概率统计1-2

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概率论与数理统计课件(1-2)

频率与概率到底有怎样的关系呢？频率与概率到底有怎样的关系呢？
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
这两个公式的思想贯穿着整个概率问题的求解
可重复排列：从含有n 个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列
n n n
n
共有nk 种不同排列方式
无重复排列：无重复排列：从含有n 个元素的集合中随机抽每次取一个，取后不放回，取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列
1.2 概率
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？（应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
•频率的性质
(1) 0≤ fn(A) ≤1； ≤ ≤ ； (2) fn( )＝1； fn(Φ)=0 ＝； Φ (3) 可加性：若AB＝ Φ ，则可加性：＝ fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B). ＝
二、概率的公理化定义与性质注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义

概率统计第七章1-2

P(|U|>u1-α/2)=α
φ(x)
U检验
α/2
- u1-αΒιβλιοθήκη 2 u1-α/2接受域α/2
X
否定域
否定域
双侧统计检验
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
② H0:μ≤μ0(已知); H1:μ>μ0 （右侧检验） 1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0, X 0 在H0下有 2) 对统计量: U / n X 0 X , / n / n X 0 X 对给定的α有 { u1 } { u1 } / n / n X 0 X 所以 P( u1 ) P( u1 ) / n / n 3) 故拒绝条件为U> u1-α
c u u0.05 1.645
由
X 110 4/5
1.645
X 108.648
即区间( ,108.648 ) 为检验的拒绝域称 X 的取值区间 (108.648,+) 为检验的接受域
四、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值我们可以做出判断：当 x 108.684 或 u 1.645 时，则拒绝H 0 即接收 H1 ；
H 0 : p 4%
vs
H1 : p 4%
二、选择检验统计量由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成的，该统计量称为检验统计量。找出在原假设 H 0 成立条件下,该统计量所服从的分布。
三、选择显著性水平，给出拒绝域形式小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实际问题的要求而定,如取α =0.1,0.05,0.01等, α 为检验的显著性水平(检验水平). 根据所要求的显著性水平α ,描写小概率事件的统计量的取值范围称为该原假设的拒绝域(否定域),一般用W表示；一般将 W 称为接受域。拒绝域的边界称为该假设检验的临界值.

概率论与数理统计答案第二章1-2节

第二章随机变量及其分布
关键词：随机变量离散型随机变量、分布律连续型随机变量、概率密度概率分布函数重伯努利实验、二项分布、泊松分布均匀分布、正态分布、指数分布随机变量的函数的分布
1
§1 随机变量
定义
2 3
例1: 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现 H的总次数以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间 S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 即有
1) P { X = k} = C3k p k (1 − p )3− k , k = 0,1, 2,3 (
( 2)
P { X = 2} = C32 p 2 (1 − p)
21
泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为 e− λ λ k
P { X = k} = k! ， = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, λ > 0 k
互不影响
例如： 1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面， P (出现正面 ) = 1 2 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验只有两个结果：A , A , P ( A ) = 1 6
12
定义随机变量X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数, 我们来求它的分布律. X所有可能取的值为0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互独立的, 因此事件A在指定的 k(0≤k≤n)次试验中发生, 在其它n−k次试验中A不发生的概率为
13
设A在n重伯努利试验中发生X次，则
k P பைடு நூலகம் X = k} = Cn p k (1 − p ) n − k ， = 0，⋅⋅⋅，n k 1，
⎛n⎞ k Cn = ⎜ ⎟ 表示n中 ⎜k ⎟ ⎝ ⎠ 任选k的组合数目

