第五章 有限元法-9-有限元方程组的求解

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有限元方程组的求解

利用变分原理和离散化方法建立有限元矩阵方程后, 须求解以结点值为未知数的矩阵方程。 其方程写为: Ax b


(2.42)
式中系数矩阵A是一个n×n方阵,x是待求解的未知量,b表 示已知向量。

为精确描述实际问题,系数矩阵的维数(对应离散剖 分的结点值未知量个数)往往非常大,有庞大的计算 机内存需求和过长的计算时间。

除存储量降低外,有限元矩阵的特殊性质也能减少计算时间。大 量的零矩阵元素不需产生,加上适当设计算法,它们在解过程中 的运算也可避免。 正是这一为矩量法等积分方程方法所不具备的特殊性质,使得有 限元方法对分析电大尺寸问题时更有吸引力。


下面先介绍矩阵方程的解法,在此基础上然后 介绍Ansoft HFSS为在一定精度的要求上最大 限度的提高效率而设计的自适应迭代算法。
Lanczos法是有效的求解带状稀疏矩阵的本征值问题 的方法,Ansoft HFSS可以在solver中找到。
4 Ansoft HFSS的自适应迭代算法

矩阵方程的求解复杂度与有限元的剖分密度即未知数数目有很大 的关系,未知数数目越多,求解所需的时间越长。 然而,另一方面,有限元方法求解的精度与也随着未知数数目的 增加而更加准确。 因此,有限元方法的求解时间与准确度是一对矛盾。 为了在短的时间内取得越大的精度,Ansoft HFSS采取了自适应 迭代算法,如图2.5所示。 该算法一开始先选用较粗的剖分,采用前述的方法求解,然后看 其进度是否满足要求。 如不满足,进一步细化剖分,再次进行求解,直至达到给定的精 度。


如果矩阵可以分解为 A=LU

(2.43)
其中,L是一个下三角矩阵,U是一个上三角矩阵。
那么,先求解
Ly=b

(2.44)
然后求解
Ux=y

(2.45)
即可得到(2.42)式的解。

因为L是一个下三角矩阵,y可通过前向替代 过程而高效地获得
b1 y1 l11
i 1 1 yi bi lik yk k 1 lii

总的来

有限元方法得到的一般是广义形式的本征值问题: Ax=λBx (2.52) 很明显,如果把B分解为B LL ,其中L是一个下三角 阵,那么广义本征值问题可以改为标准形式
T

L1ALT y y

y LT x

然后,x可通过后向替代过程而获得
yn xn u nn
n 1 xi yi uik xk k i 1 uii

N为 这种分解算法其计算的复杂度正比于ON ( 矩阵的维数,也即未知数的数目),也并没有 利用有限元带状稀疏阵的性质。
3

进一步利用带状稀疏阵的分解算法能够有效地 提高运算效率,降低计算复杂度。 Ansoft HFSS的快速算法计算复杂度就在 ON 以下。



图2.5 Ansoft HFSS的自适应迭代算法
2
3 本征值问题的解

当式(2.42)右端的已知激励向量b为零时,为对应腔体谐振和波 导分析的本征值方程求解。 一个标准的本征值问题由下式定义: Ax=λx (2.50) 其中,A是一个n×n方阵,x是本征向量,λ表示对应的本征值。 显然,仅当下式成立时


detA I 0
(2.50)式才可能有非零解。上式中,I表示单位矩阵。
1 确定性问题矩阵方程求解的直接法

当式(2.42)右端的已知激励向量b不为零时, 确定性方程的求解,也就是利用各种等效方法 的对矩阵A求逆,其中最适用于有限元方法矩 阵的是分解法,Ansoft HFSS就是采用的分解 法。 其中,LU分解是最基础的一种方法,很多的 快速分解方法都是在其基础上发展而来,所以 这里将介绍LU分解方法。

幸好,有限元离散得到的矩阵总是稀疏的、对称的和带状的。如 充分利用这些性质,可大大地节省存储量。

比如说,一般的有限元矩阵每行的非零元素少于15个,如果只存储非 零元素,由于对称性,只需要存储8个元素,因此,对于一个10000个 未知量的方程,只有大约8×10000个非零矩阵元素需要存储。加上用 于记号所需的两个整型数组,总存储量不到相应满秩矩阵存储空间的 六百分之一。
3

2 确定性问题矩阵方程求解的迭代法

矩阵方程的迭代方法又可以分为直接迭代方法 和共轭梯度法。
特别是共轭梯度法现在被认为是求解矩阵方程 的有效方法。



共轭梯度法首先给出未知量的一个初始猜测,然后 在一定的泛函空间中按照搜索向量进行迭代,直到 达到设定的精度。 共轭梯度法的计算复杂度正比于ON 。 但Ansoft HFSS使用的是分解法。
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