概率统计和随机过程12概率定义及其计算
北邮概率论与随机过程笔记
北邮概率论与随机过程笔记北邮概率论与随机过程笔记第一章绪论1.1 概率论的起源与发展1.2 概率的基本概念1.3 概率论的应用领域1.4 随机过程的起源与发展1.5 随机过程的基本概念1.6 随机过程的应用领域第二章概率论的基本概念2.1 随机试验与随机事件2.2 频率与概率2.3 古典概型2.4 贝叶斯概型2.5 随机变量2.6 随机变量的函数及其分布2.7 条件概率与条件分布2.8 独立性第三章随机变量及其分布3.1 离散型随机变量及其分布3.2 连续型随机变量及其分布3.3 随机变量的数学期望3.4 随机变量的方差与标准差3.5 随机变量的矩与生成函数3.6 概率母函数与特征函数3.7 大数定律与中心极限定理第四章多维随机变量及其分布4.1 多维随机变量及其分布函数4.2 联合分布函数与边缘分布函数4.3 多维离散型随机变量的分布4.4 多维连续型随机变量的密度4.5 条件分布与独立性4.6 随机变量的矩与协方差矩阵4.7 多维随机变量的生成函数与特征函数第五章数理统计基本概念5.1 数理统计的概念与作用5.2 参数估计与假设检验5.3 点估计与区间估计5.4 最大似然估计5.5 矩估计5.6 假设检验5.7 重要的假设检验第六章随机过程基本概念6.1 随机过程的概念与分类6.2 随机过程的样本函数与轨道6.3 随机过程的数学描述6.4 平稳性与各态平衡性6.5 随机过程的独立增量性与平稳增量性第七章随机过程的数学描述7.1 随机过程的数学描述7.2 随机过程的分布函数、密度函数与生成函数7.3 平稳随机过程的均值序列与相关函数7.4 广义平稳随机过程7.5 随机过程的协方差函数与自相关函数7.6 平稳随机过程的功率谱第八章马尔可夫链8.1 马尔可夫链的概念8.2 马尔可夫链的数学描述8.3 长期行为与不可约性8.4 平稳分布与转移概率矩阵8.5 极限分布与转移概率8.6 马尔可夫链的细致平衡方程第九章扩散过程9.1 扩散过程的概念与分类9.2 布朗运动与维纳过程9.3 平稳扩散过程与布朗桥9.4 非平稳扩散过程9.5 随机微分方程及其应用第十章随机过程的数值计算10.1 随机过程的模拟方法10.2 马尔可夫链模拟10.3 扩散过程的数值模拟第十一章随机过程的应用11.1 队列论与排队模型11.2 信道容量与信息论11.3 金融工程与随机过程11.4 生物与生态系统中的随机过程11.5 电力系统中的随机过程第十二章最优控制问题12.1 动态规划问题与最优控制12.2 马尔可夫控制问题12.3 黑塞矩阵与二次型控制问题第十三章随机过程的其他扩展13.1 小波分析与随机过程13.2 分数阶随机过程13.3 非高斯与非马尔可夫随机过程总结：北邮的概率论与随机过程课程涵盖了概率论和随机过程的基础知识和应用，对于理解随机现象和建立数学模型具有重要的意义。
第十二章随机过程及其统计描述概率论与数理统计
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当n充分大时, n维分布函数族能够近似地描 述随机过程的统计特性. 显然, n取得越大, 则 n维分布函数族描述随机过程的特性也越趋 完善. 一般, 可以指出(科尔莫戈罗夫定律):有 限维分布函数族, 即{FX(x1,x2,...,xn, n=1,2,...,t1, t2, ...,tn), tiT}完全地确定了随机过程的统计 特性.
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随机过程可看作多维随机变量的延伸. 随机过 程与其样本函数的关系就象数理统计中总体 与样本的关系一样. 因此, 热噪声电压的变化过程{V(t), t0}是一 随机过程, 它的状态空间是(-, +), 一次观 测到的电压-时间函数就是这个随机过程的一 个样本函数. 在以后的叙述中, 为简便起见, 常以X(t), tT 表示随机过程. 在上下文不致混淆的情况下, 一般略去记号中的参数集T.
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随机过程的不同描述方式在本质上是一致的. 在理论分析时往往以随机变量族的描述方式 作为出发点, 而在实际测量和数据处理中往往 采用样本函数族的描述方式. 这两种描述方式 在理论和实际两方面是互为补充的. 随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型 或离散型随机变量而分成连续型随机过程和 离散型随机过程. 热噪声电压, 例2和例3是连 续型随机过程, 例1, 例4和例5是离散型随机过 程.
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工程技术中有很多随机现象, 例如, 地震波幅, 结构物承受的风荷载, 时间间隔(0, t]内船舶甲 板"上浪"的次数, 通讯系统和自控系统中的 各种噪声和干扰, 以及生物群体的生长等等变 化过程都可用随机过程这一数学模型来描绘. 不过, 这些随机过程都不能象随机相位正弦波 那样, 很方便, 很具体地用时间和随机变量(一 个或几个)的关系式表示出来, 其主要原因是 自然界和社会产生随机因素的机理极为复杂, 甚至不可能观察到, 因此只有通过分析样本函 数才能掌握它们的规律性.
