第一节函数的连续性

二、函数的连续性及其性质
例1 证明：对每个正整数n ，方程1n
2=+++x x x Λ在]1,0[上有且只有一根n x ，
并求n x ∞
→n lim 。

解：记n
2n )(x x x x f +++=Λ，当n=1时，显然1)(n =x f 的根]1,0[11∈=x ,
对任意的正整数n>1，n )1(0)0(n n ==f f ，，由连续函数的介值定理知，至少存在一点)1,0(n ∈x ，使1)(n n =x f ，即1)(n =x f 在]1,0[中至少有一根n x ，又因为
]1,0[01n 321)(1-n 2n ∈>≥++++='x x x x x f ，Λ
所以)(n x f 在]1,0[上严格增加，故它在]1,0[上只能有一个根。

又因为)(1)()()(1n 1n n n 1
n n n n n 1n ++++==≥+=x f x f x x f x f ，由函数)(1n x f +的单调性
得数列}{n x 是单调下降，注意到)1,0(n ∈x ，所以n x ∞
→n lim 存在。

不妨设其极限为A ， 由n n
n n n n
2
n
n n n 1)1()(1x x x x x x x f --=+++==Λ两边求极限得A A -=11，解得2
1
=A .
例2. 设函数()f x 在区间(,)a b 上连续可导，(,),0,(1,2,,)i i x a b i n λ∈>=L ，且1
1n
i i λ==∑，
证明：存在(,)a b ξ∈，使得
1
()()n
i
i
i f x f λξ=''=∑.
证明：不妨设 121n n x x x x -≤≤≤≤L ，若1n x x =，则取1x ξ=，1
()()n
i i i f x f λξ=''=∑显
然成立.若1n x x <，再设
11212()min{(),(),,()},()max{(),(),,()}n n n f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''==L L ， 则有
1111
1
1
1
1
()()()()()()()
n
n
n
n
n
i i i i i n n i n i i i i i f x f x f x f x f x f x f x λλλλλ====='''''''==≤≤==∑∑∑∑∑
第一讲 函数的连续性
即 11
()()()n
i i n i f x f x f x λ='''≤≤∑, 又因为()f x '在区间(,)a b 上连续，因而也在1(,)n x x 上连
续，由连续函数的介值定理，存在1(,)(,)n x x a b ξ∈⊂，使得1
()()n
i i i f f x ξλ=''=∑.
本题去掉导函数的连续性结论也成立。

例3.设函数)(x f 在],[b a 上连续，如果存在数列],[b a x n ∈，使得A x f n n =→∞)(lim ，
求证：存在],[0b a x ∈，使得A x f =)(0。

证：由连续函数的最值性知，存在],[,21b a t t ∈，使得
)}({max )()()()}({min ]
,[2n 1],[x f t f x f t f x f b a x b a x ∈∈=≤≤= 因为A x f n n =∞→)(lim ，在上式中，令∞→n ，得)()(21t f A t f ≤≤，由连续函数的介值
性知，存在],[0b a x ∈，使得A x f =)(0。

另证：利用抽子列的方法证明。

例4、设函数)(x f 在],[b a 上可导，证明：（1）若0)()(<''b f a f ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf ；（2）若)),((,0)(b a x x f ∈≠'，则)(x f 是区
间）（b a ,上的单调函数。

证明：（1）由题设0)()(<''b f a f ，即0)()(<''-+b f a f ，不妨设
0)(0)(<'>'-+b f a f ，,由定义有
0)
()(lim )(;
0)
()(lim )(<--='>--='-
+
→-→+b
x b f x f b f a
x a f x f a f b
x a
x ，
由极限的保号性知，存在,01>δ使得）（1,δ+∈∀a a x 内有)()(a f x f >， 同理，存在,02>δ使得）
（b b x ,2δ-∈∀内有)()(b f x f >。

可见)()(b f a f 与均不是)(x f 的最大值，于是连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的
最大值点ξ必在）（b a ,内取到，由费马定理得，在最大值点ξ处，有0)(='ξf 。

（2）若)(x f 是区间）（b a ,内可导，且)),((,0)(b a x x f ∈≠'，下证
),()0)((,0)(b a x x f x f ∈<'>'或
用反证法证。

若存在）（b a x x ,,21∈，使得],[],[,0)()(2121b a x x x f x f ⊂<''，由（1）中已证结论知，至少存在一点),(),(21b a x x ∈∈ξ，使得0)(='ξf ，这与题设条件0)(≠'x f 矛盾，故),()
0)((,0)(b a x x f x f ∈<'>'或，因而)(x f 是
区间）（b a ,上的单调函数。

例5、设)(),(x g x f 为有界闭区间],[b a 上的连续函数，且有数列],[}{b a x n ⊂使，Λ,2,1),()(1==+n x f x g n n 证明：至少存在一点],[b a ⊂ξ，使)()(ξξg f =. 证：令)()()(x g x f x F -=,显然)(x F 也是],[b a 上的连续函数，对}{n x ，不妨设0)(1>x F ，则
（1） 若存在某个k x 使得0)(=k x F ，则命题得证；
（2） 若存在某个k x 使得0)(<k x F ,则由连续函数的零点定理，存在一点
],[],[1b a x x k ⊂∈ξ，使)()(0)(ξξξg f F ==，即，则命题得证.
（3） 若对任意的n x ，0)(>n x F ，即)()(n n x g x f >，
因为)()()(11++>=n n n x g x f x g ，所以函数列)}({n x g 单调下降， 因为)()()(1n n n x f x g x f <=+，所以函数列)}({n x f 也单调下降，
因为)()(x g x f ，都是],[b a 上的连续函数，所以)}({n x g 和)}({n x f 有界，故
)(lim n n x g ∞→，)(lim n n x f ∞→都存在，记=∞→)(lim n n x g A )(lim 1n =+∞
→n x f 。

由于],[}{b a x n ⊂，所以存在收敛的子列}{}{n n x x k
⊂，有],[lim k b a x k
n ∈=∞
→ξ，则由)()(x g x f ，的连续性得
)()(lim A )()(lim k k ξξf x f g x g k
k
n n ====∞
→∞→.
例6、求证方程0cos =++x q p x 恰有一个实根，其中q p ,为常数，且.10<<q
证明：x q p x x f cos )(++=，因为,)(lim ,)(lim --∞=+∞=∞
→+∞→x f x f x x 所以必存在实数b a <使0)()(<b f a f ,由介值定理知)(x f 在],[b a 上至少有一零点。

又
因为0sin 1)(>-='x q x f ，所以)(x f 严格单调增加，因此函数)(x f 恰有一个零点，即方程0cos =++x q p x 恰有一个实根。