微积分的基本公式

推论3 初等函数在其有定义的区间内原函数存在.
2. 微积分基本公式
如果 f (x) C([a,b]), 则
x
f (t)dt
为 f (x) 在[a,b] 上
a
的一个原函数.
若已知 F (x) 为 f (x) 的原函数, 则有
x
a f (t)dt F (x) C0.
令 x a, 则 0
a
f
f
(x)d x
F ( x)
b a
F (b)
F (a).
牛顿— 莱布尼茨公式 将定积分的计算与求原函数的计算联系起来了.
定积分的计算 问题转化为已 知函数的导函 数,求原来函数 的问题 .
例5
(sin x) cos x,
2 cos x d x
0
sin
x
2 0
sin
2
sin 0
1.
问题的关键是如何求一个 函数的原函数.
x
f (t)dt
及
F(x)
f (x) 你会想到什么？
a
定理
若 f (x) C([a,b]), 则 F(x)
x
f (t)dt, x [a,b]
a
为 f (x) 在[a,b] 上的一个原函数.
推论1 若 f (x) C( I ) , 则 f (x) 在 I 上原函数存在.
推论2 基本初等函数在其定义域内原函数存在.
解
令 u x2, g(u)
u
sin(1
t2)dt
,
则
F ( x)
g(x2) ,
0
故 F(x) g(u) d u ( u sin(1 t2)dt) (x2) dx 0
sin(1 u2) 2x 2xsin(1 x4) .
这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?
一般地 ,
之间存在一种函数关系.
固定积分下限不变, 让积分上限变化, 则得到积
分上限函数 :
x
x
F(x) a f (x)d x a f (t)dt x [a,b].
积分上限函数的几何意义 y
y f (x)
aO
xx b x
积分上限函数的几何意义 y
x
a f (x)d x
y f (x)
aO
xx b x
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
由积分的性质： b f (x)d x a f (x)d x, 有
a
b
b
x
x f (t)dt b f (t)dt ,
所以，我们只需讨论积分上限函数.
b f (t)dt 称为积分下限函数. x
定理 1 若 f (x) R([a,b]),则F(x)
于是
0 | F(x) | |
x x
f (t)dt |
xx
| f (t) | dt Mx
x
x
由夹逼定理及点 x 的任意性, 即可得 F (x) C([a,b]) .
定理1说明: 定义在区间[a,b] 上的 积分上限函数是连续的.
积分上限函数是否可导?
由 F(x x) F(x)
xx
a
(t ) d t
F (a) C0,
故
C0
F(a) .
取 x b , 则得到
基本公式
b
b
a f (t)dt a f (x)d x F(b) F(a) .
定理 ( 牛顿—莱布尼茨公式 )
若 f (x) C([a,b]), F (x) 为 f (x) 在[a,b] 上的
一个原函数, 则
b a
a
在点 x0
处可导,
且 F(x0)
f
(x0 ) .
(在端点处是指的 左右导数 )
例1
(
x
cost dt )
d
x
cos t d t cos x.
a
dx a
F ( x)
x
( a cos x d x ) ?
定积分与积分变量的记号无关.
x
( a cos xd x ) cos x.
例2
设 F (x) x2 sin(1 t2 )d t , 求 F(x) . 0
x
f (t)dt C([a,b]) .
a
证 x [a,b] , 且 x x [a,b] , 则
F(x) F(x x) F(x)
xx
x
xx
a f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt
又 f (x) R([a,b]), 故 f (x) 在[a,b] 上有界：| f (x) | M .
高 等 数 学（文）
—— 一元微积分学
微积分的基本公式
第六章 定积分
第二节 微积分的基本公式
一. 积分上限函数 二. 微积分基本公式
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可积函数 f (x) 而言, 每给定一对 a, b 值, 就有
确定的定积分值I
b
f
(x)d x
与之对应.
a
这意味着 f (x) 的定积分 b f (x)d x 与它的上下限 a
定理 2 若 f (x) C([a,b]), 则 F(x) x f (t)dt 在[a,b] a
上可导, 且
F(x) d
x
f (t)dt f (x) (a x b) .
dx a
定理 3 若 f (x) R([a,b]), 且在点 x0 [a,b] 处连续,
则 F(x)
x
f (t)dt
例6
1 1
11 x2
dx
arctan x
1 1
arctan1 arctan(1)
.
2
4 cos 2x d x
0
1 sin 2x 2
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4 0
1 (sin 2
2
4
sin 0)
1. 2
例7 解
计算 1 cos2x d x . 0
若(x) 可导 , f (x) C , 则
( x)
F(x) ( a f (t)dt ) f ((x)) (x) .
例3
e1 t2 d t
计算 lim x0
cos x
x2
.
解
e1 t2 d t
cosx et2 d t
lim
x0
cos x
x2
lim x0
1
x2
罗必达法则
lim ecos2 x (sin x)
x0
2x
下面再看 定理 2 .
1. 2e
( x)
( a f (t)dt ) f ((x)) (x)
定理 2 若 f (x) C([a,b]), 则 F(x) x f (t)dt 在[a,b] a
上可导, 且 F(x) d
x
f (t)dt f (x)
(a x b) .
dx a
由 F(x)
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
x0
x
x0 x
条件
这说明了什么 ？
lim f ( ) f (x) x0