概率论与随机过程6.3

F ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , , t n ) F ( x1 , x2 , , xn ; t1 h, t 2 h, , t n h)
则称此随机过程{X(t),tT}为严（强，狭义）平稳过程。 上式称之为平移不变性或严平稳性。 易见严平稳过程的概率特性不随时间的平移而改变。
(1) E[Xn]=x(常数)，nT；
(2) Rx(m)=E[XnXn+m]只与m有关。
称{Xn}为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。
严平稳过程和宽平稳过程的关系
(1)．严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过 程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过 程时,则它一定是宽平稳过程。
(2)．宽平稳过程不一定是严平稳过程,但对于正态过程, 两者是等价的。
例2 随机相位正弦波X(t)=acos(0t+Θ) ，a, 0为常数，
Θ是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量,则{X(t)} 是 平稳过程，并求其自相关函数.
解: 由假设,Θ的概率密度为
1 / 2 f ( ) 0
于是,X(t)的均值函数为
0 2 其它
a E[ X ( t )] E[a cos( 0 t )] 2
则随机过程{X(t),tT}称为马尔可夫过程.
6.3.2 平稳过程 （统计规律不随时间推移而改变）
设{X(t),tT}是随机过程，对于任意的 h，及T中任
意n个不同的参数t1，t2，…，tn，当t1+h,t2+h,…,tn+h T，（X(t1),X(t2),…,X(tn)）与 (X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h ))的分布函数相同，即
F ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , , t n ) F ( x1 , x2 , , xn ; t1 h, t 2 h, , t n h) （*）
而正态过程的分布由μX及Rx(s,t)决定，μX为常数。 R X ( t i , t j ) R X ( t i h, t j h) C X (ti h, t j h) RX (ti h, t j h) X (ti h) X (t j h)
“”
因(X(t1),X(t2),…,X(tn))为n维正态随机变量，于是 X(t1),X(t2),…,X(tn)为正态随机变量，又CX(s,t)=0, s≠t，所以X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独立。
3． {X(t)}为正态过程它的任意有限多个随机变量 的任意线性组合是正态随机变量。 事实上，由正态的性质， n维正态随机变量的充 要条件是其任意一维线性组合为一维正态随机变量， 显然成立。


与t无关，可见{X(t)}为平稳过程，其自相关函数为 1 2 R X ( ) a cos 0 2 一般地，设s(t)是一周期函数，ΘU(0,T). 称
{X(t)=s(t+Θ)}为随机相位周期过程，则其为平稳过程。
例3 考虑随机电报信号,信号X(t)由只取 +I 或-I 的电流给出(图1画出了的一条样本曲线).这里 P{ X ( t ) } p{ X ( t ) } 1 2 而正负号在区间(t,t+ρ)内变化的次数N(t,t+ρ) 是随机的，且假设N(t,t+ρ)服从泊松分布,亦 即事件 AK { N ( t , t ) k } 的概率为
6.3 几类重要的随机过程
6.3.1．马尔可夫过程(Markov)
设{X(t),tT}是随机过程，对于任意整数n≥3及T中任
意n个不同的参数t1<t2<…<tn，在
（X(t1),X(t2),…,X(tn-1)）=（x1,x2,…,xn-1） 的条件下，若有
P{ X (t n ) xn | X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 , , X (t n 1 ) xn 1 , } P{ X (t n ) xn | X (t n 1 ) xn 1 },
例. 设{Xn,n0}是独立同分布的随机变量序列,且
XnU(0,1),n=1,2,…, 讨论{Xn,n0}是否为严平稳过程。 并求E(Xn)与E(Xn Xm),n、m=0,1,2,…. 解：设U(0,1)的分布函数为F(x),则对任意的正整数k和h,任意
0<n1 <n2< …< nk , X , X , X 及 X n h , X n h , X n h n1 n2 nk 1 2 k 的分布函数均为 k
它只与τ有关,因此随机电报信号X(t)是一平稳过程.
6.3.3 高斯(正态)过程
1.定义
设{X(t)}为随机过程，如果对任意的正整数n及任意 t1,t2,…,tnT，n 维随机变量(X(t1),X(t2),…,X(tn))服 从n维正态分布，则称{X(t)}为高斯过程或正态过程。 正态过程是二阶矩过程。 记其均值函数为μX(t),协方差函数为CX(s,t)。
4．{X(t)}为正态过程，则{X(t)}是严平稳过程{X(t)} 是宽平稳过程。 证明：“” 因高斯过程是二阶矩过程，由严平稳过程性质， 显然成立。 “”由已知：μX(t)=μX，Rx(t,t+)只与有关。 由严平稳过程定义，对任意的正整数n及任意 t1,t2,…,tnT, t1+h,t2+h,…,tn+hT,要证：
P(A0)+ P(A2)+ P(A4)+…,
{ X ( t ) X ( t ) I 2 } 的概率为P(A1)+ P(A3)+…,

