求变力做功的几种方法

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求变力做功的几种方法

功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：

一、等值法

等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。

例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h，

已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面

由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时

细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A

点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的

功。

分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳

的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小

虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向

都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：

二、微元法

当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：

A 0焦耳

B 20π焦耳

C 10焦耳

D 20焦耳

分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可

认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个

小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故

B正确。

三、平均力法

如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

例3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少

分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f0＝×105×10N＝5×104N,所以前进100米过程中的平均牵引力

＝N＝1×105N,

∴W＝S＝1×105×100J＝1×107J。

四、图象法

如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F—x图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。

例如：对于例3除可用平均力法计算外也

可用图象法。由F=103x+f0可知，当x变化时，F

也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面

用图象求解。牵引力表达式为F=103x+×105，其

函数表达图象

如图3。根据F-x图象所围的面积表示牵引力所

做

的功，故牵引力所做的功等于梯形OABD的“面

积”。

所以

。

五、能量转化法求变力做功

功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。

1、用动能定理求变力做功

动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达=ΔE K，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个式是W

外

力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为，BC是水平轨道，长

3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，W G=mgR，f BC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W

=0，

外

所以mgR-umg-W AB=0

即W AB=mgR-umg=1×10××1×10×3=6(J)

2、用机械能守恒定律求变力做功

如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。

例5、如图5所示，质量m为2千克的物

体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速

度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B

点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5

米，求弹簧的弹力对物体所做的功。

分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但

弹簧

的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，

则状态A： E A= mgh+mv02/2

对状态B： E B=－W弹簧+0

=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。

由机械能守恒定律得： W

弹簧

3、用功能原理求变力做功

功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。

例6、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F所做的功。

分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L/2=1米，故机械能动变化量为：ΔE=mg L/2=2×10×1=20（J）

根据功能原理力F所做的功为：W=20J

4、用公式W=Pt求变力做功