概率论与数理统计-概率的运算法则

(1)有放回抽样：第一次取一件产品观察其是否合 格后放回袋中，第二次再取一件产品. (2)不放回抽样： 第一次取一件产品后不放回袋中 ，第二次再取一件产品. 试由上面两种抽样方法，求： 1.取到两件合格品的概率; 2.取到两件相同质量产品的概率; 3.取到的两件产品中至少有一件合格品的概率.
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解:设A={取到两件合格品},B={取到两件次品},C={取到两件
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(2)不放回抽样: 第一次从10件产品中抽1件有10种抽取 方法，第二次从9件产品中抽1件有9种抽取方法，故有 10×9种可能的取法。所以样本空间的基本事件总数为 n=10×9=90. 两次均抽到合格品共有mA=8×7=56种取法，即A包含的基 本事件数为56，于是 P(A)=56/90 同理，B包含的基本事件数mB=2×1=2. 所以 P(B)=2/90 由于C=A∪B，且AB=，所以 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.622+0.022=0.644 P(D)=1-P(B)=1-0.022=0.978
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例1.3.2 袋中装有红、白、黑球各一个，每次从袋 中任取一个球，记录其颜色以后再放回袋中，这样 连取3次（有放回地抽取）。求3次都没有取到红球 或3次都没有取到白球的概率。
解 设A={3次没有取到红球}， B={3次都没有取到白球} 则 AB={3次既没有取到红球又没有取到白球} 所求的概率为P(A+B). 则
P(A1A2 An) P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An 1)
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例 一批产品的次品率为4％，正品中一等品率为 75％，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取 到一等品的概率。 解 设A＝{取到一等品}，B＝{取到次品}，
B ＝{取到正品} ，
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条件概率满足概率公理化 定义中的三条公理 （1)非负性：对于每一事件A，有0≤P(A|B) ≤1; (2)规范性：P(Ω|B)=1; (3)可列可加性：设A1,A2,…是两两互不相容事 件，则有
P( Ai | B) P( Ai | B)
i 1 i 1
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例:将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情 况.设事件A={至少有一次为正面H}，事件B={两 次掷出同一面}，求已知事件A发生的条件下事件 B发生的概率. 解 样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT}， A={HH,HT,TH} ，B={HH,TT}，AB={HH}. 则有 P(B|A)=1/3 P(A)=3/4 P(AB)=1/4
P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200
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解2 : 按题题意 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 而 A1 , A1 A2 , A1 A2 A3是两两两互不相容的事，故有 P( B ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) P( B ) P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) = 1/2 + 7/10(1 - 1/2) + 9/10 (1 - 1/2)(1 - 7/10) = 197/200 故 197 3 P( B) 1 P( B ) 1 200 200
P( AB) P( B | A) P( A)
1 4 3 4
1 3
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例:设100件产品中有5件次品，从中任取两次，每次 取一件，作不放回抽样. 设A={第一次抽到合格品}，B={第二次抽到次品}， 求P(B|A).
解 从100件产品中连续抽取2件(抽后不放回)，其样 本空间的基本事件总数为n=100×99，使AB发生的 基本事件数为m=95×5. 于是 P(AB)=(95×5)/(100×99)，又P(A)=95/100
解 依题意
P(B) 70%
P(A B) 95%
P(A B) 5%
P(B) 30%
P(A B) 80%
P(A B) 20%
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例: 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男 孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个 是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是 男孩）的概率（假定生男生女为等可能） 解：设B表示有男孩，A 表示有两个男孩，B1表示 第一个是男孩，我们有 Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)} A={（男，男）} B={（男，男），（男，女），（女，男）} B1={（男，男），（男，女）}
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 2 2 1 5 3 3 3 3 3 3 9
3 3
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 条件概率与事件的独立性
例 袋中装有16个球，其中6个是玻璃球，另外10个 是塑料球。而玻璃球中有两个是红色，4个是蓝色； 塑料球中3个是红色，7个是蓝色。现从中任取一 个球， 设 A={取到蓝色球}， B={取到玻璃球}
AB={取到蓝色的玻璃球} 则 P(A)=11/16 P(B)=6/16 P(AB)=4/16
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而在实际问题中，除了要知道事件B发生的概 率外，有时还需要知道在“事件A发生”的条件下， 事件B发生的概率，这个概率称为条件概率，记为 P(B|A). 在此，我们在已知取到蓝色球的条件下，求该 球是玻璃球的概率。 将袋中球的分类情况列表如下： 红 蓝 合计 玻璃 2 4 6 塑料 3 7 10 合计 5 11 16
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
证明：因为A+B= AB B ，并且 A B 与B互不相容，
于是
又由于
P( A B) P( AB) P( B)
A A AB AB且AB与AB互不相容，
A AB B
9
于是有 则 因此
P( A) P( AB) P( AB)
故有 P(B|A)=P(AB)/P(A) = 5/99
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例: 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂 占 30%,甲厂产品的合格品率是 95%， 乙厂的合格品 率是 80%，若用事件 B、 B 分别表示甲、乙两厂的 产品， 表示产品为合格品， A 试求下列事件的概率： .
