高数一、二学习资料大全
高数一基础知识
高数一基础知识高数（一）的预备知识第一部份 代数部份 （一）、基础知识：1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。
2．绝对值：aa a⎧=⎨-⎩a a ≥∠3．乘法公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)4.一元二次方程（1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2+px+q=0设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则；1212p qx x x x +=-⎧⎨⋅=⎩（4）十字相乘法： （二）指数和对数1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)nna a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩则 2．根式与分数指数：（1）1nna a = （2）m n m na a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）;(1)x y x y a a a +⋅=(2)()m n m n a a ⋅=(3)x y x y a a a -÷=(4)()n n n a b a b ⋅=⋅4．对数：设,xa N X N =则称为以a 为底的对数,记作：log a n =X,lnX ，lgX;5．对数的性质 (1)log a M ·N=log a M+log a N(2) loglog log a a MM N N=- (3) log log xa a N x N =⋅ (4)换底公式：log log log a b a NN b =（5）log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241X XX X -<-⎧⎨->-⎩（2）求交集 2、绝对值不等式 （1）;X a a X a ≤⇒-≤≤ （2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：200ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：0122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程 判解：0a a ⎧⎪⎨⎪∆⎩①若与不等式同号，解取根外；②若与不等式异号，解取根内；③若无根（＜），则a 与不等式同号；例：（1）2560;xx -+≥ （2）2320;xx -+＜（四）函数1、正、反比例函数：y kx = ， 1y x=2、1元2次函数：2y ax bx c=++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a-（-,）； 对称轴：2bx a=-； 最值：244ac b y a-=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （n=1,2,3）；4、指数函数：xy a = （x e ）；5、对数函数：y=ln x第二部分 三角（一）角的概念 1、正角、负角(二)三角变换 1．倒数关系sin α·csc α=1 tan α·cot α=1 sec α·cos α=1sec α=1cos α csc α=1sin α cot α=1tan α 2. 平方关系的22sin cos 1αα+=22tan 1s ee αα+=22cot 1csc αα+=；3．诱导公式：（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。
大一高数第一二章知识点
大一高数第一二章知识点高等数学是大多数理工科专业的基础课程之一，它为我们提供了解决实际问题的数学方法和工具。
在大一的学习过程中，我们通常会学习高数的第一二章知识点，从简单的函数概念和性质开始，逐渐深入到导数的定义和应用。
下面我们来一起回顾这些重要的知识点。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是一种数学关系，它将一个自变量的集合映射到一个因变量的集合。
函数可以用公式、图像或者图表来表示。
我们通常会考虑函数的定义域、值域、奇偶性和周期性等性质。
1.2 极限的概念与性质极限是描述函数变化趋势的概念。
当自变量无限接近某个值时，函数的取值也会无限接近一个确定的值。
我们通常用极限符号“lim”来表示。
重要的极限性质包括极限存在性、极限唯一性和四则运算法则等。
1.3 极限的计算方法在计算极限时，我们可以运用一些基本的极限公式和运算法则。
