概率论与数理统计-概率的运算法则
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。
其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。
而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。
本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。
一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。
2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。
3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。
2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。
3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。
概率论与数理统计-重要公式
概率论与数理统计-重要公式一、随机事件与概率二、随机变量及其分布1、分布函数()()(),()()()()k k x xx P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt≤-∞⎧=⎪=≤=<≤=-⎨⎪⎩∑⎰ 概率密度函数计算概率：2、离散型随机变量及其分布3、续型型随机变量及其分布1)(=⎰+∞∞-dx x f ⎰=≤≤badxx f b X a P )()(一般正态分布的概率计算公式分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：()(),1,2,j ii j g x y P Y y p i ====∑，连续型： ①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调 h(y)是g(x)的反函数三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ijx x y yF X Y p≤≤=∑∑边缘分布律：()i i ij jp P X x p ⋅===∑ ()j j ij ip P Y y p ⋅===∑条件分布律：(),1,2,ij i j jp P X x Y y i p ⋅====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅====联合密度函数2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：⎰⎰∞-∞-=x ydudv v u f y x F ),(),(⎰∞-=≤=x dtt f x X P x F )()()(∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()()()('x f x F =⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=),(y x f 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P性质：2(,)(,)1,(,),F x y F f x y x y∂+∞+∞==∂∂((,))(,)GP x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(③条件概率密度+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()( 3、随机变量的独立性随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y = 离散型：..ij i j p p p = ，4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式)离散型：()(,)i j kk i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑注意部分可加性连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型∑+∞==1)(k k k p x X E ，连续型⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(②性质：(),E C C = )()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=±b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =(正对逆错)随机变量g(X)的数学期望2、方差 ①定义：②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov②相关系数： ()()XY D X D Y ρ=，当X 、Y 相互独立时：0=XY ρ(X,Y 不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov =),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++Cov(x,a)=0(a 为常数)，),(2)()()(22Y X abCov Y D b X D a bY aX D ±+=±4、常见随机变量分布的数学期望和方差}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====∑=kkk p x g X g E )())((五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2)(})({εεX D X E X P ≤≥-2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，2)(,)(i ii i X D X E σμ==且C i ≤2σ，则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞⎛⎫-<=⎪⎝⎭③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞→=−→−∑n P ni iXn113、★中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为μ，方差为02>σ，当n 充分大时有：1((0,1)~nn k k Y X n n N μσ==-−−→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：22lim }()2t x n P x dt x π-→∞≤==Φ⎰③近似计算：1()nk k P a X b n n σσ=≤≤≈Φ-Φ∑ 六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体X ～F(x)，则样本的联合分布函数)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量样本均值：∑==ni i X nX 11，样本方差：∑∑==--=--=ni ini i X n X n X X n S 122122)(11)(11 样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=k X n A ni k i k样本k 阶中心距：11(),1,2,3nk k i i B X X k n ==-=∑3、三大抽样分布(1)2χ分布（卡方分布）：设随机变量X ～B(0,1)(1,2,,)i n =且相互独立，则称统计量222212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ 性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ(2)t分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：nY X T =服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T 。