E[ X ( t ) X ( t )] I 2 p( A2 k ) I 2 P ( A2 k 1 )
k 0 k 0 k ( ) I 2 e I 2 e 2 k! k 0
平稳过程的参数集T,一般为(- ,+),0,+,
{0,1,2,…},{0,1,2,…}。 当参数集T为离散时平稳过程称为平稳序列。 以下如无特殊说明，均认为参数集T=(-,+)
将过程分化为平稳与非平稳的意义
1. 2.
平稳过程可以不考虑开始时间 平稳过程有很好的统计性质（数字特征）
2 RX (ti , t j ) X C X (ti , t j )
定义
设{X(t),tT}是二阶矩过程,如果 (1) E[X(t)]=x(常数)，tT； (2) 对任意的t,t+T, Rx()=E[X(t)X(t+)]只依赖于。 则称{X(t),tT}为宽平稳过程,简称为平稳过程.
特别地，当T为离散参数集时，若随机序列{Xn}满足 E(Xn2)<+,以及
注1 一般来说用定义去判断某个随机过程是否具有严 平稳性是很困难的。 若在实际问题中产生随机过程的环境和主要条件在时 间进行中保持不变，则可认为此过程就是平稳的。 注2 严平稳过程的所有样本函数都在某一水平直线上 下随机波动。
严平稳过程的基本性质
(1) 严平稳过程的一维分布函数与时间t无关。
(2) 严平稳过程的二维分布与时间起点无关只与时 间间隔有关。



F ( x1 , x 2 , , x k ) F ( x j )
j 1
可见，满足定义条件，故{Xn,n0}是严平稳过程。 因为XnU(0,1)，且相互独立，所以 E(Xn)=1/2，
2
1 1 nm n m 12 4 E( X n ) E( X n X m ) 1 E( X n )E( X m ) n m nm 4
在严平稳过程的定义中，令h=-t,由定义X(t)与X(0)
同分布，所以E[X(t)]= E[X(0)]为常数。一般记为X.
(2) 由Cauchy-Schwarze不等式 { E[X(s)X(t)]}2 E[X2(s)]E[X2(t)]<+, 所以E[X(s)X(t)]存在。 在严平稳过程的定义中，令h=-s, 由定义(X(s),X(t))与
严平稳过程的数字特征 定理 如果{X(t),tT}是严平稳过程，且对任意的tT，
E[X2(t)]<+,则有 (1)E[X(t)]=常数，tT； (2)E[X(s)X(t)]只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。
证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式
{E[X(t)]}2E[X2(t)]<+, 所以E[X(t)]存在。
2．正态过程{X(t),tT}为独立随机过程对任意的 s,t,s≠t时，协方差函数CX(s,t)=0.
证明：“” n2,因为X(t1),X(t2),…,X(tn)是相互独立的正态随 机变量，而正态随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独 立其两两互不相关，即：CX(s,t)=0, s≠t.
确定。 反之，可以证明，T=[0,+∞),给定μ(t)和非负二元函 数C(s,t)，则存在正态过程{X(t)}，使μX(t)=μ(t)， CX(s,t)=C(s,t)。
定义：设随机过程{X(t),tT}，且对任意正整数n2，任 意n个不同的t1,t2,…,tnT，随机变量 X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独立，则称此过程为独立随机 过程。
( )k P ( Ak ) e , k 0,1, 2, k!
其中λ>0是单位时间内变号次数的数学期望, 试讨论X(t)的平稳性。
x(t) I 0 -I 图 1 t
解: 显然,E[X(t)]=0现在来计算E[X(t) X(t+τ)], 先设τ>0我们注意,如果电流在(t,t+τ)内变号 偶数次,则X(t)和X(t+τ)必同号且乘积为I2,因 2 { X ( t ) X ( t ) I } 的概率为 此事件