概率与数理统计C1_2

概率直观意义及运算
Am 所含样本数为
C C m n-m M N-M
从而
P( A)
C C m n-m M N-M
/
C
n N
20.3.22
一般模型：袋中有n个球, 第1类有n1个, 第2类有n2个,…,第 k类有nk个, 并且n1 +n2 +…+nk = n, 从袋中取出m（m≤n）个，求其中恰有mi个第i类球的概率P，其中m1 +m2+…+mk=m，mi ≤ni
3r 的概率. 为什么三种解答的结论不同？请分析其原因.
电子科技大学
概率直观意义及运算
20.3.22
例1 抛一枚均匀硬币，观察其出现正面H 和反面T的情况.
通过实践与分析可得：硬币出现正面的可能性等于它出现反面的可能性.
#
电子科技大学
概率直观意义及运算
20.3.22
例2 从 10个标有号码 1, 2,…, 10 的小球中任取一个, 记录所得小球的号码.
摸球试验
注：在古典概率的计算中常用到排列组合的知识，如乘法原理、加法原理等等。
古典概率性质： (1) 对任意事件A，有0≤P (A)≤1；
(2) P (W )=1；
电子科技大学
概率直观意义及运算
20.3.22
(3) 若A1，A2，…，Am互不相容，则
m
m
P( Ai ) P( Ai ).
i1 i1
62
0.102
44
0.072
58
0.095
67
0.110
电子科技大学
20.3.22
向克斯π的前608位的各数码出
现频率

概率论与统计1-2事件的关系和运算

独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算，而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质，包括非负性、规范性、可加性等，这些性质在概率论和统计中有着广泛的应用。

概率论与数理统计ch1-2

绝对偏差 0.1 0.03 0.004 0.0012 0.0022 0.00095 0.00138
试验二：掷色子
设A=“出现1点”
P(A) 1 0.16& 6
试验次数 10 100 1000 5000 10000 20000 50000
A出现的频数 2 15 153 850 1719 3381 8204
摩根法则：
A B A B ； AB A B
★用简单事件的运算来表示复杂事件！
CH1 随机事件及其概率
§1.2 事件的概率
研究随机试验，仅仅知道所有可能结果是不够的，还需要了解各种结果出现的可能性大小。
概率就是描述事件A发生可能性大小的一个量。
本节给出概率的四种定义：
一、概率的统计定义
二、概率的古典定义★
概率的古典定义仅适用于具有下述特点的试验模型： (1) 试验中所有基本事件的总数是有限的； —有限性 (2) 每次试验中，各基本事件的发生是等可能的。 —等可能性
——古典概型(等可能性模型)
定义：如果古典概型中，所有基本事件的总数为n，而
A所包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为：
公理1(非负性)：0 P(A) 1；公理2(规范性)： P() 1；
公理3(可列可加性)：对于两两互斥的事件列A1, A2,L , An,L ，有 P( A1 A2 L An L ) P( A1) P( A2) L P( An ) L 概率则是称非P负(A的)为、事规件范A的的、概可率列。可加的集函数。
m1 m2 m1 m2
fn(A+B)= fn(A) +fn(B)
m1 m2 m1 m2
n
nn

概率论与数理统计习题答案1-2

第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，，，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

概率统计教学资料-1-2节第2章随机变量及其分布

因此事件A在n次试验中发生k次的概率为
n
P (X k ) C n kp k q n k ,k 0 ,1 , ,n
C
k n
p
k
q
n k C n 0 p 0 q n C n 1 p q n 1 C n n p n q 0 1
.
k 0
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13
二项分布（Binomial distribution）
k! n
nn
li(1 m )n k li(1 m )nli(1 m ) k
n nln in C lnm in k m p (1kqn nn )k nn ( k )k !ee n ,k0,1,2,
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将样本空间与实数值之间建立一种对应关系，以便利用数学
分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论 .
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4
1. 随机变量的定义
定义: 设随机试验E的样本空间为 S {e}, 若对于每一个样本点 eS, 变量X 都有唯一确定实数与之对应, 则X是定义在 S上的单值实函数, 即 XX(e), 称
辆汽车通过的概率.
解：由题意知
P(X0)0e0.2, 则1.61.
0! 而 P ( X 1 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 )
10.21 e 1 0 .2 1 .6 0 1 .2
1!
0.478.
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19
P ( X 2 ) P ( A ) P ( A B ) P ( B |A ) 0 . 7 0 . 8 5 0 . 6

