微积分的基本公式
dx微积分所有公式,微积分24个基本公式
dx微积分所有公式，微积分24个基本公式dx表示x变化无限小的量，其中d表示“微分”，是“derivative(导数)”的第一个字母。
当一个变量x，越来越趋向于一个数值a时，这个趋向的过程无止境的进行，x与a的差值无限趋向于0，就说a是x的极限。
这个差值，称它为“无穷小”，它是一个越来越小的过程，一个无限趋向于0的过程，它不是一个很小的数，而是一个趋向于0的过程。
扩展资料：注意微分的几何意义：设δx是曲线y = f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。
f(x0)在表示曲线y=f(x)在切点m(x0,f(x0))处切线的斜率。
(1)微积分的基本公式共有四大公式：1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式,与旋度有关(2)微积分常用公式：dx sin x=cos xcos x = -sin xtan x = sec2 xcot x = -csc2 xsec x = sec x tan xcsc x = -csc x cot xsin x dx = -cos x + ccos x dx = sin x + ctan x dx = ln |sec x | + ccot x dx = ln |sin x | + csec x dx = ln |sec x + tan x | + c csc x dx = ln |csc x - cot x | + c sin-1(-x) = -sin-1 xcos-1(-x) = - cos-1 xtan-1(-x) = -tan-1 xcot-1(-x) = - cot-1 xsec-1(-x) = - sec-1 xcsc-1(-x) = - csc-1 xdx sin-1 ()=cos-1 ()=tan-1 ()=cot-1 ()=sec-1 ()=csc-1 (x/a)=sin-1 x dx = x sin-1 x++ccos-1 x dx = x cos-1 x-+ctan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+c cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+c sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+c csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+c sinh-1 ()= ln (x+) xrcosh-1 ()=ln (x+) x≥1tanh-1 ()=ln () |x| 1sech-1()=ln(+)0≤x≤1csch-1 ()=ln(+) |x| 0dx sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech2 xcoth x = -csch2 xsech x = -sech x tanh xcsch x = -csch x coth xsinh x dx = cosh x + ccosh x dx = sinh x + ctanh x dx = ln | cosh x |+ c coth x dx = ln | sinh x | + c sech x dx = -2tan-1 (e-x) + c csch x dx = 2 ln || + cduv = udv + vduduv = uv = udv + vdu→ udv = uv - vducos2θ-sin2θ=cos2θcos2θ+ sin2θ=1cosh2θ-sinh2θ=1cosh2θ+sinh2θ=cosh2θdx sinh-1()=cosh-1()=tanh-1()=coth-1()=sech-1()=csch-1(x/a)=sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ ccosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ ctanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ c coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ c sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + c csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + c sin 3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3θ-3cosθ→sin3θ= (3sinθ-sin3θ)→cos3θ= (3cosθ+cos3θ)sin x = cos x =sinh x = cosh x =正弦定理:= ==2r余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosαb2=a2+c2-2ac cosβc2=a2+b2-2ab cosγsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β sin α sin β2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β) sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β) cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β) cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β) tan (α±β)=,cot (α±β)=ex=1+x+++…++ …sin x = x-+-+…++ …cos x = 1-+-+++ln (1+x) = x-+-+++tan-1 x = x-+-+++(1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n= n (n+1)= n (n+1)(2n+1)= [ n (n+1)]2γ(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dtβ(m,n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx转换为 f (ω ) = 解f (t ) = ± jω0t f ( t ) e ? jωt dt f ( t ) e ? j(ω ?ω0 ) t dt = f (ω ? ω0 ) 。
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
微积分运算公式
微积分运算公式微积分是数学中的一个分支，主要研究函数的变化趋势和极限。
在微积分中，运算公式是非常重要的知识点，下面我们来介绍一些常见的微积分运算公式。
1. 导数的四则运算法则在微积分中，导数的四则运算法则是非常重要的。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的和、差、积、商的导数分别有以下的公式：（f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^22. 微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是用来研究函数的变化趋势的。
具体来说，如果f(x)在[a,b]上是可导的，那么在[a,b]中至少存在一个点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
3. 泰勒展开式泰勒展开式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某个点附近展开成无穷级数的形式。
具体来说，如果有一个函数f(x)，那么它在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+...+[f^(n)(a)/n!](x -a)^n+...。
4. 曲率公式曲率是描述一个曲线弯曲程度的量，曲率公式可以用来计算曲线在每个点处的曲率。
具体来说，如果有一条曲线y=f(x)，那么它在x 处的曲率为：k=(|y''|)/[1+(y')^2]^1.5。
以上就是微积分中的一些常见运算公式，掌握了这些公式可以更好地理解微积分的基础知识，也有助于在实际问题中应用微积分的方法来解决问题。
(完整版)微积分基本公式
f ( x) sinx et2 dt , f ( x) esin2 x cos x ; 1
d x2 f (t )dt f ( x2 ) 2x .