这包括常用的极限：无穷大与无穷小、有界函数的极限、基本初等函数的极限等。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是描述函数变化速率的概念。
它表示函数在某一点的瞬时变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义是极限的一种特殊形式，通常用“f'(x)”或者“dy/dx”表示。
2.2 导数的计算方法导数的计算方法主要包括用基本导数公式、四则运算法则、链式法则和隐函数求导法则等。
这里需要掌握一些常用函数的导数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
2.3 导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决实际问题。
应用方面包括函数的最值问题、曲线的凸凹性与拐点、函数图像的草图和导数的物理意义等。
通过对大一高数第一二章的学习，我们能够加深对函数与极限、导数与微分的理解。
掌握这些重要的知识点，不仅能够解决一些实际问题，还能为后续更深入的数学学习奠定坚实的基础。
因此，在学习高数的过程中，我们要多加练习，理解每个概念和定理的思想和逻辑，同时注意思维的拓展和应用的实践。
高数知识点复习资料
x 1
tan x s)
2 x 1 2 x 1 2 x1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
x3 x 3 x 2 9 【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原 x 3 x 3 1 1 式 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
【题型示例】求值 lim （其中 x 3 为函数 f x
1 第二个重要极限： lim1 e x x
（一般地， lim f x lim f x 0 ）
g x
x
1．由 xn a 化简得 n g ， 2．即对 0 ， N g ，当 n N 时，始终 有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
e 2 x1 2 x 1 e1 e
第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义
x x0 x x0
2 x2 lim
lim f x lim f x f x0
○间断点的分类
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极 限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 ） 无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
x2 a2 1
（或：过 y f x 图像上点 a, f a 处的切线与法线 方程） 【求解示例】 1． y f x ， y |x a f a 2．切线方程： y f a f a x a 法线方程： y f a
大一高数一二章知识点
大一高数一二章知识点大一的高等数学课程是大学中不可或缺的一门基础课程，涵盖了广泛的数学知识和概念。
在此，我将为您概述大一高数一二章的重要知识点，以帮助您更好地理解和掌握这些内容。
一、导数与微分在高等数学中，导数与微分是一个非常重要的概念和工具，它们用于描述函数的变化率和曲线的切线。
导数具有以下几个基本的性质和操作法则：1. 导数的定义：当函数的自变量发生无穷小变化时，函数值的变化与自变量的变化之比称为函数的导数。
2. 导数的计算：通过一系列的求导法则，可以计算各种常见函数的导数，例如多项式函数、指数函数、三角函数等。
3. 微分的基本性质：微分可以看作是导数的一个近似值，它表示函数在某一点的变化量。
4. 高阶导数：导数可以进行多次求导，得到的结果称为高阶导数，它描述了函数变化的更高阶特性。
二、不定积分与定积分积分是导数的逆运算，它用于计算函数区间上的面积、曲线的长度以及一系列其他与变化相关的量。
不定积分与定积分是积分的两种常见形式：1. 不定积分：不定积分是求解函数的原函数的过程，其中最常用的方法是基本积分法和换元积分法。
2. 定积分的定义与性质：定积分表示函数在某一区间上的总体变化量，它具有加法性、线性性和区间可加性等基本性质。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：牛顿-莱布尼兹公式连接了不定积分和定积分的关系，它是积分学中的重要定理。
三、一元函数的应用高等数学中的一元函数可以应用于许多实际问题的建模和求解，以下是其中一些常见的应用：1. 曲线的切线与法线：通过导数的定义和性质，可以确定曲线上某一点的切线和法线方程。
2. 函数的最大值与最小值：通过求解导数的零点，确定函数在某一区间上的最大值和最小值。