1-2 概率及其计算

mA → p 。则称统计概率的定义：足够大时，统计概率的定义： n足够大时，f n ( A) = n
为事件A发生的统计概率，该频率的稳定值p为事件A发生的统计概率，即P(A)=p。实际应用中
mA P ( A) ≈ n
例4 某市卫生管理部门对该市60岁以上老人患高血压的某市卫生管理部门对该市60 60岁以上老人患高血压的
其中至少两人的生日是在同一月的概率。其中至少两人的生日是在同一月的概率。表示至少两人生日同月，用A 表示至少两人生日同月，k i 表示有 i 个人生日同月
4 至少两人生日同月有：分析基本事件总数 n = 12 = 20736 至少两人生日同月有：
2 3 ⑴ 两人生日同月： k 2 = C4 × A12 = 7920 两人生日同月：
简单概率的计算
50张考签编号为1 张考签，例 2 有50张考签，编号为1～50 。 ⑴ 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签"的概率任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签号考签" ⑵ 任抽两张考试，求"抽到两张都是前10号考签"的概率任抽两张考试，抽到两张都是前10号考签号考签" ⑶ 无放回地抽取2次，每次1张，求"抽到两张都是前10号无放回地抽取2 每次1 抽到两张都是前10号考签" 考签"的概率 ⑷ 无放回地抽取5次，每次1张，求事件"最后一次抽到的无放回地抽取5 每次1 求事件" 是双号考签" 是双号考签"的概率解 A 表示所发生的事件，则表示所发生的事件， ⑴ n＝50，k＝10 ；故 P(A)＝k / n＝1 / 5＝0. 2 50， P(A)＝ n＝ 5＝ ⑵ n = C 50 = 1225 ; k = C 10 = 45 ； P(A)＝k / n＝ 0. 037 P(A)＝ n＝

概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念频率和概率

17
古典概型问题中，样本空间的构造必须保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性，称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1

高等教育：概率论第1章1-2

三次射击都击中目标
A3 A2 A3 A2 第三次击中但第二次未击中
A1 A2
前两次都未击中目标 A1 A2
A2 A3
后两次至少有一次未击中目标 A2 A3
A1A2 A1A3 A2 A3
至少有两次击中目标
1.2 随机事件的概率及其性质
1.2.1 概率的统计定义
试验一：皮尔逊(pearson)投掷硬币试验
8 解：(1) P(B A) P(B A) P(B AB) P(B) P(AB)
10 1 22
(2) P(B A) P(B) P(AB) P(B) P(A) 1 1 1 23 6
(3) P(B A) P(B) P(AB) 1 1 3 28 8
第1章随机事件及其概率
1.1 随机事件及其关系
1.1.1 样本空间与随机事件概率论把观察客观事物的过程称为试验，而把
满足下列三个条件的试验称为随机试验：
1.可重复性 2. 可观察性 3.不确定性
样本点：随机试验的每一个可能结果称为一样本点。以 e 表示；
样本空间：随机试验的所有结果组成的集合。
记作：A B
(2)事件的相等：若A B且 B A，即A和B的样本点完全相同。记作：A B
(3) 事件的并(和)--和事件: 事件A和事件B至少有一个发生，这
一事件称为A与B的和事件。记为 A B 或 A B 推广1：有限个 A1 A2 ... An 或 A1 A2 ... An 推广2：可列个 A1 A2 ... An ...
1、交换律：A∪ B＝B ∪ A，AB＝BA 2、结合律：(A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，

概率论与数理统计1-2-zh

概率的加法公式 (4.1) 两个事件和的概率为 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB ). (4.2)三个事件和的概率为 P ( A B C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC).
(4.3) Jordan公式对任何 n 个事件A1，A2，…，An,都有
n n P Ak P ( Ai ) P ( Ai A j ) i 1 i 1 1 i j n n n 1 P ( Ai A j Ak ) ( 1) P Ai . i 1 1 i j k n
1 1 2
2 ...
n AN
3 …
n N-1 N
P(A) = —— . n N
1 2 3 …… N-1 N
设有n个球，每个球都以同样的概率1/N 落入到N个盒子中的每一个盒子, （Nn，盒子容量不限）求 (1)某指定的n个盒子中各有一球的概率； (2)恰有n个盒子中各有一球的概率； (3)每个盒子中至多有一球的概率.
3.
解设A =“某指定的n个盒子中各有一球”， B =“恰有n个盒子中各有一球”， C =“每个盒子中至多有一球”.
A
பைடு நூலகம்

A
A B
B
四、概率的公理化定义 1. 定义 (1)非负性 (2)规范性 (3)可列可加性 2. 概率的性质 (1) P ( ) 0. (2)有限可加性 (3)单调性
(4)概率的加法公式 (4.1) 对任何两个事件A,B, 都有 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB ).