概率论与数理统计公式总结(湖南大学)
2.设 的 和 两个样本，则有：
(1)
5.相关性
对于随机变量X,Y下列结论是等价的：
(1)X与Y不相关 (3)ρ=0 (5)D(X Y)=D(X)+D(Y)
(2)Cov(X,Y)=0 (4)E(XY)=E(X)E(Y)
X,Y相互独立可以推出上述五个结论。
※切比雪夫不等式
表明：对于任意正数ε，当随机变量X的方差越小时，事件 的概率越小，其对立面概率越大。
则
定理(2)X Y相互独立，g(x)和h(y)是两个一元连续函数，则g(X)和h(Y)也相互独立。
定理(3) 则 。且 只差一个常数因子。
(重点)※期望与方差的性质
1期望的性质
(1)一维的：
若Y=g(X),
二维的：
若Z=g(X,Y),
(2)性质：E(C)=C E(CX)=CE(X) (C为常数)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
3.边缘概率密度函数
4.二维正态分布(还是看一下会比较好)
(1)二维正态分布中X,Y相互独立的充要条件是参数ρ（相关系数）=0
※连续型随机变量之和的分布
1.一般地：
卷积公式：
2.其他分布
(1)瑞利分布: X, Y均服从N(0， )则 的概率密度为
(2)Max与Min 分布：（自己推广到n个变量的情况）
(3)若X,Y独立，则Cov(X,Y)=0
(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
(5)Cov( )=Cov( Y)+Cov( )
3.标准化随机变量
4.相关系数
也可写做为X,Y的标准化协随机变量的协方差
性质：(1)
(2)|ρ|=1的充要条件，存在常数a，b(b不等于0)，使P{Y=a+bX}=1即X,Y以概率1线性相关。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计考点
《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。
结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
(完整版)概率论与数理统计公式整理(超全版)
（17）伯努利概型
我们作了 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
2° ，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件 ， ，…， 及 满足
1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，
2° ， ，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ， （2） 。
（2）连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
，
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
概率运算的五个基本公式和例题
概率运算的五个基本公式和例题
x
一、基本公式
1. 概率的定义：设A是一个样本空间，B是A的一个事件，记作P(B)，则定义为P(B)为A发生B的可能性，范围在0≤P(B)≤1之间。
2. 乘法法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A∩B）＝P（A）×P（B）。
3. 求和法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）。
4. 链式法则：若事件A、B、C满足条件“A、B、C互不相容”，则P（A∩B∩C）＝P（A）×P（B|A）×P（C|A∩B）。
5. 贝叶斯法则：若事件A、B满足条件“A和B互不相容”，则P （A|B）＝P（A∩B）/P（B）。
二、例题
1. 已知抽取一个球，其中一个是黑色的，一个是白色的，求抽到黑色球的概率。
解：P（黑色）＝1/2，抽到黑色球的概率P（黑色）＝1/2。
2. 已知从一个六面骰子中投掷一次，求投掷出偶数的概率。
解：P（偶数）＝3/6，投掷出偶数的概率P（偶数）＝3/6。
3. 将1~5个数字的牌放在一个行列，给出每列里出现3的概率。
解：P（每列有3）＝5/120，每列出现3的概率P（每列有3）
＝5/120。
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中常用的工具，用来计算事件的概率。
下面将分别介绍这两个公式。
全概率公式是概率论中的一个重要定理，用来计算条件概率。
它指出，如果有一组互斥且完备的事件A1，A2，…，An，即这些事件两两互斥且它们的并集等于全样本空间，那么对于任意一个事件B，可以通过以下公式计算其条件概率P(B)：P(B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+…+P(An)P(B，An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
全概率公式的应用非常广泛，特别在贝叶斯定理的推导中非常有用。
贝叶斯公式是概率论与数理统计中一种常用的计算概率的方法，它使用了全概率公式的思想。
贝叶斯公式可以用来计算在已知其中一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
贝叶斯公式通常用于处理具有不完备信息的问题，根据已知的信息更新先验概率得到后验概率，并基于后验概率进行进一步的推断和决策。
全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中两个重要且相互关联的公式。
全概率公式通过将一个事件分解为多个互斥且完备的小事件，计算条件概率；而贝叶斯公式则通过已知信息计算先验概率，并根据新的信息更新概率。
这两个公式在实际问题的求解中经常起到至关重要的作用。
通过灵活应用全概率公式和贝叶斯公式，我们可以更好地理解随机事件的发生规律，并进行统计数据的分析与预测。
概率论与数理统计-概率的运算法则
或
P(AB)=P(A)P(B|A) （当P(A)≠0时） 此二公式称为概率的乘法公式 注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A) 与P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
26
乘法公式的推广
设 A1，A2， ，An 为任意n个事件，当 n ≥2 且 P( A1 A2 An1 ) 0 ，则有
故有 P(B|A)=P(AB)/P(A) = 5/99
22
例: 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂 占 30%,甲厂产品的合格品率是 95%， 乙厂的合格品 率是 80%，若用事件 B、 B 分别表示甲、乙两厂的 产品， 表示产品为合格品， A 试求下列事件的概率： .