概率论与随机过程考点总结
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X , 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差两个随机变量Y X ,：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数两个随机变量Y X ,：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ,则称Y X ,不相关;独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k)( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ,1)(≤t g ,)()(t g t g =-,k k k EX i g =)0( 母函数：∑∞===0)()(k kk kzp z E z g!)0()(k g p k k =)1()('g X E =2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N XT n a a a a ),,,(21 =,T n x x x x ),,,(21 =,n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间,T 是给定的参数集,若对每个T t ∈,都有一个随机变量X 与之对应,则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程;简记为{}T t t X ∈),(;含义：随机过程是随机现象的变化过程,用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性;另一方面,它是某种随机实验的结果,而实验出现的样本函数是随机的;当t 固定时,),(e t X 是随机变量;当e 固定时,),(e t X 时普通函数,称为随机过程的一个样本函数或轨道;分类：根据参数集T 和状态空间I 是否可列,分四类; 也可以根据)(t X 之间的概率关系分类,如独立增量过程,马尔可夫过程,平稳过程等; ２．随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性;随机过程{}T t t X ∈),(的一维分布,二维分布,…,n 维分布的全体称为有限维分布函数族;随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述;在实际中,要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的,因此用某些统计特征来取代;１均值函数)()(t EX t m X = 表示随机过程{}T t t X ∈),(在时刻t 的平均值; ２方差函数2)]()([)(t m t X E t D X X -=表示随机过程在时刻t 对均值的偏离程度; ３协方差函数)()()]()([))]()())(()([(),(t m s m t X s X E t m t X s m s X E t s B X X X X X -=--= 且有)(),(t D t t B X X =４相关函数)]()([),(t X s X E t s R X = 3和4表示随机过程在时刻s ,t 时的线性相关程度;５互相关函数：{}T t t X ∈),(,{}T t t Y ∈),(是两个二阶距过程,则下式称为它们的互协方差函数;)()()]()([))]()())(()([(),(t m s m t Y s X E t m t Y s m s X E t s B Y X Y X Y X -=--=,那么)]()([),(t Y s X E t s R XY =,称为互相关函数;若)()()]()([t m s m t Y s X E Y X =,则称两个随机过程不相关; ３．复随机过程 t t t jY X Z += 均值函数tt Z jEY EX t m +=)( 方差函数]))(())([(|])([|)(2t m Z t m Z E t m Z E t D Z t Z t Z t Z --=-=协方差函数)()(][]))(())([(),(t m s m Z Z E t m Z s m Z E t s B Z Z t s Z t Z s Z -=--=相关函数][),(t s Z Z Z E t s R =４．常用的随机过程１二阶距过程：实或复随机过程{}T t t X ∈),(,若对每一个T t ∈,都有∞<2)(t X E 二阶距存在,则称该随机过程为二阶距过程;2正交增量过程：设{}T t t X ∈),(是零均值的二阶距过程,对任意的T t t t t ∈<<<4321,有0]))()(())()([(3412=--t X t X t X t X E ,则称该随机过程为正交增量过程;其协方差函数)),(m in(),(),(2t s t s R t s B XX X σ== 3独立增量过程：随机过程{}T t t X ∈),(,若对任意正整数2≥n ,以及任意的T t t t n ∈<<< 21,随机变量)()(,),()(),()(13412----n n t X t X t X t X t X t X 是相互独立的,则称{}T t t X ∈),(是独立增量过程; 进一步,如{}T t t X ∈),(是独立增量过程,对任意t s <,随机变量)()(s X t X -的分布仅依赖于s t -,则称{}T t t X ∈),(是平稳独立增量过程;4马尔可夫过程：如果随机过程{}T t t X ∈),(具有马尔可夫性,即对任意正整数n 及T t t t n ∈<<< 21,0))(,,)((1111>==--n n x t X x t X P ,都有{}{}111111)()()(,,)()(----=≤===≤n n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X P ,则则称{}T t t X ∈),(是马尔可夫过程;5正态过程：随机过程{}T t t X ∈),(,若对任意正整数n 及T t t t n ∈,,,21 ,)()(),(21n t X t X t X 是n 维正态随机变量,其联合分布函数是n 维正态分布函数,则称{}T t t X ∈),(是正态过程或高斯过程; 6维纳过程：是正态过程的一种特殊情形;设{}∞<<-∞t t W ),(为实随机过程,如果,①0)0(=W ；②是平稳独立增量过程；③对任意t s ,增量)()(s W t W -服从正态分布,即0),0(~)()(22>--σσs t N s W t W ;则称{}∞<<-∞t t W ),(为维纳过程,或布朗运动过程;另外：①它是一个Markov 过程;因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息;②维纳过程具有独立增量;该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率;③它在任何有限时间上的变化服从正态分布,其方差随时间区间的长度呈线性增加; 7平稳过程：严狭义平稳过程：{}T t t X ∈),(,如果对任意常数τ和正整数n 及Tt t t n ∈,,,21 ,Tt t t n ∈+++τττ,,,21 ,)()(),(21n t X t X t X 与)()(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的联合分布,则称{}T t t X ∈),(是严狭义平稳过程;广义平稳过程：随机过程{}T t t X ∈),(,如果①{}T t t X ∈),(是二阶距过程；②对任意的T t ∈, 常数==)()(t EX t m X ；③对任意T t s ∈，,)()]()([),(s t R t X s X E t s R X X -==,或仅与时间差s t -有关;则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程,或宽平稳过程,简称平稳过程;第三章 泊松过程一．泊松过程的定义两种定义方法１,设随机计数过程{}(),0X t t ≥,其状态仅取非负整数值,若满足以下三个条件,则称：{}T t t X ∈),(是具有参数λ的泊松过程;①(0)0X =；②独立增量过程,对任意正整数n ,以及任意的T t t t n ∈<<< 21)()(,),()(),()(12312----n n t X t X t X t X t X t X 相互独立,即不同时间间隔的计数相互独立；③在任一长度为t 的区间中,事件Ａ发生的次数服从参数0t λ>的的泊松分布,即对任意,0t s >,有{}()()()0,1,!ntt P X t s X s n en n λλ-+-===[()]E X t t λ=,[()]E X t tλ=,表示单位时间内时间Ａ发生的平均个数,也称速率或强度;２,设随机计数过程{}(),0X t t ≥,其状态仅取非负整数值,若满足以下三个条件,则称：{}(),0X t t ≥是具有参数λ的泊松过程;①(0)0X =；②独立、平稳增量过程；③{}{}()()1()()()2()P X t h X t h o h P X t h X t o h λ+-==+⎧⎪⎨+-≥=⎪⎩; 第三个条件说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件发生,而不可能有两个或两个以上事件同时发生,也称为单跳性; 二．