SXA342高考数学必修_函数化抽象为具体

函数化抽象为具体
化抽象为具体：就是把具有一般性的高度浓缩的不便于解答的数学
问题,转化为特殊的较为具体的便于解答的数学问题.
在解决问题的过程中,把较为复杂的问题,进行变形、转化,直至最终
把它化归为某个已经解决的问题,或者较为简单的问题，是一种重要的思
想方法,这里主要浅谈函数中的化抽象为具体问题.
一 有关抽象函数定义域的理解及求法
有关抽象函数的问题，我们可以还原它的本来面貌，就用以理解了。

例1 已知函数()f x 的定义域是{|0}x R x ∈>，求函数(1)f x -的定 义域.
解析：这是一个抽象函数求定义域问题，如果把满足条件的函数
特殊化，就不难理解了.
可设函数()f x ＝lg x ，显然定义域为{|0}x R x ∈>，
使(1)lg(1)f x x -=-有意义的x 应满足10x ->，即1x <，
因此，(1)f x -的定义域是{|1}x R x ∈<.
事实上，满足条件的函数是有无限多个的，请同学们类似地写出满足此条件的不同形式的函数.
结论：一般地，如果函数()f x 的定义域是［,a b ］，那么函数[()]f g x 的定义域是满足条件()(,)g x a b ∈的x 的集合.
练习1 已知()f x 定义域［－2，2 ］，求2(1)f x -的定义域.
二 有关基本初等函数的抽象性问题
1由抽象函数所具有的公共属性化特殊函数
(1) 若()f x ax b =+，则1212()()()22
x x f x f x f ++=. 可以抽象为()f x 是一次函数，或常数函数都具有这个性质；
(2) 若2(),g x x ax b =++则1212()()()22
x x g x g x g ++≤. 可以抽象为()g x （图像开口向上）是二次函数都具有这个性质；
(3)若()log a f x x =，则1212()()()f x x f x f x •=+.
可以抽象为()f x 是对数函数都具有这个性质；
(4) 若()x
f x a =，则1212()()()f x x f x f x +=•
可以抽象为()f x 是指数函数都具有这个性质.
由知识的发展过程可知，不论从知识上，还是从能力上，都是从简单到复杂，由特殊到一般，从而得到一般性的结论，达到了知识的高度浓缩，给我们的学习带来了极大的方便.反之，由一般性的结论，也可以再转化为一些特殊事例，使问题得到解决. 2应用举例
例２ 设函数()f x 对任意,x y R ∈都有关系()()()f x y f x f y +=+,
若0x >时,()0f x <且(1)2f =-.
①判断()f x 在R 上的奇偶性;
②判断()f x 在R 上的单调性;
③求()f x 在[-3,3]上的最大值和最小值.
分析：满足()()()f x y f x f y +=+的可以是一次函数且不含常数项.
又因为，若0x >时,()0f x <且(1)2f =-,
则函数2y x =-就是上述模型的一个特殊函数，
于是可以探索到()f x 在R 上是奇函数，且是单调增函数，
在[-3,3]上的最大值6和最小值-6.
由于这是一道解答题,上面只是一个特例探索过程,因此不具有一般性. 解答: ①先确定奇偶性.
令0x =得(0)0f =
令y x =-得()()(0)f x f x f +-=0=
所以()()f x f x -=-
因此,函数()f x 是奇函数.
②再确定单调性
任取1,2x x R ∈,且12x x <,则210x x ->
因为()()()f x y f x f y +=+且()f x 在R 上是奇函数
又0x >时,()0f x <
所以212121()()()()()0f x f x f x f x f x x -=+-=-<
即 21()()f x f x <
因此,()f x 在R 上是单调减函数;
③因为[-3,3]⊂R
所以()f x 在[-3,3]上是单调减函数,
因此,min ()(3)(3)(21)f x f f f =-=-=-+
[(1)(1)(1)]6f f f =-++=
max ()(3)3(1)6f x f f ===-
解题评注：此题是函数的单调性与奇偶性的综合应用，且抽象性较强，可
通过特例探索答案及解法，在解题过程中关键抓住x 所满足的条件
()()()f x y f x f y +=+进行变形是解题的关键.
练习２函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x •=+，已知
(8)3f =，则f =
3由抽象函数的性质化特殊函数图像
根据抽象函数的性质，可以给出一般性的推理，可以想象出它的特殊函数，也可以给出具有这些性质的图像直观作答。

