作DH⊥AB于H，根据勾股定理

，，

∵AD＞BC，AD＞DF

∴AH＞FH，EH＞BH

，

∴DE＞BD，

即AC＞BD.

4．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC．

图7

解析：设AB、AC、BD、，CD分别为b、c、m、n，

则c+n=b+m，c-b=m-n，∵AD⊥BC，根据勾股定理，得

，

∴，

，

∵c+b＞m+n，

∴c-b=0即c=b，

∴AB=AC．

类型二：勾股定理的逆定理的运用

5．如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，则点P与点之间的距离为________，∠APB=________．

图8 图9 解析：如图9，连结，是由旋转得到的，所以≌

所以. .

所以三角形是等边三角形，．

则在三角形中．

所以是直角，．

6．如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：．

图10 图11

解析：如图11，显然△ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BC=BE，连接AE，则可证明△BCD≌△ACE，所以AE=DB，∠ABC+∠CBE=90°，

根据勾股定理有，即．

7．如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，则

A．DE=BC B．DE＞BC

C．DE＜BC D．DE与BC大小关系决定于∠A的大小．

图12 图13

解析：如图13，分别过D和E点作到BC边的垂线，交BC及其延长线于G和H．则

根据，可得到△BDG≌△ECH. 所以BG=CH．

所以BC=GH．显然DE＞GH. 所以DE＞BC.

8．如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F都是垂足，M是△ABC中异于N的另一点，若，

，那么与的大小关系是________．

图14图15 解析：如图15，作M到正三角形的各边上的高，根据面积相等的关系，有

，

，

分别化简为

所以．

而根据直角三角形斜边与直角边的关系有，，

．

所以有．

9．如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，则CD的长是

A．5B．6C．7 D．8

图16 图17 解析：如图17，延长CE交DA的延长线于F，则容易证明△BEC≌△AEF，

于是可得到∠DCE=∠BCE=∠AFE，所以△FCD是等腰三角形，所以CD=AD+AF=7．

10．如图18，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD∥BC，在AD上取一点

E，使∠EBC=30°，则BE和BC的大小关系是（）

A．BE＞BC B．BE＜BC C．BE=BC D．不确定

图18

解析：作△ABC的高h，那么BC=2h．而BE=2h．所以BE=BC．

11．已知三角形的两条边长分别为a=5，b=4，它们的高分别为，若，那么该三角形的面积是________．

解析：根据三角形的面积公式，可知，而根据，可得到

，所以．所以或．

如果，则结合，可得到，矛盾．

所以，结合，得到，所以，

所以三角形的面积为．