高数中的重要定理与公式及其证明(一)学习资料

高数中的重要定理与公式及其证明(一)

高数中的重要定理与公式及其证明（一）

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材

上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

1）常用的极限

0ln(1)lim 1x x x

→+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2

x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限10lim(1)x

x x e →+=与0sin lim 1x x x

→=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。

证明：

0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x

→+=。

01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x

→+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0lim 11

t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01lim 1x x e x

→-=。

01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x

→→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01lim ln x x a a x

→-=。

0(1)1lim a x x a x

→+-=：利用对数恒等式得 ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)a a x a x a x x x x x x x e e x e x a a a x x a x x a x x

+++→→→→→+---+-+====++上式中同时用到了第一个和第二个极限。

201cos 1lim 2

x x x →-=：利用倍角公式得22220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 22

2x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭

。2）导数与微分的四则运算法则 '''''''''22(), d()(), d()(), d()(0)u v u v u v du dv

uv u v uv uv vdu udv

u vu uv u vdu udv v v v v v ±=±±=±=+=+--==≠

【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。

3）链式法则

设(),()y f u u x ϕ==，如果()x ϕ在x 处可导，且()f u 在对应的()u x ϕ=处可导，则复合函数(())y f x ϕ=在x 处可导可导，且有：

[]'''(())()()dy dy du f x f u x dx du dx

ϕϕ==或

【点评】：同上。

4）反函数求导法则

设函数()y f x =在点x 的某领域内连续，在点0x 处可导且'()0f x ≠，并令其反

函数为()x g y =，且0x 所对应的y 的值为0y ，则有：

'0''00111()()(())dx g y dy f x f g y dy dx

=

==或 【点评】：同上。

5）常见函数的导数

()'1x x ααα-=，

()

'sin cos x x =，()'cos sin x x =-， ()

'1ln x x =，()'1log ln a x x a =， ()'x x e e =，()'ln x x a e a =

【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。

证明：

()'1x x ααα-=：导数的定义是'0()()()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-=∆，代入该公式得 ()'

1100(1)1(1)1()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x

x

ααααααααα--∆→∆→∆∆+-+-+∆

-====∆∆∆。最后一步用到了极限0(1)1lim a x x a x

→+-=。注意，这里的推导过程仅适用于0x ≠的情形。0x =的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

()

'sin cos x x =：利用导数定义()'0sin()sin sin lim x x x x x x ∆→+∆-=∆，由和差化积公式得002cos()sin sin()sin 22lim lim cos x x x x x x x x x x

x

∆→∆→∆∆++∆-==∆∆。()'cos sin x x =-的证明类似。

()'1ln x x =

：利用导数定义()'00ln(1)ln()ln 1ln lim lim x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆++∆-===∆∆。()

'1log ln a x x a =的证明类似（利用换底公式ln log ln a x x a

=）。