基本性质１,数字特征 ()[()][()]X m t E X t t D X t λ=== (1)(,)(1)X s t s t R s t t s s tλλλλ+<⎧=⎨+≥⎩(,)(,)()()min(,)X X X X B s t R s t m s m t s t λ=-= 推导过程要非常熟悉２,n T 表示第1n -事件Ａ发生到第n 次事件发生的时间间隔,{},1n T n ≥是时间序列,随机变量n T 服从参数为λ的指数分布;概率密度为,0()0,0t e t f t t λλ-⎧≥=⎨<⎩,分布函数1,0()0,0n t T e t F t t λ-⎧-≥=⎨<⎩均值为1n ET λ=证明过程也要很熟悉 到达时间的分布 略 三．非齐次泊松过程 到达强度是t 的函数①(0)0X =；②独立增量过程；③{}{}()()1()()()()2()P X t h X t t h o h P X t h X t o h λ+-==+⎧⎪⎨+-≥=⎪⎩; 不具有平稳增量性;均值函数0()[()]()tX m t E X t s ds λ==⎰定理：{}(),0X t t ≥是具有均值为0()()tX m t s ds λ=⎰的非齐次泊松过程,则有 四．复合泊松过程设{}(),0N t t ≥是强度为λ的泊松过程,{},1,2,k Y k =是一列独立同分布的随机变量,且与{}(),0N t t ≥独立,令()1()N t kk X t Y==∑ 则称{}(),0X t t ≥为复合泊松过程;重要结论：{}(),0X t t ≥是独立增量过程；若21()E Y <∞,则1[()]()E X t tE Y λ=,21[()]()D X t tE Y λ=第四章 马尔可夫链泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程,维纳过程是时间状态都连续的马氏过程;时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链;马尔可夫过程的特性：马尔可夫性或无后效性;即：在过程时刻0t 所处的状态为已知的条件下,过程在时刻0t t >所处状态的条件分布与过程在时刻0t 之前所处的状态无关;也就是说,将来只与现在有关,而与过去无关;表示为{}{}111111)()()(,,)()(----=≤===≤n n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X P一．马尔可夫链的概念及转移概率1．定义：设随机过程{},∈n X n T ,对任意的整数∈n T 和任意的011,,,n i i i I +∈,条件概率满足{}{}11001111,,,n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======,则称{},∈n X n T 为马尔可夫链;马尔可夫链的统计特性完全由条件概率{}11n n n n P X i X i ++==所决定;2．转移概率 {}1n n P X j X i +==相当于随机游动的质点在时刻n 处于状态i 的条件下,下一步转移到j 的概率;记为()ij p n ;则()ij p n {}1n n P X j X i +===称为马尔可夫链在时刻n 的一步转移概率;若齐次马尔可夫链,则()ij p n 与n 无关,记为ij p ;[],1,2,ij P p i j II =∈= 称为系统的一步转移矩阵;性质：每个元素0ij p ≥,每行的和为1;3．n 步转移概率()n ij p ={}m n m P X j X i +== ；()()[],1,2,n n ij P p i j II =∈=称为n步转移矩阵;重要性质：①()()()n l n l ij ik kj k Ip p p -∈=∑ 称为C K -方程,证明中用到条件概率的乘法公式、马尔可夫性、齐次性;掌握证明方法：{}{}{}{}{}{}{}{}{}()()()()(),,,,,,,()()m m n n ijm nm m m m l m n k Tm m m l m n m m l k Tm m l m n l l l n l kj ik ik kj k Ik IP X i X j p P X j X i P X i P X i X k X j P X i P X i X k X j P X i X k P X i X k P X i p m l p m p p ++++∈+++∈+--∈∈==================⋅====+⋅=⋅∑∑∑∑②()n n P P = 说明n 步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的n 次乘方;4．{},∈n X n T 是马尔可夫链,称{}0j p P X j ==为初始概率,即0时刻状态为j 的概率；称{}()j n p n P X j ==为绝对概率,即n 时刻状态为j 的概率;{}12(0),,T P p p =为初始概率向量,{}12()(),(),T P n p n p n =为绝对概率向量;定理：①()()n j i ij i Ip n p p ∈=∑矩阵形式：()()(0)T T n P n P P =②()(1)j i ij i Ip n p n p ∈=-∑定理：{}111122,,,n n n n i iii i i IP X i X i X i p p p -∈====∑ 说明马氏链的有限维分布完全由它的初始概率和一步转移概率所决定; 二．马尔可夫链的状态分类1．周期：自某状态出发,再返回某状态的所有可能步数最大公约数,即{}():0n ii d GC D n p ⋅⋅=>;若1d >,则称该状态是周期的；若1d =,则称该状态是非周期的;2．首中概率：()n ij f 表示由i 出发经n 步首次到达j 的概率; 3．()1n ij ij n f f ∞==∑表示由i 出发经终于迟早要到达j 的概率;4．如果1ii f =,则状态i 是常返态；如果1ii f <,状态i 是非常返滑过态;5．()1n i ii n nf μ∞==∑表示由i 出发再返回到i 的平均返回时间;若i μ<∞,则称i 是正常返态；若i μ=∞,则称i 是零常返态;非周期的正常返态是遍历状态; 6．状态i 是常返充要条件是()0iin n p∞==∞∑；状态i 是非常返充要条件是()11iin n iip f ∞==-∑; 7．称状态i 与j 互通,,i j i j j i ↔→→即且;如果i j ↔,则他们同为常返态或非常返态,；若i ,j 同为常返态,则他们同为正常返态或零常返态,且i ,j 有相同的周期;8．状态i 是遍历状态的充要条件是()1lim 0n iin ip μ→∞=>;一个不可约的、非周期的、有限状态的马尔可夫链是遍历的;9．要求：熟悉定义定理,能由一步转移概率矩阵画出状态转移图,从而识别各状态; 三．状态空间的分解1．设C 是状态空间I 的一个闭集,如果对任意的状态i C ∈,状态j C ∉,都有0ij p =即从i 出发经一步转移不能到达j ,则称C 为闭集;如果C 的状态互通,则称C 是不可约的;如果状态空间不可约,则马尔可夫链{},∈n X n T 不可约;或者说除了C 之外没有其他闭集,则称马尔可夫链{},∈n X n T 不可约;2．C 为闭集的充要条件是：对任意的状态i C ∈,状态j C ∉,都有()0ijn p =;所以闭集的意思是自C 的内部不能到达C 的外部;意味着一旦质点进入闭集C 中,它将永远留在C 中运动;如果1ii p =,则状态i 为吸收的;等价于单点{}i 为闭集;3．马尔可夫链的分解定理：任一马尔可夫链的状态空间I ,必可唯一地分解成有限个互不相交的子集12,,,nD C C C 的和,①每一个n C 都是常返态组成的不可约闭集；②n C 中的状态同类,或全是正常返态,或全是零常返态,有相同的周期,且1ij f =;③D 是由全体非常返态组成; 分解定理说明：状态空间的状态可按常返与非常返分为两类,非常返态组成集合D ,常返态组成一个闭集C ;闭集C 又可按互通关系分为若干个互不相交的基本常返闭集12,,nC C C ; 含义：一个马尔可夫链如果从D 中某个非常返态出发,它或者一直停留在D 中,或某一时刻进入某个基本常返闭集n C ,一旦进入就永不离开;一个马尔可夫链如果从某一常返态出发,必属于某个基本常返闭集n C ,永远在该闭集n C 中运动;4．有限马尔可夫链：一个马尔可夫链的状态空间是一个有限集合;性质：①所有非常返态组成的集合不是闭集；②没有零常返态；③必有正常返态；④状态空间12n I D C C C =++++,D 是非常返集合,12,,n C C C 是正常返集合;不可约有限马尔可夫链只有正常返态;四．()n ij p 的渐近性质与平稳分布 1．为什么要研究转移概率()n ij p 的遍历性研究()n ij p 当n →∞时的极限性质,即{}0n P X j X i ==的极限分布,包含两个问题：一是()lim n ij n p →∞是否存在；二是如果存在,是否与初始状态有关;这一类问题称作遍历性定理;如果对,i j I ∈,存在不依赖于i 的极限()lim n ijn p →∞0j p =>,则称马尔可夫链具有遍历性; 一个不可约的马尔可夫链,如果它的状态是非周期的正常返态,则它就是一个遍历链; 具有遍历性的马尔可夫链,无论系统从哪个状态出发,当转移步数n 充分大时,转移到状态j 的概率都近似等于j p ,这时可以用j p 作为()n ij p 的近似值;2．