古典概型的特征和概率计算公式(课堂PPT)

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【自主解答】 (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次编号为 5,6，任取 2 道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}， {2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共 15 个，而且这些 基本事件的出现是等可能的．
(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有 6 个：(1,2)，(1,3)， (1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．
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[探究共研型]
古典概型概率的求法
探究 1 掷一枚骰子共有多少种不同的结果？ 【提示】 共有 6 种不同的结果． 探究 2 掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？ 【提示】 2,4,6 共三种结果． 探究 3 掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？ 【 提 示 】 记 事 件 A 为 落 地 时 向 上 的 点 数 为 偶 数 ． 则 P(A) ＝
用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}， {1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共 6 个，所以 P(A)＝165＝25.
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(2)基本事件同(1)．用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本 事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共 8 个，所以 P(B)＝185.
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[再练一题] 2．(1)在数轴上 0～3 之间任取一点，求此点的坐标小于 1 的概率．此试验 是否为古典概型？为什么？ (2)从 1,2,3,4 四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是 2 的概率，此试 验是古典概型吗？试说明理由．
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【解】 (1)在数轴上 0～3 之间任取一点，此点可以在 0～3 之间的任一位 置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多 个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．
阶
阶
段
段
一
三
2 古典概型
2.1 古典概型的特征和概率计算公式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．能记住古典概型的概念、两个基本特征及计算公式．(重点) 2．掌握求基本事件总数的常用方法：列举法、树状图法、列表法等．(重点) 3．会选择恰当的方法求古典概率模型的概率．(难点)
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确定基本事件空间的方法： 随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定基本事件空间必须明确事件 发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案.求基本事件时，一定要 注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
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[再练一题] 1．袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的球各一个，按下列要 求分别进行试验： ①从中任取一个球，观察其颜色；②从中任取两个球，观察其颜色；③一 先一后取两个球，观察其颜色． 分别写出上面试验的基本事件，并指出基本事件总数.
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学业分层测评
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2．试验的每一个可能结果称为 基本事件． 3．古典概型的概率公式 对于古典概型，通常试验中的某一事件 A 是由几个基本事件组成的．如果 试验的所有可能结果(基本事件)数为 n，随机事件 A 包含的基本事件数为 m，那
事件A包含的可能结果数 m 么事件 A 的概率规定为 P(A)＝ 试验的所有可能结果数 ＝ n .
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整 数被抽到的可能性相等．
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判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特 征：
(1)有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
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【自主解答】 (1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事 件．
分别是 A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}，共 3 个． (2)从袋中取两个球的等可能结果为球 1 和球 2，球 1 和球 3，球 1 和球 4， 球 1 和球 5，球 2 和球 3，球 2 和球 4，球 2 和球 5，球 3 和球 4，球 3 和球 5， 球 4 和球 5.故共有 10 个基本事件．
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【解】 先后抛掷两枚大小相同的骰子，结果如下： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共有 36 种不同的结果． 记“点数之和能被 3 整除”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件共 12 个： (1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故 P(A)＝1326＝13.
A中包含的基本事件数 基本事件总数 .
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现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道 题解答．试求：
(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率．
【精彩点拨】 用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能 结果，然后利用公式求解．
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[基础·初探] 教材整理 古典概型 阅读教材 P130～P132“例 1”以上部分，完成下列问题． 古典概率模型的特征 1．(1)试验的所有可能结果只有 有限个，每次试验只出现其中的一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性相同． 我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．
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1．下列不是古典概型的是( ) A．从 6 名同学中，选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B．同时掷两颗骰子，点数和为 7 的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【解析】 C 中每种结果出现的可能性不相等，故选 C. 【答案】 C
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【解析】 (1)√，根据古典概型的定义可得． (2)×，可能结果有无限个． (3)√，根据古典概型的特征知正确．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
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基本事件的计数问题
[小组合作型]
列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数． (1)从字母 a，b，c 中任意取出两个字母的试验； (2)从装有形状、大小完全一样且分别标有 1,2,3,4,5 号的 5 个球的袋中任意 取出两个球的试验． 【精彩点拨】 根据基本事件的定义探求各试验的所有基本事件．
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【自主解答】 (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出 的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个” 矛盾．
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概 率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
【解析】 基本事件总数为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、 丙乙甲，共 6 个，其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙，共 2 个，所以甲站在 中间的概率为26＝13.
【答案】
1 3
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4．广州亚运会要在某高校的 8 名懂外文的志愿者中选 1 名，其中有 3 人懂
日文，则选到懂日文的志愿者的概率为________．
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古典概型问题的解题方法与步骤： 1判断所求概率的问题是否属于古典概型； 2利用列举法、列表法或树状图法列举出所有可能出现的基本事件，计算 其总数 n； 3从所列出的基本事件中查出所求概率的事件 A 包含的基本事件数 m；,4 利用公式 PA＝mn 求解.
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[再练一题] 3．先后掷两枚大小相同的骰子，求点数之和能被 3 整除的概率．
【导学号：63580035】
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【解】 ①试验“从中任取一个球，观察其颜色”的基本事件空间 Ω＝{红、 白、黄、黑}，基本事件总数为 4.
②试验“从中任取两个球，观察其颜色”的基本事件空间 Ω＝{(红、白)，(红， 黄)，(黄，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(红，黑)}，基本事件总数为 6.
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)掷一粒正方体骰子一次，观察其朝上的点数的试验为古典概型．( ) (2)从[0,10]上任取一个不大于 5 的实数的试验为古典概型．( ) (3)在古典概型中，试验中的基本事件都是有限的，且事件的发生都是等可 能的．( )
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③试验“一先一后取两个球，观察其颜色”的基本事件空间 Ω＝{(红，白)， (白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(白，黄)，(黄，白)，(白， 黑)，(黑，白)，(红，黑)，(黑，红)}，基本事件总数为 12.
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古XX典X概型的判定
下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数 2 的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)从 1,2,3，…，100 这 100 个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概 率． 【精彩点拨】 根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个 基本事件是否等可能发生即可．
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2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只
选报其中的 2 个，则基本事件共有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
பைடு நூலகம்
D．4 个
【解析】 基本事件共有{计算机、数学}、{计算机、航空模型}、{数学、 航空模型}三个．
【答案】 C
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3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率为________．
【解析】 8 名懂外文的志愿者中随机选 1 名有 8 个基本事件，“选到懂日
文的志愿者”包含 3 个基本事件，因此所求概率为38.
【答案】
3 8
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5．从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是多少？
【解】 总的事件数为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)， (3,5)，(4,5)共 10 种，其中和为 5 的一共有(1,4)，(2,3)，所以 P＝120＝0.2.