例３ 定义在区间(,)-∞+∞的奇函数()f x 为增函数，
偶函数()g x 在区间
［ 0，+∞）的图像与()f x 的图像重合，设0a b >>，给出下列不等式： ① ()()()()f b f a g a g b -->--
②()()()()f b f a g a g b --<--
③()()()()f a f b g b g a -->--
④()()()()f a f b g b g a --<--
其中成立的是
A ①与③
B ②与③
C ①与④
D ②与④ y
解题分析：只要画出满足条件的图像就可以找出上述函数的大小关系， 这里用特殊函数法（特例）和函数的单调性（一般法）解之．
解析一:根据题意可作出满足条件的特殊奇函数的图像
()f x =22(0)(0)
x x x x ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩ 及特殊偶函数的图像2
()g x x =(x R ∈)
再作出直线,x a x b =±=±，由图可见： ()()()()f a g a g a f a ==-=--
>()()()()f b g b g b f b ==-=--0>
因此，()()0f a f b -->
()()0g b g a --<
所以③()()()()f a f b g b g a -->--正确
解题评注：这里通过图像直观地得到答案.请同学们举出更简单的函数, 画出其图象,予以解答.也可以赋值予以解答.
下面给出通常的解法（一般法）加以对比.
解析二:从以下三个方面
(1) 对于()f x 当0x ≥时两图像重合,所以(0)(0)0f g ==,
且 ()()0g x f x =>
(2) 当0x <时,由奇偶性可得()()0f x f x -=->,
()()()g x g x f x -==0>.
（3）由（1）、（2）及函数的单调性得
当0a b >>时，
()()0g a f a =>，()()()0g b g b f b -==>
所以[()()][()()]f b f a g a g b -----
＝()()()()2()0f b f a f a f b f b +-+=>
所以①正确.
同理[()()][()()]f a f b g b g a -----
()()()()f a f b f b f a =+-+
=2()0f a >
所以③正确，故答案选A.
解题评注：此题抽象性强，条件较多，理清思路非常重要.通过以上解答可见，由函数的性质特殊函数法与特殊图象法简单易懂。

练习3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞ 上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是
A ．)2,(-∞
B ．),2(+∞
C ．),2()2,(+∞--∞
D ．（－2，2）
可见，化抽象函数为具体函数，便于我们理解函数的抽象性,便于我们探索和发现,便于解答一些小巧玲珑的选择、填空题,有时图象法更形象直观,在解题时要注意灵活选用方法简捷解题.
练习题答案
练习1 解答：因为()f x 定义域［－2，2 ］，即[2,2]x ∈-
所以2(1)f x -的定义域应满足21[2,2]x -∈-
解得[x ∈，
因此，2(1)f x -的定义域为｛|x x ≤≤
练习2 解答：显然可以把这个抽象函数特殊化使问题得到解决.
满足条件的()f x 可以设其中一个为()l g a f x o x =
又 (8)3f =，即(8)log 83a f ==，解得2a =
所以2()l g f x o x =
，因此21log 2
f == 解题评注：可直接观察出特殊函数2()l
g f x o x =满足条件. 练习3 解答：根据函数)(x f 是定义
在R 上的偶函数，在
0,(-∞上是减函数，且0)2(=f
由图2可见使得0)(<x f 的取值范围是D ． 解题评注：画图时可以理解为是二次函数的图象，也可以理解为一次函数的图象．总之．只要画出满足条件的图象即可．。