研究平稳分布有什么意义判别一个不可约的、非周期的、常返态的马尔可夫链是否为遍历的,可以通过讨论()lim n ij n p →∞来解决,但求极限时困难的;所以,我们通过研究平稳分布是否存在来判别齐次马尔可夫链是否为遍历链;一个不可约非周期常返态的马尔可夫链是遍历的充要条件是存在平稳分布,且平稳分布即极限分布()lim n ij n p →∞=1,jj I μ∈;3．{},0≥n X n 是齐次马尔可夫链,状态空间为I ,一步转移概率为ij p ,概率分布{},j j I π∈称为马尔可夫链的平稳分布,满足1j i iji Ijj Ip πππ∈∈==∑∑4．定理：不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布,且此平稳分布就是极限分布1,jj I μ∈; 推论：有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布;5．在工程技术中,当马尔可夫链极限分布存在,它的遍历性表示一个系统经过相当长时间后达到平衡状态,此时系统各状态的概率分布不随时间而变,也不依赖于初始状态;6．对有限马尔可夫链,如果存在正整数k ,使()0k ij p >,即k 步转移矩阵中没有零元素,则该链是遍历的;第六章 平稳随机过程一．定义第一章严平稳过程：有限维分布函数沿时间轴平移时不发生变化;宽平稳过程：满足三个条件：二阶矩过程2[()]E X t <∞；均值为常数[()]E X t =常数；相关函数只与时间差有关,即(,)()()()X X R t t E X t X t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦;宽平稳过程不一定是严平稳过程,而严平稳过程一定是宽平稳过程; 二．联合平稳过程及相关函数的性质1．定义：设{}(),X t t T ∈和{}(),X t t T ∈是两个平稳过程,若它们的互相关函数()()E X t Y t τ⎡⎤-⎣⎦及()()E Y t X t τ⎡⎤-⎣⎦仅与时间差τ有关,而与起点t 无关,则称()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程;即,(,)()()()XY XY R t t E X t Y t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦ (,)()()()YX YX R t t E Y t X t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦当然,当两个平稳过程联合平稳时,其和也是平稳过程;２．相关函数的性质：①(0)0X R ≥；②()()X X R R ττ≥,对于实平稳过程,()X R τ是偶函数;③()(0)X X R R τ≤④非负定;⑤若()X t 是周期的,则相关函数()X R τ也是周期的,且周期相同;⑥如果()X t 是不含周期分量的非周期过程,()X t 与()X t τ+相互独立,则||()lim X X X R m m ττ→∞=;联合平稳过程()X t 和()Y t 的互相关函数,()(0)(0)XY X Y R R R τ≤,()(0)(0)YX X Y R R R τ≤；()()XY YX R R ττ-=;()X t 和()Y t 是实联合平稳过程时,则,()()XY YX R R ττ-=;三．随机分析 略四．平稳过程的各态历经性 １．时间均值1()..()2TTT X t l i mX t dt T-→∞=⎰时间相关函数1()()..()()2TTT X t X t l i mX t X t dt Tττ-→∞-=-⎰２．如果()[()]()X X t E X t m t ==以概率１成立,则称均方连续的平稳过程的均值有各态历经性;如果()()[()()]()X X t X t E X t X t R τττ-=-= 以概率１成立,则称均方连续的平稳过程的相关函数有各态历经性;如果均方连续的平稳过程的均值和相关函数都有各态历经性,则称该平稳过程是各态历经的或遍历的;一方面表明各态历经过程各样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的；另一方面也表明[()]E X t 与[()()]E X t X t τ-必定与t 无关,即各态历经过程必是平稳过程;３．讨论平稳过程的历经性,就是讨论能否在较宽松的条件下,用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值、协方差函数等数字特征,即用时间平均代替统计平均; 只在一定条件下的平稳过程,才具有各态历经性;４．均值各态历经性定理：均方连续的平稳过程的均值具有各态历经的充要条件是５．相关函数各态历经性定理：均方连续的平稳过程的相关函数具有各态历经的充要条件是第七章 平稳过程的谱分析 一．平稳过程的谱密度 推导过程：随机过程{}(),X t t -∞<<∞为均方连续过程,作截尾处理(),()0,T X t t TX t t T ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,由于()T X t 均方可积,所以存在FT,得(,)()()Tj tj t T TF T X t edt X t e dt ωωω∞---∞-==⎰⎰,利用paserval 定理及IFT 定义得2221()()(,)2TT TX t dt X t dt F T d ωωπ∞∞-∞--∞==⎰⎰⎰该式两边都是随机变量,取平均值,这时不仅要对时间区间[,]T T -取,还要取概率意义下的统计平均,即 定义221()2lim TTT E X t dt Tψ-→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰为{}(),X t t -∞<<∞平均功率;21()(,)2limX T s E F T T ωω→∞⎡⎤=⎣⎦为{}(),X t t -∞<<∞功率谱密度,简称谱密度; 可以推出当{}(),X t t -∞<<∞是均方连续平稳过程时,有 21()2X s d ψωωπ∞-∞=⎰说明平稳过程的平均功率等于过程的均方值,或等于谱密度在频域上的积分;２．平稳过程的谱密度和相关函数构成FT 对;若平稳随机序列{},0,1,2,n X n =±±,则其谱密度和相关函数构成FT 对二．谱密度的性质１．①()X s ω是()X R τ的FT;()()j X X s R e d ωτωττ∞--∞=⎰如果{}(),X t t -∞<<∞是均方连续的实平稳过程,有()()X X R R ττ=-,()X s ω是也实的非负偶函数,则②()X s ω是ω的有理分式,分母无实根;２．谱密度的物理含义,()X s ω是一个频率函数,从频率域来描绘()X t 统计规律的数字特征,而()X t 是各种频率简谐波的叠加,()X s ω就反映了各种频率成分所具有的能量大小;３．计算 可以按照定义计算,也可以利用常用的变换对()1t δ↔ 12()πδω↔ 2220a ae a a τω-↔>+22τω↔-00()()j X X R e s ωττωω⋅↔- ()()j T X X R T s e ωτω+↔⋅001,sin 0,ωωωτωωπτ⎧<⎪↔⎨≥⎪⎩等 三．窄带过程及白噪声过程的功率谱密度１．窄带随机过程：随机过程的谱密度限制在很窄的一段频率范围内;２．白噪声过程：设{}(),X t t -∞<<∞为实值平稳过程,若它的均值为零,且谱密度在所有的频率范围内为非零的常数,即0()X s N ω=,则称{}(),X t t -∞<<∞为白噪声过程; 是平稳过程;其相关函数为0()()X R N τδτ=;表明在任意两个时刻1t 和2t ,1()X t 和2()X t 不相关,即白噪声随时间的变换起伏极快,而过程的功率谱极宽,对不同输入频率的信号都有可能产生干扰;四．联合平稳过程的互谱密度互谱密度没有明确的物理意义,引入它主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性;１．互谱密度与互相关函数成ＦＴ对关系 ２．性质()()XY XY s s ωω= ()XY s ω的实部是ω的偶函数,虚部是ω的奇函数,()YX s ω也是; 2()()()XY X Y s s s ωωω≤；若()X t 和()Y t 相互正交,有()0XY R τ=,则()()0XY YX s s ωω== ;五．平稳过程通过线性系统１．系统的频率响应函数()H ω也可以写成()H j ω一般是一个复值函数,是系统单位脉冲响应的FT;２．系统输入()X t 为实平稳随机过程,则输出()Y t 也是实平稳随机过程;即输出过程的均值为常数,相关函数是时间差的函数;且有()()()()()()Y XY X R R h R h h ττττττ=*-=**-说明输出过程的相关函数可以通过两次卷积产生;()()()XY X R R h τττ=*的应用：给系统一个白噪声过程()X t ,可以从实测的互相关资料估计线性系统的未知脉冲响应;因为0()()X R N τδτ=,00()()()()()()XY X R R h N u h u du N h τττδττ∞-∞=*=-=⎰,从而３．输入输出谱密度之间的关系 2()()()Y X s H s ωωω=2()()()H H H ωωω=称为系统的频率增益因子或频率传输函数;有时,采用时域卷积的方法计算输出的相关函数比较烦琐,可以先计算输出过程的谱密度,然后反FT 计算出相关函数;2()()()()()X Y X Y R s H s R τωωωτ→=→另外()()()XY X R R h τττ=*,所以()()()XY X s H s ωωω= ,()()()YX X s H s ωωω= 补充：排队轮平均间隔时间=总时间/到达顾客总数 平均服务时间=服务时间总和/顾客总数平均到达率=到达顾客总数/总时间 平均服务率=顾客总数/服务时间总和一．