dx a
d
x3
f (t)dt
f (x3)3x2
f (x2)2x .
dx x2
9
例2
设 f (x) 为连续函数, F(x)
ln x 1
11
例3 求下列极限.
x2 cos t 2 dt
(2) lim 0 x0 x sin x
分析：这是 0 型未定式， 0
等价无穷
x2 cos t 2 dt
解 原式 lim 0 x0
x2
小替换
2x cos lim
x4
limcos x4
1.
x0 2x
x0
12
例3 求下列极限.
1 et2 dt
(3) lim x0
cos x
x2
分析：这是 0 型未定式， 0
解 原式 lim ecos2 x ( sin x)
x0
2x
e cos2 x lim
1
.
x0 2
2e
13
例4 设 F( x) x2
x
f (t)dt ，其中 f ( x) 是连续函数,
xa a
则 lim F(x)
.
x a
x 2
x
f (t)dt
证 limF( x) lim a
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
数学微积分公式大全
数学微积分公式大全
微积分是数学中一个重要的分支，它不仅是高等数学，工程学，物理学等领域的重要理论基础，而且在实际工作中也有广泛的应用。
所以，掌握微积分的公式是学习微积分的必备条件。
以下是数学微积分中常用的几个公式：
1.积公式：
（1）梯形公式：∫f（x）dx=（f（a）+f（b））/2*（b-a）
（2）抛物线公式：∫f（x）dx=（f（a）+4f（（a+b）/2）+f（b））/6*（b-a）
（3）Simpson公式：∫f（x）dx=（f（a）+4f（（a+b）/2）+f （b））/3*（b-a）
2.数公式：
（1）泰勒公式：f（x）=f（x）+f（x+h）/h
（2）差分公式：f（x）=（f（x+h）-f（x-h））/2h
（3）高阶差分公式：f（x）=（f（x+h）-2f（x）+f（x-h））/h^2 3.数极限公式：
（1）接近无穷大的极限：limx→∞f（x）=L（L可以是无穷大或者无穷小）
（2）无穷微小值的极限：limx→0f（x）=L（L可以是无穷大或者无穷小）
4.分方程公式：
（1）常微分方程：y=f（x,y）,y（x0）=y0
（2）偏微分方程：u（x,y）=f（x）（也称作拉普拉斯方程）
（3）双曲型微分方程：u（x,y）=f（x，y）
（4）积分方程：y=f（x）+F（x）
上述公式只是数学微积分中一小部分，它们虽然不多，但是包含着微积分的主要概念。
如果能够熟练掌握，就可以解决微积分中的各种问题。
此外，我们还应该注意微积分中其他重要的概念，比如微元、极限、曲线积分、积分变换等。
只有充分地了解这些概念和公式，才能更好地掌握微积分，帮助我们理解其中的精髓。
微积分的公式大全
微积分的公式大全1.极限的基本公式：（1）常数规则：lim(c) = c （c 为常数）（2）零规则：lim(0) = 0（3）单位规则：lim(x) = x （x 为自变量）（4）和差规则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))（5）乘法规则：lim(f(x) * g(x)) = lim(f(x)) * lim(g(x))（6）除法规则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) （若lim(g(x)) ≠ 0）2.导数的基本公式：（1）常数函数的导数：(c)'=0（c为常数）（2）幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1) （n 为实数）（3）指数函数的导数：(e^x)'=e^x（4）对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x（5）三角函数的导数：(sin(x))' = cos(x)、(cos(x))' = -sin(x)、(tan(x))' = sec^2(x)（6）反三角函数的导数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)、(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)、(arctan(x))' = 1/(1+x^2)3.基本积分公式：（1）幂函数的积分：∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n ≠ -1）（2）指数函数的积分：∫(e^x)dx = e^x + C（3）对数函数的积分：∫(1/x)dx = ln，x， + C（4）三角函数的积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C、∫cos(x)dx = sin(x) + C、∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C（5）反三角函数的积分：∫(1/√(1-x^2))dx = arcsin(x) + C、∫(-1/√(1-x^2))dx = arccos(x) + C、∫(1/(1+x^2))dx = arctan(x)+ C4.微分中值定理：（1）罗尔定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个c(a<c<b)，使得f'(c)=0。
微积分的公式
微积分的公式引言微积分是数学中的一个重要分支，研究函数的变化规律和求解与变化相关的问题。
在微积分的学习中，有一些经典的公式是我们必须掌握和熟练运用的。
本文将介绍微积分中常见的几个重要公式，并通过例子进行说明。
导数的定义和运算法则定义函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim┬(Δx→0)(f(a+Δx)−f(a))/Δx导数的运算法则•常数法则d/dx (c) = 0其中c为常数。
•幂法则d/dx(x^n) = n * x^(n-1)其中n为自然数。