概率论与数理统计试题与答案(1_2)

8分
12分
四、(本题12分)设二维随机变量联合概率密度为
=
(1) 确定常数 .
(2) 求边缘概率密度及 ,并问与是否独立,为什么?
(3) 求 .
[解答]
(1)由密度函数的性质有
故 .3分
(2)如果 ,则 ;
如果 ,则
故的边缘密度数为
5分
如果 ,则 ;
如果 ,则
故的边缘密度数为
Hale Waihona Puke 7分由于 ,故与相互独立..9分
解 (1) 3分
6分
(2) 9分
12分
六、(本题12分)设随机变量的密度函数为
= 其中为未知参数, 是的简单随机样本, 是的样本观察值,求参数的极大似然估计值.
解似然函数
.4分
取对数
6分
令得 10分
所以的极大似然估计值为 12分
七、(本题10分)某厂生产的某种电子元件的寿命其中都是未知的参数,现在观测25个样本,得样本观察值计算得 .试问该厂的这种电子元件的平均使用寿命在显著水平下是否为 (小时)?
小时.10分
(3) 对于给定的检验水平 ,查表确定临界值
,
于是拒绝域为 5分
(4) 根据样本观察值计算统计量的观察值:由已知 ,故
8分
(5)判断: 由于 ,故接受H0,即这种电子元件的平均使用寿命为
小时.10分
一、填空题(每小题3分,共30分)
1、或 2、 3、
4、 5、-6,256、0.57、0.875
8、 9、 10、
则 0.875.
8、设与是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
,
则的联合概率密度 =.

概率论与数理统计第二章1-2

解：若要每蚕养活k只小蚕，则每蚕至少产卵k个，用Am记每蚕的产卵数为m这一事件(m k),用B记每蚕养活k只小蚕这一事件。
p( Am )
e
m
m!
;
p(B | Am ) Cmk pk (1 p)mk
根据全概率公式，所求概率
p(B) p( Am ) p(B | Am )
mk
p(B) p( Am ) p(B | Am ) mk
❖ 随机变量的函数一般也是随机变量
❖ 在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量。
例 S = {儿童的发育情况 } X— 身高, Y — 体重, Z— 头围.
各随机变量之间可能有一定的关系, 也可能没有关系—— 即相互独立。
离散型
随机变量分类
非离散型
其中一种重要的类型为连续型随机变量
第二节离散型随机变量及其分布律
其中xk项的系数为：
Cnk pk qnk
b(k; n, p)
可以验证：
n
n
b(k; n, p) Cnk pk qnk ( p q)n 1
k 1
k 1
例2 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机的抽查20只。问20只元件中恰有k只 (k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
例1 车间中正在工作的车床数
例2 某电话总机每天接到的呼叫次数
例3 考查电脑寿命
例4 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个变量来描述
1, 次品 X 0, 正品
共同特点：试验结果能用一个数来表示，这个数随试验结果的不同而变化。
第一节随机变量
随机变量 ( random variable )

合工大概率统计第1章(1--2).

3.并事件事件“ A, B 中至少发生一个”称为事件 A 和事件 B 的并事件，记为 A
B．
从集合角度来讲， A
B 为 A 和 B 的并集．
11-13
2019/2/4
4. 交事件（积事件）事件“ A, B 都发生”称为事件 A 和事件 B 的交事件或积事件，记为 A
B 或 AB ．
从集合角度来讲， AB 为 A 和 B 的交集．显然有
E 的样本空间，记为．
11-7
在 E1 中，样本点为 1 “出现正面”和 2 “出现反面” ，样本空间为 1 {1,2 } ．
在 E2 中，用 i 表示第一枚骰子出现的点数， j 表示第二枚骰子出现的点数，则每个样本点可用二维有序数组
2019/2/4
(i, j ) 表示，其中 1 i 6,1 j 6 ，因此样本空间为
例：在 E1 中， A1 {1}；在 E2 中． B1 {(6,6)}, B2 {(1,1),(1, 2),(2,1)} ；其中 E1 中的 A 1 和 E2 中的 B 1 为基本事件．
11-9
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当随机试验 E 中所出现的样本点属于集合 A 时，就称随机事件 A 发生，否则就称随机事件 A 不发生．
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概率论与数理统计
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概率论与数理统计
概率论
数理统计
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第一章随机事件及其概率
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§1 随机试验与随机事件
自然界与社会生活中的两类现象：