当顾客到达符合泊松过程时,顾客相继到达的间隔时间T 必服从负指数分布;对于泊松分布,λ表示单位时间平均到达的顾客数,所以1λ表示顾客相继到达的平均间隔时间;服务时间符合负指数分布时,设它的概率密度函数和分布函数分别为()(){}[]1tttt t tf t e F t P T t e dt d e e μμμμμμ----==≤==-=-⎰⎰ 其中μ表示单位时间能够服务完的顾客数,为服务率；而1μ表示一个顾客的平均服务时间; 二．排队模型的求解把系统中的顾客数称为系统的状态;若系统中有n 个顾客,则称系统的状态是n ;瞬态和稳态：考虑在t 时刻系统的状态为n 的概率,它是随时刻t 而变化的,用()n P t 表示,称为系统的瞬态;求瞬态解是很不容易的,求出也很难利用;因此我们常用稳态概率n P ,表示系统中有n 个顾客的概率; 各运行指标：1队长：把系统中的顾客数称为队长,它的期望值记作s L ,也叫平均队长,即系统中的平均顾客数;而把系统中排队等待服务的顾客数称为排队长队列长,它的期望值记作q L ,也叫平均排队长,即系统中的排队的平均顾客数; 显然有 队长＝排队长＋正被服务的顾客数;2逗留时间：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时间称为逗留时间,它的期望值记作s W ;一个顾客在系统中排队等待的时间称为等待时间,它的期望值记作q W ;逗留时间＝等待时间＋服务时间;3忙期：从顾客到达空闲服务机构起,到服务台再次变为空闲为止; 4顾客损失率：由于服务能力不足而造成顾客损失的比率;5服务强度服务机构利用率：指服务设备工作时间占总时间的比例; 三．几种典型的排队模型1．//1//M M ∞∞：单服务台,系统容量无限,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,λρμ=服务强度; 状态转移图 , 稳态概率方程 得 系统中无顾客的01P ρ=- 系统中有n 个顾客的概率0(1)n n n P P ρρρ=-=且必有s q L L uλ=+qq L W λ=1s q W W μ=+2．//1//M M N ∞：单服务台,系统容量为N 说明若到了系统最大容量,顾客将不能进入系统,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,λρμ=服务强度;☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆状态转移图 , 稳态概率方程 得 系统中无顾客的0111N P ρρ+-=- 系统中有n 个顾客的概率0n n P P ρ= 3．//1//M M m ∞：单服务台,系统容量无限,顾客源m;λ到达率,μ服务率;状态转移图 , 稳态概率方程 得 系统中无顾☆客的001!()!()mii P m m i λμ==-∑系统中有n 个顾客的概率0!()()!n n m P P m n λμ=-1n m ≤≤0(1)s L m P μλ=--；00()(1)(1)q s P L m L P λμλ+-=-=--01(1)s m W P μλ=--1q s W W μ=-4. ////M M c ∞∞：多服务台,系统容量无限,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,c λρμ=服务强度; 状态转移图 , 稳态概率方程 得☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆系统中无顾客的110011!!1k c c k P k c λλμμρ--=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑系统中有n 个顾客的概率001()!1()!nn n n c P n c n P P n c c cλμλμ-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩。
概率随机变量与随机过程
概率随机变量与随机过程概率随机变量与随机过程是概率论与数理统计中重要的概念和工具。
它们是描述随机现象的数学模型，用于研究和分析事件发生的规律和性质。
本文将从人类视角出发，以生动的语言描述概率随机变量与随机过程的概念、特点和应用。
一、概率随机变量概率随机变量是指在特定条件下，可能取不同取值的变量，并且每个取值都对应一个概率。
例如，掷骰子时，点数的取值范围是1到6，每个点数出现的概率相等。
这里的点数就是一个概率随机变量。
概率随机变量可以用来描述各种随机事件的结果。
例如，模拟投掷硬币的结果，可以定义一个概率随机变量表示正面朝上的概率；模拟抛硬币的次数，可以定义一个概率随机变量表示连续出现正面的次数。
概率随机变量的应用非常广泛，涉及到统计学、金融学、工程学等领域。
二、随机过程随机过程是指随机变量随时间变化的过程。
它可以用来描述随机事件的演变和发展规律。
例如，天气的变化可以看作是一个随机过程，每个时间点的天气状况是一个随机变量；股票价格的变化也可以看作是一个随机过程，每个时间点的股票价格是一个随机变量。
随机过程可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如抛硬币的结果；连续型随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如股票价格的变化。
随机过程在信号处理、通信系统、物理学等领域有广泛的应用。
三、概率随机变量与随机过程的关系概率随机变量和随机过程都是用来描述随机事件的数学模型，它们之间存在密切的联系。
概率随机变量可以看作是随机过程在某个时间点上的取值，而随机过程可以看作是概率随机变量随时间变化的过程。
概率随机变量和随机过程都可以用概率分布函数来描述。
概率分布函数是一个函数，描述了随机变量或随机过程在不同取值上的概率。
例如，对于一个概率随机变量，可以通过概率分布函数得到每个取值的概率；对于一个随机过程，可以通过概率分布函数得到每个时间点上取值的概率。
四、概率随机变量与随机过程的应用概率随机变量和随机过程在各个领域都有重要的应用。
(高等数学)概率统计与随机过程
λk
k!
e −λ
式中 λ = np。
二、
随机变量与分布函数
[随机变量及其概率分布函数]
每次试验的结果可以用一个变量 ξ 的数值来表示，这个变量的
取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用 ξ ,η ,···表示。 它是随机现象的数量比。 给定随机变量 ξ ，它的取值不超过实数 x 的事件的概率 P( ξ ≤ x)是 x 的函数，称为 ξ 的概率分 布函数，简称分布函数，记作 F(x) ，即 F(x)=P( ξ ≤ x ) [分布函数的基本性质] 1° lim F ( x ) = 0 lim F ( x ) = 1
f ( xk ) ≤ x
∑p
k
当 ξ 是连续型随机变量时 ，其分布密度为 p(x)，则 G(x)=
∫
f ( y )≤ x
p( y) d y
[随机矢量的联合分布函数与边缘分布函数]
如果 ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n 联系于同一组条件下的 n 个随机
变量，则称 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n )为 n 维随机变量或随机矢量。 若(x1 , x2 ,···，xn)是n维实数空间Rn上的一点，则事件“ ξ1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x2 , ···, ξ n ≤ x n 的概率 F ( x1 , x 2 , L, x n ) = P(ξ 1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x 2 , L , ξ n ≤ x n ) 作为x1 , x2 ,···, xn的函数，称为随机矢量 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的联合分布函数。 设 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 是 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 中任意取出 m(m ≤ n) 个分量构成的 m 维随机变量，则称 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的联合分布函数为( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的 m 维边缘分布函数。 这 时 ， 如 果 分 别 记 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 与 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的 分 布 函 数 为 F(x1,x2,···,xn) 与
概率的基本概念及计算方法
概率的基本概念及计算方法概率是描述不确定性的数学语言,在日常生活中无处不在。
了解概率的基本概念和计算方法,不仅有助于科学研究,也有助于我们更好地认识和应对周围的不确定性。
概率的基本概念1. 样本空间和事件样本空间指一个事件可能发生的所有可能结果的集合。
