直线和圆弧的生成算法

第3章直线和圆弧的生成算法

3.1直线图形的生成算法

数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。

由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。本节我们介绍一个像素宽直线绘制的三个常用算法：数值微分法（DDA）、中点画线法和Bresenham算法。

3.1.1逐点比较法

3.1.2数值微分(DDA)法

设过端点P0(x0 ,y0)、P1(x1 ,y1)的直线段为L(P0 ,P1)，则直线段L的斜率

L的起点P

的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1(个像素)，用L

的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取像素点(x,round(y))作为当前点的坐标。因为：

y

= kx i+1+b

i+1

= k1x i+b+k x

= y i+k x

所以，当x =1; y i+1 = y i+k。也就是说，当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。根据这个原理，我们可以写出DDA（Digital Differential Analyzer）画线算法程序。

DDA画线算法程序：

void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)

{ int x；

float dx, dy, y, k；

dx = x1-x0； dy=y1-y0；

k=dy/dx,；y=y0；

for (x=x0；x< x1；x++)

{ drawpixel (x, int(y+0.5), color);

y=y+k;

}

}

注意：我们这里用整型变量color表示像素的颜色和灰度。

举例：用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。

x int(y+0.5) y+0.5

0 0 0

1 0 0.4+0.5

2 1 0.8+0.5

3 1 1.2+0.5

4 2 1.6+0.5

图3.1.1 直线段的扫描转换

注意：上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。当|k| 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y 进行四舍五入后取整，这使得它不利于硬件实现。

动画演示：数值微分画线算法（DDA）

3.1.3中点画线法

假定直线斜率k在0~1之间，当前像素点为（x p,y p），则下一个像素点有两种可选择点P1（x p+1,y p）或P2（x p+1,y p+1）。若P1与P2的中点（x p+1,y p+0.5）称为M，Q为理想直线与x=x p+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则取P2应为下一个像素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个像素点。这就是中点画线法的基本原理。

图3.1.2 中点画线法每步迭代涉及的像素和中点示意图

下面讨论中点画线法的实现。过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的方程式为F(x, y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。为此，我们构造判别式：

d=F(M)=F(x

+1, y p+0.5)=a(x p+1)+b(y p+0.5)+c

p

当d<0时，M在L(Q点)下方，取P2为下一个像素；

当d>0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一个像素；

当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个像素；

注意到d是x p, y p的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。

若当前像素处于d0情况，则取正右方像素P1(x p+1, y p),要判下一个像素位置，应计算d1=F(x p+2, y p+0.5)=a(x p+2)+b(y p+0.5)=d+a，增量为a。

若d<0时，则取右上方像素P2(x p+1, y p+1)。要判断再下一像素，则要计算d2= F(x p+2, y p+1.5)=a(x p+2)+b(y p+1.5)+c=d+a+b ，增量为a＋b。画线从(x0, y0)开始，d的初值d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b，

因 F(x0, y0)=0，所以d0=a+0.5b。

由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。

中点画线算法程序：

void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)

{ int a, b, d1, d2, d, x, y；

a=y0-y1； b=x1-x0；d=2*a+b；

d1=2*a；d2=2* (a+b)；

x=x0；y=y0；

drawpixel(x, y, color);

while (x

{ if (d<0) {x++；y++； d+=d2; }

else {x++； d+=d1;}

drawpixel (x, y, color);

} /* while */

} /* mid PointLine */

举例：用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。

a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6 ,

x y d