确定性现象：结果确定随机现象：结果不确定

概率论与数理统计第一章答案

概率论与数理统计第⼀章答案习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满⾜关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发⽣, 则B 必发⽣. (B) A , B 同时发⽣.(C) 若A 发⽣, 则B 必不发⽣. (D) 若A 不发⽣，则B ⼀定不发⽣.解根据事件的包含关系, 考虑对⽴事件, 本题应选(D).(2) 设A 表⽰“甲种商品畅销, ⼄种商品滞销”, 其对⽴事件A 表⽰( ). (A) 甲种商品滞销, ⼄种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, ⼄种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, ⼄种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者⼄种商品畅销.解设B 表⽰“甲种商品畅销”，C 表⽰“⼄种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) ⼀袋中有5只球, 其中有3只⽩球和2只⿊球, 从袋中任意取⼀球, 观察其颜⾊; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出⼀个, 观察其颜⾊； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的⿊球个数； (4) ⽣产产品直到有10件正品为⽌, 记录⽣产产品的总件数. 解 (1) {⿊球,⽩球}； (2) {⿊⿊,⿊⽩,⽩⿊,⽩⽩}； (3) {0,1,2}；(4) 设在⽣产第10件正品前共⽣产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表⽰下列各事件： (1) 仅有A 发⽣；(2) A , B , C 中⾄少有⼀个发⽣; (3) A , B , C 中恰有⼀个发⽣; (4) A , B , C 中最多有⼀个发⽣; (5) A , B , C 都不发⽣;(6) A 不发⽣, B , C 中⾄少有⼀个发⽣. 解 (1) ABC ; (2)A B C ; (3) ABC ABC ABC ;(4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .4. 事件A i 表⽰某射⼿第i 次(i =1, 2, 3)击中⽬标, 试⽤⽂字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3; (4) A 2－A 3;(5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射⼿第⼀次或第⼆次击中⽬标;(2) 射⼿三次射击中⾄少击中⽬标;(3) 射⼿第三次没有击中⽬标;(4) 射⼿第⼆次击中⽬标,但是第三次没有击中⽬标;(5) 射⼿第⼆次和第三次都没有击中⽬标;(6) 射⼿第⼀次或第⼆次没有击中⽬标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任⼆事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解由⽂⽒图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).解因()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= ,故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .解由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .解由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最⼤值, 最⼤值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最⼩值, 最⼩值是多少？解 ()()()()P AB P A P B P A B =+- =1.3()P A B - .(1) 如果A B B = , 即当A B ?时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最⼤值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1，或者A B S = 时, ()P AB 有最⼩值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发⽣的概率.解因为ABCAB ?,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0.由概率⼀般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对⽴事件的概率性质知A ,B , C 全不发⽣的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件⼀等品和2件⼆等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是⼀等品. (B) 恰有1件⼀等品. (C) ⾄少有1件⼀等品. (D) ⾄多有1件⼀等品.解⾄多有⼀件⼀等品包括恰有⼀件⼀等品和没有⼀等品, 其中只含有⼀件⼀等品的113225C C C ?, 没有⼀等品的概率为023225C C C ?, 将两者加起即为0.7. 答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) ⾄少有1件次品的概率; (4) ⾄多有1件次品的概率; (5) ⾄少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )⾄少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) ⾄多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) ⾄少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个⽩球和5个⿊球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为⽩球的概率；(2) 两个球中⼀个是⽩的, 另⼀个是⿊的概率； (3）⾄少有⼀个⿊球的概率.解从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是⽩球的取法有24C 种，⼀⿊⼀⽩的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是⽩球的概率是2924C C ;(2)两球中⼀⿊⼀⽩的概率是115429C C C ;(3)⾄少有⼀个⿊球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和⼩于6 5;(2) 两数之积⼩于14;(3) 以上两个条件同时满⾜;(4) 两数之差的绝对值⼩于12的概率.解设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-??=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x+=+≈?;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ?+-++-≈0.593.(4) 解设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|012}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-===, 其中 S A , S Ω分别表⽰A 与Ω的⾯积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满⾜P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =. (C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对⽴事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取⼀个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取⼀个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813.3. ⼝袋中有b 个⿊球、r 个红球, 从中任取⼀个, 放回后再放⼊同颜⾊的球a 个. 设B i ={第i 次取到⿊球}, 求1234()P B B B B .解⽤乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和⽆放回抽样.4. 甲、⼄、丙三⼈同时对某飞机进⾏射击, 三⼈击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被⼀⼈击中⽽被击落的概率为0.2, 被两⼈击中⽽被击落的概率为0.6, 若三⼈都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解⽬标被击落是由于三⼈射击的结果, 但它显然不能看作三⼈射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表⽰“飞机在⼀次三⼈射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表⽰“恰有i 发击中⽬标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中⽬标概率为0()0.60.50.30.09P B =??