正方体的截面问题研究

研究性学习报告

————正方体的截面问题课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示

来证明其结果，列举特

例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。

探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。

阶段探究：

1.猜想阶段：根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想：

（1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形

2.猜想及其他可能的证明：

1.正方形：

因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的

平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：

====》》》

由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形

====》》》

由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形

2.矩形：

因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：

由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

3.平行四边形：

当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：

==》

由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形

4.三角形：

根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下

==》》》

由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：

如下图所示，当

A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形：

（2）梯形：

如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异

时，所得截面可能是梯形：

3）五边形：

如图所示，可以截得五边形截面：

5.猜想之外的截面形状：

（1）菱形：

==》得

==》》

=》

通过实践及资料查询可

知，无法得到正五边形

（4）六边形：

如图所示，可以截得六边形截面：

特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：

拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质

1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角

形。

2. 正方体最大面积的截面四边形: 通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。

根据四边形的面积公式：面积=长* 宽

联系正方体图形：

得到：当由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形的长最大，又因为在各个情况下

的宽不变。

则由猜想得到：“最大面积的截面四边形：由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形。”

3.最大面积的截面形状：

正方体的截面可以分为：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、五边形、六边形、正六边形。其中三角形还分为锐角三角型、等边、等腰三角形。梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。

首先比较三角形与五边形和六边形，所得这三种截面的情况有一共同特点：不能完整在该截面所在平面在正方体内所截的范围的最大值，有部分空间空出。

因此可以得到：最大面积一定是四边形。

所以最大面积的截面形状：即最大截面四边形（猜想）。初步推断为如图所示

4.截面五边形、六边形性质

通过课本及资料查询知：截面五边形：有两组边互相平行截面六边形：三组对边平行的六边形.

达到水平

得到了所需结论，达到了验证猜想及针对于课题进行探究及扩展探究的要求：

正方体的截面图

的矩形：

结论如下：

可能出现的：

锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、

非矩形的平行四边形、非等腰梯形等腰梯形、五边形、六边形、正六边形

不可能出现：

钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、

七边形或更多边形

成就，问题，解决成就：通过资料进行文字探究，拥有三个阶段性探究（1.猜想探究2.思考、查询探

究3.拓展探究）并有相关图片文字证明，基本框架完成，基本达到预计目的。问题：1对图片的解释不够准确解决：熟读课本概念，提高语言能力，更清楚的表达与证明。

2 对研究性学习的理解不够透彻解决：在之后的学习中增加探究次数，扩充相关内容

与探究方法。

3 未找到所预计的特例，内容不够完整

解决：多多练习，全面考虑问题。

正方体的截面问题》研究性学习小组

2010.2.24