2.1算法的基本思想教学设计 教案 (北师大必修3)

第二章 算法初步
第一课时 2.1算法的基本思想
【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义.
【教学目标】1.理解算法的概念与特点；
2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法
【教学难点】用自然语言描述算法
【教学过程】
一、序言
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.
在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学学习中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想.
二、实例分析
例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法.
解：第一步：把水注入电锅；
第二步：打开电源把水烧开；
第三步：把烧开的水注入热水瓶.
（以上算法是解决某一问题的程序或步骤）
例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法.
解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．
算法2 运用公式123n +++
+=2)1(+n n 直接计算． 第一步：取n =5； 第二步：计算2
)1(+n n ； 第三步：输出运算结果．
算法3 用循环方法求和．
第一步：使1S =，；
第二步：使2I =；
第三步：使S S I =+；
第四步：使1I I =+；
第五步：如果5I ≤，则返回第三步，否则输出S ．
点评：一个问题的算法可能不唯一．
例3 给出求解方程组274511
x y x y +=⎧⎨+=⎩的一个算法．
解：用消元法解这个方程组，步骤是： 第一步：方程①不动，将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数，得到乘数422m =
=； 第二步：方程②减去m 乘以方程①，消去方程②中的x 项，得到
2733
x y y +=⎧⎨=-⎩； 第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到1y =-，4x =．
所以原方程组的解为41x y =⎧⎨
=-⎩． 点评：通过例1再次明确算法特点：有限性和确定性
例4.用二分法设计一个求解方程x 2–2=0的近似根的算法。

并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，
解：则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x 2–2。

因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x 1=1，x 2=2。

第二步：令m=(x 1+x 2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m 为所长；若否，则继续判断f(x 1)·f(m)大于0还是小于0。

第三步：若f(x 1)·f(m)>0，则令x 1=m ；否则，令x 2=m 。

第四步：判断|x 1–x 2|<0.005是否成立？若是，则x 1、x 2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二
点评：渗透循环的思想，为后面教学做铺垫。

例5. 写出求方程组()012212221
11≠-⎩⎨⎧=+=+b a b a ②c y b x a ①c y b x a 的解的算法.
解：第一步：②× a1 - ①×a2，得：()12211221c a c a y b a b a -=- ③
第二步：解③得 1
2211221b a b a c a c a y --=； 第三步：将12211221b a b a c a c a y --=代入①，得111
c b y x a -= 点评：可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
例6：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；
第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；
第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程.
三、算法的概念
通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法
在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
四、课堂练习
1：任意给定一个大于1的正整数n ，设计一个算法求出n 的所有因数.
解：根据因数的定义，可设计出下面的一个算法：
第一步：输入大于1的正整数n .
第二步：判断n 是否等于2，若2=n ，则n 的因数为1，n ；若2>n ，则执行第三步.
第三步：依次从2到1-n 检验是不是整除n ，若整除n ，则是n 的因数；若不整除n ，则不是n 的因数.
2：设计一个计算1+2+…+100的值的算法.
解：算法1 按照逐一相加的程序进行
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
……
第九十九步：将第九十八步中的运算结果4950与100相加，得到5050. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =
2)1(+n n 直接计算 第一步：取n =100； 第二步：计算
2
)1(+n n ； 第三步：输出运算结果.
3：任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.
解：第一步：输入任意正实数r ；
第二步：计算2r S π=；
第三步：输出圆的面积S .
4. 二分法求解多项式方程在区间[,]a b 的一种常用方法.算法步骤是。

解1．确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε；
2. 求区间(,)a b 的中点1x ；
3. 计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =
（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；
4. 判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．
5.两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳.同学们现在想一想，他们怎样渡过河去？请写一写你的渡河方案.
解：因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他人，所以只能让两个小孩先过河。

渡河的方法与步骤为：
第一步 两个小孩同船渡过河去；
第二步 一个小孩划船回来；
第三步 一个大人独自划船渡过河去；
第四步 对岸的小孩划船回来；
第五步 两个小孩再同船渡过河去；
第六步 一个小孩划船回来；
第七步 余下的一个大人独自划船渡过河去；
第八步 对岸的小孩划船回来；
第九步 两个小孩再同船渡过河去.
五、课堂小结
1. 算法的特性：
①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的.
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成.
④输入：一个算法中有零个或多个输入..
⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.
2. 描述算法的一般步骤：
①输入数据.（若数据已知时，应用赋值；若数据为任意未知时，应用输入） ②数据处理.
③输出结果.。