电磁场与电磁波试题及参考答案

2010-2011-2学期《电磁场与电磁波》课程

考试试卷参考答案及评分标准

命题教师：李学军 审题教师：米燕

一、判断题（10分）（每题1分）

1. 旋度就是任意方向的环量密度 （ × ）

2. 某一方向的的方向导数是描述标量场沿该方向的变化情况 （ √ ）

3. 点电荷仅仅指直径非常小的带电体 （ × ）

4. 静电场中介质的相对介电常数总是大于 1 （ √ ）

5. 静电场的电场力只能通过库仑定律进行计算 （ × ）

6. 理想介质和导电媒质都是色散媒质 （ × ）

7. 均匀平面电磁波在无耗媒质里电场强度和磁场强度保持同相位 （ √ ）

8. 复坡印廷矢量的模值是通过单位面积上的电磁功率 （ × ）

9. 在真空中电磁波的群速与相速的大小总是相同的 （ √ ） 10 趋肤深度是电磁波进入导体后能量衰减为零所能够达到的深度 （ × ）

二、选择填空（10分）

1. 已知标量场u 的梯度为G ，则u 沿l 方向的方向导数为（ B ）。

A. G l ⋅

B. 0

G l ⋅ C. G l ⨯

2. 半径为a 导体球，带电量为Q ，球外套有外半径为b ，介电常数为ε的同心介质球壳，壳外是空气，则介质球壳内的电场强度E 等于（ C ）。 A.

24Q r π B. 204Q r πε C. 2

4Q

r πε

3. 一个半径为a 的均匀带电圆柱(无限长)的电荷密度是ρ，则圆柱体内的电场强度E 为

（ C ）。

A. 2

2a E r ρε= B. 202r E a ρε= C. 02r E ρε=

4. 半径为a 的无限长直导线，载有电流I ，则导体内的磁感应强度B 为（ C ）。 A.

02I r μπ B. 02Ir a μπ C. 022Ir

a

μπ 5. 已知复数场矢量0x e E =E ，则其瞬时值表述式为( B )。

A. ()0cos y x e E t ωϕ+

B. ()0cos x x e E t ωϕ+

C. ()0sin x x e E t ωϕ+ 6. 已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面电磁波的频率f=108 Hz ，则

电磁波的波长为（ C ）。

A. 3 (m)

B. 2 (m)

C. 1 (m)

7. 在良导体中平面电磁波的电场强度的相位比磁场强度的相位（ A ）。

A. 超前45度

B. 滞后45度

C. 超前0～45度 8. 复数场矢量()

0jkz x y E e je e =-+E ，则其极化方式为( A )。 A. 左旋圆极化 B. 右旋圆极化 C. 线极化 9. 理想媒质的群速与相速比总是（ C ）。

A. 比相速大

B. 比相速小

C. 与相速相同 10. 导体达到静电平衡时，导体外部表面的场Dn 可简化为（ B ）。

A. Dn=0

B. n s D ρ=

C. n D q = 三、简述题（共10分）（每题5分）

1．给出亥姆霍兹定理的简单表述、说明定理的物理意义是什么（5分）

答：若矢量场F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和； （3分）

物理意义：分析矢量场时，应从研究它的散度和旋度入手，旋度方程和散度方程构成了矢量场的基本方程。 （2分）

2．写出麦克斯韦方程组中的全电流（即推广的安培环路）定律的积分表达式，并说明其物理意义。（5分） 答：全电流定律的积分表达式为：

d ()d l

S

t

∂⋅=

+

⋅∂⎰

⎰

D

H l J S 。 （3分） 全电流定律的物理意义是：表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。（2分）

四、一同轴线内导体的半径为a ， 外导体的内半径为b , 内、外导体之间填充两种绝缘材料，a

解：设内、外导体单位长度带电分别为ρl 、-ρl ，内、外导体间的场分布具有轴对称性。由高斯定理可求出内、外导体间的电位移矢量为

2l

r D e r

ρπ= （2分） 各区域的电场强度为

101()2l

r

E e a r r r ρπε=<< （2分）

202()2l

r

E e r r b r

ρπε=<< （2分）

内

、

外

导

体

间

的电压为

12b r b

a

a

r U E dr E dr E dr =⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰ （2分）

020111112l r b n n r a ρπεε⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

（2分） 因此，单位长度的电容为020121

111l C r

b U n n r b ρπ

εε=

=

+ （2分）

五、0B A(,S

c

B dS A dl r r ⋅=

⋅=⎰⎰

由无限长载流直导线的求矢为利用并取处

为磁矢位的参考零点)。（10分）

解：设导线和z 轴重合。用安培环路定律，0C

d I μ⋅=∑⎰

B l （2分）

可以得到直导线的磁感应强度为 02I

B e r

φμπ=

（2分） 磁矢位的方向与电流的方向相同，选取矩形回路C ，如图所示。在此回路上，磁矢位的线积分为

z

A d A h ⋅=-⎰l （2分）

0000

ln 222r r I Ih Ih dr r d drdz r r r μμμπππ⋅=

==⎰

⎰⎰⎰S

B S （2分）

由计算公式

d A d ⋅=

⋅⎰

⎰S

B S l

可得 ()00

ln 2z

I

r A r r μπ

=- （2分）

六、空气中有两个半径相同(均等于a )的导体球相切，试用球面镜像法求该孤立

导体系统的电容。（14分）

解：设两球各带电量为q ，左球电荷在右球的镜像电荷位于A 1处， 则，

221'22a a a AA AA a === （2分）

11

22

a q q q a =-=- （2分）

右侧的q 在左面的导体球面也有一个镜像电荷，大小也是q 1，位于A 1’处。由问题本身的

对称性可知，左面的电荷总是与右侧分布对称。仅分析右面的。左面的q 1在右导体球上也要成像，这个镜像电荷记为q 2, 位于A 2处。

222'12/23a a a

AA AA a a ===

+ （1分） 21

'11

3

a q q q AA =-= （1分） 依此类推，有3411

,45

q q q q =-= （2分）

因而，导体系统的总电荷为121112()21212234Q q q q q q n ⎛⎫

=+++

=-+-+

= ⎪⎝⎭

（2分）

导体面的电位为004q U a

πε=

（2分）

所以，这个孤立导体系统的电容为0812C a n πε= （2分）

七、已知无源、自由空间中的电场强度矢量()sin y m E e E t kz ω=-

求：（1）由麦克斯韦方程求磁场强度。（6分） （2）求坡印廷矢量的时间平均值（5分） 解：（1）无源说明：J S =0;ρS ＝0 由麦克斯韦方程 B

E t

∂∇⨯=-

∂ （2分） 得 0

0x y z y y y x

z

x

y

e e e E E E B e e e x y z t

z

x

z

E ∂∂∂∂∂

∂∂-=

=-+-∂∂∂∂∂∂∂＝

()()cos x m e E k t kz ω=--－ （2分）

解得 ()0sin m

x

kE H e t kz ωμω

=-- （2分） （2）求坡印廷矢量的时间平均值

0T

E Hdt ⨯⎰av 1S ＝

T

()()00sin sin T

m y m x kE e E t kz e t kz dt ωωμω⎛⎫⎡⎤=-⨯-- ⎪⎣⎦⎝⎭

⎰1T ()2

200sin T m

z kE e t kz dt ωμω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

⎰1T （3分） 解得 2

012m

av z kE S e μω

= （2分）

八、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为