3. 函数的凸性与拐点：通过二阶导数的判定条件，可以确定函数在某一区间上的凸性和拐点。
4. 积分应用：积分可以用于计算曲线下面积、弧长、体积等物理问题。
四、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是大一高数的另一重要内容，它在描述多变量之间的关系和函数的变化率方面起着关键作用：1. 多元函数与偏导数的定义：多元函数是包含多个自变量的函数，而偏导数描述了多元函数在某个自变量上的变化率。
高一到高二数学知识点目录
高一到高二数学知识点目录一、实数与函数1. 实数的分类与性质2. 数列与数列的性质3. 集合与映射4. 函数的概念与性质5. 函数图像与性质二、平面几何1. 直线与平面2. 角的概念与性质3. 相交线与平行线4. 三角形与四边形：性质与判定5. 圆与圆的性质6. 平面向量与向量运算7. 平面解析几何三、空间几何1. 空间直线与平面2. 点、线、面的位置关系3. 空间几何体的性质与计算4. 空间向量与向量运算5. 空间解析几何四、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本概念与性质2. 三角函数的图像与性质3. 三角方程与三角恒等式4. 三角函数的应用5. 解三角形的基本原理与方法五、数列与数项1. 等差数列与等差中项2. 等比数列与等比中项3. 数列的通项与部分和4. 数学归纳法与数列证明5. 数列的极限与无穷级数六、函数与方程1. 函数的单调性与极值2. 一元二次函数与二次函数的图像与性质3. 一元二次方程与二次方程的问题解决4. 一元多项式函数与多项式函数的图像与性质5. 一元多项式方程与多项式方程的解与应用七、导数与微积分1. 导数的概念与性质2. 常用函数的导数3. 高阶导数与导数的应用4. 微分中值定理与导数的计算5. 积分的概念与性质6. 直线与曲线的面积计算与应用八、概率与统计1. 随机事件与事件的运算2. 概率的基本概念与计算3. 条件概率与独立性4. 随机变量与离散型随机变量5. 随机变量的分布定律与统计九、数学建模与应用1. 建模的基本概念与流程2. 常见数学模型解法与应用3. 数学建模的实例分析4. 数学建模的评价与推广以上是高一到高二数学知识点的目录，涵盖了实数与函数、平面几何、空间几何、三角函数与解三角形、数列与数项、函数与方程、导数与微积分、概率与统计以及数学建模与应用等内容。
高等数学1复习资料
高等数学1复习资料高等数学1是大学本科数学一门重要的基础课程。
本篇文章提供一些高等数学1的重要知识点和复习方法，帮助同学们更好地复习和备考。
一、函数与极限函数是高等数学1的重要概念，其余的内容都是建立在函数的基础之上。
在复习函数时，需要掌握函数的定义和一些基本性质（如奇偶性、单调性、周期性等）。
此外，要学习反函数、复合函数和初等函数的定义和性质。
为了理解函数的极限这个概念，需要了解极限的定义和一些基本性质（（如唯一性、保号性等）。
在复习时，需要掌握常见函数的极限（（如正弦函数、余弦函数、指数函数等），以及利用夹逼准则和L'Hospital法则计算极限的方法。
二、导数与微分导数是函数的重要性质，它刻画了函数在某一点的局部变化率。
在复习导数时，需要掌握导数的定义和计算方法，还需要掌握相关定理和性质（如导数的代数运算法则、中值定理、极值定理等）。
微分是导数的应用，它主要用于计算函数在一点的局部变化量。
在复习微分时，需要了解微分的定义和计算方法，以及相关定理和性质（如微分的线性性、微分的逆运算等）。
三、积分与应用积分是函数的另一种性质，它表示函数在一段区间上的总变化量。
在复习积分时，需要掌握积分的定义和计算方法，还需要掌握相关定理和性质（（如积分的线性性、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法等）。
积分的应用非常广泛，如计算面积和体积、求解微分方程、求解曲线的弧长和曲率等。
在复习积分的应用时，需要了解基本概念和计算方法，以及掌握具体的问题求解技巧。
四、矩阵与行列式矩阵和行列式是高等数学1中的代数工具，主要用于向量、线性方程组和本征值问题的求解。
在复习矩阵和行列式时，需要掌握它们的定义和基本性质，以及常见的矩阵变换和行列式计算方法。
五、向量与空间解析几何向量和空间解析几何是高等数学1中的几何工具，主要用于计算平面和空间向量的坐标、距离和夹角，以及平面和空间中的图形方程。
在复习向量和空间解析几何时，需要掌握它们的定义和基本性质，以及常见问题的计算方法和解题技巧。
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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
大一高数一二章知识点总结
大一高数一二章知识点总结高等数学是大学理科类专业中的一门重要学科，也是对数学的进一步学习和应用。
大一的高数一二章内容涵盖了一些基础的数学知识点，下面我将对这些知识点进行总结。