=, 恰有⼀发击中⽬标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =??+??+??=,恰有两发击中⽬标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =??+??+??=,恰有三发击中⽬标概率为3()0.40.50.70.14P B =??=.⼜已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===?+?+?=∑5. 在三个箱⼦中, 第⼀箱装有4个⿊球, 1个⽩球; 第⼆箱装有3个⿊球, 3个⽩球; 第三箱装有3个⿊球, 5个⽩球. 现任取⼀箱, 再从该箱中任取⼀球.(1) 求取出的球是⽩球的概率；(2) 若取出的为⽩球, 求该球属于第⼆箱的概率.解 (1)以A 表⽰“取得球是⽩球”，i H 表⽰“取得球来⾄第i 个箱⼦”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某⼚甲、⼄、丙三个车间⽣产同⼀种产品, 其产量分别占全⼚总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取⼀件进⾏检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的⼀件是次品, 问此产品来⾃甲、⼄、丙各车间的概率分别是多少？解设A 表⽰“取到的是⼀件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表⽰“所取到的产品来⾃甲、⼄、丙⼯⼚”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的⼀个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.0384.=?+?+?=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ?===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ?===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ?===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成⽴的是( ).(A) A , B 相互独⽴. (B) A , B 不相互独⽴.(C) A , B 互为对⽴事件. (D) A , B 不互为对⽴事件. 解⽤反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独⽴, 则下⾯的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独⽴. (B) A 与B 独⽴. (C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B ⼀定互斥.解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独⽴. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独⽴, 且0(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B ⼀定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与也相互独⽴, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及⼀般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从⽽本题应选(C).2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明 P (B |A )=)(A BP 是事件A 与B 独⽴的充分必要条件.证由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独⽴, 知事件A 与B 也独⽴, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从⽽()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对⽴事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独⽴.3. 设三事件A , B 和C 两两独⽴, 满⾜条件：,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解根据⼀般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ .由题设可知 A , B 和C 两两相互独⽴, ,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====?=从⽽29()3()3[()]16P A B C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4．某⼈向同⼀⽬标独⽴重复射击, 每次射击命中⽬标的概率为p (0解 “第4次射击恰好第2次命中” 表⽰4次射击中第4次命中⽬标, 前3次射击中有⼀次命中⽬标. 由独⽴重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击, 已知甲命中⽬标的概率为 0.7, ⼄命中⽬标的概率为0.8. 求：(1) 甲、⼄两⼈同时命中⽬标的概率；(2) 恰有⼀⼈命中⽬标的概率； (3) ⽬标被命中的概率.解甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击应看作相互独⽴事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==?=(2)()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=?+?=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总习题⼀1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独⽴的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独⽴的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解由于A , B , C 是三个相互独⽴的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另⼀个事件或其逆是相互独⽴的, 根据这⼀性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独⽴的, 因⽽均为⼲扰项, 只有选项(B)正确..2. ⼀批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第⼀次取出后不再放回.求: (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率; (2) 抽得⼀件为正品, ⼀件为次品的概率.解 (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率为9551910099396?=.(1) 抽得⼀件为正品，⼀件为次品的概率为95559519.10099198+= 3. 设有⼀箱同类型的产品是由三家⼯⼚⽣产的. 已知其中有21的产品是第⼀家⼯⼚⽣产的, 其它⼆⼚各⽣产41. ⼜知第⼀、第⼆家⼯⼚⽣产的产品中有2%是次品, 第三家⼯⼚⽣产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取⼀件产品, 求取到的是次品的概率.解从此箱中任取⼀件产品, 必然是这三个⼚中某⼀家⼯⼚的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家⼯⼚⽣产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =?(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的⼀个划分. ⼜ P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41,P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221?+?+?=0.025. 4. 某⼚⾃动⽣产设备在⽣产前须进⾏调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功,则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某⽇调整后试⽣产, 发现第⼀个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=?+?=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ?====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,⽽B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解以D 表⽰事件“将信息A 传递出去”，以D 表⽰事件“将信息B 传递出去”，以R 表⽰事件“接收到信息A ”,以R 表⽰事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。