P(B), P(B), P(A B) ，P(A B), P(A B), P(A B)
§1.3 概率的基本运算法则
1. 概率的加法公式
2. 条件概率与事件的独立性
1
1. 概率的加法公式
定理1.3.1 若事件A，B互不相容，则
P（A B） P（A） P（B）
称为概率的加法公式 证明：（仅就古典概型证明） 设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基本事 件总数为n. 其中事件A包含的基本事件数为 m1，事 件B包含的基本事件数为 m2，
12
(2)不放回抽样: 第一次从10件产品中抽1件有10种抽取 方法，第二次从9件产品中抽1件有9种抽取方法，故有 10×9种可能的取法。所以样本空间的基本事件总数为 n=10×9=90. 两次均抽到合格品共有mA=8×7=56种取法，即A包含的基 本事件数为56，于是 P(A)=56/90 同理，B包含的基本事件数mB=2×1=2. 所以 P(B)=2/90 由于C=A∪B，且AB=，所以 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.622+0.022=0.644 P(D)=1-P(B)=1-0.022=0.978
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率论与数理统计公式汇总应用广泛解题利器
概率论与数理统计公式汇总应用广泛解题利器概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学以及工程技术等。
在解决实际问题时，概率论与数理统计的公式是我们的利器之一。
本文将概括总结概率论与数理统计中常用的公式，并探讨其在实际问题中的应用。
一、概率论公式汇总1. 加法公式：对于两个事件A和B，其和事件的概率为P(A ∪ B) = P(A) + P(B) -P(A ∩ B)。
该公式适用于求两个或多个事件的并的概率。
2. 条件概率公式：事件A在已知事件B发生的条件下发生的概率为P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)。
该公式适用于求已知条件下事件的概率。
3. 乘法公式：对于两个事件A和B，其交事件的概率为P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)。
该公式适用于求两个事件的交的概率。
4. 全概率公式：对于一组两两互斥的事件B1、B2、...、Bn，事件A的概率为P(A)= P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)。
该公式适用于求事件A的概率。
5. 贝叶斯公式：对于一组两两互斥的事件B1、B2、...、Bn，已知事件A发生，事件Bi发生的概率为P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / [P(A|B1) * P(B1) +P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)]。
该公式适用于求已知事件A发生的条件下事件Bi发生的概率。
二、数理统计公式汇总1. 样本均值公式：对于样本X1、X2、...、Xn，其样本均值为X = (X1 + X2 + ... + Xn) / n。
该公式适用于求样本的均值。
2. 总体均值公式：对于总体X1、X2、...、Xn，其总体均值为μ = (X1 + X2 + ... + Xn) / n。
该公式适用于求总体的均值。
3. 样本方差公式：对于样本X1、X2、...、Xn，其样本方差为S² = [(X1 - X)² + (X2 - X)² + ... + (Xn - X)²] / (n - 1)。
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
P( X
k)
CMk
•
C nk N M
,
k
0,1,2, l
CNn
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于 x 对称的；
2° 当 x 时， f () 1 为最大值；
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
均匀分布
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
0，
xa, ba
1，
x<a， a≤x≤b x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
指数分布
f (x)
ex ,
0,
x 0, x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
则
P(Bi / A)
概率论与数理统计公式总结
第1章 随机事件及其概率第二章 随机变量及其分布（4）分布函数设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数)()(x X P x F ≤=称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
)()()(a F b F b X a P −=≤< 可以得到X 落入区间],(b a 的概率。
分布函数)(x F 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞−x ；2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ； 3° 0)(lim )(==−∞−∞→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞→x F F x ；4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的； 5° )0()()(−−==x F x F x X P 。
对于离散型随机变量，∑≤=x x kk px F )(；对于连续型随机变量，∫∞−=xdx x f x F )()( 。
（5）八大分布0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。
事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为n ,,2,1,0 。
kn k kn n q p C k P k X P −===)()(， 其中n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<−=，则称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。
记为),(~p n B X 。