1. 函数及其图像函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的对应关系。
函数的图像是描述函数取值规律的几何形状，常见的函数图像有直线、抛物线、指数函数等。
2. 极限与连续极限是函数研究的基础，它描述了函数在某一点附近的取值趋势。
连续性则描述了函数在整个定义域上的连续性，连续函数具有没有间断点的特性。
3. 导数与微分导数是描述函数变化快慢的指标，它在几何上表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化量，它可以用来解决近似计算问题。
4. 微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理，它描述了函数在某一区间内必存在一点使得函数在该点的导数等于该区间上的平均变化率。
5. 不定积分与定积分不定积分是求函数原函数的逆运算，它可以表示为∫f(x)dx。
定积分则是对函数在某一区间上的面积进行求解，它可以表示为∫a^b f(x)dx。
6. 定积分的应用定积分在物理、经济学等领域有广泛的应用，例如求物体的质量、力学中的功、经济学中的总收益等。
7. 微分方程微分方程是描述自然现象中变化规律的数学模型，它包括常微分方程和偏微分方程两种类型。
通过解微分方程可以获得具体函数的表达式。
8. 无穷级数无穷级数是一类无限求和的数列，包括等差级数、等比级数等。
对无穷级数的求和可以通过极限的方法进行计算。
这些是大一高数一二章的主要知识点总结，理解并掌握这些知识点对于学好高等数学具有重要的意义。
在学习过程中，我们应注重理论与实际的结合，通过练习题和实际问题的应用来加深对知识的理解。
希望这份总结对你的学习有所帮助！。
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《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高数一二章知识点
高数一二章知识点高等数学是大学数学的一门重要课程，主要包括高等微积分和高等代数两个部分。
其中的第一章和第二章是基础，也是整个课程的核心知识点。
下面我将从微积分和代数两个方面详细介绍高数第一章和第二章的知识点。
高数第一章主要内容是函数与极限，主要包括函数的概念、函数的运算、函数图像与性质、初等函数、复合函数、反函数等知识点，以及极限与连续的概念与性质、无穷小量与无穷大量的性质与运算、极限的四则运算与求极限的方法等知识点。
函数是自然界和社会现象中一种常见的数学模型，通过输入一个或多个自变量，输出相应的函数值。
函数的基本概念有定义域、值域、图像、奇偶性、周期性等。
常见的初等函数有幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
函数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
复合函数是多个函数合成的结果，反函数是函数的逆运算。
极限是微积分的基本概念之一，它描述了函数在其中一点或在无穷远处的趋势或性质。
极限分为单侧极限和双侧极限，具体计算方法有代入法、夹逼准则、无穷小量和无穷大量的运算等。
极限的运算规则包括四则运算、函数运算和复合函数的极限。
连续是函数与极限的一个重要性质，函数在其中一点连续的条件是函数值、左右极限和函数值相等。
连续性的定理有介值定理、零点定理、局部性原理等。
无穷小量是数量无限接近于零的量，无穷大量是数量无限接近于无穷大的量，它们具有一些特定的性质和运算规则，如无穷小量的四则运算、无穷小量与有界量的运算等。
高数第二章主要内容是微分学，主要包括导数与微分的概念与性质、常用函数的导数、隐函数与参数方程的导数、高阶导数与导数的应用等知识点。
导数是函数在其中一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数的计算方法有基本导数公式、常用导数公式和导数运算法则。
常用函数的导数包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
隐函数是由一个或多个变量的方程表示的函数，其导数通过隐函数微分公式计算。
高中数学必修一必修二知识点总结
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U AA U =逻辑语言1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
高数学习资料
高数学习资料(总30页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。
通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。