•乘法法则d/dx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)常用微积分公式极限公式•极限的四则运算法则lim┬(x→a)(f(x)±g(x)) = lim┬(x→a)f(x) ± lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)g(x)) = lim┬(x→a)f(x) * lim┬(x→a)g(x)•无穷小与无穷大的关系lim┬(x→∞)(f(x)) = ∞，当且仅当lim┬(x→∞)(1/f (x)) = 0lim┬(x→∞)(f(x)) = a，当且仅当lim┬(x→∞)(1/f(x)) = 1/a求和公式•等差数列求和公式∑┬(k=1)(n)k = n(n+1)/2积分公式•基本积分公式∫(f(x) + g(x))dx = ∫(f(x))dx + ∫(g(x))dx ∫(k * f(x))dx = k * ∫(f(x))dx其中k为常数。
•微元法∫(f(x))dx = F(x) + C其中F(x)为函数f(x)的一个原函数，C为常数。
应用示例示例1：求函数的导数已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f'(x)。
解: 根据幂法则，对于函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们可以先对每一项求导，再相加得到f'(x)。
微积分基本公式
微积分公式D x sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec 2 x cot x = -csc 2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x⎰ sin x dx = -cos x + C⎰ cos x dx = sin x + C ⎰ tan x dx = ln |sec x | + C ⎰ cot x dx = ln |sin x | + C⎰ sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ⎰ csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = π - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = π - cot -1 x sec -1(-x) = π - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 xD x sin -1 (a x)=221a x-cos -1 (a x)=221a x--tan -1 (a x)=22a a x +cot -1 (a x)=22a a x -+ sec -1 (a x )=22a xx a -csc -1 (a x)=22a xx a--⎰ sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C ⎰ cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C ⎰ tan -1 x dx = x tan -1 x-½ln (1+x 2)+C ⎰ cot -1 x dx = x cot -1 x+½ln (1+x 2)+C ⎰ sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C⎰ csc -1 x dx = x csc -1x+ ln |x+12-x |+Csinh -1 (a x)= ln (x+22x a +) x ∈Rcosh -1 (a x)=ln (x+22a x -) x ≧1tanh -1 (a x )=a 21ln (xa xa -+) |x| <1coth -1 (a x )=a 21ln (a x a x -+) |x| >1 sech -1(a x )=ln(x 1-+221xx -)0≦x ≦1 csch -1(a x )=ln(x 1+221xx +) |x| >0 D x sinh x = cosh xcosh x = sinh x tanh x = sech 2 x coth x = -csch 2 xsech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x⎰ sinh x dx = cosh x + C⎰ cosh x dx = sinh x + C ⎰ tanh x dx = ln | cosh x |+ C ⎰ coth x dx = ln | sinh x | + C ⎰ sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C⎰ csch x dx = 2 ln |xxee 211---+| + Cd uv = u d v + v d u⎰ d uv = uv = ⎰ u d v + ⎰ v d u →⎰ u d v = uv - ⎰ v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θD x sinh -1(ax)=221x a + cosh -1(ax)=221ax - tanh -1(a x)= 22a a x -coth -1(a x)=22a a x -- sech -1(a x )= 22x a x a -- csch -1(a x )=22xa x a+-⎰ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C ⎰ cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C ⎰ tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ coth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C ⎰ csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3θ=3sin θ-4sin 3θ cos3θ=4cos 