事件则是样本空间的子集,即某些可能结果的集合。
例如,掷骰子实验的样本空间为{1,2,3,4,5,6},某事件"掷到偶数点数"就是这个样本空间的一个子集{2,4,6}。
2. 概率的定义概率是对事件发生的可能性的量化描述。
根据古典概型,如果一个事件A在n次独立试验中有m种可能结果,那么事件A发生的概率P(A)=m/n。
根据频率概型,如果事件A在n次独立试验中发生了k次,那么事件A的概率P(A)=k/n。
3. 概率的基本性质(1)概率值域在[0,1]之间,P(A)=0表示事件A不可能发生,P(A)=1表示事件A必然发生。
(2)互斥事件的概率之和等于1,即P(A)+P(B)=1,其中A和B是互斥事件。
(3)对于任意事件A,0≤P(A)≤1。
概率的计算方法1. 古典概型计算当样本空间中所有结果是等可能的时,可以使用古典概型公式计算概率:P(A)=m/n,其中m是事件A发生的结果数,n是样本空间中所有可能结果的总数。
例如,掷骰子实验中,事件"掷到3点"的概率为P(3)=1/6。
2. 频率概型计算当无法确定样本空间中结果的等可能性时,可以使用频率概型计算概率。
根据大数定律,事件A在n次独立试验中发生的频率k/n,当n趋于无穷大时,收敛于事件A的概率P(A)。
例如,统计1000次掷硬币实验,正面朝上的次数为501次,则硬币正面朝上的概率为501/1000=0.501。
3. 条件概率计算条件概率描述了在某个事件B发生的前提下,另一个事件A发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示,计算公式为:P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
概率论中的随机事件及概率的定义及计算
概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
概率的概念和计算
概率的概念和计算概率，作为数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性大小。
在日常生活中，我们经常使用概率来推断和预测各种事件的发生。
通过了解概率的概念和计算方法，我们能够更好地理解事件的随机性，并进行合理的决策。
一、概率的概念概率是指某一事件在重复试验中发生的可能性。
在数学上，概率可以用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生，1代表必然发生。
概率可以用“P(A)”表示，其中“A”是事件的名称。
在某一次试验中，如果事件“A”发生的次数为n，而总的试验次数为N，那么事件“A”发生的概率可以通过计算n/N来得到。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率也称为经典概率，适用于所有可能结果都等可能且互不影响的情况。
在古典概率中，事件A发生的概率可以通过计算A发生的有利结果数目与总的结果数目之比得到。
例如，抛一枚均匀的硬币，事件“A”为正面朝上的概率为1/2，反面朝上的概率也为1/2。
2. 几何概率几何概率适用于随机试验中的连续结果。
例如，某一点落在一个区域中的概率，或者某一条线与另一条线相交的概率。
几何概率的计算方法是通过计算事件A所对应的区域的面积或者长度与总体区域的面积或者长度之比得到。
使用几何概率时，必须了解事件发生的空间结构以及总体的空间结构。
3. 统计概率统计概率是通过实验或者观察得到的数据进行推断的结果。
通过频率分布和统计学方法，可以估算出事件A发生的概率。
例如，通过抽样调查，我们可以得知某产品的缺陷率为0.05，这就意味着在总体中随机抽取一件产品的缺陷概率为0.05。
三、概率的性质1. 互斥性当两个事件互斥时，它们不能同时发生，概率的和等于两个事件发生的概率之和。
例如，在掷骰子的情况下，事件“A”为出现奇数，事件“B”为出现偶数。
这两个事件是互斥的，因为骰子只有一个点可以同时属于奇数和偶数。
因此，P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
2. 独立性当两个事件相互独立时，一个事件的发生不会影响另一个事件的概率。
高中二年级数学概率与统计初步
高中二年级数学概率与统计初步概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它涵盖了概率和统计两个方面。
概率是用来描述事件发生的可能性，而统计则是通过对数据进行收集、分析和解释，来给出结论。
本文将从概率和统计两个角度来介绍高中二年级数学中的初步内容。
一、概率1.1 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在实际生活中，我们经常会遇到概率的问题，比如投掷一枚硬币正面朝上的概率是多少，抽一张扑克牌时抽到黑桃的概率是多少等等。
1.2 事件与样本空间在概率问题中，事件是指某个具体结果的集合，样本空间是指所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币，事件可以是正面朝上，样本空间可以是{正面，反面}。
1.3 概率的计算方法在概率的计算中，有两种主要的方法：频率法和古典概型法。
频率法是通过做大量的实验来计算概率，古典概型法是通过确定每个结果出现的可能性来计算概率。
二、统计2.1 数据的收集与整理统计的第一步是收集数据，并对数据进行整理和分类。
我们可以使用表格、图表等形式来展示数据，以便更好地进行分析。
2.2 数据的描述性统计描述性统计是用来对收集到的数据进行概括和描述的方法。
常用的描述性统计方法包括平均数、中位数、众数、标准差等。
2.3 样本与总体在统计学中，我们通常会采集一部分数据作为样本，用来对整个总体进行推断。
样本的选择要具有代表性，以确保结果的可靠性。
2.4 统计推断统计推断是通过对样本数据进行分析，来推断总体的特征和性质。
常用的统计推断方法包括假设检验、置信区间等。
结论概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。
通过学习概率与统计，学生可以培养逻辑思维能力，提高数据分析和决策能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文对读者对高中二年级数学概率与统计初步有所帮助。
高中数学概率统计
高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象和事件发
生的可能性。
在高中阶段，学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。
概率是指某个事件发生的可能性大小。
在数学中，概率可以通
过计算来得出。
常见的计算方法包括频率概率和几何概率。
学生需
要学会根据给定的条件计算概率，包括单个事件和多个事件的概率
计算。
在概率统计中，还有一些重要的概念需要学生掌握。
例如，样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合；事件是样本空间的子集，表示满足特定条件的结果集合；试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。
高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布，如二项分布、均匀分布和正态分布。
学生需要理解这些分布的特点和应用场景，
以及如何计算和图示化概率分布。
通过研究高中数学概率统计，学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。
他们能够在实际生活中应用概率统计的知识，例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。
总之，高中数学概率统计是一门重要的数学课程，它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法，提高他们的数学思维和问题解决能力。
概率统计与随机过程-知识点总结--最终版
P(Bi ) 0(i 1, 2,L , n), 则恒有全概率公式：
n
P( A) P( A B1 )P(B1 ) P( A B2 )P(B2 ) L P( A Bn )P(Bn ) P Bi P A | Bi i 1
B 发生的概率，用古典概率公式，则
P(B
A)
AB 中基本事件数
，
SA 中基本事件数
P( AB)
AB 中基本事件数
，
S 中比 P( AB) 大。
五、事件的独立性 1、事件的相互独立性
定义：设 A，B 是两事件，如果满足等式 P( AB) P( A) P(B) ，则称事件 A，B 相互独立，
结论：
若事件 A1, A2 , L , An (n 2) 相互独立，则其中任意 k (2 k n) 个事件也是相互独立的。
2、几个重要定理
定理一：设 A, B 是两事件，且 P( A) 0 ，若 A, B 相互独立，则 P(B A) P(B).反之亦
i 1
P
Bi
A
。
3、乘法公式
由条件概率的定义： P( A | B) P( AB) 即得乘法定理： P(B)
若 P(B)>0，则 P(AB)=P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0 ，则 P(AB)=P(A)P(B|A). 乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况，
-3-
设 A、B、C 为三个事件，且 P AB 0 ，且 P ABC P C | ABP B | AP A，