若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。
中在点；为我校的学生；须有此性质。
如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。
以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。
显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。
高等数学1和2教材内容
高等数学1和2教材内容高等数学作为大学本科阶段的一门基础课程，内容丰富而广泛，包含了数学的各个分支和应用。
高等数学1和2教材的内容涵盖了微积分、线性代数和概率论等重要的数学概念和方法。
以下是对这两本教材的内容进行简要介绍。
一、高等数学1教材内容1. 微积分微积分是高等数学的核心内容之一，主要包括极限、函数、导数和积分等方面的知识。
在高等数学1教材中，首先介绍了函数的概念和性质，包括常见的代数函数、三角函数、指数函数和对数函数等。
然后讲解了极限的概念和运算规则，以及无穷小量和无穷大量的相关内容。
接着引入了导数的概念和计算方法，包括常见函数的导数、导数的四则运算和导数的几何意义。
最后介绍了定积分的概念和计算方法，包括基本积分公式和换元积分法等。
2. 线性代数线性代数是数学的一个重要分支，研究向量、线性方程组和线性变换等内容。
在高等数学1教材中，首先介绍了向量及其运算的概念，包括向量的加法、减法、数量乘法和内积等。
然后讲解了向量的线性相关与线性无关、向量组的秩和向量空间等概念。
接着引入了矩阵及其运算的知识，包括矩阵的加法、减法、数量乘法和乘法运算等。
最后介绍了线性方程组的解法，包括消元法和矩阵法等。
二、高等数学2教材内容1. 微分方程微分方程是高等数学的重要内容之一，研究函数与其导数之间的关系。
在高等数学2教材中，首先介绍了常微分方程的基本概念和分类，包括一阶微分方程和高阶微分方程等。
然后讲解了一阶线性微分方程和常系数线性齐次微分方程的解法。
接着引入了二阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解法，包括特征根法和待定系数法等。
最后介绍了常系数线性微分方程的解法，包括指数函数解法和特征方程法等。
2. 概率论概率论是高等数学的一个重要分支，研究随机事件和概率的相关性。
在高等数学2教材中，首先介绍了随机事件和样本空间的概念，以及事件的运算规则和概率的性质。
然后讲解了离散型随机变量和连续型随机变量的概念和性质，包括概率函数、概率密度函数和分布函数等。
高数一的复习资料
高数一的复习资料高数一的复习资料高等数学是大学生必修的一门课程，对于很多学生来说，这是一门相对较难的学科。
为了更好地备考高数一，我们需要准备一些复习资料。
下面将介绍一些高数一的复习资料，希望能对广大学子有所帮助。
1. 教材复习首先，我们需要熟悉教材。
高数一的教材一般为《高等数学》或《数学分析》。
这些教材内容详实，涵盖了高数一的各个知识点。
复习时，可以按照教材的章节顺序，逐一复习每个知识点。
对于每个知识点，要理解其概念、公式和定理，并能熟练运用。
2. 习题集习题集是高数一复习的重要资料。
通过做大量的习题，可以巩固知识点，提高解题能力。
建议选择一本习题集，根据教材的章节顺序进行刷题。
刷题时，要注意分析题目的难点和解题思路，不仅要求知其然，更要求知其所以然。
可以找一些经典习题进行重点复习，这样能更好地理解和掌握高数一的知识。
3. 网上资源互联网是一个宝藏般的资源库，我们可以利用网络找到很多高数一的复习资料。
有很多网站提供高数一的视频教学，可以通过观看视频来加深对知识点的理解。
此外，还有一些高校的课程资源网站，可以下载到一些高数一的课件和讲义，这些资料对于复习也非常有帮助。
当然，使用网络资源时要注意选择正规、权威的网站，避免被误导。
4. 辅导书籍除了教材和习题集，还有一些辅导书籍可以作为高数一的复习资料。
这些书籍通常会对知识点进行更加深入的讲解，并提供一些解题技巧和习题。
有些辅导书籍还会附带一些例题和习题的详细解答，这对于自学的学生来说非常有帮助。
在选择辅导书籍时，可以咨询老师或同学的建议，选择适合自己的书籍进行复习。
5. 组队学习高数一是一门需要大量练习的学科，而且有些知识点可能会比较难以理解。
在复习过程中，可以组队学习，与同学一起讨论问题、解决难题。
通过合作学习，可以相互帮助、相互促进，提高学习效果。
同时，组队学习还可以增加学习的趣味性，缓解复习的压力。
综上所述，高数一的复习资料包括教材、习题集、网上资源、辅导书籍和组队学习等。
高等数学上下册所有知识点及习题(完整版)
求的导数
′ = ′ ⋅ ′
设 = ， = ， = 。
求的导数
′
ⅆ ⅆ ⅆ
=
⋅
⋅
ⅆ ⅆ ⅆ
例题、对下列函数求导
（1） = sin
（3） =
（5） =
2
sin
1+ 2
3
1 − 2 3
1 + ⋯ +