3θ-3cos θ →sin 3θ= ¼ (3sin θ-sin3θ) →cos 3θ=¼(3cos θ+cos3θ)sin x = j e e jx jx 2-- cos x = 2jxjx e e -+sinh x = 2x x e e -- cosh x = 2xx e e -+正弦定理:αsin a= βsin b =γsin c =2R余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos α b 2=a 2+c 2-2ac cos β c 2=a 2+b 2-2ab cos γsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β) sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β)cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±μe x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1 x = x-33x +55x -77x+…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrhoΒ β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕεepsilonΝνnuΦφphi a b cαβγ RΖ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χ khi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψ psi ΘθthetaΠπpiΩωomega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低 ;0*∞ =∞1 *∞ = ∞∞= 0*01 = 0000 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean)nX X X X n+++= (21)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)次数出现最多的数值几何平均数(Geometric mean)n n X X X G ⋅⋅⋅= (21)调和平均数(Harmonic mean))1...11(1121nx x x n H +++=平均差(Average Deviatoin)nX Xni||1-∑变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni分配 机率函数f (x )期望值E(x )变异数V(x )动差母函数m (t )Discrete Uniform n1 21(n +1) 121(n 2+1) tnt t e e e n --1)1(1 Continuous Uniforma b -1 21(a +b ) 121(b -a )2 ta b e e atbt )(--Bernoulli p x q 1-x (x =0, 1)p pq q +pe t Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x n p x q n -x npnpq(q+ pe t )nNegative Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x k 1p k q x pkq 2p kq kt kqe p )1(-Multinomialf (x 1, x 2, …, x m -1)= m xm x x m p p p x x x n ...!!...!!212121np inp i (1-p i )三项 (p 1e t 1+ p 2e t 2+ p 3)nGeometricpq x-1p 1 2p q ttqepe -1 Hypergeometric ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N x n k N x k n ⎪⎭⎫ ⎝⎛N k ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1N n N n ⎪⎭⎫ ⎝⎛N kPoisson !x e xλλ- λλ)1(--t e eλ Normal 2)(21 21σμπσ--x eμσ222 21 t t eσμ+Beta11)1(),(1---βαβαx x Bβαα+2))(1(βαβααβ+++Gammax e x λαλαλ--Γ1)()( λα 2λα αλλ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-t Exponentxeλλ-λ1 21λt-λλ Chi-Squared χ2=f (χ2)=212222)(221χχ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Γen n n E(χ2)=nV(χ2)=2n2)21(n t --Weibullαβα--x e1⎪⎭⎫⎝⎛+Γ+111λαβλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ111222λλαλ1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十亿 1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
微积分基本公式
duv = udv + vdu
duv = uv = udv + vdu → udv = uv - vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ
Dx
sinh-1(
x a
)=
1 a2 x2
1
pkqx
f(x1, x2, …, xm-1)=
Multinomial
n! x1! x 2 !... x m !
p x1 1
p2
x2
...
