深圳沙井中学数学全等三角形综合测试卷(word含答案)
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9．如图， 中， ，点 是 内部一点， ，点 是边 上一点，若 平分 ， ，则 ______°
【答案】80
【解析】
【分析】
根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB－2∠ACD，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC即可.
6．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．
【答案】22
【解析】
【分析】
等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；
【详解】
解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，
∴腰的不应为4，而应为9，
∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.
∵h₁=1
∴AA₁=2,
∴
同理： ；
；
…
∴经过n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离
∴
【点睛】
本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．
5．如图，在 中， ，点 和点 在直线 的同侧， ，连接 ，则 的度数为__________．
【答案】30°
∴A19是第9个三角形的最后一个顶点,
∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....
∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,
由图可知,第奇数个三角形在x轴下方,关于直线x=1对称,
∴OA19=9-1=8,
∴ 的坐标为
故答案是
【点睛】
本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A19所在的三角形是解题关键
深圳沙井中学数学全等三角形综合测试卷（word含答案）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D在第二象限，且 与 全等，点D的坐标是______．
【答案】(－4，2)或(－4，3)
【解析】
【分析】
【详解】
把点C向下平移1个单位得到点D（4，2），这时△ABD与△ABC全等，分别作点C，D关于y轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD与△ABC全等.
但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；
线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．
∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
【答案】
【解析】
【分析】
根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA19,写出坐标即可.
【详解】
解：设到第n个三角形顶点的个数为y
则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA= ，
∴∠ADB=30°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．
【详解】
解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.
【点睛】
本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________
∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FE=90°，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理得：
∴
∴EF=4.8，
∴B′F=BF=AB-AE-EF=10-3.6-4.8=1.6= ，
故答案是： .
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE、AE是解决问题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．已知点M(2,2)，且OM=2 ，在坐标轴上求作一点P，使△OMP为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）
故答案选：D
【点睛】
本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．
12．如图, 中, ， 垂直 的角平分线于 , 为 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A．1.5B．3C．4.5D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
首先证明两个阴影部分面积之差=S△ADC，然后由DC⊥AC时，△ACD的面积最大求出结论即可．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA₁=DB,从而可得∠ADA₁=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE是△ABC的中位线，证得AA₁⊥BC,AA₁=2，由此发现规律： 同理 …于是经过第n次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC的距离 ，据此求得 的值．
【详解】
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD，
∴∠ECB=∠ACB－∠ACE=∠ACB－2∠ACD，
∵∠AEC=100°，
∴∠ABC+∠ECB=100°，
∴∠ABC+∠ACB－2∠ACD=100°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB,
∴2∠ACB－2∠ACD=100°，
∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（ ）
【详解】
解：∵在△A0BA1中，∠B=20°，A0B=A1B，
∴∠BA1A0= =80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A0是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1= =40°；
同理可得，
∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴第n个等腰三角形的底角∠An= .
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
故答案为22.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.
7．已知如图，每个小正方形的边长都是 都在格点上， 都是斜边在 轴上，且斜边长分别为 .的等腰直角三角形.若 的三个顶点坐标为 ,则依图中规律,则 的坐标为___________
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出 的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．
8．如图，已知 ， 平分 ， ，若 ， ，则 =____________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F.由已知条件推出△BEM是等边三角形，△FDE是等边三角形，在△DNM中求出NM的长度，即可求出BC的长度.
【详解】
如图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F，
4．如图，将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第1次操作，折痕 到 的距离记为 ，还原纸片后，再将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第2次操作，折痕 到 的距离记为 ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕 到 的距离记为 ，若 ，则 的值为______．
A．(2 ,0)B．(0,4)C．(4,0)D．(0,8 )
【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论：OM=OP；MO=MP；PM=PO，分别计算出相应的P点，从而得出答案．
【详解】
∵M(2,2),且OM=2 ,且点P在坐标轴上
当 时
P点坐标为： ，A满足；
当 时：
P点坐标为： ，B满足；
当 时：
P点坐标为： ，C满足
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE，得出BF的长，即B′F的长．
【详解】
解：根据折叠的性质可知：DE=AE，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，B′F=BF，
3．如图，在 中， ， ，在 上取点 ，延长 到 ，使得 ；在 上取一点 ，延长 到 ，使得 ；…，按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角 的度数为__________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角∠An的度数．
∵ ， 平分 ，∴AN⊥BC，BN=CN，
∵ ，∴△BEM是等边三角形，
∴△FDE是等边三角形，
∵ ， ，∴ ，
∵△BEM是等边三角形，∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，∴∠DNM=90ห้องสมุดไป่ตู้，
∴∠NDM=30°，∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.
【详解】
延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．
∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．
∵AD⊥BH，∴BD=DH．
∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．
∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．
【详解】
解：如图连接AA₁,由折叠的性质可得：AA₁⊥DE, DA= DA₁,A₂、A₃…均在AA₁上
又∵D是AB中点，∴DA= DB ,
∵DB= DA₁,
∴∠BA₁D=∠B ,
∴∠ADA₁=∠B +∠BA₁D=2∠B,
又∵∠ADA₁=2∠ADE ,
∴∠ADE=∠B
∵DE//BC,
∴AA₁⊥BC ,
故答案为(－4，2)或(－4，3).
