小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)

如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上如图2)， 则 ABC : ADE =(AB AC)： (AD AE)

厘米，求△ ABC 的面积.

【解析】 连接 BE , S A ADE ：S A ABE 二 AD ： AB =2:5 =(2 4):(5 4),

S

A ABE : S A ABC 二 AE

: AC = 4

： 7 = (4 5) : (7 5)，所以 S A ADE : S A ABC = (2 4) : (7 5),设 S A ADE = 8 份， 则S A ABC =35

份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的 面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理， 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相

等角或互补角)两夹边的乘积之比

【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那 么三角形

ABC 的面积是多少？

••• EC =3AE

--S ABC

=

3S_ABE

又••• AB =5AD

「•S LADE = S_ABE ' 5 = S_ABC 15 , — S ABC =15S ADE =15 .

【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,

鸟头模型

角形中有一个 补，这两个三 角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角)两夹边的乘积之比

.

【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB =2:5 , AE:AC=4:7 ,

S A ADE *6平方

BD =DC =4 , BE =3 , AE =6，乙部分面

图⑵

【解析】

积是甲部分面积的几倍?

【解析】连接AD •

••• BE =3 , AE =6

AB = 3BE , S ABD =3S BDE 又••• BD 二DC =4 ,

…S ABC -2S ABD，…S ABC - 6S BDE ,

【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2 , AE：EC=3：2，S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积•

【解析】连接BE , S M DE：S A ABE二AD ： AB =2:5 =(2 3): (5 3)

S A ABE S ABC=AE: AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5 ],

所以S A ADE : S A ABC - (3 2):5 (3 * 2) 1 = 6 ： 25，设S^ADE = 6 份，贝U S^ ABC = 25 份，S AADE -12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？

【解析】连接FB•三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2 倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的(3 2)6倍•因此，平行四边形的面积为

8 6 =48(平方厘米).

【例4】已知△ DEF的面积为7平方厘米，BE =CE, AD =2BD,CF =3AF，求△ ABC的面积.

【解析】S A BDE : S A ABC =(BD BE) ：(BA BC)=(1 1):(2 3) =1:6 ,

S MEF ： S ^ABC =(CE CF):(CB CA) =(1 3):(2 4) =3:8

S*DF

： S*BC =(AD AF): (AB AC) =(2 1):(3 4) =1:6

设 S A ABC =24 份，则 S ^ BDE = 4 份，S ^ ADF =4 份，S ^ CEF = 9 份，S ^ DEF = 24 - 4- 4 - 9 = 7 份，恰好是 7 平方厘米，所以S A ABC =24平方厘米

【例5】如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB:BE=2:5 , BC:CD=3:2，三角形BDE 的面积 是多少？

=180，所以可以用共角定理，设 AB = 2份，BC =3份，贝U BE =5份，

BD =3 2 =5 份，由共角定理 S A ABC : S A BDE =(AB BC):(BE BD)=(2 3):(5 5)=6:25，设

S A ABC =6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 = 12.5平方厘米，三角 形BDE 的面积是12.5平方厘米

1 1 【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE=」AC , CF 二1

2

3

4 BC .

3

3

连接AE 、CD .

S ABC =1 ,

-• S DBC =1 .

同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积=18 .

(法2)用共角定理•••在L ABC 和LCFE 中，.ACB 与.FCE 互补,

1

1 2

【解析】 由题意知AE = - AC 、CF =-BC ，可得CE =—AC .根据”共角定理”可得，

3 3 3

S A CEF : S A ABC = (CF ^CE): (CB 汉 AC2 J (^<3^2: 9 ； 而 S A ABC =6 ^6 弓2 =18 ;所以 S A CEF =4 ;

同理得，S A CDE : 2 ACD = 2 ：3 ； , S A CDE =18^3

2 =12 , S A CDF

- 6

故 S A DEF - S A CEF S A DEC - S A DFC =4，12-6=10 (平方厘米).

【例7】如图，已知三角形 ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD 二AB ;延长BC 至E ，使CE =2BC ;延长

【解析】 由于.ABC .

DBE 角形DEF 的面积为 _______ 平方厘米.

【解析】(法1)本题是性质的反复使用.