当1=n 时，k k q p k X P −==1)(，1.0=k ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
第三章 二维随机变量及其分布连续型对于二维随机向量),(Y X =ξ，如果存在非负函数),)(,(+∞<<−∞+∞<<−∞y x y x f ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D ，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有∫∫=∈Ddxdy y x f D Y X P ,),(}),{(则称ξ为连续型随机向量；并称f(x,y)为ξ=（X ，Y ）的分布密度或称为X 和Y 的联合分布密度。
概率与统计的运算法则
概率与统计的运算法则概率和统计是数学中的重要分支，它们研究了随机事件的发生规律以及对于数据的收集、分析和解释。
概率与统计的运算法则是指在概率和统计问题中常用的一些运算规则和方法。
本文将详细介绍概率与统计的运算法则，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、概率的运算法则在概率论中，我们常常需要计算并描述随机事件发生的可能性。
以下是概率的运算法则的介绍。
1. 加法法则加法法则是指在两个事件发生的情况下，计算这两个事件中至少发生一个的概率。
设事件A和事件B是两个互不相容的事件，即事件A 和事件B不能同时发生。
那么，事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的和。
用数学表示为：P(A或B) = P(A) + P(B)2. 乘法法则乘法法则是指在两个事件相继发生的情况下，计算这两个事件同时发生的概率。
设事件A和事件B是两个相继发生的事件，那么事件A 和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率与在事件A发生的条件下事件B发生的概率的乘积。
用数学表示为：P(A且B) = P(A) × P(B|A)3. 减法法则减法法则是指从总体概率中减去特定条件下的概率，从而计算出不符合特定条件的概率。
设事件A和事件B是两个互不相容的事件，那么事件A不发生的概率等于1减去事件A发生的概率。
用数学表示为：P(非A) = 1 - P(A)二、统计的运算法则统计学是研究大量数据的收集、分析和解释的学科，用于描述和推断总体特征，并进行决策和预测。
以下是统计的运算法则的介绍。
1. 样本均值样本均值是指在统计样本中，各个观测值的总和除以样本容量。
用数学表示为：样本均值 = (观测值1 + 观测值2 + ... + 观测值n) / 样本容量2. 样本方差样本方差是用来衡量统计样本中各个观测值与均值的离散程度。
用数学表示为：样本方差 = [(观测值1 - 样本均值)² + (观测值2 - 样本均值)² + ... + (观测值n - 样本均值)²] / (样本容量 - 1)3. 标准差标准差是样本方差的平方根，用于度量数据的离散程度。
概率论与数理统计公式全完整版
概率论与数理统计公式
全
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第1章随机事件及其概率
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用
)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
第二章 随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
最新概率论与数理统计完整公式以及各知识点梳理
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称
为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
xi
pi1
…
…
这里pij具有下面两个性质：
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）
连续型
对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
概率论与数学统计公式定理(全)
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
xi
pi1
…
…
这里pij具有下面两个性质：
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
2° ，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件 ， ，…， 及 满足
1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，
2° ， ，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
第1章 随机事件及其概率
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（8）古典概型
1° ，
2° 。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论与数理统计第 1 章随机事件及其概率加法公式减法公式乘法公式独立性P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝ 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时， P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时， P( B )=1- P(B)乘法公式： P( AB)P( A) P(B / A)更一般地，对事件A1， A2，? A n，若 P(A1A2?A n-1 )>0 ，则有P( A1A2? A n)P( A1)P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) ?? P( A n | A1 A2? A n 1) 。
①两个事件的独立性设事件 A、 B 满足P(AB)P( A) P( B)，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且P( A) 0 ，则有P( AB)P( A)P( B)P(B | A)P( B)P( A)P( A)②多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C ）全概公式贝叶斯公式P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2)P(B n )P( A | B n) 。
P( B i / A) nP( B i ) P( A / B i )，2，? n。