一般地，设有 n 个事件 A1,A2 , , An ,n 2 , 并且 P A1 A2 An1 0 ，则由条件概率的
概率论与数理统计ppt课件
注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
概率的基本概念及计算方法
概率的基本概念及计算方法概率是概念和事件发生的可能性的度量，是数学和统计学中的一个重要内容。
概率理论在许多领域中有着广泛的应用，包括自然科学、社会科学、经济学等。
本文将介绍概率的基本概念和计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机现象结果发生可能性的数值。
在概率论中，我们将一个事物的可能结果称为样本点，而样本点的集合称为样本空间。
概率可以用数值来表示，其取值范围在0到1之间。
在概率论中，还有两个重要的概念：事件和随机变量。
事件是样本空间的子集，代表了一组可能发生的结果。
而随机变量是样本空间到实数集的映射。
通过对事件和随机变量的操作，我们可以进行概率的计算和推理。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率也叫经典概率，适用于对实验结果有明确了解且等可能发生的情况。
计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A包含的样本点数；n(S)表示样本空间的样本点数。
2. 频率概率频率概率是通过实验统计结果得出的概率。
计算公式为：P(A) = lim(N(A)) / N其中，P(A)表示事件A发生的概率；N(A)表示事件A发生的次数；N表示总实验次数。
3. 主观概率主观概率是通过主观判断和个人经验得出的概率。
它是根据个人的观点和信念进行估计的，通常没有具体的计算公式。
三、概率的性质和运算法则1. 互斥事件的概率如果事件A和事件B是互斥事件（即两个事件不可能同时发生），则它们的概率满足以下公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)2. 独立事件的概率如果事件A和事件B是独立事件（即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生），则它们的概率满足以下公式：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)3. 对立事件的概率如果事件A和事件A'是对立事件（即两个事件中一个发生，则另一个必然不发生），则它们的概率满足以下公式：P(A) + P(A') = 1四、概率的应用概率理论在各个领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 游戏和赌博：概率理论可以帮助我们计算赌博游戏中的胜率，并根据概率制定相应的策略。
概率统计与随机过程自我概念
概率统计与随机过程自我概念概率统计是一门研究随机事件的概率分布和统计规律的学科，广泛应用于各个领域，如工程、医学、经济等。
而随机过程是一种随机变量或随机事件随时间变化的数学模型，它描述了在给定时间段内随机变量的演化。
概率统计的基本概念包括概率、随机变量和概率分布。
概率是事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的数表示。
概率的计算可以通过概率空间、古典概型或统计概率等方法进行。
随机变量是对随机事件的数值化描述，它可以是连续的（如时间、长度）或离散的（如投硬币的结果）。
概率分布则描述了随机变量各个取值的可能性。
常见的概率分布包括离散分布和连续分布。
离散分布是指随机变量只能取有限个或可数个取值的情况，例如二项分布、泊松分布等。
连续分布是指随机变量可以取任何实数值的情况，例如正态分布、指数分布等。
概率分布的性质可以通过期望、方差、协方差等统计量进行描述。
概率统计的核心内容还包括随机变量的概率分布函数和密度函数、随机变量的数学期望和方差、大数定律和中心极限定理等。
其中，概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布，概率分布函数描述了离散随机变量的概率分布。
数学期望是对随机变量期望值的度量，方差是对随机变量取值的离散程度的度量。
随机过程是一种随机变量或随机事件随时间变化的数学模型。
它的核心概念是状态空间和状态转移概率。
状态空间是指随机过程可能处于的各个状态的集合，状态转移概率描述了随机过程从一个状态转移到另一个状态的概率。
常见的随机过程包括马尔可夫链、泊松过程和布朗运动等。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即未来状态的概率只与当前状态相关，与过去状态无关。
它的重要性质包括平稳分布、转移概率矩阵和遍历性等。
泊松过程描述了光滑的状态变化，它的重要特征是独立增量和稀疏性。
布朗运动是一种连续时间连续状态的随机过程，它的特征是平稳增量和高度不连续性。
概率统计与随机过程的应用非常广泛。
在工程领域，概率统计可以用于可靠性分析、风险评估和优化设计等方面。
概率统计和随机过程课件12概率的定义及其计算
S A A 且 A A 1=P(S) P(A) P(A)
若 A B P(B A) P(B) P( A)
P( A) P(B)
B A (B A) 且 A (B A)
2021/3/11
21
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( A B) P( A) P(B)
A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006
2021/3/11
26
不尽相异元素的全排列：n 个元素中有 m 类， 第 i 类中有 ki 个相同的元素，
k1 k2 km n,
将这 n 个元素按一定的次序排成一排，
不同的排法共有 n!
k1!k2!km! 种
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27
组合：从 n 个不同的元素中取出 m 个 （不放
回地）组成一组， 不同的分法共有
P(
A3
)
(
N 1)k Nk
（4）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( m k )；
nA4 Ckm (N 1)km
P(
A4
)
Ckm
(N 1)km Nk
（5）至少有两个球在同一盒子中
物理学中的概率统计与随机性分析
物理学中的概率统计与随机性分析概率统计与随机性分析在物理学中扮演着重要的角色，它可以帮助我们更好地理解和描述自然现象中的不确定性。
以下是物理学中概率统计与随机性分析的相关知识点：1.随机现象：随机现象是指在相同条件下，结果不可预测的事件。
物理学中的随机现象包括量子力学中的粒子行为、大气中的湍流流动等。
2.概率：概率是用来描述随机现象发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
3.统计平均：统计平均是指对大量随机现象的观察结果进行平均得到的值。
在物理学中，统计平均可以用来描述系统的宏观性质。
4.概率分布：概率分布是用来描述随机变量取值概率的函数。
常见的概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
5.期望值：期望值是随机变量可能取值的加权平均，反映了随机变量的平均性质。
期望值在物理学中可以用来描述系统的平均行为。
6.方差和标准差：方差是描述随机变量取值分散程度的统计量，标准差是方差的平方根。
方差和标准差在物理学中可以用来衡量系统的波动性和不确定性。
7.大数定律：大数定律指出，在相同条件下，大量独立重复实验的样本平均值趋近于总体平均值。
大数定律在物理学中为实验结果的可靠性提供了数学依据。
8.中心极限定理：中心极限定理指出，大量独立随机变量的和（或平均）趋近于正态分布。
中心极限定理在物理学中解释了为什么许多自然现象呈现出正态分布的特点。
9.随机过程：随机过程是指在时间或空间上连续变化的随机现象。
物理学中的随机过程包括布朗运动、随机波动等。
10.贝叶斯统计：贝叶斯统计是一种基于先验知识和观测数据进行概率推断的方法。
在物理学中，贝叶斯统计可以用来更新对系统状态的认识。
11.蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样进行数值计算的方法。
在物理学中，蒙特卡洛方法可以用来模拟复杂系统的行为。
12.误差分析：误差分析是研究测量结果与真实值之间差异的统计方法。
在物理学实验中，误差分析可以帮助我们评估测量结果的可靠性。
随机过程在概率统计中的应用
随机过程在概率统计中的应用概率统计是一门应用广泛的学科，在文化、经济和科学中都有很大的应用价值。
随机过程是概率论的一个重要分支，它是研究在时间上随机变化的数学模型。
随机过程在概率统计中有很多重要的应用，它可以被用来研究一系列的随机事件所组成的集合，并且能够揭示这些事件的概率性质，这使得人们能够更好地理解和预测某些事件的发生。
一、随机过程的概念随机过程是一个时间变量X(t)，其中t是一个连续或离散的时间值。
它由一系列的随机变量X(t1), X(t2), X(t3), ... X(tn)组成。
随机过程表示的是一个在时间轴上随机变化的数据序列，可以是离散的或连续的。
离散时间的随机过程可以表示为X(n)，其中n代表时间的步数，X(n)代表第n步的随机变量。
这种模型在很多应用中非常有用，例如蒙特卡罗模拟和马尔可夫过程等。