P(B), P(B), P(A B) ，P(A B), P(A B), P(A B)
相同质量的产品},D={取到的两件产品中至少有一件合格品} (1)有放回抽样:第一次从10件产品中抽1件有10种抽取方 法,第二次从10件产品中抽1件也有10种抽取方法,故有 10×10种可能的取法.每一种取法是一基本事件,且发生的 可能性是相同的.所以基本事件总数为n=10×10=100. 使A发生的基本事件是第一次抽到合格品,且第二次也抽 到合格品,共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理，B包含的基本事件数mB=2×2=4. 所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B，且AB=，所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.64+0.04=0.68 P(D)=1-P(B)=1-0.04=0.96
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因为已知取到的是蓝色球，故此时的样本空
间由11个基本事件组成，而11个蓝色球中有4个是
玻璃球，所以P(B|A)=4/11. 在事件A已发生的条件下，原来的样本空间 （16个基本事件）被缩小。
4 4 16 P( AB) 注意： P( B | A) 11 11 16 P( A) 4 4 16 P( AB) P( A | B) 6 6 16 P( B)
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于是得
P(B) 3
4
1 P(AB) P(A) 4
1 P(AB1 ) P(A) 4
所求的两个条件概率为
1 P(AB) 41 P(A | B) 3 P(B) 3 4
P(AB1 ) 41 P(A | B1 ) 1 P(B1 ) 2 2
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1
乘法公式
由条件概率的定义可得：
则
P( B) 0.04
P( B) 0.96
由于 A B 故 P( A B) 0.75 于是
P( A) P( AB) P( B) P( A B) 0.96 0.75 0.72
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例:设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打
破的概率为1/2；若第一次落下未打破，第二次 落下时打破的概率为7/10；若前二次落下未打破， 第三次落下时打破的概率为9/10. 试求透镜落下 三次而未打破的概率. 解1:设Ai={透镜第i次落下未打破}(i=1,2,3)，B={透 镜落下三次而未打破}，则B=A1A2A3，故有
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条件概率是指在事件A发生的条件下，另一事
件B发生的概率，记用P(B|A).
定义:设A,B是两个事件，且P(A)>0，称
P( AB) P( B | A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
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类似地，可定义在事件B发生的条件下事件A 发生的概率为
P( AB) P( A | B) ( P( B) 0) P( B)
2
由古典概率的定义得:
m1 P（A）= n
，
m2 P（B）= n
由于A与B互不相容，故事件A+B包含的基本事件数为 m1+m2 同样由古典概率的定义有
m1 m2 m1 m2 P( A B) P( A) PB n n n
故概率的加法公式成立
3
推广：
若事件 A1，A2， ，An 两两互不相容，则
§1.3 概率的基本运算法则
1. 概率的加法公式
2. 条件概率与事件的独立性
1
1. 概率的加法公式
定理1.3.1 若事件A，B互不相容，则
P（A B） P（A） P（B）
称为概率的加法公式 证明：（仅就古典概型证明） 设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基本事 件总数为n. 其中事件A包含的基本事件数为 m1，事 件B包含的基本事件数为 m2，
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
4
推论1
事件A的对立事件 A 的概率为
P( A) 1 P( A)
证明： 由于A A ， A与A也是互不相容事件， 且
由加法公式得 P( A) P( A) P( A A) P() 1 因此 P( A) 1 P( A)
C C C C C C 3 0.276 C C50 C
6
2 1 45 5 3 50
1 45
2 5
0 3 45 5 3 50
解法2 设A={取到的3件产品中有次品}；
A ={取到的3件产品中无次品}，
则根据定理的推论得
C P( A） 1 P( A) 1 0.276 C
P(AB)=P(B) P(A|B)（当P(B)≠0时)
或
P(AB)=P(A)P(B|A) （当P(A)≠0时） 此二公式称为概率的乘法公式 注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A) 与P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
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乘法公式的推广
设 A1，A2， ，An 为任意n个事件，当 n ≥2 且 P( A1 A2 An1 ) 0 ，则有
3 45 3 50
7
推论2:设A , B是两个事件，若A B，则有
P(A-B)=P(A)-P(B)
证明:由A B知A=B∪(A-B)，且B(A-B)=, 因此由概率的有限可加性得 P(A)=P(B)+P(A-B) 从而有 P(A-B)=P(A)-P(B)
B
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A A-B
定理1.3.2 设A，B为任意两事件，则
5
例: 一批产品共50件，其中有5件是次品，从这批产品中任取
3件，求其中有次品的概率． 解法1 设A={取到的3件产品中有次品}； Ai={取到的3件产品 中恰有i件次品} (i=1,2,3) 则
A1，A2，A3两两互不相容，并且 A A1 A2 A3
由定理得
P( A） P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
P( AB) P( A) P( AB)
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
对于三个随机变量，类似地有
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) - P(A1A2)
- P(A1A3) - P(A2A3)+P(A1A2A3)
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例:一只口袋中，装有10件同类晶体管，其中有8件 合格品，2件次品。从口袋中取产品2次，每次取一 件，考虑两种情况：