， i=1P(B j ) P( A / B j )j 1此公式即为贝叶斯公式。
P( B i ) ，（i1 ，2，?，n），通常叫先验概率。
P(B i / A) ，（i1 ，2，?，n），通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
第二章随机变量及其分布连续型设F ( x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数f ( x)，对任意实数 x ，有随机变x量的分 F ( x) f (x)dx ，则称 X 为连续型随机变量。
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1. 概率的加法公式
2. 条件概率与事件的独立性
1
1. 概率的加法公式
定理1.3.1 若事件A，B互不相容，则
P（A B） P（A） P（B）
称为概率的加法公式 证明：（仅就古典概型证明） 设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基本事 件总数为n. 其中事件A包含的基本事件数为 m1，事 件B包含的基本事件数为 m2，
13
例1.3.2 袋中装有红、白、黑球各一个，每次从袋 中任取一个球，记录其颜色以后再放回袋中，这样 连取3次（有放回地抽取）。求3次都没有取到红球 或3次都没有取到白球的概率。
解 设A={3次没有取到红球}， B={3次都没有取到白球} 则 AB={3次既没有取到红球又没有取到白球} 所求的概率为P(A+B). 则
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
4
推论1
事件A的对立事件 A 的概率为
P( A) 1 P( A)
证明： 由于A A ， A与A也是互不相容事件， 且
由加法公式得 P( A) P( A) P( A A) P() 1 因此 P( A) 1 P( A)
3 45 3 50
7
推论2:设A , B是两个事件，若A B，则有
P(A-B)=P(A)-P(B)
证明:由A B知A=B∪(A-B)，且B(A-B)=, 因此由概率的有限可加性得 P(A)=P(B)+P(A-B) 从而有 P(A-B)=P(A)-P(B)
B
8
A A-B
定理1.3.2 设A，B为任意两事件，则
(1)有放回抽样：第一次取一件产品观察其是否合 格后放回袋中，第二次再取一件产品. (2)不放回抽样： 第一次取一件产品后不放回袋中 ，第二次再取一件产品. 试由上面两种抽样方法，求： 1.取到两件合格品的概率; 2.取到两件相同质量产品的概率; 3.取到的两件产品中至少有一件合格品的概率.
11
解:设A={取到两件合格品},B={取到两件次品},C={取到两件
19
条件概率满足概率公理化 定义中的三条公理 （1)非负性：对于每一事件A，有0≤P(A|B) ≤1; (2)规范性：P(Ω|B)=1; (3)可列可加性：设A1,A2,…是两两互不相容事 件，则有
P( Ai | B) P( Ai | B)
i 1 i 1
20
例:将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情 况.设事件A={至少有一次为正面H}，事件B={两 次掷出同一面}，求已知事件A发生的条件下事件 B发生的概率. 解 样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT}， A={HH,HT,TH} ，B={HH,TT}，AB={HH}. 则有 P(B|A)=1/3 P(A)=3/4 P(AB)=1/4
P( AB) P( A) P( AB)
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
对于三个随机变量，类似地有
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) - P(A1A2)
- P(A1A3) - P(A2A3)+P(A1A2A3)
10
例:一只口袋中，装有10件同类晶体管，其中有8件 合格品，2件次品。从口袋中取产品2次，每次取一 件，考虑两种情况：
AB={取到蓝色的玻璃球} 则 P(A)=11/16 P(B)=6/16 P(AB)=4/16
15
而在实际问题中，除了要知道事件B发生的概 率外，有时还需要知道在“事件A发生”的条件下， 事件B发生的概率，这个概率称为条件概率，记为 P(B|A). 在此，我们在已知取到蓝色球的条件下，求该 球是玻璃球的概率。 将袋中球的分类情况列表如下： 红 蓝 合计 玻璃 2 4 6 塑料 3 7 10 合计 5 11 16
解 依题意
P(B) 70%
P(A B) 95%
P(A B) 5%
P(B) 30%
P(A B) 80%
P(A B) 20%
23
例: 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男 孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个 是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是 男孩）的概率（假定生男生女为等可能） 解：设B表示有男孩，A 表示有两个男孩，B1表示 第一个是男孩，我们有 Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)} A={（男，男）} B={（男，男），（男，女），（女，男）} B1={（男，男），（男，女）}
P(A1A2 An) P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An 1)
27
例 一批产品的次品率为4％，正品中一等品率为 75％，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取 到一等品的概率。 解 设A＝{取到一等品}，B＝{取到次品}，
B ＝{取到正品} ，
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 2 2 1 5 3 3 3 3 3 3 9
3 3
14
2. 条件概率与事件的独立性
例 袋中装有16个球，其中6个是玻璃球，另外10个 是塑料球。而玻璃球中有两个是红色，4个是蓝色； 塑料球中3个是红色，7个是蓝色。现从中任取一 个球， 设 A={取到蓝色球}， B={取到玻璃球}
故有 P(B|A)=P(AB)/P(A) = 5/99
22
例: 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂 占 30%,甲厂产品的合格品率是 95%， 乙厂的合格品 率是 80%，若用事件 B、 B 分别表示甲、乙两厂的 产品， 表示产品为合格品， A 试求下列事件的概率： .