连续时间的随机过程可以表示为X(t)，其中t代表连续的时间值。
这种模型被广泛应用于连续时间的事件，例如信号处理和物理学中的量测数据等。
无论是离散时间的随机过程还是连续时间的随机过程，都可以被用来分析一系列随机事件或过程的概率性质，例如其期望值、方差、协方差、自相关函数、功率谱密度等。
二、随机过程的应用1. 队列理论队列是指在某一个时间段内进入某一服务中心的用户，例如在商店、银行、机场等地方排队等待服务。
队列理论是一个分支学科，它研究了队列的生成和服务时间的分布，以及队列稳定性分析等问题。
队列理论通常使用随机过程的理论来处理这些问题。
一些重要的队列模型，例如M/M/1 具有平稳的参数，使之成为一个重要的队列模型。
在这种情况下，队列的平均等待时间和平均长度可以使用随机过程的理论来计算。
队列理论的应用很广泛，包括生产流程控制、互联网传输控制、保险公司风险管理等方面。
2. 信号处理信号处理是把处理信号从源到最终的目标的信号传输概念，数据库搜索和声音重建。
随机过程理论被广泛应用于信号处理中，例如通过噪声的随机过程分析来研究数据压缩和滤波技术。
概率统计与随机过程 等高线
概率统计与随机过程等高线概率统计与随机过程概率统计是研究随机现象的规律性的一门学科，它是数学、物理、化学、生物、经济等多个领域中不可或缺的工具。
而随机过程则是研究随机现象在时间上的演化规律，它是概率论和数理统计中的一个重要分支。
一、概率统计基础1.1 概率论基础概率论是研究随机现象的数量规律性和结构特征的数学分支。
它主要包括样本空间、事件、概率等基本概念，以及条件概率、独立性等重要定理。
1.2 统计学基础统计学是研究如何从观察数据中推断总体规律性和结构特征的一门学科。
它主要包括总体与样本、参数与估计量等基本概念，以及假设检验、方差分析等重要方法。
二、随机变量与分布2.1 随机变量随机变量是指取值不确定且符合一定规律的变量。
它可以是离散型或连续型的，常见的有伯努利分布、二项分布、正态分布等。
2.2 分布函数分布函数是描述随机变量取值概率的函数，它可以是累积分布函数或概率密度函数。
常见的有均匀分布、指数分布、伽马分布等。
三、随机过程与马尔可夫链3.1 随机过程随机过程是指在时间上随机变化的一组随机变量。
它可以是离散型或连续型的，常见的有泊松过程、布朗运动等。
3.2 马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，它具有“无记忆性”和“马尔可夫性”的特点。
在马尔可夫链中，每个状态只与前一状态有关，而与之前的状态无关。
四、等高线图4.1 等高线图基础等高线图是用等高线表示二元函数在平面上取值的一种方法。
它可以直观地反映出函数取值的大小和变化趋势。
常见的等高线图包括地形图、气压图等。
4.2 等高线图应用等高线图在科学研究和工程应用中具有广泛的应用价值。
例如，在地质勘探中，等高线图可以用来表示地形高度的变化；在气象预报中，等高线图可以用来表示气压的变化趋势。
同时，等高线图也常用于数据可视化和信息呈现。
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k C15C43 C53C14
P(
A)
C15C43 C53C14 C94
例2 投掷三颗骰子，其中一个出现点数为5，
而另外两个出现的点数不同且不等于5的概 率.
A=“一个出现点数为5，另外两个出现的
点数不同且不等于5”
课件
6
k C31P52
P( A)
C31 5 63
4
例3 5个有区别的球随机的放入10个盒内，求
nA4 Ckm (N 1)km
P(
A4
)
Ckm
(N 1)km Nk
（5）至少有两个球在同一盒子中
nA5 N k CNk k!
P( A5)
Nk
CNk k! Nk
1
P( A2 )
课件
9
几何概型 ( 等可能概型的推广)
例5 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时 间短于十分钟的概率
规范性： P(S) 1
有限可加性：
m m
P Ai P( Ai )
i1 i1
其中 A1, A2, Am 为两两互斥事件。
证明：任意事件A包含的基本事件个数k
满足 k n， 所以 0 P(A) 1。
S包含n个基本事件，据定义 P(S)=1
课件
4
事件 Ai 包含 ni 个事件，且由于Ai (i 1, m)
m
m
互不相容，因此， Ai i 1
包含
ki
个事件
i 1
因此， m
m
ki
m
P( Ai ) i 1
i 1
n
P( Ai )
i 1
例1.从1至9这九个号码中，随机的取4个号码，
数码之和为奇数的概率. A=“4个数码之和为奇数”
课件
5
A包括两个子事件: (1)只有一个奇数（2）只 有三个奇数, 因此，
10分钟
9点 P( A) 10 1 60 6
课件
10点
10
几何概型 设样本空间是一个有限区域S，若样本点
落入S内任何区域A 中的概率与区域A 的测度 成正比，则样本点落入A内的概率为
P( A)
A的测度 S 的测度
L( A) L(S )
课件
11
几何概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
§1.2 概率的定义及其计算
古典定义 几何定义 统计定义 概率的公理化定义
课件
1
概念复习
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果
组成的集合称为样本空间，记为 样本空间的元素，即E 的每个可能的结果,称为 样本点(or基本事件)，常记为 ， = { }
随机事件 —— 样本空间的子集,常记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
恰有3个球放在同一盒内的概率。
A=“恰有3个球在同一盒内”
k C53( P130 P120 )
P
C53( P130 105
P120 )
课件
7
例4 （分房问题）设有 k 个不同的球，每个球 等可能地落入 N 个盒子中（k N）, 设每 个盒子容纳的球数无限，求下列事件的概 率
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
解
n N k
设（1）~（5）的各事件分别为 A1 A5
则 nA1 k!
P( A1)
（2）恰有 k 个盒子中各有一球；
nA1 n
k! Nk
nA2 CNk k !
课件
P(
A2
)
C
k N
N
k!
k
8
（3）某指定的一个盒子没有球；
nA3 (N 1)k
P(
A3
)
(N 1)k Nk
（4）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( m k )；
解 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 y < 24
设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头
课件
13
{(x, y) 0 x 24,0 y 24}
A {(x, y) (x, y) ,
y
0 y( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
lim
n
fn
(
A)
P(
A)
稳定性
课件
16
频率稳定性的实例
蒲丰投币
投一枚硬币观察正面向上的次数
Buffon n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069
皮尔森投币
24
S 242
SA
1 2
232
222
P( A) 1 SA 0.1207 S
24 x
课件
14
统计定义—频率
定义 设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA 次， 则称
fn
(
A)
nA n
为事件A 在这 n 次试验中发生的频率
课件
15
频率的性质
0 fn ( A) 1
fn (S) 1
事件 A, B互斥，则
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
课件
2
等可能（古典）概型
定义 设 E 是一随机试验，它具有下列特点：
基本事件的个数有限 每个基本事件发生的可能性大小相同
则称 E 为 等可能概型
等可能概型中概率的计算：
记 n S中所包含的基本事件的个数
k 组成 A的基本事件的个数
则 P( A) k
n
课件
3
古典概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
有限可加性：P
m
Ai
m
P( Ai
)
i 1
i 1
其中 A1, A2, Am 为两两互斥事件。
可列可加性：
P
i 1
Ai
P( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件。
课件
12
例6 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码 头的时间各不相干，而且到达码头的时间在 一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后 需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待 空出码头的概率.
Pearson n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005
课件
17
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202