新概率1-2(1)

S
A-B B
A
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(4)对任意两个事件A、B，有对任意两个事件A 对任意两个事件 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB) B=A∪(B－AB)，证：A∪B=A∪(B－AB)，且A∩(B－AB)=Ø， AB (B－AB)= ，
S
A AB B A∪B ∪
(2)规范性 (2)规范性
fn (S) = 1, fn (Φ) = 0,
fn( A) =
m n
事件的频率
(3)有限可加性 (3)有限可加性 ⋯ 若A1，A2，，Ak 是两两互不相容的事件则，
fn ( A1 ∪ A2 ∪⋯∪ Ak ) = fn ( A1 ) + fn ( A2 ) + ⋯+ fn ( Ak )
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概率论与数理统计
A,B,C是三事件是三事件,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0 例2：设A,B,C是三事件,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0 1/16,求全不发生的概率。 P(AC)=P(BC)= 1/16,求A，B，C全不发生的概率。
解： (A B C ) = P ( A ∪ B ∪ C ) P
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概率论与数理统计
实际中，当概率不易求出时，实际中，当概率不易求出时，人们常通过作大量试验，人们常通过作大量试验，用事件出现的频率去近似概率. 出现的频率去近似概率. 如若我们希望知道某射手中靶的概率，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录. 射击情况进行观察记录. 若他射击n 若他射击n发，中靶m发，当n很大时，中靶m 很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计. m/n作为他中靶概率的估计可用频率m/n作为他中靶概率的估计.

概率论与统计1-2 事件的关系和运算

A⊂ B A= B
AB = ∅
A发生则发生则 B必发生必发生
集合论
A是B的是的子集 A与B相等与相等
Venn图 Venn图
A⊂ B 且B ⊂ A
事件A与不与不事件与B不 A与B不能同时发生相交 A的余集 A的对立事件 ① A U A = Ω ② AA = ∅
A
A
包含关系出现, 若事件 A 出现必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A, 记作 B ⊃ A 或 A ⊂ B . 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合长度不合格” 格”“产品不合格” “长度不合格”. 所以“ 包含“ 所以产品不合格” 包含长度不合格” 图示 B 包含 A. A B
抛掷一枚骰子, 实例抛掷一枚骰子观察出现的点数 . “骰子出现点” 互斥骰子出现1点骰子出现 “骰子出现2点” 骰子出现点
图示 A与B互斥与互斥 A B
Ω
可将A∪ 记为直和” 记为“ 说明当A∩B= ∅时,可将 ∪B记为“直和”形式 ∩ 可将 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥. 与不可能事件∅ 任意事件与不可能事件∅为互斥
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 至少发生一个” 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A U B，显然 A U B = {e | e ∈ A或e ∈ B }.
实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此产品不合格” 直径是否合格所决定因此 “产品不合格”是“长度不合格” 不合格”与“直径不合格”的并. 直径不合格”的并的并. 图示事件 A 与 B 的并 B AU BA
( 3 ) A， B， C中恰有两个发生 .