2.1算法的基本思想教学设计 教案 (北师大必修3)

第二章 算法初步

第一课时 2.1算法的基本思想

【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义.

【教学目标】1.理解算法的概念与特点；

2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想；

3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.

【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法

【教学难点】用自然语言描述算法

【教学过程】

一、序言

算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.

在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学学习中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想.

二、实例分析

例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法.

解：第一步：把水注入电锅；

第二步：打开电源把水烧开；

第三步：把烧开的水注入热水瓶.

（以上算法是解决某一问题的程序或步骤）

例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法.

解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．

第一步：计算1+2，得到3；

第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；

第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；

第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．

算法2 运用公式123n +++

+=2)1(+n n 直接计算． 第一步：取n =5； 第二步：计算2

)1(+n n ； 第三步：输出运算结果．

算法3 用循环方法求和．

第一步：使1S =，；

第二步：使2I =；

第三步：使S S I =+；

第四步：使1I I =+；

第五步：如果5I ≤，则返回第三步，否则输出S ．

点评：一个问题的算法可能不唯一．

例3 给出求解方程组274511

x y x y +=⎧⎨+=⎩的一个算法．

解：用消元法解这个方程组，步骤是： 第一步：方程①不动，将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数，得到乘数422m =

=； 第二步：方程②减去m 乘以方程①，消去方程②中的x 项，得到

2733

x y y +=⎧⎨=-⎩； 第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到1y =-，4x =．

所以原方程组的解为41x y =⎧⎨

=-⎩． 点评：通过例1再次明确算法特点：有限性和确定性

例4.用二分法设计一个求解方程x 2–2=0的近似根的算法。并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，

解：则不难设计出以下步骤：

第一步：令f(x)=x 2–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x 1=1，x 2=2。

第二步：令m=(x 1+x 2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m 为所长；若否，则继续判断f(x 1)·f(m)大于0还是小于0。

第三步：若f(x 1)·f(m)>0，则令x 1=m ；否则，令x 2=m 。

第四步：判断|x 1–x 2|<0.005是否成立？若是，则x 1、x 2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二

点评：渗透循环的思想，为后面教学做铺垫。

例5. 写出求方程组()012212221

11≠-⎩⎨⎧=+=+b a b a ②c y b x a ①c y b x a 的解的算法.

解：第一步：②× a1 - ①×a2，得：()12211221c a c a y b a b a -=- ③

第二步：解③得 1

2211221b a b a c a c a y --=； 第三步：将12211221b a b a c a c a y --=代入①，得111

c b y x a -= 点评：可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

例6：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；

第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；

第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程.

三、算法的概念

通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法

在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

四、课堂练习

1：任意给定一个大于1的正整数n ，设计一个算法求出n 的所有因数.

解：根据因数的定义，可设计出下面的一个算法：

第一步：输入大于1的正整数n .

第二步：判断n 是否等于2，若2=n ，则n 的因数为1，n ；若2>n ，则执行第三步.

第三步：依次从2到1-n 检验是不是整除n ，若整除n ，则是n 的因数；若不整除n ，则不是n 的因数.

2：设计一个计算1+2+…+100的值的算法.

解：算法1 按照逐一相加的程序进行

第一步：计算1+2，得到3；

第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；

第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；

……

第九十九步：将第九十八步中的运算结果4950与100相加，得到5050. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =

2)1(+n n 直接计算 第一步：取n =100； 第二步：计算

2

)1(+n n ； 第三步：输出运算结果.

3：任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.

解：第一步：输入任意正实数r ；

第二步：计算2r S π=；

第三步：输出圆的面积S .

4. 二分法求解多项式方程在区间[,]a b 的一种常用方法.算法步骤是。

解1．确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε；

2. 求区间(,)a b 的中点1x ；

3. 计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =