数学分析第四章函数的连续性
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(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第4章 函数的连续性
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻划函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
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函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,
x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
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注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若
lim f ( x) A,
x x0
lim f ( x) B
《数学分析》第四章 函数的连续性
第四章 函数的连续性(计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性 ( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义. 定义 (用).()(lim 00x f x f x x =→)定义 (“δε-”定义.)定义 (用0lim 0=∆→∆y x ) 先定义x ∆和.y ∆例1 函数12)(+=x x f 在点20=x 连续.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x xx x f 在点00=x 连续. 例3 函数)()(x xD x f =在点00=x 连续.注: 若函数)(x f 在点0x 连续,则)()(lim 00x f x f x x =→,又因00l i mx x x x =→,从而)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=,即在)(x f 的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)例4 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性. 二.间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况(即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点. 例5 讨论函数x x f sgn )(=的间断点类型.例6 延拓函数,sin )(xxx f = 使在点00=x 连续. 例7 讨论函数][)(x x f =的间断点类型.例8讨论函数xx f 1sin )(=的间断点类型.例9讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性. 三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex [1]P 73 1—5.§2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数f 在点0x 连续,函数g 在点0u 连续,且)(00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续. ( 证 )注: Th 4 可简写为 ()().)()lim ()(lim )(lim 0000x f g x f g x f g x f g x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→例1 求极限 ).1sin(lim 21x x -→例2 求极限:⑴ ;s i n 2l i m 0x x x -→ ⑵ .s i n 2l i m xxx -∞→例3 求极限 .)1ln(lim0xx x +→ (x ln 的连续性见后).二、闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性: 先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 )例4 证明: 若,0>r n 为正整数,则存在唯一正数0x ,使得r x n=0(0x 称为r 的n 次正根(即算术根),记作n r x =0).例5 设f 在],[b a 上连续,满足],[]),([b a b a f ⊂,证明:],,[0b a x ∈∃使得00)(x x f =.二. 反函数的连续性:Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f 在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性Ex [1]P 80—81 1—10四． 函数的整体连续性 —— 一致连续： 1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ：例6 考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性.对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,120≤<x x 就有 . 2211 20000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ. 本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.例6 考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可 记为)(εδ.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对0>∀ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大 式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含 有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.例9 验证函xx f 1sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<<c c 内一致连续. 证 ,c o s 2s i n 2 1s i n 1s i n 22121212121212121c x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义. 例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但 .12121 11 0ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续: 定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证 )但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.(为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上, 21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+ 同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+利用该不等式, 为使 =-221)()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 . 221ε<-x x)却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有 , )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时，应成立 .121L x x ≤+但若取,4 ,12221nx n x ==就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾. 5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ⇒在],[b a 上一致连续. 例13 见[1]P80例10.Ex [1]P 102 8，9，10.§3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1 求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解 ). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴ )(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+. 间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续).二. 利用函数的连续性求极限:例2 .cos )1ln(lim20xx x +→例3.1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4 ().1lim sec 0xctgxx tgx +→ 解 I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例5 ().sin 1sinlim x x x -++∞→解 =-+x x sin 1sin .21cos 21sin 2xx x x ++-+,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x∴I = .0Ex [1]P 84 1，2；。
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种数学问题，特别是涉及到函数的性质和极限的问题，具有关键作用。
下面我们将通过一些例题来深入探讨函数的连续性与间断点，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数对应的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄二、函数连续性的条件1、函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处有定义。
2、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x)＄存在。
3、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄三、间断点的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处不满足上述连续性的条件，那么就称点＄x_0$ 为函数＄f(x)＄的间断点。
四、间断点的类型1、可去间断点函数在该点处的左极限、右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值，或者函数在该点无定义。
例如，函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处无定义，但＄＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝ 2$ ，所以＄x ＝ 1$ 是可去间断点。
2、跳跃间断点函数在该点处的左极限、右极限都存在，但不相等。
比如，函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼ x 1, ＆ x＼geq 0 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 0$ 处，左极限为＄1$ ，右极限为＄－1$ ，所以＄x ＝ 0$ 是跳跃间断点。
函数的连续性与间断点的分类
函数的连续性与间断点的分类函数是数学中一个十分重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在数学分析中，我们常常关注函数的连续性和间断点，它们对于理解函数的性质和行为具有重要的作用。
本文将介绍函数的连续性和间断点的分类，以及它们在数学和实际问题中的应用。
正文：一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的每个点上都存在极限，并且该极限等于该点处的函数值。
简单来说，函数在其定义域内没有断裂或跳跃的情况，具有连续性。
1.1 间断点的定义函数的间断点是指函数在某个点上不满足连续性的点。
根据间断点的不同性质，可以将其分类为三种类型：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1.2 可去间断点可去间断点是指函数在某一点上不连续，但通过修正或填补可以使其变成一个连续点。
具体来说，如果函数在某一点的左右极限存在且相等，但与该点的函数值不同，则该点为可去间断点。
1.3 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某一点的左右极限存在，但不相等。
换句话说，函数在该点处存在一个有限的跳跃。
跳跃间断点可以通过一个间断点的加法或减法变得连续。
1.4 无穷间断点无穷间断点是指函数在某一点的左右极限至少有一个不存在或为无穷大。
无穷间断点可以分为两类：无穷增长和无穷衰减。
无穷增长的间断点是指函数在某一点的右极限为无穷大，而左极限不存在或为有限。
无穷衰减的间断点则相反，函数在某一点的左极限为无穷小，而右极限不存在或为有限。
二、间断点的应用间断点的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
2.1 极限的计算在求解函数的极限时，间断点的分析和处理是十分重要的。
根据间断点的类型，我们可以使用不同的方法来计算函数的极限值。
对于可去间断点，通过修正或填补可以消除其影响，从而得到准确的极限值。
而对于跳跃间断点和无穷间断点，我们可以使用极限的性质和定理来计算。
2.2 曲线的绘制在绘制函数的曲线图时，间断点的位置对于曲线的形状和走势有着很大的影响。
数学分析第四章函数的连续性总结
数学分析第四章函数的连续性总结第四章《函数的连续性》是数学分析课程中的重要章节，主要介绍了函数的连续性概念、连续函数的性质和连续函数运算的有关定理。
在学习这一章节时，我们掌握了连续性的定义和性质，以及学会了判断函数的连续性和运用连续函数的性质进行数学推导和问题求解。
下面是对这一章节的总结。
1.连续性的定义：连续性是函数分析的基本概念之一、对于实数集上的函数f(x)，当x 趋于其中一点c时，如果f(x)也趋于其中一点f(c)，则称函数f(x)在点c处连续。
常用的连续性定义有：-ε-δ定义：对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当，x-c，<δ时，有，f(x)-f(c)，<ε；-极限定义：f(x)在c点连续的充要条件是当x→c时，有f(x)→f(c)。
2.连续函数的性质：(1)连续函数在其定义域上具有以下性质：-连续函数的和、差、积仍然是连续函数；-连续函数的复合仍然是连续函数；-有界闭区间上的连续函数取得最大值和最小值。
(2)零点定理和介值定理：-零点定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)分别为正数和负数，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0；-介值定理：如果函数在区间[a,b]上连续，并且k介于f(a)和f(b)之间，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=k。
(3)连续函数的保号性和单调性：-保号性：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)不等于0，则在开区间(a,b)内，函数f(x)的符号不变；-单调性：如果函数在区间[a,b]上连续，且在该区间上严格单调增加或减少，那么函数的值域也是一个区间。
3.连续函数运算的有关定理：(1)介值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则它在该区间上取得介于f(a)和f(b)之间的任意值。
(2)零点定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则它在该区间内至少有一个零点。
分析方法 第四章 函数的连续性
定理4.3局部保号性 若函数f ( x)在点x0连续, 且f ( x0 ) 0 0, 则存在x0的某
若函数f ( x), g ( x)在点连续, 则f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), 定理4.4四则运算法则
即 lim f ( x) g ( x) f ( x0 ) g ( x0 ), lim f ( x) g ( x) f ( x0 ) g ( x0 ),
例如, 函数sin x在0,2 上的最大值为 1, 最小之为1.
y
1
1
而函数f ( x) x在0,1上没有最大值与最小值 .
0
y
2
x
y 1 x
1 x 0,1, 函数g ( x) x 在0,1上也没有最大与最小值 . 2 x 0与1. 若函数f ( x)在闭区间 定理4.6最大、与最小值定理
注 若f (u )在u0连续 , u g ( x), u0 lim g ( x), 则 lim f g ( x) f lim g ( x). x x0 x x0 x x0
例1 求 lim sin 1 x 2 .
x 1
解 sin 1 x 2 为连续函数sin u与u 1 x 2的复合函数 , 于是
x 0 x 0
x x0 例2 讨论f ( x) x 0 x 0 , 在点x 0的连续性. x x 0
于是f ( x)在x 0既左连续 , 又右连续 , 从而连续
x 2 x 0 例3 讨论函数f ( x) , 在点x 0的连续性. x 2 x 0
f (u) f (u0 )
再由g( x)在x0的连续性 , 及u0 g( x0 ),对以上 0, 0, x x0 时, 有
数学分析第四章函数的连续性
数学分析第四章函数的连续性函数的连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。
在本章中，我们将讨论函数的连续性及其性质，并介绍一些与连续性相关的重要定理。
在数学分析中，函数的连续性可以用一种直观的方式来理解。
如果在一个区间内，函数的图像是连续的、没有断点的，那么我们就可以说这个函数在这个区间内是连续的。
如果函数在其中一点处发生突变或跳跃，那么我们就认为函数在该点处不连续。
首先，我们来定义函数在其中一点处的连续性。
设函数f(x)在点a 处有定义，则我们说f(x)在点a处连续，如果满足以下三个条件：1.f(a)存在，即函数在点a处有定义；2. lim(x→a) f(x)存在，即函数在点a处的极限存在；3. lim(x→a) f(x) = f(a)，即函数在点a处的极限等于函数在点a 处的取值。
根据这个定义，我们可以得出一些常见函数的连续性。
例如，多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数都是连续函数。
此外，利用连续函数的相加、相乘、相除和复合运算，我们可以得到更多的连续函数。
接下来，我们来讨论一些与连续性相关的重要定理。
首先是介值定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值有一正一负，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。
该定理的应用非常广泛，例如在实际问题中解方程、求极值等情况下都可以通过介值定理来找到解。
其次是零点定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值异号，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。
零点定理是介值定理的特殊情况，它对于函数的零点存在性给出了一个更加明确的条件。
另一个重要的定理是最值定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，那么在这个区间之内，函数必然存在最大值和最小值。
最值定理告诉我们，在一定范围内，连续函数的值是有上下界的。
最后，我们介绍一个重要的定理，即连续函数的保号性定理。
第四章函数的连续性
第四章函数的连续性第一节函数的连续性的概念及性质一、函数的极限1.函数的极限的定义2.函数极限存在的条件3.无穷大与无穷小的概念4.函数的极限存在性的判别法1.函数的连续性的定义2.连续函数的运算性质3.闭区间上连续函数的性质4.有界最值定理三、函数的间断点与间断性1.间断点的定义2.可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点的概念3.单侧连续函数4.有限个间断点的定理第二节连续函数的性质与运算一、连续函数的性质1.介值定理2.零点存在定理3.介值定理的推论4.单调函数的性质二、连续函数的运算1.连续函数的四则运算一、初等函数的概念1.多项式函数的定义2.有理函数的定义3.指数函数、对数函数的定义4.三角函数、反三角函数的定义第四节无穷小量与无穷大量的比较一、无穷小量的渐近性1.无穷小量的比较2.无穷小量的阶3.无穷大量的渐近性4.无穷大量与无穷小量的比较二、函数的无穷大与无穷小1.函数收敛于无穷大的定义2.函数收敛于无穷大的判定3.函数的无穷小4.函数的无穷小的比较性质第五节函数的连续性的应用一、数列极限的概念和性质1.数列极限的定义2.数列极限的性质3.数列极限存在的判别法4.数列极限的夹逼定理二、函数极限的计算1.函数极限的四则运算2.函数极限的夹逼定理3.康托罗尔定理4.函数极限存在的判别法三、连续函数的应用1.不动点定理2.闭区间上连续函数的最值存在性3.最值定理与勒贝格条件。
函数的连续与可导性质的证明
函数的连续与可导性质的证明在数学分析中，函数的连续性和可导性质是非常重要的概念。
本文将通过严谨的证明，讨论函数在某一点处连续和可导的定义以及性质。
1. 连续性的证明：首先，我们定义函数在某一点处连续的条件：若在点a处函数f(x)存在极限值，并且极限值等于f(a)，则称函数在点a处连续。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内可导。
现在要证明在区间[a,b]上必定存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。
由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。
而由题设知道f(x)在区间[a,b]上连续，f'(ξ)在区间(a,b)存在，所以ξ点存在。
证毕。
2. 可导性的证明：接下来，我们定义函数在某一点处可导的条件：设函数f(x)在x=a的某一邻域内有定义，若极限值lim[x→a] (f(x)-f(a))/(x-a)存在，则称函数在点a处可导。
若函数f(x)在点a处可导，则f(x)在点a处连续。
证明如下：因为f(x)在点a处可导，所以极限值lim[x→a] (f(x)-f(a))/(x-a)存在，即极限值等于f'(a)。
另一方面，函数在点a处连续，即lim[x→a] f(x)=f(a)。
所以有lim[x→a] f(x)=f(a)=lim[x→a] f'(a)(x-a)，因此函数在点a处连续。
综上所述，函数的连续性和可导性质是密切相关的，且具有紧密的内在联系。
通过以上的证明，我们更加深入地理解了函数在某一点处连续和可导的定义与性质。
函数的连续性和可导性质在实际问题求解中具有重要的作用，有助于我们更好地理解和应用数学分析中的相关知识。
持续学习：数学分析之函数的连续性
持续学习：数学分析之函数的连续性在上一篇文中，学习了函数与函数极限，其中有讲到函数的四种特性：奇偶性，单调性，周期性和有界性。
今天来学习函数的另一个重要概念--连续性。
直观的表现是其函数图像在某点的邻域有定义，图像不断开。
我们之前学的基本初等函数都是连续函数。
第1节，讲的连续的概念，和连续函数的概念：•函数的点x0连续的定义：lim f(x)=f(x0） x->x0 ，这是使用了函数极限来描述函数的点连续，这也是安排本节在函数极限之后的原因。
当然，也可以改为使用增量配合ε-σ的描述法：Δy = f(x)-f(x0）;lim Δy= 0 Δx->0•函数的点连续分为左连续与右连续•当连续点组成连续区间时，函数就存在区间连续，函数区间连续细分为开区间连续，闭区间连续，半开半闭区间连续根据矛盾成对出现原则，有连续就会有间断第2节，讲的就是函数间断的概念：•函数的间断点：就是函数不连续的点，可以分为：•第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点，这类间断点特征是函数在该点的左右极限都存在•第二类间断点：在间断点x0中，lim f(x) x->x0- 与lim f(x) x->x0+ 至少有一个不存在，即点的左极限与右极限至少有一个不存在•间断点定理：若f(x)在去区间（a,b)内单调，且x0∈(a,b)是f(x)的间断点，则x0必是跳跃间断点第3节，讲连续函数的局部性质：从函数极限的性质可以推出连续函数的局部性质•局部有界性•保不等式性•局部保号性•满足四则运算条件的四则运算法则（加减乘除）•复合函数的极限定理：limf(g(x)) x->x0 = f(lim g(x) x-x0)=f(u0) ,其中u0=lim g(x) x-x0•复合函数的连续性，既然复合函数存在极限定理，同理也就可以利用复合函数的极限来描述复合函数的连续性。
特别地，谈谈基本初等函数的连续性：之所以称他们为基本初等函数，是因为他们都具有多数的函数的典型特性•反函数连续定理：若函数在闭区间严格单调且连续，则其反函数在其定义域上连续•定理：所有基本初等函数都在其定义域内连续•定理：一切初等函数都在其定义区间上连续函数的连续性很重要，因为可以用来求极限，还与后续的微分关系很大第4节，讲函数的整体性质：•有界性定理：函数在闭区间连续，则在此区间有界。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章
第四章 函数的连续性一、填空题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0 11sin 0 0sin 1)(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则=k ；2．函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01)(x x x x x f 的间断点是 ；3．函数x x f =)(的连续区间是 ； 4．函数321)(2--=x x x f 的连续区间是 ；5．函数)3(9)(2--=x x x x f 的间断点是 ；6．函数)4)(1(2)(+++=x x x x f 的间断点是 ；7．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是 ；8．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-00 )(x k x xe e xf x x 在0=x 点连续，则 =k ；9．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0101 1)(x x x x x f 的间断点是 ； 10．函数0b a 0)(0)(2≠+⎩⎨⎧<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ；11．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0 0 )(21x a x e x f x，则=→)(lim 0x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ；12．如果⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=11 11)(2x a x x x x f ，当=a 时，函数)(x f 连续二、选择填空1．设)(x f 和)(x ϕ在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ϕ有间断点，则( )A.[])(x f ϕ必有间断点。
B.[]2)(x ϕ必有间断点C.[])(x f ϕ必有间断点D.)()(x f x ϕ必有间断点 2．设函数bx ea xx f +=)(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<<b a B.0,0>>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a3．设xx e e x f 1111)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则A 有可去间断点。
《数学分析》第四章函数的连续性
《数学分析》第四章函数的连续性《数学分析》第四章主要讨论函数的连续性。
连续性是一个基本概念，它是描述函数在其中一点附近的性质的重要工具。
本章内容将从函数的连续性定义开始，通过研究连续函数的运算性质，以及间断点的分类和性质，深入探讨函数的连续性的各种特点和性质。
首先，我们来回顾函数的定义。
设有函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε，那么我们称函数f在点x0处连续。
这个定义非常重要，它不仅是刻画函数连续性的数学工具，也是我们研究函数性质的基础。
其次，我们探讨连续函数的运算性质。
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等一些基本函数都是连续函数。
利用这些基本函数的连续性，可以通过运算和复合等方法构造出更多的连续函数。
比如，两个连续函数之和、差、积和商仍然是连续函数，连续函数的复合函数也是连续函数。
这些运算性质是我们运用函数的连续性进行问题求解的重要工具。
然后，我们研究连续函数的间断点。
函数的间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
对于可去间断点，函数在该点的极限存在且有限，可以通过改变函数在该点的定义来使函数在该点连续。
跳跃间断点指的是函数在该点的左右极限存在但不相等，这种间断可以看作是函数的一个突变点。
无穷间断点则是函数在该点的极限为正无穷大或负无穷大，函数在该点附近发散。
研究间断点有助于我们了解函数的局部性质，并在问题求解中进行函数的优化和极限的计算。
最后，我们来讨论函数连续性的性质。
将函数的定义和运算性质与间断点的分类和性质综合起来，我们可以得到一些重要的性质。
首先是介值性定理，它指出连续函数在区间上将取到任意两个值之间的所有值。
然后是最值定理，它指出连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值，并且能够取到这些值。
最后是连续函数的保号性质，它指出如果连续函数在其中一点取正（或负）值，那么在该点附近的函数值也将一直保持正（或负）值。
数学分析第四章：函数的连续型
连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算等性质.
数学分析
定理4.1.2（局部有界性）
若函数 f 在点 x0 连续，则f 在某邻域U (x0 )上有界.
定义1
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域内有定义, 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
a
O
x
数学分析
函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 lim sgn x 不存在. x0
lim f (x) f (x ),
x x0
0
由极限的定义,定义1可以叙述为: 对于任意正数 ,
存在d > 0, 当 0 | x x0 | d 时, 有
第四单元 函数的连续性 4.1.1 函数在一点的连续性
数学分析
连续函数的概念
回顾函数极限 lim f ( x) A 的定义, x x0
只假设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域内有定义.
即使
f
(x)
在点
x0
有定义，lim x x0
f ( x)也未必等于f
(x0 )，
例如
函数 f y
(x)
f (x)
数学分析第四章函数的连续性
数学分析第四章函数的连续性第四章函数的连续性§1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识, 而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.一函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1)则称f 在点x0 连续.例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为又如,函数limx →2f ( x) = limx →2( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) .f ( x) =x sin1x, x ≠ 0 ,0 , x = 0在点x = 0 连续, 因为lim x →0 f ( x) = limx →0x sin1x= 0 = f ( 0) .为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 .注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数.引进了增量的概念之后, 易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于lim Δy = 0 .Δx →070第四章函数的连续性由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的 , 因而也可直接用ε- δ方式来叙述 , 即 : 若对任给的ε> 0 , 存在δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有| f ( x) - f ( x 0 ) | < ε,( 2)则称函数 f 在点 x 0 连续 .由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x 0 有极限与 f 在 x 0 连续这两个概念之间的联系 .首先 , f 在点 x 0 有极限是 f 在 x 0 连续的必要条件 ; 进一步说“, f 在点 x 0 连续”不仅要求 f 在点 x 0 有极限 , 而且其极限值应等于 f 在 x 0 的函数值 f ( x 0 ) .其次 , 在讨论极限时 , 我们假定 f 在点 x 0 的某空心邻域U °( x 0 ) 内有定义 ( f 在点 x 0 可以没有定义 ) , 而“ f 在点 x 0 连续”则要求 f 在某 U( x 0 ) 内 ( 包括点 x 0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当 x = x 0 时总是成立的 , 所以在极限定义中的“0 < | x - x 0 | < δ”换成了在连续定义中的“ | x - x 0 | < δ”.最后 , (1 ) 式又可表示为lim x → xf ( x) = f lim x ,x → x可见“ f 在点 x 0 连续”意味着极限运算lim x → x与对应法则 f 的可交换性 .例 1 证明函数 f ( x ) = x D( x ) 在点 x = 0 连续 , 其中 D ( x ) 为狄利克雷函数 .证由 f (0 ) = 0 及| D( x ) | ≤ 1 , 对任给的ε> 0 , 为使| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | ≤ | x | < ε, 只要取δ= ε, 即可按ε- δ定义推得 f 在 x = 0 连续. □相应于 f 在点 x 0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、右连续的定义如下 : 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义 .若lim x → x +f ( x) = f ( x 0 ) lim -x → xf ( x) = f ( x 0 ) , 则称 f 在点 x 0 右 ( 左 ) 连续 .根据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .定理 4.1 函数 f 在点 x 0 连续的充要条件是 : f 在点 x 0 既是右连续 , 又是左连续 .例 2 讨论函数在点 x = 0 的连续性 .解因为f ( x ) =x + 2 , x ≥ 0 , x - 2 , x < 0lim x → 0 +lim x → 0 -f ( x ) = lim x → 0 + f ( x) = lim x → 0 -( x + 2 ) = 2 ,( x - 2) = - 2 , 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连续 , 但不左连续 , 从而它在 x = 0 不连续 ( 见●§1 连续性概念 71图 4 - 1 ) .□二间断点及其分类定义 3 设函数 f 在某U °( x 0 ) 内有定义 .若 f 在点 x 0 无定义 , 或 f 在点 x 0 有定义而不连续 , 则称点 x 0 为函数 f 的间断点或不连续点 .按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论 , 若 x 0 为函数 f 的间断点 , 则必出现下列情形之一:图 4 - 1( i ) f 在点 x 0 无定义或极限l im x → xf ( x ) 不存在 ; 0 ( ii ) f 在点 x 0 有定义且极限lim x → xf ( x ) 存在① , 但lim x → xf ( x) ≠ f ( x 0 ) .据此 , 我们对函数的间断点作如下分类 : 1. 可去间断点若lim x → xf ( x ) = A ,而 f 在点 x 0 无定义 , 或有定义但f ( x 0 ) ≠ A , 则称 x 0 为 f 的可去间断点 .例如 , 对于函数 f ( x ) = | sgn x | , 因 f ( 0) = 0 , 而lim x → 0f ( x) = 1 ≠ f (0 ) ,故 x = 0 为 f ( x ) = | sgn x | 的可去间断点 . 又如函数 g ( x ) =sin x, 由于 xlim x → 0g ( x ) = 1 , 而 g 在 x = 0 无定义 , 所以 x = 0 是函数 g 的可去间断点 .设 x 0 为函数 f 的可去间断点 , 且lim x → xf ( x ) = A .我们按如下方法定义一个 0函数 f ^: 当x ≠ x 0 时 , f ^( x ) = f ( x) ; 当 x = x 0 时 , f ^( x 0 ) = A .易见 , 对于函数f ^, x 0 是它的连续点 .例如 , 对上述的 g( x) = sin x , 我们定义x则 g^在 x = 0 连续 .g ^( x ) = sin x x, x ≠ 0 , 1 , x = 0 ,2. 跳跃间断点若函数 f 在点 x 0 的左、右极限都存在 , 但lim x → x +f ( x) ≠ lim x → x -f ( x) , 则称点 x 0 为函数 f 的跳跃间断点 .例如 , 对函数 f ( x ) = [ x ] ( 图 1 - 8) , 当 x = n ( n 为整数 ) 时有①这里所说的极限存在是指存在有限极限 , 即不包括非正常极限 .72第四章函数的连续性lim x → n -[ x] = n - 1 , lim x → n +[ x] = n , 所以在整数点上函数 f 的左、右极限不相等 , 从而整数点都是函数 f ( x ) = [ x ] 的跳跃间断点 .又如符号函数 s gn x 在点 x = 0 处的左、右极限分别为 - 1 和 1 , 故 x = 0 是 sgn x 的跳跃间断点 ( 图 1 - 3) .可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 .第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在 .3. 函数的所有其他形式的间断点 , 即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点 , 称为第二类间断点 .例如 , 函数 y = 1 当x → 0 时不存在有限的极限 , 故 x = 0 是 y =1的第二类x x 间断点 .函数 s in 1 在点 x = 0 处左、右极限都不存在 , 故 x = 0 是 s in 1的第二类x x间断点 .又如 , 对于狄利克雷函数 D( x ) , 其定义域 R 上每一点 x 都是第二类间断点 .三区间上的连续函数若函数 f 在区间 I 上的每一点都连续 , 则称 f 为 I 上的连续函数 .对于闭区间或半开半闭区间的端点, 函数在这些点上连续是指左连续或右连续 .例如 , 函数 y = c, y = x , y = sin x 和 y = cos x 都是 R 上的连续函数 .又如函数 y =1 - x 2在 ( - 1 , 1 ) 每一点处都连续 , 在 x = 1 为左连续 , 在 x = - 1 为右连续 , 因而它在 [ - 1 , 1] 上连续 .若函数 f 在区间 [ a , b] 上仅有有限个第一类间断点 , 则称 f 在[ a, b] 上分段连续 .例如 , 函数 y = [ x ] 和 y = x - [ x] 在区间 [ - 3 , 3 ] 上是分段连续的 .在§3 中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数 .同时 , 也存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数 , 如前面已提到的狄利克雷函数 .例 3 证明 : 黎曼函数R ( x) =1 , 当 x = p q qp 、q 为正整数 , p 6q / 为既约真分数 , 0 , 当 x = 0 , 1 及 (0 , 1 ) 内无理数在 (0 , 1 ) 内任何无理点处都连续 , 任何有理点处都不连续 .证设ξ∈ ( 0 , 1) 为无理数 .任给ε> 0 不妨设ε< 12, 满足1 ≥ε的正整q数 q 显然只有有限个 ( 但至少有一个 , 如 q = 2) , 从而使R( x ) ≥ε的有理数x ∈(0 , 1 ) 只有有限个至少有一个 , 如 12, 设为 x 1 , , x n .取δ = min | x 1 - ξ| , , | x n - ξ| ,ξ, 1 - ξ ,3 §1 连续性概念73则对任何x ∈ U(ξ;δ) ( ì ( 0 , 1) ) , 当 x 为有理数时有R( x ) < ε, 当 x 为无理数时 R ( x ) = 0 .于是 , 对任何x ∈ U(ξ;δ) , 总有R ( x) - R(ξ) = R ( x ) < ε .这就证明了 R ( x ) 在无理点ξ处连续 .现设 p 为 (0 , 1 ) 内任一有理数 .取ε0 =1 , 对任何正数δ( 无论多么小 ) , 在 q2 q Up q;δ 内总可取到无理数x ( ∈ ( 0 , 1) ) , 使得 R( x ) - R pq = 1 q > ε0 . 所以 R ( x ) 在任何有理点处都不连续 .□习题1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续 :( 1) f ( x ) = 1; ( 2) f ( x ) = | x | .x2. 指出下列函数的间断点并说明其类型 :( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x;x | x |( 3) f ( x ) = [ | cos x | ] ; (4) f ( x) = sgn | x | ;( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;x , x 为有理数 ,( 6) f ( x ) =( 7) f ( x ) = - x , x 为无理数 ; 1x + 7, - ∞ < x < - 7 , x , - 7≤ x ≤1( x - 1 )sin 1, 1 < x < + ∞ .x - 13. 延拓下列函数 , 使其在 R 上连续 :( 1) f ( x ) = x - 8 ; ( 2) f ( x) = 1 - cos x;x - 2 x 2( 3) f ( x ) = x cos 1.x2 24. 证明: 若 f 在点 x 0 连续 , 则 | f | 与 f 也在点 x 0 连续 .又问 : 若 | f | 或 f 那么 f 在 I 上是否必连续 ?在 I 上连续 , 5. 设当x ≠0 时f ( x) ≡ g( x ) , 而f ( 0) ≠ g (0 ) .证明 : f 与 g 两者中至多有一个在 x = 0 连续 .6. 设 f 为区间 I 上的单调函数 .证明: 若x 0 ∈ I 为 f 的间断点 , 则x 0 必是 f 的第一类间断点 .n n - 174第四章函数的连续性7. 设函数 f 只有可去间断点 , 定义g( x ) = lim y → xf ( y) .证明 g 为连续函数 .8. 设 f 为 R 上的单调函数 , 定义g( x) = f ( x + 0 ) .证明 g 在 R 上每一点都右连续 .9. 举出定义在 [0 , 1 ]上分别符合下述要求的函数 :( 1) 只在 1 , 1 和 1三点不连续的函数 ;2 3 4 ( 2) 只在 1 , 1 和 1三点连续的函数 ;2 3 4 ( 3) 只在 1( n = 1 , 2 , 3 , )上间断的函数 ;n( 4) 只在 x = 0 右连续 , 而在其他点都不连续的函数 .§2 连续函数的性质一连续函数的局部性质若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在点 x 0 有极限 , 且极限值等于函数值 f ( x 0 ) . 从而 , 根据函数极限的性质能推断出函数 f 在 U ( x 0 ) 的性态 .定理 4.2 ( 局部有界性 ) 若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在某 U( x 0 ) 内有界 . 定理 4 .3 ( 局部保号性 ) 若函数 f 在点 x 0 连续 , 且 f ( x 0 ) > 0 ( 或 < 0 ) , 则对任何正数 r < f ( x 0 ) ( 或 r < - f ( x 0 ) ) , 存在某U ( x 0 ) , 使得对一切x ∈ U( x 0 ) 有f ( x) > r ( 或 f ( x ) < - r) .注在具体应用局部保号性时 , 常取 r = 12f ( x 0 ) , 则 ( 当 f ( x 0 ) > 0 时 ) 存在某 U( x 0 ) , 使在其内有 f ( x) > 12f ( x 0 ) .定理 4 .4 ( 四则运算 ) 若函数 f 和 g 在点 x 0 连续 , 则f ± g , f ·g,6f g( x 0 ) ≠ 0) 也都在点 x 0 连续 .以上三个定理的证明 , 都可从函数极限的有关定理直接推得 .g /( 这里对常量函数 y = c 和函数 y = x 反复应用定理 4.4 , 能推出多项式函数P( x) = a 0 x + a 1 x + + a n - 1 x + a n和有理函数 R ( x ) = P( x)Q( x)( P , Q 为多项式 ) 在其定义域的每一点都是连续的 .同样 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的连续性 , 可推出 tan x 与 cot x 在其定义域的每0 §2 连续函数的性质75一点都连续 .关于复合函数的连续性 , 有如下定理 : 定理 4.5 若函数 f 在点 x 0 连续 , g 在点 u 0 连续 , u 0 = f ( x 0 ) , 则复合函数 g f 在点 x 0 连续 .证由于 g 在 u 0 连续 , 对任给的ε> 0, 存在δ1 > 0 , 使得当| u - u 0 | < δ1 时有| g( u) - g( u 0 ) | < ε . ( 1) 又由 u 0 = f ( x 0 ) 及 u = f ( x ) 在点x 0 连续 , 故对上述δ1 > 0 , 存在δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有 | u - u 0 | = | f ( x ) - f ( x 0 ) | < δ1 .联系 ( 1 ) 得 : 对任给的ε> 0 , 存在δ> 0 , 当 | x - x 0 | < δ时有| g ( f ( x ) ) - g( f ( x 0 ) ) | < ε . 这就证明了 g f 在点 x 0 连续 .□ 注根据连续性的定义 , 上述定理的结论可表为lim x → xg( f ( x) ) = g lim x → xf ( x ) = g( f ( x 0 ) ) .( 2)例 1 求lim sin (1 - x 2) .解 sin ( 1 - x 2 ) 可看作函数 g( u) = sin u 与 f ( x ) = 1 - x 2的复合 .由 ( 2) 式得lim sin ( 1 - x 2 ) = sin lim(1 - x 2) = sin 0 = 0 .□x → 1x → 1注若复合函数 g f 的内函数 f 当x → x 0 时极限为 a , 而a ≠ f ( x 0 ) 或 f 在 x 0 无定义 ( 即 x 0 为 f 的可去间断点 ) , 又外函数 g 在u = a 连续 , 则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限 , 即有lim x → xg( f ( x ) ) = g lim x → xf ( x) .( 3)读者还可证明 : ( 3 ) 式不仅对于x → x 0 这种类型的极限成立 , 而且对于x → + ∞ , x → - ∞或x → x ±等类型的极限也是成立的 .例 2 求极限 :(1 ) lim2 - sin x; (2 ) lim2 - sin x .x → 0解 (1 ) limx → 0 x 2 - sin x x x → ∞= 2 - lim x → 0 xsin x = 2 - 1 = 1; x(2 ) lim 2 -= 2 - lim sin x = 2 - 0 = 2 . □x → ∞ x x → ∞ x二闭区间上连续函数的基本性质设 f 为闭区间 [ a , b] 上的连续函数 , 本段中我们讨论 f 在 [ a , b] 上的整体性质 .。
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解函数的连续性和间断点对于解决许多数学问题都有着至关重要的作用。
下面我们将通过一些例题来深入探讨这一概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义如果函数$f(x)＄在点$x_0$的某个邻域内有定义，并且当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)＄的极限等于函数在$x_0$处的函数值，即$＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄，那么我们就说函数$f(x)＄在点$x_0$处连续。
通俗地说，函数在某一点连续，意味着在这一点附近，函数的图像没有“断裂”。
二、函数间断点的定义如果函数$f(x)＄在点$x_0$处不满足连续的条件，那么我们就称点$x_0$为函数$f(x)＄的间断点。
间断点可以分为以下几种类型：1、可去间断点：函数在该点的极限存在，但函数在该点无定义，或者函数在该点的函数值与极限值不相等。
例如，函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，在$x ＝ 1$处无定义，但$＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼lim_{x ＼to 1} （x ＋ 1)＝ 2$，所以$x ＝ 1$是可去间断点。
2、跳跃间断点：函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
比如，函数$f(x) ＝＼begin{cases} 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼ 2, ＆ x ＼geq 0＼end{cases}＄，在$x ＝ 0$处，左极限为$1$，右极限为$2$，左右极限不相等，所以$x ＝ 0$是跳跃间断点。
3、无穷间断点：函数在该点的极限为无穷大。
例如，函数$f(x) ＝＼frac{1}｛x}＄，在$x ＝ 0$处的极限为无穷大，所以$x ＝ 0$是无穷间断点。
4、振荡间断点：函数在该点的极限不存在，且函数值在某个区间内来回振荡。
比如，函数$f(x) ＝＼sin ＼frac{1}｛x}＄，在$x ＝ 0$处，极限不存在，函数值在$－1$和$1$之间来回振荡，所以$x ＝0$是振荡间断点。
函数连续性判断条件
函数连续性判断条件函数的连续性是分析函数的重要性质之一，它描述了函数在一些点附近的行为。
如果一个函数在一些点连续，那么它在这个点的函数值与该点的极限值之间有着非常接近的关系，可以近似地用函数值来近似函数。
在数学分析中，函数的连续性有许多不同的刻画条件。
下面将介绍几种常见的函数连续性判断条件。
1.极限定义函数f在点x=a处连续的一种充分必要条件是：lim（x->a）f(x) = f(a)即当x趋近于a时，函数值f(x)趋近于f(a)。
这是最基本的连续性定义，即函数在一些点连续意味着极限存在且等于该点的函数值。
2.左右极限相等函数f在点x=a处连续的另一个等价条件是：lim（x->a+）f(x) = lim（x->a-）f(x) = f(a)即右极限和左极限都存在且等于该点的函数值。
这个条件也可以看作是关于极限的一个等式。
3.强连续性函数f在点x=a处连续的另一个条件是：对于任意非零ε，存在一个δ，使得当0<，x-a，<δ时，f(x)-f(a)，<ε。
这个条件可以理解为，对于任意一个足够小的正数ε，都可以找到一个足够小的正数δ，使得当x与a的距离小于δ时，函数值f(x)与f(a)的差的绝对值小于ε。
4.连续函数的运算性质如果函数f(x)和g(x)在x=a处都连续，那么它们的和、差、积以及商（除数非零）在x=a处也都连续。
这是连续函数的运算性质，即如果两个函数都在一些点连续，则它们的和、差、积以及商在该点也连续。
5.复合函数的连续性如果函数f(x)在点x=a处连续，且函数g(x)在点x=b处连续，并且f(a)=b，那么复合函数g(f(x))在点x=a处也连续。
这是复合函数的连续性定理，即如果两个函数在一些点连续，且它们的函数值也满足连续性条件，则复合函数在该点也连续。
综上所述，函数的连续性可以通过极限定义、左右极限相等、强连续性、连续函数的运算性质以及复合函数的连续性来判断和描述。
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x xo
x xo
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x 0为间断点.
y sin 1 x
当 x 0时, sin 1 上下震荡. x
这种情况称x=0为震荡间断点.
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14
例5 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
lim f ( x) lim 1 1
x0
x0
而f (0) 0
x 0为函数间断点.
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x x0
x x0
x x0
函数 f ( x)在 x0 处连续
左、右极限存在且与函数值相等.
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
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8
例2
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0 , ) 内有定义,如果
lim y 0，那末就称函数 f ( x)在点 x 连续, x 称为
x 0
0
0
f ( x)的连续点.
即
lim [
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )] 0
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5
例1
试证x
,
x 0, 在x 0
[2] lim f (x)存在；
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xx0
[3] lim xx0
f
(x)
f
(x0）.
3
函数的连续的等价定义
2.函数的增量
设函数 f ( x)在U( x0 , )内有定义, x U( x0 , ),
x x x0, 称为自变量在点 x0 的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义1知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
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6
3.单侧连续
x U ( x0, )
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
第四章 函数的连续性
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1
§1 函数连续的概念
y
引例
A
0
y
g(x0)
y=ƒ(x)
°
x0
lim f ( x) ?A
x x0
x
y g(x) lim g( x) ?g(x0) x x0
0
x0
x
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2
一、函数的连续性
1.连续的定义
U 0( x0 , )
定 义 1 设 函 数 f (x) 在 U(x0, ) 内 有 定 义 , 若
(2) lim f ( x)不;
x x0
(3)
lim
x x0
f ( x)
f ( x0 ).
则称函数 f ( x)在点 x0 处不连续(或间断),
并称点x0 为 f ( x) 的不连续点(或间断点).
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13
例4 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
2
2
cos( x x ) 1, 则 y 2 sin x x.
2
2
对任意的 , 有y ,
当x 0时, y 0.
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
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y
y
y f (x)
y
x
0
x0
xx
当x 0时, y 0.
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y=ƒ(x)
°
y
x
0 x0
x
x
当x 0时, y 不一定趋于0.
4
定 义 1 设 函 数 f (x) 在 U(x0, ) 内 有 定 义 , 若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),那末就称函数 f ( x)在点 x 0连续.
y
1
o
x
-1
15
例6
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的间断点.
lim f ( x) lim f ( x)
x xo
x xo
o
x
跳越间断点 lim f ( x) lim f ( x) 跳越度.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
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9
4. 函数的区间连续
在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做区间 (a,b)上的连续函数,或者说函数在区间(a,b)上连 续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
a lim
x x0
f (x)
f
(
x 0
),那末就称函数
f
(
x)在点
x0连续.
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
( 0, 0, 0 x x0 时, 恒有 f (x) a ).
和极限存在的区别
[1] f (x)在x0有定义；
则
称若f函( x数)在f (点x)x在0处[ x左0 , b连)内续有; 定义,x且limxf0(xf0
(x)
0)
f
(
f
x0 )
( x0
),
则称f ( x)在点x0处右连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
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7
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
11
二、函数的间断点
y
y
o
x0
x
y
o
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x0
x
o x0
x
y
o
x
12
二、函数的间断点
定义3 间断
若函数 f ( x)满足三个条件之一: (1) f ( x)在点x0处无定义;
连续
[1] f (x)在x0有定义；
[2] lim f (x)存在； xx0
[3] lim xx0
f
(x)
f
(x0）.
例如, 函数y sin x在区间 (,)内是连续的.
如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点
x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称
函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续. 记为：
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f ( x) C[a,b]. 10
例3 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.