P(B), P(B), P(A B) ，P(A B), P(A B), P(A B)
P( AB) P( B | A) P( A)
1 4 3 4
1 3
21
例:设100件产品中有5件次品，从中任取两次，每次 取一件，作不放回抽样. 设A={第一次抽到合格品}，B={第二次抽到次品}， 求P(B|A).
解 从100件产品中连续抽取2件(抽后不放回)，其样 本空间的基本事件总数为n=100×99，使AB发生的 基本事件数为m=95×5. 于是 P(AB)=(95×5)/(100×99)，又P(A)=95/100
P(AB)=P(B) P(A|B)（当P(B)≠0时)
或
P(AB)=P(A)P(B|A) （当P(A)≠0时） 此二公式称为概率的乘法公式 注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A) 与P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
26
乘法公式的推广
设 A1，A2， ，An 为任意n个事件，当 n ≥2 且 P( A1 A2 An1 ) 0 ，则有
C C C C C C 3 0.276 C C50 C
6
2 1 45 5 3 50
1 45
2 5
0 3 45 5 3 50
解法2 设A={取到的3件产品中有次品}；
A ={取到的3件产品中无次品}，
则根据定理的推论得
C P( A） 1 P( A) 1 0.276 C
相同质量的产品},D={取到的两件产品中至少有一件合格品} (1)有放回抽样:第一次从10件产品中抽1件有10种抽取方 法,第二次从10件产品中抽1件也有10种抽取方法,故有 10×10种可能的取法.每一种取法是一基本事件,且发生的 可能性是相同的.所以基本事件总数为n=10×10=100. 使A发生的基本事件是第一次抽到合格品,且第二次也抽 到合格品,共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理，B包含的基本事件数mB=2×2=4. 所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B，且AB=，所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.64+0.04=0.68 P(D)=1-P(B)=1-0.04=0.96
5
例: 一批产品共50件，其中有5件是次品，从这批产品中任取
3件，求其中有次品的概率． 解法1 设A={取到的3件产品中有次品}； Ai={取到的3件产品 中恰有i件次品} (i=1,2,3) 则
A1，A2，A3两两互不相容，并且 A A1 A2 A3
由定理得
P( A） P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
证明：因为A+B= AB B ，并且 A B 与B互不相容，
于是
又由于
P( A B) P( AB) P( B)
A A AB AB且AB与AB互不相容，
A AB B
9
于是有 则 因此
P( A) P( AB) P( AB)
2
由古典概率的定义得:
m1 P（A）= n
，
m2 P（B）= n
由于A与B互不相容，故事件A+B包含的基本事件数为 m1+m2 同样由古典概率的定义有
m1 m2 m1 m2 P( A B) P( A) PB n n n
故概率的加法公式成立
3
推广：
若事件 A1，A2， ，An 两两互不相容，则
P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200
29
解2 : 按题题意 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 而 A1 , A1 A2 , A1 A2 A3是两两两互不相容的事，故有 P( B ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) P( B ) P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) = 1/2 + 7/10(1 - 1/2) + 9/10 (1 - 1/2)(1 - 7/10) = 197/200 故 197 3 P( B) 1 P( B ) 1 200 200