例题、设 = = arctan ，求 ′′ 0 , ′′′ 0 。
例题、设 = ， ∈ ，求
。
例题、设y = ln 1 + ，求y n 。
例题、设（）任意次可微，求 −1
′′′ 。
例题、设（）任意阶可导，且 ′ =
→0
② 差运算： lim −
→0
③ 积运算： lim
→0
④ 商运算：
()
lim
→0 ()
=
→0
→0
= lim − lim
→0
→0
= lim ∙ lim
lim
→0
→0
→0
lim
函数的定义域：函数自变量能取值的一个集合（范围）
函数的值域：函数在自变量中取值得所有集合
二、 初等函数
基本初等函数有限次得四则运算和函数复合运算步骤所构成
例题、求下例函数得定义域
（1） = sin 2 −
2
（2） = ln 1 −
2
+ sin
1
2+1
三、求极限
分段函数在分段点处得极限
→0
高一数学必修一二知识点总结
高一数学必修一二知识点总结
一、集合与函数概念
集合的表示与运算：了解集合的概念、分类和表示方法（如列举法、描述法），以及集合的运算（如并集、交集、补集等）。
函数的概念与性质：理解函数的定义域、值域、对应法则等基本要素，掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
二、基本初等函数
指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的定义、性质、图像及变换，理解指数方程和对数方程的解法。
幂函数与三角函数：了解幂函数的定义、性质和图像，掌握三角函数的定义、诱导公式、基本关系式、图像及性质，理解三角恒等变换和三角函数的应用。
三、数列与不等式
数列的概念与性质：理解数列的定义、分类（等差数列、等比数列等）及通项公式，掌握数列的前n项和公式及求和方法。
不等式的解法与应用：掌握不等式的性质、基本不等式（如均值不等式）及解法，理解不等式在实际问题中的应用。
四、平面向量与立体几何初步
平面向量的基本概念与运算：了解向量的定义、表示方法（如坐标表示法），掌握向量的加、减、数乘及数量积等运算。
立体几何的基本概念与性质：理解空间点、直线、平面的基本性质，掌握空间几何体的表面积和体积计算公式。
五、统计与概率初步
统计的基本概念与数据处理：了解统计的基本概念（如总体、样本、平均数、方差等），掌握数据的收集、整理和分析方法。
概率的基本概念与计算：理解概率的定义、性质及计算方法（如古典概型、几何概型等），掌握条件概率、独立事件等概念及计算方法。
以上只是高一数学必修一和必修二的部分知识点总结，具体学习还需结合教材和教辅资料进行深入理解和应用。
在学习过程中，建议注重基础知识的巩固和拓展，多做练习题以提高解题能力和思维水平。
考研高等数学全面复习资料(电子版)
高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限21、集合的概念22、常量与变量32、函数43、函数的简单性态44、反函数55、复合函数66、初等函数67、双曲函数及反双曲函数78、数列的极限89、函数的极限910、函数极限的运算规则11一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学必备教材目录
高等数学必备教材目录1. 高等数学教材介绍1.1 《高等数学》第一册1.2 《高等数学》第二册1.3 《高等数学》第三册2. 基本概念与定理2.1 实数与复数2.2 极限与连续2.3 函数与导数2.4 微分与微分方程2.5 积分与积分应用3. 数列与级数3.1 数列极限的概念3.2 数列极限的性质3.3 数列极限存在准则3.4 常见数列类型3.5 数值级数的概念与性质3.6 收敛级数的判别法4. 一元函数微分学4.1 可导函数与导数4.2 高阶导数与高阶导数的应用4.3 隐函数与相关变化率4.4 微分学基本定理与中值定理4.5 泰勒展开与函数的局部性质5. 一元函数积分学5.1 定积分与不定积分5.2 积分的运算法则5.3 定积分的几何应用5.4 不定积分的基本公式5.5 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法6. 无穷级数6.1 幂级数的性质与收敛域6.2 幂级数的运算法则6.3 函数展开成幂级数的应用6.4 泰勒级数与麦克劳林级数6.5 收敛级数的特殊判定法7. 线性代数基础7.1 行列式与矩阵7.2 矩阵的运算与逆矩阵7.3 向量空间与线性相关性 7.4 线性方程组与解的存在性7.5 特征值与特征向量8. 空间解析几何8.1 空间中的点与向量8.2 平面与直线的方程8.3 空间中的曲面方程8.4 空间中的曲线参数方程8.5 空间解析几何的应用9. 多元函数微分学9.1 多元函数的极限与连续 9.2 偏导数与全微分9.3 隐函数与方向导数9.4 梯度与极值问题9.5 多元函数的泰勒公式10. 多元函数积分学10.1 二重积分的概念与性质 10.2 二重积分的计算方法10.3 三重积分的概念与性质 10.4 三重积分的计算方法10.5 曲线积分与曲面积分11. 