pm
xm
npi
Geometric
pqx-1
npq npi(1-pi)
动差母函数 m(t)
q+pet (q+ pet)n
三项 (p1et1+ p2et2+ p3)n
商数关系: tanθ= sin ; cotθ= cos
cos
sin
平方关系: cos2θ+ sin2θ=1; tan2θ+ 1= sec2θ; 1+ cot2θ= csc2θ
順位高 順位低
;
顺位高 d
顺位低
;
0* = 1 * = = 0* 1 = 0
00
顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数
平均差(Average Deviatoin)
变异数(Variance)
n
n
(Xi X)2
(Xi X )2
1
or 1
n
n 1
标准差(Standard Deviation)
微积分基本公式
微积分公式tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1Γ(x) = ⎰∞0t x-1e -t d t = 2⎰∞0t 2x-12t e-d t = ⎰∞)1(ln tx-1d tβ(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1xd x = ⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音Α α alpha Ι ιiota Ρ ρrho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ? sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χkhi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψpsi Θθtheta Ππpi Ω ω omega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1商数关系: tan θ= θθcos sin ; cot θ= θθsin cos平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ? 顺位高d 顺位低 ;0*? =∞1 *? = ∞∞= 0*01 = 0000 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲)顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)次数出现最多的数值 几何平均数(Geometric mean) 调和平均数(Harmonic mean) 平均差(Average Deviatoin)变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni分配 机率函数f (x ) 期望值E(x )变异数V(x )动差母函数m (t )1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
微积分基本公式
调和平均数(Harmonic mean)
平均差(Average Deviatoin)
变异数(Variance)
X X1 X 2 ... X n n
取排序后中间的那位数字 次数出现最多的数值
G n X1 X2 ... Xn
H
1
1 ( 1 1 ... 1 )
e jx e jx
sin x =
cos x =
2j
tanh-1( x )= a
a a2 x2
sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C
e jx e jx 2
coth-1(
x a
)=
a a2 x2
2 sin α cos β = sin (α +β ) + sin (α -β )
cos α + cos β = 2 cos ½(α +β ) cos ½(α -β )
2 cos α sin β = sin (α +β ) - sin (α -β )
cos α - cos β = -2 sin ½(α +β ) sin ½(α -β )
順位高 順位低 ;
顺位高 d 顺位低 ;
1
10
0* = * = = 0* =
00
0 0 = e0( ) ; 0 = e 0 ; 1 = e 0
顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)
算术平均数(Arithmetic mean) 中位数(Median) 众数(Mode)
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全微积分是数学的一个重要分支，涵盖了导数、积分、极限等概念和公式。
在学习微积分的过程中，掌握一些常用的微积分公式对于解题和理解概念非常重要。
下面是一些常用的微积分公式的介绍。
1. 导数的基本公式：- 常数函数导数为0：(c)' = 0，其中 c 是常数。
- 幂函数导数公式：(x^n)' = n*x^(n-1)，其中 n 是常数。
- 乘积法则：(f*g)' = f'*g + f*g'，其中 f 和 g 是可导函数。
- 商法则：(f/g)' = (f'*g - f*g')/g^2，其中 f 和 g 是可导函数，并且 g 不等于0。
- 链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)，其中 f 是可导函数，g 是可导函数。
2. 基本积分公式：- 变上限定积分公式：∫(f(x)'dx) = f(x) + C，其中 C 是常数。
- 幂函数积分公式：∫(x^n dx) = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中 n 不等于-1，C 是常数。
- 指数函数积分公式：∫(e^x dx) = e^x + C，其中 C 是常数。
- 三角函数积分公式：∫(sin(x) dx) = -cos(x) + C，∫(cos(x) dx) = sin(x) + C，∫(tan(x) dx) = -ln|cos(x)| + C，C 是常数。
- 分部积分法：∫(f(x)g(x) dx) = f(x)∫(g(x) dx) - ∫(f'(x)∫(g(x) dx) dx，其中 f 和 g 是可导函数。
3. 极限的基本公式：- 夹逼定理：如果对于 x -> a，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 g(x) 和h(x) 的极限都等于 L，则 f(x) 的极限也等于 L。
- 幂函数极限公式：lim(x -> a) (x^n) = a^n，其中 n 是正整数。
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( x)
F(x) ( a f (t)dt ) f ((x)) (x) .
例3
e1 t2 d t
计算 lim x0
cos x
x2
.
解
e1 t2 d t
cosx et2 d t
lim
x0
cos x
x2
lim x0
1
x2
罗必达法则
lim ecos2 x (sin x)
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
x0
x
x0 x
条件
这说明了什么 ？
lim f ( ) f (x) x0
a
(t ) d t
F (a) C0,
故
C0
F(a) .
取 x b , 则得到
基本公式
b
b
a f (t)dt a f (x)d x F(b) F(a) .
定理 ( 牛顿—莱布尼茨公式 )
若 f (x) C([a,b]), F (x) 为 f (x) 在[a,b] 上的
一个原函数, 则
b a
于是
0 | F(x) | |
x x
f (t)dt |
xx
| f (t) | dt Mx
x
x
由夹逼定理及点 x 的任意性, 即可得 F (x) C([a,b]) .