2．在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， ，在 轴或 轴上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有__________个．
【答案】8
【解析】
【分析】
观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】
解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，
∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH= S△ADH S△ABH．
∵AE=EC，∴S△ABE S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．
∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．
∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 3×3 ．
故选C．
【答案】80
【解析】
【分析】
根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB－2∠ACD，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC即可.
6．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．
【答案】22
【解析】
【分析】
等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；
【详解】
解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，
∴腰的不应为4，而应为9，
∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.
∵h₁=1
∴AA₁=2,
∴
同理： ；
；
…
∴经过n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离
∴
【点睛】
本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．
5．如图，在 中， ，点 和点 在直线 的同侧， ，连接 ，则 的度数为__________．
【答案】30°
∴A19是第9个三角形的最后一个顶点,
∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....
∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,
由图可知,第奇数个三角形在x轴下方,关于直线x=1对称,
∴OA19=9-1=8,
∴ 的坐标为
故答案是
【点睛】
本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A19所在的三角形是解题关键
深圳沙井中学数学全等三角形综合测试卷（word含答案）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D在第二象限，且 与 全等，点D的坐标是______．
【答案】(－4，2)或(－4，3)
【解析】
【分析】
【详解】
把点C向下平移1个单位得到点D（4，2），这时△ABD与△ABC全等，分别作点C，D关于y轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD与△ABC全等.
但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；
线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．
∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
【答案】
【解析】
【分析】
根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA19,写出坐标即可.
【详解】
解：设到第n个三角形顶点的个数为y
则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA= ，
∴∠ADB=30°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．
【详解】
解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.
【点睛】
本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________
∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FE=90°，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理得：
∴
∴EF=4.8，
∴B′F=BF=AB-AE-EF=10-3.6-4.8=1.6= ，
故答案是： .
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE、AE是解决问题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．已知点M(2,2)，且OM=2 ，在坐标轴上求作一点P，使△OMP为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）
故答案选：D
【点睛】
本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．
12．如图, 中, ， 垂直 的角平分线于 , 为 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A．1.5B．3C．4.5D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
首先证明两个阴影部分面积之差=S△ADC，然后由DC⊥AC时，△ACD的面积最大求出结论即可．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA₁=DB,从而可得∠ADA₁=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE是△ABC的中位线，证得AA₁⊥BC,AA₁=2，由此发现规律： 同理 …于是经过第n次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC的距离 ，据此求得 的值．
【详解】
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD，
∴∠ECB=∠ACB－∠ACE=∠ACB－2∠ACD，
∵∠AEC=100°，
∴∠ABC+∠ECB=100°，
∴∠ABC+∠ACB－2∠ACD=100°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB,
∴2∠ACB－2∠ACD=100°，
∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（ ）
【详解】
解：∵在△A0BA1中，∠B=20°，A0B=A1B，
∴∠BA1A0= =80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A0是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1= =40°；
同理可得，
∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴第n个等腰三角形的底角∠An= .
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
故答案为22.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.
7．已知如图，每个小正方形的边长都是 都在格点上， 都是斜边在 轴上，且斜边长分别为 .的等腰直角三角形.若 的三个顶点坐标为 ,则依图中规律,则 的坐标为___________
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出 的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．
8．如图，已知 ， 平分 ， ，若 ， ，则 =____________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F.由已知条件推出△BEM是等边三角形，△FDE是等边三角形，在△DNM中求出NM的长度，即可求出BC的长度.
【详解】
如图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F，
4．如图，将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第1次操作，折痕 到 的距离记为 ，还原纸片后，再将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第2次操作，折痕 到 的距离记为 ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕 到 的距离记为 ，若 ，则 的值为______．
A．(2 ,0)B．(0,4)C．(4,0)D．(0,8 )
【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论：OM=OP；MO=MP；PM=PO，分别计算出相应的P点，从而得出答案．
【详解】
∵M(2,2),且OM=2 ,且点P在坐标轴上
当 时
P点坐标为： ，A满足；
当 时：
P点坐标为： ，B满足；
当 时：
P点坐标为： ，C满足
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE，得出BF的长，即B′F的长．
【详解】
解：根据折叠的性质可知：DE=AE，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，B′F=BF，
3．如图，在 中， ， ，在 上取点 ，延长 到 ，使得 ；在 上取一点 ，延长 到 ，使得 ；…，按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角 的度数为__________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角∠An的度数．
∵ ， 平分 ，∴AN⊥BC，BN=CN，
∵ ，∴△BEM是等边三角形，
∴△FDE是等边三角形，
∵ ， ，∴ ，
∵△BEM是等边三角形，∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，∴∠DNM=90ห้องสมุดไป่ตู้，
∴∠NDM=30°，∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.
【详解】
延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．
∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．
∵AD⊥BH，∴BD=DH．
∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．
∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．
【详解】
解：如图连接AA₁,由折叠的性质可得：AA₁⊥DE, DA= DA₁,A₂、A₃…均在AA₁上
又∵D是AB中点，∴DA= DB ,
∵DB= DA₁,
∴∠BA₁D=∠B ,
∴∠ADA₁=∠B +∠BA₁D=2∠B,
又∵∠ADA₁=2∠ADE ,
∴∠ADE=∠B
∵DE//BC,
∴AA₁⊥BC ,
故答案为(－4，2)或(－4，3).
2．在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， ，在 轴或 轴上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有__________个．
【答案】8
【解析】
【分析】
观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】
解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，
∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH= S△ADH S△ABH．
∵AE=EC，∴S△ABE S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．
∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．
∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 3×3 ．
故选C．