常微分方程11.1 常微分方程的基本概念 11.2 一阶线性微分方程11.3 可降阶的高阶微分方程 11.4 常系数齐次线性微分方程11.5 非齐次线性微分方程12. 线性代数进阶12.1 线性空间与线性变换12.2 线性变换与矩阵12.3 特征值与特征向量12.4 正交变换与二次型12.5 特征值的计算方法以上是高等数学必备教材的目录，涵盖了基本概念与定理、数列与级数、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、线性代数基础、空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程、线性代数进阶等内容。
高二1-2数学知识点总汇
高二1-2数学知识点总汇本文将总结高二1-2年级学生需要掌握的数学知识点，以帮助他们学习和备考。
一、代数与函数1. 整式与分式的乘法2. 因式分解3. 分式方程4. 一元二次方程5. 二次函数6. 一次函数与一元一次方程7. 绝对值与不等式二、平面向量与立体几何1. 平面向量的运算及其线性相关性2. 向量的数量积与夹角余弦3. 空间直线与平面的方程4. 空间几何体的计算三、三角函数与解三角形1. 弧度制与角度制2. 三角函数的定义与性质3. 三角函数的图像与性质4. 三角函数的基本关系式5. 三角函数的单调性与奇偶性6. 三角函数的复合与反函数四、导数与微分1. 函数的基本概念2. 导数的定义与性质3. 常见函数的导数4. 导数的四则运算5. 高阶导数与隐函数求导6. 微分与近似计算五、概率与统计1. 随机事件与概率2. 排列与组合3. 事件独立性与条件概率4. 随机变量与概率分布5. 统计指标与频率分布6. 抽样与估计六、指数与对数1. 指数与对数的定义与性质2. 指数与对数的运算3. 常用指数与对数函数4. 指数方程与对数方程5. 指对关系与指对方程七、数列与数学归纳法1. 等差数列与等差中项2. 等比数列与等比中项3. 菲波那契数列与递推公式4. 数学归纳法与应用八、平面几何与立体几何1. 平面几何基础概念2. 平面几何性质与判定3. 圆锥曲线的性质与方程4. 立体几何基础概念5. 空间几何性质与判定九、数学证明1. 数学证明的基本方法2. 直接证明与间接证明3. 数学归纳法证明4. 反证法证明5. 综合运用证明方法这些数学知识点是高二1-2年级学生需要重点掌握的内容，掌握这些知识将为他们未来的学习和应对考试打下坚实的基础。
希望同学们能够充分理解这些知识点，并通过不断的练习提高自己的解题能力。
祝愿大家在数学学习中取得优异的成绩！。
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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθθθθy e y x e y e x x e y -=-2/π5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取x->0的极限有：f(1)=0)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题6.已知x e x f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令⎩⎨⎧<>>>===-0,00,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小值点。
7.23)1(-=x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''300'+===⇒===⇒=x y x x y x x y8.求函数xex y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：101'arctan 2/22-==⇒++=+x x e xx x y x 与驻点π，2)2(-=-=x y x e y 与渐：πD.幂级数展开问题9.⎰=-x x dt t x dxd 022sin )sin( ⎰⎰⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=-+---+⋅⋅⋅+-+--=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+---=----+-x n n n nxn n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02)12(2622147302141732)12(2622sin )!12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!12()()1()(!31)()sin(或：20202sin sin )(sin x du u dx d du u dx d u t x x x ==-⇒=-⎰⎰ 10.