定理1说明: 定义在区间[a,b] 上的 积分上限函数是连续的.
积分上限函数是否可导?
由 F(x x) F(x)
xx
定理 2 若 f (x) C([a,b]), 则 F(x) x f (t)dt 在[a,b] a
上可导, 且
F(x) d
x
f (t)dt f (x) (a x b) .
dx a
定理 3 若 f (x) R([a,b]), 且在点 x0 [a,b] 处连续,
则 F(x)
x
f (t)dt
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
由积分的性质： b f (x)d x a f (x)d x, 有
a
b
b
x
x f (t)dt b f (t)dt ,
所以，我们只需讨论积分上限函数.
b f (t)dt 称为积分下限函数. x
定理 1 若 f (x) R([a,b]),则F(x)
高 等 数 学（文）
—— 一元微积分学
微积分的基本公式
第六章 定积分
第二节 微积分的基本公式一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可积函数 f (x) 而言, 每给定一对 a, b 值, 就有
确定的定积分值I
b
f
(x)d x
与之对应.
a
这意味着 f (x) 的定积分 b f (x)d x 与它的上下限 a
例6
1 1
11 x2
dx
arctan x
1 1
arctan1 arctan(1)
.
2
4 cos 2x d x
0
1 sin 2x 2
4 0
1 (sin 2
2
4
sin 0)
1. 2
例7 解
计算 1 cos2x d x . 0
x
f (t)dt
及
F(x)
f (x) 你会想到什么？
a
定理
若 f (x) C([a,b]), 则 F(x)
x
f (t)dt, x [a,b]
a
为 f (x) 在[a,b] 上的一个原函数.
推论1 若 f (x) C( I ) , 则 f (x) 在 I 上原函数存在.
推论2 基本初等函数在其定义域内原函数存在.
推论3 初等函数在其有定义的区间内原函数存在.
2. 微积分基本公式
如果 f (x) C([a,b]), 则
x
f (t)dt
为 f (x) 在[a,b] 上
a
的一个原函数.
若已知 F (x) 为 f (x) 的原函数, 则有
x
a f (t)dt F (x) C0.
令 x a, 则 0
a
f
之间存在一种函数关系.
固定积分下限不变, 让积分上限变化, 则得到积
分上限函数 :
x
x
F(x) a f (x)d x a f (t)dt x [a,b].
积分上限函数的几何意义 y
y f (x)
aO
xx b x
积分上限函数的几何意义 y
x
a f (x)d x
y f (x)
aO
xx b x
x0
2x
下面再看 定理 2 .
1. 2e
( x)
( a f (t)dt ) f ((x)) (x)
定理 2 若 f (x) C([a,b]), 则 F(x) x f (t)dt 在[a,b] a
上可导, 且 F(x) d
x
f (t)dt f (x)
(a x b) .
dx a
由 F(x)
解
令 u x2, g(u)
u
sin(1
t2)dt
,
则
F ( x)
g(x2) ,
0
故 F(x) g(u) d u ( u sin(1 t2)dt) (x2) dx 0
sin(1 u2) 2x 2xsin(1 x4) .
这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?
一般地 ,
f
(x)d x
F ( x)
b a
F (b)
F (a).
牛顿— 莱布尼茨公式 将定积分的计算与求原函数的计算联系起来了.
定积分的计算 问题转化为已 知函数的导函 数,求原来函数 的问题 .
例5
(sin x) cos x,
2 cos x d x
0
sin
x
2 0
sin
2
sin 0
1.
问题的关键是如何求一个 函数的原函数.
x
f (t)dt C([a,b]) .
a
证 x [a,b] , 且 x x [a,b] , 则
F(x) F(x x) F(x)
xx
x
xx
a f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt
又 f (x) R([a,b]), 故 f (x) 在[a,b] 上有界：| f (x) | M .
a
在点 x0
处可导,
且 F(x0)
f
(x0 ) .
(在端点处是指的 左右导数 )
例1
(
x
cost dt )
d
x
cos t d t cos x.
a
dx a
F ( x)
x
( a cos x d x ) ?
定积分与积分变量的记号无关.
x
( a cos xd x ) cos x.
例2
设 F (x) x2 sin(1 t2 )d t , 求 F(x) . 0