圆中动点问题2

圆中动点问题一、选择题【题1】如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确．．．的是（ C ）A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。

B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。

C、当PO⊥AC时，∠ACP=300.D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形【答案】【题2】如图，以M（－5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F两点，则EF的长（ C ）A.等于42B.等于43C.等于6D.随P点位置的变化而变化【答案】分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OD：OA，即（r+x）：1=9：（r﹣x），求出r2﹣x2=9，根据垂径定理和勾股定理可求出答案．解答：解：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB，∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA，∴OC ODOB OA=，即91r xr x+=-解得：r2﹣x2=9，由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9，即OE=OF=3，∴EF=2OE=6，故选C．【题3】如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是0.5cm【答案】解：∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D．【题4】如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是d＞5cm或2cm≤d＜3cm．【答案】解：连接OP、OA，∵⊙O的半径为4cm，1cm为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点，∴d＞5时，两圆外离，当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，OP′=4-1=3cm，OD=2cm，∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2≤d＜3，故答案为：d＞5或2≤d＜3．【题5】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为22．【答案】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=222OA=6，∴OP=·OA OBAB=3，∴PQ=2222【题6】如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为10.5 ．【答案】当GH 为⊙O 的直径时，GE+FH 有最大值．当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC=14．∵∠ABC 是直径上的圆周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°， ∴AC=7．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF=3.5， ∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．故答案为10.5．【题7】如图,△ABC 中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=2 2 ,D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径画⊙O分别交AB,AC 于E,F ,连接EF,则线段EF 长度的最小值为____ 3 ___【答案】∠ACB=60°,∠ABC=45°,那么，∠BAC=75°.∠EOF=2∠BAC=150°所以，∠OEF=∠OFE=30°所以，EF=√3×OE,∠ABC=√3×AO 所以，当直径AD 最小时，EF 最小;所以，EF 最小时，AD 与BC 垂直AB=2√2，,∠ABC=45°,所以，AD=2OA=1，所以，EF 最小值为√3【题8】如图，已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P 在x 轴上运动，若过点P且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设P （x ，0），则x 的取值范围是22x -≤≤【答案】解：连接OD ，由题意得，OD ＝1，∠DOP '＝45°，∠ODP '＝90°，故可得OP '＝，即x 的极大值为，同理当点P 在x 轴左边时也有一个极值点，此时x 取得极小值，x ＝－，综上可得x 的范围为：－≤x ≤．【题9】射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8（单位：秒）【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．【题10】如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG （E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．分析：（1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；（2）过F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BC=2，即可得出BP的取值范围；（3）首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA•tan30°，即可得出答案．解答：（1）证明：连接OE. FE、FA是⊙O的两条切线∴∠FAO=∠FEO=90°∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），∴∠AOF=∠EOF=∠AOE，∴∠AOF=∠ABE，∴OF∥BE（2）解：过F作FQ⊥BC于Q ∴PQ=BP﹣BQ=x﹣yPF=EF+EP=FA+BP=x+y ∵在Rt△PFQ中∴FQ2+QP2=PF2∴22+（x﹣y）2=（x+y）2化简得：，（1＜x＜2）；（3）存在这样的P点，理由：∵∠EOF=∠AOF，∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，此时Rt△AFO中，y=AF=OA•tan30°=，∴∴当时，△EFO∽△EHG．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出FQ2+QP2=PF2是解题关键．【题11】如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．考点：圆的综合题．分析：（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可；（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案；（3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可．解答：（1）PN与⊙O相切．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．即PN与⊙O相切．（2）成立．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，∴∠OMA+∠OAM=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°．∴∠PNO=180°﹣90°=90°．即PN与⊙O相切（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∵∠PON=60°，∠AON=30°．作NE⊥OD，垂足为点E，则NE=ON•sin60°=1×=．S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE=×1×1+π﹣×1×=+π﹣．【题12】如图，△OAB 中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN ⌒分别交OA ，OB 于点M ，N .（1）点P 在右半弧上（∠BOP 是锐角），将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′. 求证：AP = BP ′； （2）点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；（3）设点Q 在优弧MN ⌒上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数.【答案】（1）证明：∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80º+∠BOP.∠BOP ’=∠POP ’+∠BOP=80º+∠BOP ∴∠AOP=∠BOP’又∵OA=OB ，OP=OP’ ∴△AOP ≌△BOP’∴AP=BP’（2）解：连接OT ，过T 作TH ⊥OA 于点H,∵AT 与MN ⌒相切，∴∠ATO=90º∴22AT OA OT =-=22106-=8∵12OA TH ⨯⨯=12AT OT ⨯⨯,即1102TH ⨯⨯=1862⨯⨯ ∴TH=245，即为所求的距离（3）10º，170º【注：当OQ ⊥OA 时，△AOQ 的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】【题13】如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C.（1）试判断线段AB 与AC 的数量关系，并说明理由； （2）若PC=25，求⊙O 的半径和线段PB 的长；（3）若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r 的取值范围.【解析】（1）由于AB 是⊙O 的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出AB ,AC 两底角相等；（2）设圆半径为r ，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB（3）先作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OD 垂直于MN ，再利用勾股定理计算即可【答案】（1）AB =AC ; 连接OB ，则OB ⊥AB ，所以∠CBA+∠OBP=900,又OP=OB ，所以∠OBP=∠OPB ，又∠OPB=∠CPA ，又OA ⊥l 于点A ， 所以∠PCA+∠CPA=900,故∠PCA=∠CBA ，所以AB=AC （2）设圆半径为r ，则OP =OB =r ，PA =5-r；∴AB 2=OA 2-OB 2=52-r 2,AC 2=PC 2-AP 22-（5-r ）2，从而建立等量关系，r=3，∵AB=AC ，∴AB 2= AC 2，利用相似，求出PB=4 （3）作出线段AC 的垂直平分线MN，作OD 垂直于MN ，则可推出OD =1122AC AB =； 由题意，圆O 要与直线MN 有交点，所以,OD r r =≤≥ 又因为圆O 与直线l 相离；所以r <5;5r <.【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分；求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.【题14】如图，⊙O 是△ABC 外接圆，AB=AC=10，BC=12，P 是BC 弧上一动点，过点P 作BC 的平行线交AB 延长线与点D.（1）当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？说明理由.（2）当DP 是⊙O 的切线时，求DP 的长.解析：（1）根据PD//BC ，可以天加辅助线由切线判定定理解题；（2）根据勾股定理与垂径定理求出⊙O 半径r ，再结合△ABE ∽△ADP 即可.解：（1）当P 是BC 中点时，DP 是⊙O 的切线.理由如下：∵AB=AC ，∴又∴PA 是⊙O 的直径.又AB=AC ，∴PA ⊥BC.∵DP//BC ，∴PD ⊥AP.∴DP 是⊙O 的切线.（2）连接OB ，设PA 交BC 于点E.由垂径定理得，BE=621=BC . 在Rt △ABE 中，据勾股定理，86102222=-=-=BE AB AE .设⊙O 的半径为r ，则OE=8-r. 在Rt △OBE 中，222)8(6r r -+=.解得r=425. （3）∵DP//BC ，∴∠ABE=∠D.又∵∠1=∠1，∴△ABE ≌△ADP AP AE DP BE =，即425286⨯=DP ，∴DP=875【题15】如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°.点P 从A 点出发，以3cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s 的速度，沿射线AB 作匀速运动。