求)0(0)1ln()()(2n fn x x x x f 阶导数处的在=+=解：)(2)1(32()1ln(2213222---+--+⋅⋅⋅-+-=+n n n x o n x x x x x x x =)(2)1(321543n nn x o n x x x x +--+⋅⋅⋅-+-- 2!)1()0(1)(--=∴-n n fn n E.不等式的证明11.设)1,0(∈x ，211)1ln(112ln 1)1(ln )122<-+<-<++x x x x x ，求证（证：1）令0)0(,)1(ln )1()(22=-++=g x x x x g；得证。
单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)1()1ln(2)('''),(''),('2<<<∈∴==<++-=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g2）令单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1)1ln(1)(<∈-+=x h x xx x hF.中值定理问题12.设函数]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使证：32)('''!31)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η+++= 其中]1,1[),,0(-∈∈x x η将x=1，x=-1代入有)('''61)0(''21)0()1(1)('''61)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+=-=两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f3)](''')('''[21)('''][2121=+=∍∈∃ηηξηηξf f f ，，13.2e b a e <<<，求证：)(4ln ln 222a b e a b ->- 证：)(')()(:ξf ab a f b f Lagrange =--令ξξln 2ln ln ,ln )(222=--=a b a b x x f 令2222ln )()(0ln 1)(',ln )(ee t t t t t t >∴>∴<-==ξξϕξϕϕϕ )(4ln ln 222a b ea b ->- （关键：构造函数）三、补充习题（作业） 1.23)0('',11ln)(2-=+-=y xx x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+⎪⎩⎪⎨⎧==x y te y te x tt处切线为在 3.ex y x x e x y 1)0)(1ln(+=>+=的渐进线方程为 4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x证：令3222)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(xx x g x g x g x x x x g -=---= 02)1(''0)1(')1(>===g g g ，00'),,1(0'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴⎩⎨⎧>∞∈<∈⇒>⇒⎭⎬⎫>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x第三讲 不定积分与定积分一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法 A.积分计算1.⎰⎰+-=--=-C x x dx x x dx 22arcsin)2(4)4(22.⎰⎰⎰+=+=+C x e xdx e xdx e dx x e xx x x tan tan 2sec )1(tan 2222223.设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )( 解：⎰⎰+=dx e e dx x f xx )1ln()( ⎰+++-=+-++=--C e e x dx ee e e xx xx xx)1ln()1()11()1ln( 4.⎰⎰∞∞>-∞+=+-+-=112122ln 214)11(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x π B.积分性质5.)(x f 连续，⎰=10)()(dt xt f x ϕ,且A xx f x =>-)(lim0，求)(x ϕ并讨论)('x ϕ在0=x 的连续性。