文科立体几何知识点、方法总结高三复习汇总
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γm
βα
l
l
α
β
立体几何知识点整理
一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行
α
l
符号表示：
2. 线面相交
α
A
l
符号表示：
3. 线在面内
αl
符号表示：
二．平行关系：1.
线线平行：
方法一：用线面平行实现。
m
l m
l
l ////方法二：用面面平行实现。
m
l m
l ////
方法三：用线面垂直实现。若m l
,，则m l //。
方法四：用向量方法：若向量
l 和向量m 共线且l 、
m 不重合，则m l //。2.线面平行：
方法一：用线线平行实现。
//
//l l
m m l 方法二：用面面平行实现。
//
//
l l
方法三：用平面法向量实现。
若
n 为平面
的一个法向量，l n 且
l
,则//l 。
3.
面面平行：
方法一：用线线平行实现。
//
'
,','//'//且相交
且相交m l m
l m m l l 方法二：用
线面平行实现。
//
,////且相交
m
l m l 三．垂直关系：1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
l
AB
AC A
AB
AC
AB l AC l ,方法二：用面面垂直实现。
l
l
m l m
,n
α
l
m'
l'l α
β
m m
β
α
l
A
B
C α
l
l
β
α
m
l
m
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l
l 方法二：计算所成二面角为直角。3.
线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
m
l m
l 方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l
OA
l
PA
l
方法三：用向量方法：若向量
l
和向量
m 的数量积为0，则m l
。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 范围：]
90,0((2)求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：
ab
c
b
a
2cos
2
2
2
(计算结果可能是其补角
)
方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
AC
AB AC AB cos
(二)线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），
作PO 于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面内的
射影，
PAO (图中
)为直线l 与面所成的角。
A O
θ
P
α
(2)范围：
]
90,0[当
0时，l 或//
l 当
90时，l
(3)求法：方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱
l 上取一点P ，两个半平面内分别作
l 的垂
线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹
角
为二面角—l —的平面角。
n
m l
P (2)范围：
]
180,0[(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角
(三垂线定理)，并证明。
l
β
α
m
α
l
θ
c
b
a
A
B
C
θn A O
θ
P
α
l
A O
P α
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面
POA 同时垂直于平面
和
，则
交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。
θ
A
O
P α
β
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
θ
n 1n 2
步骤一：计算1212
1
2
cos
n n n n n n 步骤二：判断与
12
n n 的关系，可能相等或者互补。
四．距离问题。1．点面距。
方法一：几何法。
O
A
P
步骤1：过点P 作PO 于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法
和等面积法；换点法
)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。
n
m
如图，m 和n 为两条异面直线，
n
且//m ，
则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线
m 与平面
之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。
d
c
b
a
m'
D
C
B
A m
n
如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：
cos
22
2
2
ab b
a
c
d A
B
C
D
1
A 1
C 1
B